Một số hệ thức liờn quan tới đường cao: ĐỊNH LÍ 2Trong một tam giỏc vuụng, bỡnh phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tớch hai hỡnh chiếu của hai cạnh gúc vuụng trờn cạnh huyền.Cụng
Trang 1T i li à ệu lưu hành nội bộ
ễN TẬP HỌC Kè I MễN TOÁN 9 NĂM HỌC 2010-2011
A ễN TẬP ĐẠI Sễ́ 9
I Căn bậc hai.
Dạng I : Căn bậc hai - Định nghĩa , kí hiệu.
Ví dụ 1 : Tìm x biết x2 = 8
Giải : x = ± 8 = ± 2 2
Ví dụ 2 : Tìm x biết x− 1 = 2
Giải : Ta có 5
5
1 41
01
⇔
x x
x x
x
a)
2 3
và
3
2
4
và
sánh So
:
3
dụ
Ví
15
Ví dụ 4 : Tính 5 , 4 + 7 0 , 25
Giải : 5 , 4 + 7 0 , 25 = 5 , 4 + 7 0 , 5 = 5 , 4 + 3 , 5 = 8 , 9
Bài tập tự giải :
1) Tìm x biết a) x2 + 1 = 2 b) x2 − 5 = 2
2
1 ) 4
1 25 , 0
a
Dạng 2 : Căn thức bậc hai- điều kiện tồn tại- hằng đẳng thức A2 =A
Ví dụ 1 : a) Tìm x để biểu thức 2x− 4 có nghĩa ?
Giải : Ta có 2x− 4 có nghĩa khi 2x− 4 ≥ 0 ⇔ x≥ 2
b) Tìm x để x2 + 5 có nghĩa?
Giải : Ta thấy x2 ≥ 0 ∀x nên x2 + 5 có nghĩa với mọi x
Ví dụ 2 : Giải phơng trình : 2x− =3 5
Giải : 2x− =3 5 Vì hai vờ́ khụng õm, bình phương 2 vờ́ ta được:
⇔2x− =3 25⇔2x=28⇔ =x 14
1− 3 ; 5 2 6− Giải : Ta có : ( )
6 2 5
1 3 3 1 3 1
2 2
−
=
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
Bài tập tự giải :
1) Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa :
5
2 ) 2
) 30 5 ) 2
−
−
−
x d x c x b
x
a
2) Rút gọn biểu thức :
1 2 1
2
)
6 12 33 6 6
15
)
2
− +
−
x x x
x
b
a
3) Giải phơng trình: x2+2x = 3-2 2
4) Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: 3x− 2 − 4 −x
Dạng 3 :Quy tắc khai phơng. A B = A B
Ví dụ 1 : Tính
Giai : Ta co
Trang 2T i li à ệu lưu hành nội bộ
105 21 5 441
25
441
.
25
=
=
:
cã
Ta
VÝ dô 2 : TÝnh a) 3 12 b) 4a 16a
Gi¶i : a) 3 12 = 3 12 = 36 = 6
b) 4a 16a = 4a 16a = 64a2 = 8a
VÝ dô 3 : TÝnh a)
16
9 : 25
36 ) 49
4 ) 225
81 2 2
c b a b
Gi¶i : a)
5
3 15
9 225
81 225
b) 4 2 2 4 2 2 2
ab
c)
15
24 4
3 : 5
6 16
9 : 25
36 16
9 : 25
36
=
=
=
VÝ dô 4 : TÝnh
a)(3 2 − 2 3)(3 2 + 2 3) b)( 128 − 2 162 + 2 6 − 24): 2
Gi¶i :
a)(3 2 − 2 3)(3 2 + 2 3) ( ) ( )= 3 2 2 − 2 3 2 = 18 − 12 = 6
b)( 128 − 2 162 + 2 6 − 24): 2 = 64 − 2 81 + 2 3 − 12 = 8 − 2 9 + 2 3 − 2 3 = − 10
Bµi tËp :
1) Rót gän biÓu thøc
a) 320 45a2 b) 1 4( − )2 ( < < 0 )
a
2) Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc :
A= 4(1 + 6x+ 9x2) khix = - 2
3) TÝnh : a) ( ) (2 )2
2 2 2
c)( 28 − 2 14 + 7 ) + 7 8 d)( 8 − 3 2 + 10 )( 2 − 3 0 , 4 )
e)(15 50 + 5 200 − 3 450): 10
4)TÝnh a)A= ( 2 − 3 ) 7 + 4 3 b)B= ( 10 − 6 ) 4 + 15
5)T×m x biÕt:
a) 4x= 5 b) 9 (x− 1 ) = 21 c) 4 ( 1 −x) 2 − 6 = 0
6)T×m x biÕt:
a)( 7 − x)( 8 − x) =x+ 11 b) x+ 3 + 1 −x = 2
7) Ph©n tÝch thµnh tÝch:
a)8 + 2 15 b)1 + 3 + 5 + 15 c) 10 + 14 + 15 + 21 d)3 + 18 + 3 + 8
e)x+ 6 x+ 8 f) ab+b ab+ a+ b
D¹ng 4 : C¸c phÐp to¸n vÒ c¨n bËc hai :
VÝ dô 1 : 75 = 5 2 3 = 5 3
− 2 3 = − 2 2 3 = − 12
5
1 5
5 5
1
2 =
=
43.66 296
) 6 ( 3
6 4 6
3
4
=
3 7
) 3 7 ( 8 3 7
8
−
=
−
−
= +
Bµi tËp :
1) So s¸nh 20 vµ 3 5
2) Khö mÉu :
Trang 3T i li à ệu lưu hành nội bộ
5 3 3
5
3 5 ) 3
6
)
−
−
+
2 2
1 c)
b
a
3) Tính :
27 2 3
2 2 5 , 4 3
1 5 72
2
1 4
b
4) Tính
6
1 3
216 2
8
6 3 2
)
−
−
−
5 7
1 : 3 1
5 15 2
1
7 14
−
−
− +
−
−
c)
10 2 7
15 2 8 6 2 5
+
− + +
4) Rút gọn biểu thức:
b.
a 0, b 0, a
−
+
b a ab
a b
b
a
a) : 1
−
−
−
+
+
+
1
1 1
1
a
a a a
a a
II : Hàm số bậc nhất - Định nghĩa - Tính chất.
Dạng 1 : Hàm số bậc nhất
Ví dụ 1 : Các hàm số sau, hàm số nào đồng biến , nghịch biến ?
a) y = 2x- 3 b) y = 1 – 2x c) y = (1 - 2 ) x + 3
Giải : a) Vì a= 2 > 0 nờn h/s Đồng biến
b) Vì a = - 2 < 0 ……… Nghịch biến
c) a = 1 - 2< 0 ……… Nghịch biến
Ví dụ 2 : Tìm m để hàm số sau đồng biến , nghịch biến ?
y = ( 2m – 1 ) x + m – 2
Giải : Hàm số đồng biến khi 2m – 1 > 0
2
1
m >
⇔
Hàm số nghịch biến khi 2m – 1 < 0
2
1
m <
⇔
Ví dụ 3 : Cho hàm số y = -2x + b Tìm b biết khi x = 2 thì y = -1
Giải : Thay x =2 , y = -1 vào h/s ta có : -2 2 +b = -1 ⇔−4+b=−1⇔b=3
vậy h/s cõ̀n tìm là : y = -2x + 3
Ví dụ 4 : Cho hàm số y = mx – 3 Tìm m biết khi x=2 thì y=1
Giải : Thay x=2 , y=1 vào h/s ta có : m.2 – 3 = 1 => m= 2 ; vậy y=2x- 3
Ví dụ 5 : Cho hàm số y= ( m-1)x + 3.
a) Tìm m để đồ thị hàm số song song đờng thẳng y=2x?
b) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ tam giác cân?
Giải :
a) Vì đồ thị hàm số song song đờng thẳng y=2x nờn m-1=2 => m=3 Vậy y =3x+3
b) Đồ thị cắt Oy tại (0;3) , cắt Ox tại (
1 m
3
−
−
;0) nên
3
1
m
m
Ví dụ 6 : Tìm m để các đờng thẳng sau song song? y=(m-3)x + 2 , y=(3m – 7)x – 3
Giải : để 2 đờng thẳng song song thì m-3 = 3m – 7 => m= 2
Ví dụ 7 : a) Chứng minh 3 đờng thẳng sau đồng quy : y=2x + 1 (1), y=-x+1 (2) y= x 1 ( 3 )
2
1
+
b) m=? để các đờng thẳng sau đồng quy : : y=mx + 2 (1), y=-x + 3 (2) , y=2x – 1 (3) ?
Giải :
a) Giao của (1) và (2) là (0;1) thay vào (3) thoả mãn Vậy 3 đờng đồng quy
b) Giao của (2) và (3) là (4/3;5/3) thay vào (1) đợc m=2
Ví dụ 8: CMR đờng thẳng y = mx+3 - m luôn đi qua 1 điểm cố định ?
Trang 4T i li à ệu lưu hành nội bộ
Giải :
y = mx+3 - m => m(x-1) = y-3 ,không phụ thuộc m khi x-1 =0 và y-3 =0 => x=1,y=3.Từ đó đờng thẳng luôn
đi qua điểm cố định ( 1;3) với mọi m
Ví dụ 9 : Tìm m để 2 đờng thẳng sau vuông góc ? y = 2x - 3 ; y = (m-2)x + 3
Giải : 2 đờng thẳng vuông góc khi tích 2 hệ số góc bằng -1 tức là 2(m-2) = -1 suy ra m=3/2
Ví dụ 10 :
Viết phơng trình đờng thẳng di qua A(1;3) và song song đờng thẳng y = 2x – 1 (1) ?
Giải : PT đờng thẳng song song với đờng thẳng y = 2x – 1 có dạng y = 2x + b
Và đi qua A(1;3) nờn thay x= 1 và y = 3 vào PT đường thẳng y = 2x+b đc:
3= 2.1+b => b = 1
Võ ̣y PT đường thẳng cõ̀n tìm là: y = 2x + 1
B HèNH HỌC
Chương I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG
I Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giỏc vuụng:
A
c h b
c’ b’
B H C a
1 Hệ thức giữa cạnh gúc vuụng và hỡnh chiếu của nú trờn cạnh huyền:
ĐỊNH LÍ 1: Trong một tam giỏc vuụng, bỡnh phương mỗi cạnh gúc vuụng bằng tớch của cạnh huyền và hỡnh
chiếu của cạnh gúc vuụng đú trờn cạnh huyền.Cụng thức: b 2 = ab’, c 2 = ac’
2. Một số hệ thức liờn quan tới đường cao:
ĐỊNH LÍ 2Trong một tam giỏc vuụng, bỡnh phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tớch hai hỡnh chiếu
của hai cạnh gúc vuụng trờn cạnh huyền.Cụng thức: h 2 = b’c’
ĐỊNH LÍ 3Trong một tam giỏc vuụng, tớch hai cạnh gúc vuụng bằng tớch của cạnh huyền và đường cao tương
ứng Cụng thức: bc = ah
ĐỊNH LÍ 4Trong một tam giỏc vuụng, nghịch đảo của bỡnh phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng
cỏc nghịch đảo của bỡnh phương hai cạnh gúc vuụng
Trang 5T i li à ệu lưu hành nội bộ
Công thức: 1 2 = 1 2 + 1 2
h b c
II Tỉ số lượng giác của góc nhọn:
tỉ số lượng giác của một góc nhọn:
cạnh đối cạnh kề
α
cạnh huyền
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α , kí hiệu sin α
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α , kí hiệu cos α
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kế được gọi là tang của góc α , kí hiệu tg α (hay tan α )
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α , kí hiệu cotg α (hay cot α )
b Công thức:
cạnh huyền cạnh đối
2.Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau:
ĐỊNH LÍ
Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia
Bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt:
α
Trang 6T i li à ệu lưu hành nội bộ
lượng giác
sin α
2
1
2
2
3 3
cos α
3
3
2
2
2 1
tg α
3
3
3 3
Các hệ thức cơ bản:Cho α < 90o, ta có:
0 < sin α < 1 0 < cos α < 1
sin2 α + cos2 α = 1 tg α cotg α = 1
1 + cotg2 α 1 + tg2 α
III Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông:
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề
CÁC HỆ THỨC:
A
B C
a
b = a.sin B = a.cos C b = c.tg B = c.cotg C
c = a.sin C = a.cos B c = b.tg C = b.cotg B
Chương II: ĐƯỜNG TRÒN
I Sự xác định đường tròn Tính chất đối xứng của đường tròn:
Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0)
là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng
O A
+ Khi biết tâm và bán kính của đường tròn đó
+ Khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó
+ Khi biết ba điểm không thẳng hàng
Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
( Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng.)
Đường tròn là hình có tâm đối xứng Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó
Trang 7T i li à ệu lưu hành nội bộ
Đường tròn là hình có trục đối xứng Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn
II.
Đường kính và dây của đường tròn:
ĐỊNH LÍ 1 Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính
ĐỊNH LÍ 2Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
ĐỊNH LÍ 3Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc
với dây ấy
III Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
ĐỊNH LÍ 1Trong một đường tròn:
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
ĐỊNH LÍ 2Trong hai dây của một đường tròn:
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
IV Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:
1 Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:
Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và đường tròn mà ta có ba vị trí tương đối giữa chúng a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau:
- Số điểm chung: 2
O a
A H B
b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau:
- d = OH = R
ĐỊNH LÍ
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một d R
đưòng tròn thì nó vuông góc với bán kính đi a qua tiếp điểm H
ĐỊNH NGHĨA:
Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn đó
c) Đường thẳng và đường tròn không giao nhau:
- d = OH < R
O
R
a H
2 Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn:
( d= OH)
đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau ⇔ d < R
đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau⇔ d = R
Trang 8T i li à ệu lưu hành nội bộ
đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau ⇔d > R
Bảng tóm tắt:
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa dvà R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d < R
V Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn:
a) Nếu một đường thẳng và một đuờng tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn
b) Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn
ĐỊNH LÍ: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm
đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn
⊥
=> a lµ tiÕp tuyÕn cña đtr (O) tai C̣
VI Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
1. Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau:
ĐỊNH LÍ: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
• Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
• Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
GT AB, AC lµ hai tiÕp tuyÕn cña ®tr (O) t¹i
B vµ C
1
2 Đường tròn nội tiếp tam giác:
Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi
là ngoại tiếp đường tròn.
- Tâm đtr nô ̣i tiếp tam giác là giao điểm 3 đường phân
giác 3 góc của tam giác
3 Đường tròn bàng tiếp tam giác:
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các
phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác
- Tâm đtr là giao điểm hai đường phân giác của 2 góc ngoài ta ̣i đỉnh hoă ̣c
của 1 góc và của 1 góc ngoài
Bµi tËp h×nh häc
B
ài1 Cho VABC vuông tại A, đường cao AH Hãy tính độ dài các đoạn
BH,CH ,AH,AC nếu biết
a) AB =15, BC =25 b)AB = 12 , BC = 13 c) AB = 3 3 , AC = 9
Bài 2 a)Cho ABCV vuông tại A biết AB = 5cm ; AC = 12 cm Hãy tính độ dài BC ,
sin B,cosB,tgB,cotg B,
a C
O
2
1 2
1
O
C
B
A
D
F
E
C B
A
y
F
E
B
A
Trang 9T i li à ệu lưu hành nội bộ
Bài 3 Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By Qua một đỉem M thuộc
nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến trên tại C và D Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau ở N Chứng minh rằng :
a) MN // AC
b) CD.MN = CM.DB
Bài 4 Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax,By Qua điểm M
thuộc nửa đường trũn này vẽ tiếp tuyến thứ 3, cắt hai tiếp tuyến Ax,By tại E và F MH
vuụng gúc với AB cắt EB tại K
a) Chứng minh AE + BF = EF
Bài 5: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH Biết BH = 4 cm ; CH = 9cm
a/ Tớnh AH
b/Vẽ đường trũn ( O ), ngoại tiếp tam giỏc ABC Tớnh bỏn kớnh của đường trũn ( O ), Tớnh DB
Chứng minh tam giỏc DAE và tam giỏc DEC đồng dạng
Bài 6: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, biết BC =5cm, AB = 2AC.
a) Tớnh AC
song song với AH Gọi giao điểm của BI với Cx là D Tớnh diện tớch của tứ giỏc AHCD
c) Vẽ hai đường trũn (B ; AB) và (C ; AC) Gọi giao điểm khỏc điểm A của hai đường trũn là E Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường trũn (B ; AB)
Trang 10T i li à ệu lưu hành nội bộ
Bài 5 : Cho hình thang vuông ABCD với cạnh bên BC xiên Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BC ở trên cùng nửa
mặt phẳng có bờ BC đối với hình thang ABCD Nửa đờng tròn này cắt DA ở M và N Chứng minh : a) AB.DC = DN.NA b) AB.DC = AM.MD
Bài 6 : Cho một đờng tròn (O) đờng kính CD = 2R Từ C và D kẻ 2 tiếp tuyến Cx và Dy Từ một điểm E trên
đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt Cx và Dy tại A , B
a) Chứng minh góc AOB vuông và AE.EB = R2
b) Chứng minh AB = AC + BD
c) Dựng điểm E trên đờng tròn sao cho tổng khoảng cách AC và BD ngắn nhất
Dạng 2 Hệ ph ơng trình.
Ví dụ 1 : giải hệ phơng trình :
= +
=
−
8 y2 x3
1 y3 x2
Giải :
= +
=
−
8 y2
x3
1 y3
x2
1y
2x 1y3x2
13y13 16y4x6 3y9x6
Trang 11T i li à ệu lưu hành nội bộ
Ví dụ 2 : Cho hệ phơng trình :
= +
=
+
5 y2 mx
4 y x2
a) Giải hệ khi m = 1
b) Tìm m để hệ có 1 nghiệm , VSN , VN ?
Giải :
a) m=1 ta có hệ :
2y
1x 5y2x
3x3 5y2x
8y2x4 5y2x
4yx2
b) Hệ đã cho
5 (*)
m
= − +
Từ đó :
• Phơng trình có 1 nghiệm khi m≠4
• Phơng trình VSN :không xảy ra
• Phơng trình VN khi m-4 = 0 tức là m = 4
Ví dụ 3 : Lập phơng trình đờng thẳng đi qua các điểm A(1;2) và B(-1;3) ?
Giải : Phơng trình đờng thẳng có dạng y = ax + b (a≠0)
Đờng thẳng đi qua A,B nên ta có hệ phơng trình :
2
5 x 2
1 y 2
5 b
2
1 a 3ba
2ba
+−=
⇒
=
−=
⇔
=+−
=+
Bài tập :
