chương 3 hệ thống số

Chương 2: ĐẠI SỐ BOOLE Các tiên đề Axioms  Các định lý cơ bản Basic Theorems  Hàm Boole Boolean Function  Dạng chính tắc và dạng chuẩn của hàm Boole  Rút gọn hàm Boole – Phương phá

Chương 2: ĐẠI SỐ BOOLE

 Các tiên đề (Axioms)

 Các định lý cơ bản (Basic Theorems)

 Hàm Boole (Boolean Function)

 Dạng chính tắc và dạng chuẩn của hàm Boole

 Rút gọn hàm Boole

– Phương pháp đại số

– Phương pháp bìa KARNAUGH

– Phương pháp phức hợp khối

– Phương pháp Mc.Cluskey

Các tiên đề (Axioms)

 Phần tử đồng nhất (Identity Element):

- Với phép toán OR, phần tử đồng nhất là 0:

x + 0 = 0 + x = x

- Với phép toán AND, phần tử đồng nhất là 1:

x 1 = 1 x = x

 Tính giao hoán (Commutative Property):

x + y = y + x

x y = y x

 Tính phân bố (Distributive Property):

x + ( y z ) = ( x + y ) ( x + z )

x ( y + z ) = x y + x z

Phần tử bù (Complement Element): x’ hoặc x

Các định lý cơ bản (Basic Theorems)

Các định lý cơ bản (Basic Theorems) (tt)

 Định lý De Morgan

– x + y = x y

– Mở rộng: x1 + x2 + + xn = x1 x2 xn

– x y = x + y

– x1 x2 xn = x1 + x2 + + xn

 Tính đối ngẫu (Duality): Hai biểu thức được gọi là đối ngẫu của nhau khi ta thay phép toán AND bằng OR, phép toán

OR bằng AND, 0 thành 1 và 1 thành 0.

 Thứ tự phép toán:

– theo thứ tự dấu ngoặc (), NOT, AND, OR

Hàm Boole (Boolean Function)

 Bù của 1 hàm: Có 2 cách xác định

– Sử dụng định lý De Morgan:

Vd: F = x y + x’ y’ z

F’ = ( x y + x’ y’ z )’ = ( x y )’ ( x’ y’ z )’

= ( x’ + y’ ) ( x + y + z’ )

– Lấy biểu thức đối ngẫu và lấy bù các biến:

Vd: F = x y + x’ y’ z Lấy đối ngẫu: ( x + y ) ( x’ + y’ + z )

Bù các biến:

F’ = ( x’ + y’ ) ( x + y + z’ )

Dạng chính tắc và dạng chuẩn của hàm Boole

 Tích chuẩn (minterm): mi (0 ≤ i  2n-1) là các số hạng tích (AND) của n biến mà hàm Boole phụ thuộc với quy ước biến

đó có bù nếu nó là 0 và không bù nếu là 1.

 Tổng chuẩn (Maxterm): Mi (0 ≤ i  2n-1) là các số hạng tổng (OR) của n biến mà hàm Boole phụ thuộc với quy ước biến đó

có bù nếu nó là 1 và không bù nếu là 0

Dạng chính tắc (Canonical Form)

 Dạng chính tắc 1: là dạng tổng của các tích chuẩn_1 (minterm

_1 là minterm mà tại tổ hợp đó hàm Boole có giá trị 1)

F (x, y, z) = x’ y’ z + x’ y z + x y’ z’

= m1 + m3 + m4

=  (1 , 3 , 4)

Dạng chính tắc (Canonical Form) (tt)

 Dạng chính tắc 2: là dạng tích của các tổng chuẩn_0

(Maxterm _0 là Maxterm mà tại tổ hợp đó hàm Boole có giá trị 0)

F (x, y, z) = (x + y + z)(x + y’+ z)(x’+ y + z’)(x’+ y’+ z)(x’+ y’+ z’)

= M0 M2 M5 M6 M7 =  (0 , 2 , 5 , 6 , 7)

 Trường hợp tùy định (don’t care)

Hàm Boole theo dạng chính tắc:

F (A, B, C) =  (2, 3, 5) + d(0, 7)

=  (1, 4, 6) D(0, 7)

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

X 0 1 1 0

Dạng chuẩn (Standard Form)

 Dạng chuẩn 1: là dạng tổng các tích (S.O.P – Sum of Product)

Vd: F (x, y, z) = x y + z

Ta có thể chuyển về dạng chính tắc 1 bằng cách thêm vào các cặp không phụ thuộc dạng (x+x) hoặc dạng chính tắc 2 bằng x.x

 Dạng chuẩn 2: là dạng tích các tổng (P.O.S –Product of Sum)

Vd: F (x, y, z) = (x + z ) y

Ta có thể chuyển về dạng chính tắc 1 hoặc dạng chính tắc 2

Rút gọn hàm Boole

 Mục đích cần đạt:

– Biểu thức có chứa ít nhất các thừa số và mỗi thừa số chứa ít nhất các biến

– Mạch logic thực hiện có chứa ít nhất các vi mạch số

 Phương pháp đại số

Vd: F (A, B, C) =  (2, 3, 5, 6, 7)

= B + A C ?

 Phương pháp bìa KARNAUGH

 Phương pháp phức hợp khối

 Phương pháp Mc.Cluskey

Phương pháp bìa KARNAUGH

 Hai cách biểu diễn

 Vd1: F (A, B) =  (0, 2) + d(3) =  (1) D(3)

 Vd2: F (A, B, C) =  (2, 4, 7) + d(0,1) =  (3, 5, 6) D(0, 1)

 Vd3: F (A, B, C, D) =  (1, 3, 9, 11, 12, 13, 14, 15)

+ d(0, 4, 8)

B

A

B 0 1

0 0 2

1 1 3

Các khái niệm:

-Implicant cơ bản (prime implicant)

- Implicant cơ bản chủ yếu (essential prime implicant)

- Implicant cơ bản phụ thuộc

- Phủ tối thiểu (minimal cover)

Phương pháp bìa KARNAUGH (tt)

 Bìa K năm biến và 6 biến

DE BC

F

00 01

1 5

0 00

4 01

11 10

2 6

3 7 13

9

12 11

8 10

14 10

15 11

10 11

19 23

18 22

01 00

16 20

17 21 31

27

30 26

28 24

29 25 1

Phương pháp bìa KARNAUGH (tt)

 Rút gọn hàm cho dưới dạng biểu thức

– ta chuyển hàm về dạng chính tắc 1 hoặc 2 rồi rút gọn trên bìa Tuy nhiên, ta có thể đưa thẳng lên bìa K

– Vd: F(A, B, C, D) = A B D + B C + B C D + A B C D

– Vd:

Phương pháp phức hợp khối

 F(x3,x2,x1)=  (2,5,6,7)+d (0,1,4)

 Phức hợp khối của hàm F

K = L ∩ N

L - Phức hợp khối của hàm có trị =1

N - Phức hợp khối của hàm không xác định

x2

x3

000

010

110 111

100

011 001

101

Phương pháp Mc.Cluskey

 Tương tự như với bìa Karnaugh

– Tìm các implicant cơ bản dựa vào định lý liền kề

– Tìm phủ tối thiểu các implicant cơ bản: implicant cơ bản chủ yếu và implicant cơ bản phụ thuộc

 Vd1:f(A,B,C,D)=  (10,11,13,15)

 VD2: f(x5,x4,x3,x2,x1) =

 (0,1,2,4,7,10,15,16,17,18,23,31) + d(3,9,19,20,25,26)

Phương pháp Mc.Cluskey (tt)

 Dùng ký hiệu ô

– VD: f(A,B,C,D)=  (0,1,4,5,7,12,14,15)

 Các bước thực hiện:

– Xây dựng bảng Implicant

• Thành lập cột implicant thứ nhất

• Thành lập cột implicant tiếp theo = định lý liền kề

• Đánh dấu các implicant đã sử dụng

– Xây dựng bảng phủ: tìm implicant cơ bản chủ yếu và cơ bản phụ

thuộc

– Xây dựng bảng phủ rút gọn: tìm implicant cơ bản phụ thuộc tối thiểu

bằng trực giác hoặc giải thuật Petrick

Bài tập

 F(A, B, C, D) =  (0, 4, 8, 9, 12, 13, 15)

 F(A, B, C, D) =  (0, 2, 3, 4, 6, 10, 14) D (7, 8, 9, 11, 12)

 Đơn giản hàm Logic 4 biến

– a)

– b)

 Đơn giản hàm Logic 4 biến dùng bìa K và Mc.Cluskey

– F(A,B,C,D)= (1,3,4,5,6,8,9,10,14)

 Đơn giản hàm Logic 6 biến dùng bìa K và Mc.Cluskey

– F(A,B,C,D,E,F)=

(0,5,7,8,9,12,13,23,24,25,28,29,37,40,42,44,46,55,56,57,60,61)

B C

B A C

A C

B A BCD

A D

C AB D

C B A

f ( , , , )      

) ).(

).(

(

) ).(

).(

).(

( ) , , , (

D B

B A C

B

C B

D C

B A D

C A D

C B A D

C B A f

























