Khoảng cách 2 đường thẳng chép nhau

M Xác định P chứa a và vuông góc b tại N Chứng minh MN là đoạn vuông góc chung N P đoạn vuông góc chung nên xác định như sau: luôn luôn có duy nhất một đường thẳng d cắt cả a và b,và vuô

2) Tồn tại hay không một đường thẳng d cắt cả a và b, và vuông góc với

mỗi đường thẳng ấy ?

KIỂM TRA BÀI CŨ:

a’

a

b

Q

A

H

1) Trong các mệnh đề sau đây,mệnh đề nào đúng?

a) Đường thẳng a’ là hình chiếu của a trên (Q)

d

M

Cho hai đường thẳng chéo nhau a vàb

Kẻ a’qua H và a’//a

A là điểm tùy ý thuộc a,kẻ AH vuông góc với (Q) tại H

Gọi:(Q) là mặt phẳng chứa b và (Q)// a

c) a’ // b hoặc a’ trùng b b) Độ dài đoạn thẳng AH là khoảng cách giữa a và (Q) d) a’ và b luôn luôn cắt nhau

ĐÁP ÁN: a,b và d là mệnh đề đúng

X X X

Câu c: Giả sử: + b//a’,vì a’//a nên b//a (trái với giả thiết)

+ b trùng a’,suy ra b//a (trái với giả thiết) Vậy mệnh đề c sai

Kẻ d đi qua N song song AH

ĐÁP ÁN:

Vậy tồn tại d cắt cả a và b và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy ?

Gọi N là giao điểm của a’ và b

N

Rõ ràng: * d vuông góc (Q),nên d vuông góc b tại N

* Trong mp(a,a’):do d//AH nên d vuông góc và cắt a tại M

KHOẢNG CÁCH

(tiết 36)

5)Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:

a) Định lý: Cho hai đường thẳng chéo nhau

a và b,

Đoạn thẳng MN gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.(M,N lần lượt là giao điểm của d với a và b)

Ta có d d

Q d

Q d

//

' )

( '

) (

⇒

⎩

⎨

⎧

⊥

⊥

b) Định nghĩa:

Q

a’

M

d

A

H

c)Nhận xét:

Trường hợp a,b chéo nhau và vuông góc,

b

a

Trong (P),kẻ NM vuông góc a tại M

M

Xác định (P) chứa a và vuông góc b tại N Chứng minh MN là đoạn vuông góc chung

N P

đoạn vuông góc chung nên xác định như sau:

luôn luôn có duy nhất một đường thẳng d cắt cả a và b,và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy

Đường thẳng d trong định lý trên được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Có hay không d’ khác d cùng có tính chất như d ?

b

d

M

N 6) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

a)Định nghĩa: Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

* Khoảng cách giữa (P) và (Q)

* Khoảng cách giữa a và (Q)

Ta có: MN≤ IJ

b)Tính chất:

M

N

A

H Q

a P

b

+Gọi I,J là hai điểm lần lượt nằm trên

a và b

a’

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng:

I

J

.

.

+ Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng chéo nhau a và b.MN là đoạn vuông góc chung:

K

OI OA

OBC

OA OC

OA

OB OA

⊥

⇒

⊥

⇒

⎩

⎨

⎧

⊥

⊥

) (

⎩

⎨

⎧

=

Δ

IC IB

OBC cân tại O

BC

OI ⊥

⇒

Vậy OI là đoạn vuông góc chung của OA và BC

2

2 2

a

BC

A

O a

B

a

C a

I

.

Ví dụ 1 Cho tứ diện OABC,trong đó OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA=OB=OC=a.Gọi I là

trung điểm BC Hãy xác định và tính độ dài

đoạn vuông góc chung của: 1) OA và BC

2) OC và AI

7) CácVí dụ :

1) OA và BC:

LỜI GIẢI:

F O

A

B

C I

2) OC và AI:

Kẻ OH vuông gócAJ tại H

Ta có:

OC OH

OAB OH

OAB OC

⊥

⇒

⎩

⎨

⎧

⊂

⊥ +

) (

) (

AI EF

OC

Vì EF//OH nên:

Trong tam giác AOJ vuông tại O:

= +

2

1 1

1

OJ OA

OH

5

5

a OH

⇒

Gọi J là trung điểm OB,OC//IJ nên OC//(AIJ)

Q

P a

a’

M A

H

Vậy EF là đoạn vuông góc chung của OC và AI

H

Tính EF=OH:

2 2

2

5 2

1 1

a a

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

Qua E kẻ đường thẳng song song OH cắt OC tại F

Qua H kẻ đường thẳng song song OC cắt AI tại E

J.

IJ

OH IJ

OC

OC OH

⊥

⇒

⎩

⎨

⎧ ⊥ +

//

AI

OH IJ

OH

AJ OH

⊥

⇒

⎩

⎨

⎧

⊥

⊥ +

Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’có AB=a,BC=b,CC’=c.

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’

A’

B’

D’

C’

c

LỜI GIẢI:

Vì BB’//CC’ nên BB’//(ACC’)

Trong (ABC),kẻ BH vuông góc AC tại H

Vậy:Độ dài đoạn BH là khoảng cách giữa BB’ và AC’

Tính BH:

=

=

AC

BC AB

AC

BC AB

BH BC

AB AC

.

b a

ab

+

C

D

a b

Do đó khoảng cách giữa BB’ và AC’ bằng khoảng cách từ BB’ đến (ACC’)

H

) '

( )

' (

)

AC BH

⊥

⇒

⎩

⎨

⎧

⊥

⊥

Ta có:

b P

Q

a

H N

a’

1) Trong các mệnh đề sau đây,mệnh đề nào đúng ?

ĐÁP ÁN:

2) Độ dài đoạn thẳng AH bằng khoảng cách giữa các đối tượng nào?Mệnh đề a và c đúng

ĐÁP ÁN: a) Điểm A đến (Q) (khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng)

Tự giải ví dụ 2 (trang 84),như bài tập.

b) Đoạn AH là đoạn vuông góc chung của a và b

a) Đường thẳng MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b

c) Độ dài đoạn AH bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b

b) Đường thẳng a và (Q) (khoảng cách giữa đường thẳng và một mặt phẳng

song song với nó)

c) Mặt phẳng (P) và (Q) (khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song )

d) Đường thẳng a vàb (khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau)

…