Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THT quốc gia

Mục tiêu Giáo dục phổ thông đã chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phảiphát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợpvới đặc điểm từng lớp học, môn học,

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NGA SƠN

Người thực hiện: Nguyễn Văn Vương

Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2019

MỤC LỤC

Trang

I Mở đầu… ……… ………3

1 Lí do chọn đề tài…… ……… ……….3

2 Mục đích và đối tượng nghiên cứu……… … ….3

3 Phương pháp nghiên cứu……… ………… ………4

II Nội dung……… ……….4

1 Cơ sở lí luận……… 4

2 Thực trạng……… 4

3 Giải pháp……….………5

3.1Kiến thức cơ bản của chương số phức ……….……… 5

3.2Các phương pháp……… ………… ….……… 5

3.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức …… ……… 5

3.2.2 Phương pháp xét hàm…… ……… 10

3.2.3 Phương pháp biểu diễn hình học……… 14

3.2.4 Phương pháp tam thức bậc hai……….………… 21

3.2.5 Phương pháp lượng giác hóa……… ……….22

3.3Bài tập tự luyện……… 25

III Kết luận……… …………26

1 Kết quả nghiên cứu……….….……… 26

2 Kết luận và kiến nghị……… … 26

Tài liệu tham khảo……….… 26

I MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện,năng động và sáng tạo Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo,đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội.Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó mộtyếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương phápdạy học môn Toán

Mục tiêu Giáo dục phổ thông đã chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phảiphát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợpvới đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện

kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềmvui, hứng thú học tập cho học sinh.”

Trong những năm trước đây, bài toán max, min trong số phức chỉ nằm phầnlớn ở chương trình đại học Năm 2017, khi bộ GD & ĐT quyết định áp dụngphương thức thi trắc nghiệm cho môn toán thì bài toán max, min số phức đãđược coi là bài toán không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia, minh chứngđiều đó chúng ta đã thấy rất rõ trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của BộGD& ĐT Sự đổi mới quyết đoán ấy đã làm thay đổi toàn bộ cấu trúc của đề thimôn Toán, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm thì yêu cầu đặt ra vớihọc sinh không còn đơn thuần là tư duy chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọnghơn cả là sự linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ năng và thao tác tốc độ Để thành côngtrong việc giải quyết tốt một đề thi trắc nghiệm Toán thì ngoài việc học sâu cầnphải học rộng, nhớ nhiều các dạng toán

Trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ, bài toán max, min trong

số phức nằm ở mức độ kiến thức vận dụng và vận dụng cao, là bài toán dành

cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10 Cái khó ở bài toán này được đa phầncác thầy cô giáo khi giảng dạy đều nhận xét nó nằm ở ba yếu tố: yếu tố thứ nhất

là đề bài được viết đa phần bằng các kí hiệu toán, nếu học sinh không nắm chắckiến thức đọc sẽ rất khó hiểu đề; yếu tố thứ hai là sử dụng các tư duy bất đẳngthức, tư duy hình học, tư duy hàm số, đây là những tư duy khó đối với học sinhphổ thông; yếu tố thứ ba, bài toán đòi hỏi sự biến đổi phức tạp dễ gây sai sót,nhầm lẫn trong tính toán cho học sinh Đây là bài toán mới, được áp dụng vàothi cử chưa nhiều, trên thị trường sách các tài liệu tham khảo còn ít, còn hạn chếcũng như chưa được đầu tư kĩ lưỡng về nội dung và hình thức Việc có một tàiliệu hoàn chỉnh, đầy đủ, phân chia các dạng toán khoa học luôn là một nhu cầucấp thiết cho cả thầy cô và học sinh

2 MỤC ĐÍCH VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

- Mục đích nghiên cứu: giúp học sinh có một tài liệu học tập khoa học,thêm kiến thức giải quyết tốt các bài toán max, min số phức

- Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài: “Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số

phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia ”

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đề tài sử dụng chủ yếu các phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ các nguồn tài liệu ôn thi, các

đề thi thử nghiệm, các đề thi thử của các trường THPT, các đề thi học sinh giỏicủa các tỉnh và khu vực, các báo cáo, luận văn của sinh viên, thạc sĩ, bài giảngcủa một số giảng viên toán,…)

- Phương pháp thử nghiệm thực tiễn

II NỘI DUNG

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạtđộng học của trò Đối với người thầy giáo dạy Toán, việc giúp học sinh nắmvững những kiến thức Toán phổ thông nói chung, đặc biệt là xâu chuỗi các nộidung, tạo ra mối liên hệ mật thiết giữa các mặt kiến thức là việc làm rất cầnthiết Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học

ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt

vào từng bài toán cụ thể Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi

học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt

Khi gặp một bài toán max, min trong số phức chúng ta có rất nhiều hướngtiếp cận để tư duy ra lời giải Tuy nhiên với những bài toán hay và khó, lối tưduy theo hướng bó hẹp trong khuôn khổ kiến thức của chương hay kiến thức củacấp học sẽ khiến học sinh khó khăn trong việc tìm ra hướng giải quyết Vì tínhchất phân loại của đề thi THPT Quốc gia hiện nay, bài toán max, min trong sốphức đã đặt ra một yêu cầu cao hơn ở học sinh Để giải quyết được bài toán, họcsinh cần nắm vững những kiến thức cơ bản của chương số phức, các phép biếnđổi logic toán học đã biết và kiến thức về bất đẳng thức, hàm số, hình học Tạo

ra một mối liên kết chặt chẽ giữa các mặt kiến thức, các kĩ năng, kết hợp lí luận

và thực tiễn giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gây nên sựhứng thú tích cực trong học tập, làm cho các em chủ động hơn trong tiếp thu vàlĩnh hội tri thức, giúp các em không ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, rútngắn đến mức tối đa thời gian làm bài, suy luận chắc chắn đưa đến kết quả đúng,khắc phục được tâm lý lo sợ khi gặp dạng toán khó Đây là mục tiêu quan trọngnhất trong hoạt động dạy học của mỗi giáo viên

2 THỰC TRẠNG

Khảo sát thực tế rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPT Nga Sơn cũng

như các trường THPT khác trên địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT

Mai Anh Tuấn, THPT Trần Phú) cho thấy học sinh ngày nay không mặn mà lắm

với bài toán max, min trong số phức Lí do được các bạn đưa ra là bài toán nàykhó, khó ngay từ khâu đọc đề và tư duy hiểu đề, quá trình biến đổi phức tạp, sửdụng rất nhiều đơn vị kiến thức ngoài chương và hay gây nhầm lẫn, trong khiđiểm số dành cho dạng này trong đề thi chỉ có từ 0,2 đến 0,4 điểm Một phầnkhó còn do yếu tố tâm lí của học sinh khi nghĩ rằng đây là bài toán dành cho họcsinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm Điều này đã dẫn đến

một sự thật đáng buồn, phần lớn các bạn học sinh khi ôn thi hay làm thử đề thi

trắc nghiệm toán đều bỏ qua hoàn toàn hoặc chỉ khoanh “chùa” đáp án, trong khi

bài toán này không phải bài toán quá khó, bài toán mấu chốt nhất của đề Từ

thực tiễn đó đã thúc đẩy tôi nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh một số

phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề

thi THPT Quốc gia ”

'

y y x x i

y x yi x

 Mỗi số phức x  yi được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm

)

; (x y M

y x xy y

x

yy xx yi x

i y x

2 2 2 2

' ' ' ' '

z

 2

2 2

2

' 2 2 '

z

2 2

2 2

2 2

2

" '

+ Biến đổi biểu thức đã cho ở giả thiết theo x và y

+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo giả thiết

+ Quan sát và nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất hiện ở biểu thức để đánh

giá max, min

+ Giải dấu = của bất đẳng thức để chỉ ra số phức thỏa mãn

* Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu tìm số phức z thì để quá trình làm toán được ngắn gọn ta có thể không cần biểu diễn số phức z thông qua x, y và không cần giải dấu bằng Ta chỉ cần làm hai bước:

+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo giả thiết

+ Quan sát và nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất hiện ở biểu thức để đánh

giá max, min

 Dấu = xảy ra khi x  y

 Bất đẳng thức Côsi: xy xy x;y  0 Dấu = xảy ra khi x  y

 x2 y2 2xy x;y





 Dấu = xảy ra khi x  y

 Bất đẳng thức Bunhia: (a2 b2 )(c2 d2 )  (acbd) 2 Dấu = xảy ra khi

1 2 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1

max  

Dấu = xảy ra khi z i

y x y

2 1 1 2 1 1

2

1 2

2 1 1 2 1 1

Nhận xét: Vì bài toán cần đánh giá dấu = để tìm số phức z nên số phức 1  i

cần đưa về số phức có mô đun bằng mô đun số phức (x 1 )  (y 1 )i cho ởgiả thiết

Ví dụ 2: Tìm z max; z min biết ( 1 i)z 2i 1  1

i z

i

2

1 2

3 2

i z

i

2

1 2

3 2

1 2

3 2

1 2

3 2

1 2

3 2

10 2

3 2

1 2

3 2

max  

 z

+, zi 1  3  5i  z 2  4i  34  5

5 34

x i

25

2 2

2 2 2 2

A 2 B 2 C 8 D 2 2

Hướng dẫn:

0 ) ( ) ( 2 2

2 2

z z

z z

z

2 0

) 2 )(

2 2 1

2 2 2 2 1

5 4 2 2 2 5 2

2 2

1 2 2 2

max

2 2 2

2 2

z z

1

3 2

1   Tính giá trịnhỏ nhất của biểu thức 2

3 2 2 2

3 2 2 2

1

3 2 1 3

2 1 3

2

1z z   i z z z   z z z   P

z

Dấu = xảy ra khi z1 z2 z3  1

Ví dụ 10: Cho các số phức z1 ;z2 ;z3 thỏa mãn z1 z2 z3  1 Tính giá trịnhỏ nhất của biểu thức

2 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 1

1 1

1

z z z z z z z z z z z z

1 9

9

9 9

2 3 2 1

2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 1

z z z z z z z z z z z z z z z z z

z

P

Chọn C

Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z 1  2 và Pzi  z 2  i Tínhmôđun của số phức wPmax iPmin

2 ) 1 1 ( ) 2

2 2

2 ) 1 ( ) 2 ( ) 1

2 2 2

2 2

+ Biến đổi biểu thức đã cho ở giả thiết theo x và y (1)

+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo x và y (2)

z   ( ;  )  1  2

z

z z

z z z

3 3

) / ( 4

1 0

6 24

; 2 8

11 ) 4

1 (

; 2 ) 1 (

; 2 )

Hướng dẫn:

+, Gọi số phức z xyi (x;yR)

+, 0 158

4

15 2 4

15 2 2

1 )

1 (

15 )

21 8 )

64

1521 3

2

1 64

1521 )

15 2 1

f' (y)  0  y2526 Lập bảng biến thiên được 

26 )

( max f y f khi

Ví dụ 4: Cho số phức z có phần ảo dương và môđun bằng 1 Gọi M, m lần

) ( 3

2 0

4 2 12 )

(

tm x

tm x

x x x

27 2 ) ( min

4 13 ) ( max 1

) 1 (

; 27 2 3 2

; 4 13 2 1

f

x f f

f f

2 3

3 )

2

t khi t

t

t khi

t t t f

2 1 0 ) '

; 3 0 1 2

2 3 1

t khi t

t

f

4

3 13 3

; 4

13 3

) 2 (

; 3 ) 3 (

; 4

13 ) 2

1 (

3

2 1 2

2 1

2 2

2 1

2 2 1

2 2

1

z z z

z z

z z

z z

) ( 1 0

3 3

)

(

l t

l t

t

t

f

5 7

) 2 (

; 5

z

Tổng giá trị nhỏ nhất và giátrị lón nhất của biểu thức Pz2  z2 iz2  z2z( 1  i) z( 1 i)

z i

f

1

; 0 1

) 4

1 (

; 0 ) 0 (

; 4

1 0

8 32

)

(

Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z  2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

i z z z

4  D

15

15 7

) (

3 2 4 ) ( min 8

5 4 ) 2 (

; 3 2 4 3

1

; 3

3 10 4 3

1

; 5 4

y i z z i

2 4 0

1 2 1 0 1 2

1  z  z  z  z  z z  z   x  x  x 

z

4 ) ( ' 101 20 2 16 )

f

Suy ra f(x) đạt cực tiểu tại x 4  f(x) f( 4 )  45

1 5 3

P     Mô đun của số phức

t x

+, Pz 22 z i2  4x 2y 3  4 5 sint 2 5 cost 23

+, Xét hàm số f(t)  4 5 sint 2 5 cost 23 (t  0 ;   ) Ta tìm được

33 )

( t

f

Max

1258 13

+, Từ hình vẽ và các tính chất hình học giải tích biện luận max, min

Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I( 3 ;  4 ) ;R  2

Phương trình đường thẳng OI: 4x 3y 0

4

4 ) 4 ( )

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2i z 3  i Tìm GTNN của z 3  2i

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3xy 3  0

+, Đặt Rz 3  2i  (x 3 ) 2  (y 2 ) 2  R2  (x 3 ) 2  (y 2 ) 2 (C)

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâmM0(  3 ; 2 ), bán kính RSuy ra M là giao điểm của d và (C)

) ,

A 554  5 B 558  2 C 322  1 D 554  13

Hướng dẫn:

+, 3 3 9 15 9

3

9 15 3

3 3

1         iz   i 

i

i iz i

z

2 2 2

+, Gọi số phức z xyi (x;yR) có điểm biểu diễn là I(x;y)

+, Từ giả thiết ta có A( 2 ; 3 );B( 5 ;  2 ) ;C(  1 ;  2 ) lần lượt là điểm biểu diễncác số phức 2  3i; 5  2i;  1  2i Ta có AB 34 ;z 1  2i CI

+, Theo giả thiết thì AI BI  34 AB I thuộc đoạn thẳng AB

+, Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức

) , , , (

; 3 (

; A

NA MA



+, Gọi A1 đối xứng với A qua đường thẳng d1; A2 đối xứng với A quađường thẳng d2 Ta có MNMANAMNMA1 NA2 A1A2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 điểm M,N,A1 ,A2 thẳng hàng

+, Gọi  1 là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với d1, phương trình

0 6 2

1 1

6 ( 5

9

; 10

21

2 2

2 2

phức z1; z2, khi đó M, N thuộc đường tròn tâm I( 3 ; 4 ) ;R  2 và MN  1

2 ) , cos(

2 ) (

2 ) (

2 2

+, Gọi số phức z xyi (x;yR)

25 ) 3 ( ) 4 ( 5 3

2 2

3 ( 2 1

) 4 ( 2 1 2

10 5

y x y

y

x x

IM HM MI

HI HM HI

1

K IA IK

IM

, góc MIK chung IKM đồng dạng với IMA

MK MA

IM

IK MA

MK

2 2

+, Pz 7  9i  2z 8i MA 2MB 2 (MKMB)  2BK  5 5

) ( 5

2

(

0 2 2

Gọi (C) là đường tròn tâm J(  4 ;  3 ) ;R  P 25

+, Đường tròn (C) cắt miền (T) khi và chỉ khi:

20 10

20 40 5 3 25

5 10

+ Biểu diễn giả thiết thành phương trình theo x và y (1)

+ Đặt biểu thức yêu cầu bài toán bằng P, biến đổi biểu thức này theo x và y(2)

+ Từ các phương trình (1) và (2) đưa về phương trình bậc hai ẩn x (hoặc y)trong đó P là tham số

+, Sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai để biện luận

* Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 2  3i  1 Gọi M, m lần lượt là GTLN,GTNN của z1 i Tính giá trị biểu thức M 2 m2

A M2 m2  20 B M2 m2  26 C M2 m2  28 D M2 m2  2

Hướng dẫn:

+, Gọi zx yi (x;yR)

1 ) 3 ( ) 2 ( 1 3

P    Tính mô đun của số phức wM mi

Ví dụ 3 : Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn z1  1 z1  3  2i và z2 z1mi,

m là tham số (m  R) Giá trị của m để ta luôn có z2  2 5 là?

3 ( ) 3 (

) 1 ( ) 1

) 4 16 4

( 5 ) 2 ( 16

0

m

m m

m m

i z

vàmôđun z lớn nhất Tính x  y?

A 2 B  1 C  2 D 1

Hướng dẫn:

t

t i z

2

1 3 3

1 4

8 6 8

y

10 10

0 100 0

6

8 6 100

2 2

2 2

y y

x

y x y

x

y x

Chọn C

3.2.5 Phương pháp lượng giác hóa.

* Phương pháp 1

+ Gọi z xyi (x;yR)

+ Biến đổi giả thiết và yêu cầu bài toán về phương trình theo x, y

+ Quan sát phương trình giả thiết và đặt 







) (cos ) (sin

t g

y

t f

y

t R a

x

cos sin

+ Nếu giả thiết cho tập hợp điểm là đường elip 2 1

2 2

y

t a

2 0

x x

y

t a x

x

cos sin

0

0

* Phương pháp 2

+ Gọi số phức dạng lượng giác zr(cosxisinx)

+ Chuyển giả thiết và yêu cầu bái toán về cosx và sinx để biện luận max, mintheo lượng giác

t x

4 5 sin 2 5 cos  4 5 2 5  sin cos  100 )

; 9 9

11 10

10 ) 2 ( )

2 ( 10

1 ) 2 ( 1

; 2 (

; ) 1

; 2 (

; )

2 2



Y X

(Phương trình elip với hệ trục IXY, I(0; 1) là trung điểm đoạn AC)

+, Áp dụng công thức đổi trục 1

21 ) 1 ( 25 : ( 1

2 2

+,Đặt (  0 ; 2  ) 2 2 2 2

cos 21 1

sin

5

y x OM z t y

t x

Hướng dẫn:

+, zr(cosxisinx) xyi

Do 2 2 cos 2 cos 1

1 1

1

2 2 2

z z

3

; 4

13

min max  P   M m

2 1 2 2 1

z z z

z

z z P

) 2 2 sin(

) 2 2 cos(

1 2017

2 sin 2

cos 2 sin 2

y x y

x i y x

y i y x

i x z

x y

x y z

z

z z

) ( sin )

( cos 2017

) ( cos )

sin(

2017

) sin(

) cos(

2017

) cos(

2 2 2 2

2 2 2

2

x y

x y y

x

y x x

y

x y y

x

y x P

1 i 

) 4 )(

z

Tìm GTLN củabiểu thức Pzi  2z 4  7i

A 8 B 10 C 2 5 D 4 5

III KẾT LUẬN

1 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Thực tế cho thấy, với cách phân loại các dạng toán như trên đã tạo được chohọc sinh sự nhanh nhẹn, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm được thời gian hơntrong quá trình giải toán Học sinh biết vận dụng và có sự sáng tạo hơn tronghọc tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, gắn kết tư duy lí luận với thực tiễn.Cách làm trên đã đáp ứng được nhu cầu học tập tích cực của học sinh Sau khi

đã được ôn tập những dạng toán cơ bản và phương pháp, học sinh đã tự giải