Xˆ+Xx-† tiếp tuyên của đồ thị vuông góc với nhau... Số tiệp tuyên qua một điểm Bài tập mẫu thăng x = 1, ta kẻ được đúng một tiêp tuyên với đồ thị.. Số tiệp tuyên qua một điểm Lưu ý bà
Trang 1
we
t3 Chuyên đề: Phương trình tiễp tuyên
Phương trình tiễp tuyên
Ebook Được Download tại:
http://ebook.top1.vn hoac http://maichoi.vuicaida.co
Trang 2
© Nội dung
we
Noi dung
= Dang 1: Tiép tuyén qua mét diém
Trang 3
Dang 1
Tiép tuyén qua mét diém
Trang 4
Bài tập mẫu Cho hàm số y = x3 — 2x2 + 5x - 1 Lập phương trình tiếp tuyên qua điểm
M(1;3)
Giải
Phương trình đường thẳng qua M có dạng y = a(x - 1) + 3, đường thẳng là
tiêp tuyên khi hệ phương trình sau có nghiệm:
x”ử-2xˆ+B5x-†1=a(x-1)+3 (1)
thay (2) vào (1), ta được x3 — 2x2 + 5x — 1 = (3x2 - 4x + 5)(x- 1) + 3 hút gọn phương trình
2x” =5x?+4x—1=0 © (x-1)(2x? - 3x + 1) =0
xX =
X=1 '
2x° —3x+1=0 =œ
Với x = 1: (2) => a = 4, ta được phương trình tiếp tuyến y = 4x -1
3 Vol x= > (2)=>a-= BI ta được phương trình tiêp tuyên Y =—-X "7 15
4
Trang 5
Dang 1.Tiép tuyên qua một điểm
= Luuy
Lập phương trình tiếp tuyên qua điểm M(x¿ ;yạ) với đồ thị hàm số y = f(x)
Cách giải
se Phương trinh đường thẳng qua MŒ; ; yạ) có dạng y = a(X — Xọ) + ÿạ, đường thăng là tiêp tuyên khi hệ phương trình sau có nghiệm:
f(X)= a(X—Xạg)+Yg f(x)=a
- - Giải hệ trên, ta tìm được a, suy ra phương trình tiễp tuyến
Trang 6
Dang 1.Tiép tuyên qua một điểm
Bài tập tương tự
Xˆ+Xx-†
tiếp tuyên của đồ thị vuông góc với nhau
Giải
Phương trình đường thẳng qua M có dạng y = a(x + 1) + 3, đường thẳng
là tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm:
Ix?+x—{Í
xX —1
_ x? —2x
(x-1ƒ
thay (2) vào (1), ta được
—a(x+1)+3 (1)
xÝ+Xx-1_ xˆ-2x
= >(X+1)+3
hút gọn phương trình (x2 + x - 1)(x - 1) = (x? — 2x) (x + 1)+ 3(x - 1)2 <=> x?—- 3x+1=0
Trang 7
Dang 1.Tiép tuyên qua một điểm
2
= Bai tap twong tu (tt)
Dê thây phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn X,+X,=3; X,X, =1
x, —2x, x5 —2x, (x,-1) (x, -1)
X}X> — 2X,X_(X,+X,)+4%X, 1-644
x (x.x;-x;—x; +1) (1-3+1Ý
Vậy qua M có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau
Trang 8
Dang 2
Số tiêp tuyên qua một điễm
1
; +
f
| =
Trang 9
Dạng 2 Số tiệp tuyên qua một điểm
Bài tập mẫu
thăng x = 1, ta kẻ được đúng một tiêp tuyên với đồ thị
Giải
Giả sử M(1;m) thuộc đường thẳng x = 1, phương trình đường thẳng qua M
co dang y = a(x - 1) + m, đường thăng là tiệp tuyên khi hệ phương trình sau có nghiệm:
x'ử-3xÝ+x+2=a(x-1)+m (1)
Thay (2) vào (1), ta được X3— 3x2 +x+ 2= (3x2 - 6x + †1)(x - 1)+m
<> f(x) = 2x°- 6x2 + 6x -3 +m=0 f(x) = 6x2 — 12x + 6 = 6(x- 1)? => 0 Vx
Suy ra hàm số f(x) đồng biên trên R, f(x) là hàm số bậc 3 luôn đồng biên
nên phương trình f(x) = 0 có một nghiệm với mọi m
Vậy qua điểm M(1;m), ta luôn kẻ được đúng một tiếp tuyên với đồ thị
Trang 10
Dạng 2 Số tiệp tuyên qua một điểm
Lưu ý bài toán:
Bài toán: Biện luận số tiếp tuyên qua điêm Mộ; ;yạ) với đồ thị hàm
so y = f(x) cho trước
Cách giải
Phương trình đường thẳng qua M(x¿ ;yạ) có dạng y = a(x - x,) +
y„, đường thẳng là tiễp tuyên khi hệ phương trình sau có
nghiệm:
F(x) = a(X — XQ) + Yq f'(x)=a
-_ Bài toán quy về biện luận số nghiệm của hệ phương trình trên
Trang 11
Dạng 2 Số tiệp tuyên qua một điểm
= Bài tập tương tự
Cho hàm số y = x3 — 3x2 + 1 Tìm tập hợp các điểm trên trục tung mà qua
đó ta kẻ được ba tiêp tuyên với đô thị
Giải
Giả sử điểm M(0;m) thuộc trục tung, phương trình đường thẳng qua M có
dạng y = ax + m, đường tháng là tiệp tuyên khi hệ phương trình sau có
nghiệm:
us foe ee (1)
y'=3x-6x=a (2)
thay (2) vào (1), ta được x3 — 3x2 + 1 = (3x2 —6x)x +m
©› Í(x) = - 2x3 + 3x2 + 1=m
f (x)=-6x+6x; f{x)=0<cx=0;x={
Hàm số f(x) có cực tiểu tại (0; 1), cực đại tại (1; 2) Căn cứ biên thiên của
ham so Suy ra qua M co 3 tiêp tuyên khi phương trình Í(x) = m có 3
nghiệm, điêu đó xảy ra khi: 1< m< 2
Vậy qua điểm M(0;m), ta kẻ được ba tiếp tuyên với đồ thị khi 1< m < 2
Trang 12
3
Dang 3
Tiép tuyén qua diém uén cua đồ thị
a
; +
f
| =
Trang 13
Dang 3 Tiếp tuyên qua điểm uốn của đồ thị
Bài tập mẫu Cho hàm số y = x3 — 3x? + 5x - 1 Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến
voi do thị thi tiep tuyén tai diem uon có hệ SO goc nho nhat Lap phuong trình tiêp tuyên đó va chứng minh răng tât cả các tiêp tuyên còn lại đêu không di qua diém uon
Giai Taco
y’ = 3x2-6x + 5 = 3(x-1)2 + 2>2 => miny’ =2 khix=1
Do đó hệ số góc của tiếp tuyến có giá trị nhỏ nhất bằng 1, giá trị đó đạt
được khi x =1
Mặt khác, ta có
y =6x-6,y =6x-G=0<x-= l
Vy <Ä0<cx<†1;y >0<x>t1
Do đó đồ thị có điểm uốn tai x = 1, y = 2
Từ các kết quả trên, ta có trong các tiép tuyên với đồ thị thì tiếp tuyên tại
điêm uôn có hệ sô góc nhỏ nhất
Phương trình tiễp tuyến là y = 2(x - 1) + 2 <=> y = 2x
Trang 14
Bài tập mau (tt)
Giả sử điểm Mạ ;yạ) thuộc đô thị, phương trình tiêp tuyên tại M là
y = (3x5 - 6x, +B)(X— Xạ) + Xã — 3x5 + 5X, —1
Tiếp tuyên qua điểm uốn (1;2) khi
2 =(3x —ÖXẹg +5)(1-Xạ)+X§ ~ 3x4 +5x, -1
<> -2x? + 6x? —6x, +2=0 -2(x,-1) =00x, =1
Do đó tiệp tuyên tại điểm M(xạ ;yạ) đi qua điểm uốn khi và chỉ khi x, = 1
Vậy:
- Trong các tiếp tuyên với đồ thị thì tiếp tuyên tại điểm uốn có hệ số góc
nhỏ nhât, phương trình tiêp tuyên là y = 2x
- Tất cả các tiếp tuyến còn lại đều không đi qua điểm uốn
Trang 15
Dang 3 Tiếp tuyên qua điểm uốn của đồ thị
Luu y
Véi ham sé bac ba y = ax? + bx? + cx + d, tacé y’ = 3ax2 + 2bx + c
Nếu a dương: trong tất cả cac tiép tuyên với đồ thị thì tiếp tuyên tại điểm
uôn có hệ sô góc nhỏ nhất
Nếu a âm : trong tất cả các tiếp tuyên với đồ thị thì tiếp tuyên tại điểm
uôn có hệ sô góc lớn nhât
Qua điểm uốn chỉ có một tiếp tuyến là tiếp tuyên tại điểm uốn, tất cả các
tiêp tuyên còn lại đêu không di qua diém uôn
Qua mỗi điểm còn lại trên đồ thị đều có hai tiếp tuyến
Trang 16
Dang 3 Tiếp tuyên qua điểm uốn của đồ thị
Bài tập tương tự
Cho hàm sO y = x9— 3x? + 5x — 1 Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho qua
M có một tiêp tuyên
Giải
Giả sử điểm Mxg ;yạ) thuộc đồ thị phương trình đường thẳng qua M có
dạng y = a(x - X.) + y„, đường thăng là tiêp tuyên khi hệ phương trình sau có nghiệm:
x° —3x* +5x-1=a(X-X,)+Y_ (1)
thay (2) vào (1), ta được
Trang 17
Dang 3 Tiếp tuyên qua điểm uốn của đồ thị
x° — 3x? + 5x — 1 = (3x? —6x + 8](x— xạ) + Xã — 3Xã + ðXo — Í
© xỶ — xã — 3(X? — xã )+ B(x— Xạ)— (3x? —6x + 8](x— xạ) = 0
© (x-x,) (-2x-x, +3)=0
X=X,
ad -X,+3
xX =
2
—-X, +3
Đáp số: M(1;2)