Tài liệu học tập môn toán 11

PHẦN 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1: ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A.. Bước 2: Xác định m  điểm còn lại trên đường tròn lượng giác cách đều điểm M... Xác định các

Năm học: 2019 – 2020

TOÁN 11

TẬP 1

Cuốn sách này của:

Biên soạn & giảng dạy: Thầy Duy – THPT Gia Định

PHẦN 1:

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1: ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Giá trị lượng giác của một cung

Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung AM



có sđ AM :

Hình 1.1 Gọi M x M;y M thì ta có:

4 cot  xác định với mọi k ,k   và  cotk cot

2 Công thức lượng giác

a



cos

cot

sin

a a

Công thức cộng Công thức nhân đôi – nhân ba – hạ bậc

cos 2 cos sin

2 cos 1

1 2 sin

a a

 

2 2

1sin cos sin 2

2

1 cos 2sin

2

1 cos 2cos

2

a a

a a

cos 3a 4 cos a3 cosa (4cổ – 3 cô)

Công thức biến đổi tổng thành tích Công thức biến đổi tích thành tổng

sin sin 2 sin cos

2sin

11cos

12tan

1

t t t t t t

3 Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

Cung lượng giác 2

x  

m k   được biểu diễn bởi m điểm trên đường tròn lượng giác 

Bước 1: Xác định điểm M biểu diễn cung 

Bước 2: Xác định m  điểm còn lại trên đường tròn lượng giác cách đều điểm M 1

2 Cung lượng giác 2



, 54



;74

Sử dụng công thức lượng giác Thông thường ta thực hiện như sau:

 Có hệ số tự do  biến đổi cho mất số

Câu 2 Biến đổi biểu thức sau thành tổng sin sin sin

Câu 3 Biến đổi biểu thức sau thành tích P sin 2xcos 2x 1

Câu 4 Biến đổi biểu thức sau thành tích P sinxsin 2xsin 3x

Câu 5 Biến đổi biểu thức sau thành tích P  1 cosxcos 2xcos 3x

Câu 6 Biến đổi biểu thức sau thành tích P cos2xcos 22 xsin 32 xsin 42 x

sin cos 2 sin cos

Câu 8 Biến đổi biểu thức sau thành tích P sin 6x2 sin 3 cosx xcos 2x

Dạng 2: Rút gọn, chứng minh biểu thức lượng giác

Câu 11 Rút gọn biểu thức P 3 sin 4xcos4x 2 sin6xcos6x

Câu 13 Rút gọn biểu thức P cos 3 sinx 3xsin 3 cosx 3x

Dạng 3: Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Phương pháp:

Bước 1: Đưa cung về dạng 2

x  

m  có m điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x

Bước 2: Xác định điểm M biểu diễn cung  trên đường tròn lượng giác

Bước 3: Xác định m  điểm còn lại trên đường tròn lượng giác 1 cách đều điểm M

Câu 15 Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung 2

Câu 16 Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x kk   

_ _ _ _ _

Câu 17 Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung

2

x   k k   

_ _ _ _ _

Câu 18 Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung

4

x  k k   

_ _ _ _ _

Câu 19 Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung 2

Câu 20 Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung

2

k

x   k   

_ _ _ _ _

Câu 21 Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Câu 2 Giải phương trình sin 3x  0

Câu 4 Giải phương trình 1

Câu 9 Tìm các nghiệm của phương trình sin 2 sin

2 Dạng mở rộng:

2cos cos

Câu 12 Giải phương trình cos 0

Câu 13 Giải phương trình cos 2 1

cos 2

2

x  _

Câu 16 Giải phương trình 3

Câu 17 Tìm các nghiệm của phương trình 2 cos 3 0

Dạng 3: Phương trình tan um và cot um

Phương pháp:

1 Dạng cơ bản:

 tan u m tanu tan  u  k k   

 cotum cotu cot  u  k k   

2 Dạng mở rộng:

tan tancot cot

Câu 20 Giải phương trình 3 cot 3x  3  0

Câu 21 Giải phương trình tan 2 tan

Câu 22 Giải phương trình cot 3 cot 2

Dạng 4: Đưa về phương trình cơ bản Phương pháp:

 Đưa dấu " " vào trong

sinu  sinv sinusin  v

sin cos sin sin

cosu cosv cosu cos v

cos sin cos cos

Câu 24 Giải phương trình 2 3

Câu 25 Giải phương trình sin 2 sin

Câu 28 Giải phương trình sin 2 cos 0

Câu 29 Giải phương trình sin 52 cos 32 0

Câu 31 Giải phương trình tan 3 tan 2 0

Dạng 5: Phương trình tích Phương pháp:

 Biến đổi phương trình về dạng 0 0

2 Công thức hạ bậc

3 Công thức tổng thành tích:

4 Công thức tích thành tổng

Câu 34 Giải phương trình sin 4xcos 4x  1 0

Câu 35 Giải phương trình sin 3xsin 4xsin 5x  0

Câu 36 Giải phương trình cos 3xsin 2xcosx  0

Câu 37 Giải phương trình cos 6 cos 3x x cos 7 cos 4x x

Câu 38 Giải phương trình sin 3 sinx xsin 8 sin 4x x  0

a sin 2xcos 2x  1 0

b 1cos 2xcos 4x  0

c 1cosxcos 2xcos 3x  0

d sinxsin 2xsin 3xsin 4x 0

e cos 5xcos 6xcos 7x  0

f sin 6 sin 2x x cos 3 cosx x

g sin2xsin 22 x cos 32 xcos 42 x

h sin 22 xsin 32 xsin 42 xsin 52 x  2

BÀI 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Dạng 1: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Phương pháp:

Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện

● cos 2a cos2asin2a 2 cos2a  1 1 2 sin2a

● cos4asin4a cos2asin2acos2asin2acos 2a

Câu 2 Giải phương trình sin 32 xcos 3x 1 0

Câu 3 Giải phương trình cos 4x3 sin 2x 2 0

Câu 4 Giải phương trình tan2x 31 tan x 3  0

Câu 5 Giải phương trình 12

cot 2 3sin 2x  x _

Câu 6 Giải phương trình 4 sin4x12 cos2x 7

Câu 7 Giải phương trình cos 2x3 cos4x 4 0

Câu 8 Giải phương trình cos 4x12 sin cosx x  5 0

Câu 9 Giải phương trình 2 cos 3 cosx x4 sin 22 x 1 0

Câu 10 Giải phương trình cos 5 cosx x cos 4 cos 2x x3 cos2x1

Câu 11 Giải phương trình cos4xsin4xcos 4x 0

Câu 12 Giải phương trình sin4x cos4xsin cosx x  0

cos sin cos 2

Dạng 2: Phương trình đưa về bậc hai Phương pháp:

x x

x x

x x

Câu 15 Giải phương trình 2 42 2

coscos

x x

Câu 16 Giải phương trình 3 tan 2xcotx4 tan xcotx  2 0

Dạng 3: Phương trình đối xứng – phản đối xứng Phương pháp:

● sin cos 2 sin

sin cos  sin cos 0

a x  x b x x  c

sin cos sin cos 0

Câu 18 Giải phương trình 2 sinx cosx 3 sin 2x  2 0.

Câu 19 Giải phương trình cosxsinx 2 sin 2x  1

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình sau

1 4 cos 22 x2 1  3 cos 2 x 3 0 2 cos 2 3 cos 4 cos2

7 5 sinx 2 3 1 sin  xtan2x 8 cos 8xsin3xcosxcos3xsinx 1 0

9 5 1 cosx 2 sin4xcos4x 10 3 cos 4x8 cos6x2 cos2x 3 0

Bài 2:

1 Tìm x   5;2

  nghiệm đúng phương trình 2 sin2x 5 sinx  2 0

2 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 2 cos 2x4 cosx  thỏa 1 0 x  5

Bài 3: Giải các phương trình sau

sinsin

x x

x x

Bài 4: Giải các phương trình sau

1 sinxcosx7 sin 2x  1 2 sin 2x2 2(sinxcos )x  5

3 cosxsinx 2 sin 2x  1 4 sin cosx x sinxcosx  1

sin cos 1 sin 2

2

7 cos3xsin3x 2 sin 2xsinxcosx

Bài 5: Giải các phương trình sau

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN

Cơ sở

1 Công thức cộng:

_ _ _ _

2 Nếu X2Y2  thì luôn tồn tại góc 1  sao cho sin

cos

X Y

 Chú ý: Dạng asinu b cosuc giải tương tự

Câu 2 Giải phương trình 3 cos 2xsin 2x   2

Câu 3 Giải phương trình cos 3 3 sin 3 1

Câu 4 Giải phương trình 3 sinx 4 cosx 5

Câu 5 Giải phương trình 3 sinx 3 cos 3x 1 4 sin3x

Câu 6 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình  2

sinxcosx  3 cos 2x  thỏa 2 x  3 _

Dạng 2: asinubcosu csinv

Điều kiện: a2b2 c2

Phương pháp:

_ _ _ _ _ _ _ _

 Chú ý: Dạng sin cos cos sin

Câu 7 Giải phương trình sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2x

Câu 8 Giải phương trình sin 3x 3 cos 3x 2 cos 5x

Câu 9 Giải phương trình 3 sin 7 cos 7 2 sin 5

Câu 10 Giải phương trình 3 cos 5x2 sin 3 cos 2x xsinx 0

Dạng 3: asinubcosucsinvdcosv

Điều kiện: a2b2 c2d2

Phương pháp:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Câu 12 Giải phương trình sin 7xcos 2x  3(sin 2xcos 7 )x

Câu 13 Giải phương trình 3(sin 2xcos 3 )x cos 2xsin 3x

3 5 sin 2x12 cos 2x 13 4 3 sinx4 cosx 3

5 2 sin2x 3 sin 2x3 6 2 cos 2x  6 cos xsinx

7 3 sin 3x 3 cos 9x  1 4 sin 33 x 8 4 sin3x 1 3 sinx 3 cos 3x

9 4 sin 4xcos4x 3 sin 4x  2 10 2 cos 2 4 sin cos 1 0

11 cos 7 cos 5x x 3 sin 2x  1 sin 7 sin 5x x

Bài 2: Giải các phương trình sau

1 sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2x 2 3 sin 7 cos 7 2 sin 5

5 3 cos 5x2 sin 3 cos 2x xsinx 0 6 sin 8xcos 6x  3 sin 6 xcos 8x

4 sin 2 3 cos 2 5 cos 3 0

7 cos2x 3 sin 2x 3 sinxcosx 4 0

8 sinxcos sin 2x x 3 cos 3x 2 cos 4 xsin3x

9 4 sin3xcos 3x4 cos3xsin 3x3 3 cos 4x 3

10 8 sin 6xcos6x3 3 cos 2x 113 3 sin 4x9 sin 2x

b Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  1 trên 

3 Cho hàm số 2 sin 2 cos 2

BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

Cơ sở Công thức cơ bản:

1 sin

tan

cos

a a

a

1 tancos a   a

_ _ _ _ _

Câu 2 Giải phương trình 3 sin 22 xsin 2 cos 2x x4 cos 22 x  2

Câu 3 Giải phương trình 2 sin 32 x 3 sin 6x4 cos 32 x  2

Câu 4 Giải phương trình 6 sin 22 xsin 4x8 cos 22 x  4

Câu 5 Giải phương trình 3 sin2x 5 cos2x 2 cos 2x  4 sin 2x

Câu 6 Giải phương trình : 13 sin 2x 2 tanx

Câu 7 Giải phương trình : 13 tanx 2 sin 2x

Dạng 2: Phương trình đẳng cấp bậc ba

sin sin cos sin cos cos sin cos

a ub u uc u ud ue uf u   Phương pháp: Xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1:

_ _ _ _ _ _ _ Trường hợp 2:

_ _ _ _ _ _ _

Câu 9 Giải phương trình 4 sin3x 3 cos3x 3 sinx sin2xcosx  0

Câu 10 Giải phương trình sin2x3 tanx cosx4 sinxcosx

Câu 11 Giải phương trình sin2xtanx13 sinxcosxsinx 3

Câu 12 Giải phương trình 4 sin 3xcos3xcosx3 sinx

Câu 13 Giải phương trình 2 2 cos3 3 cos sin 0

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình sau

1 2 cos2x 6 sin cosx x 6 sin2x 1 2 cos2x 3 sin 2x  1 sin2x

3 cos2xsin cosx x2 sin2x  1 0 4 9 sin2x30 sin cosx x 25 cos2x 25

5 2 2 sin x cosxcosx  3 2 cos2x 6 sin 2x2 sin2x 2 cos 2x

Bài 2: Giải các phương trình sau

1 3 sin3x 2 sin2xcosx  sin cosx 2x 2 6 sinx 2 cos3x  5 sin 2 cosx x

3 sinx 4 sin3x cosx 0 4 sin3x cos3x sinx cosx

5 sin3x 4 sin2x cosx 5 sin cosx 2x2 cos3x 0

Bài 3: Giải các phương trình sau

  2 tanxcotx 2 sin 2 xcos 2x

3 sin2xtanx13 sinxcosxsinx 3 4 8 cos3 cos 3

BÀI 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH

1 Phương trình tổng quát sin 2a x bcos 2xcsinxdcosx  e 0

Cơ sở

1 Công thức nhân đôi:

_ _ _ _

2 Phân tích bậc hai thành nhân tử:

_ _

3 Phương trình tích:

_

Phương pháp _ _ _ _ _

Câu 2 Giải phương trình cos 2x3 sin 2x9 sinx6 cosx  8

Câu 3 Giải phương trình cos 4x3 sin 4x9 cos 2x3 sin 2x  5 0

Câu 4 Giải phương trình 8 sin 6xcos6x3 3 cos 2x 11 3 3 sin 4 x9 sin 2x

Câu 5 Giải phương trình 2 sin 4 2 sin cos 3 cos 2 2

2 Phương trình đưa về dạng tích

Cơ sở

1 Công thức hạ bậc:

2 Công thức biến đổi

Tổng thành tích

Tích thành tổng

Câu 7 Giải phương trình sin 5 cos 3x x sin 9 cos 7x x

Câu 8 Giải phương trình cos cos 3x x sin 2 sin 6x xsin 4 sin 6x x