Tài liệu học tập giải tích 12 học kỳ 2

NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 A Tóm tắt lí thuyết.. .3 | Dạng 2.Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.. .9 | Dạng 3.Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.. Ứng dụng tích p

TRƯỜNG THCS-THPT HOA SEN

30 February

1 2 347 9 10 12 15 17 19 21 24 26 28

March

1 2 347 9 10 12 14 16 18 20 23 25 27 29 31

April

1 35 7 9 10 12 15 17 19 21 23 25 27 29

May

1 2 347 9 10 12 14 16 18 20 23 25 27 29 31 June

1 2 347 9 10 12 15 17 19 21 23 25 27 29 July

1 3

5 7 9 10 12 15 17 19 21 23 25 27 29 31

August

1 2 347 9 10 12 15 17 19 21 23 25 27 29

September

1 2 346 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

October

1 3 4 5 7 9 10 12 15 17 19 21 23 25 27 29

November

1 2 346 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

December

1 2 347 9 10 12 15 17 19 21 24 26 28 30

Muåc luåc

Phần I GIẢI TÍCH

Chương 3 NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1

A Tóm tắt lí thuyết .1

B Các dạng toán .3

| Dạng 1.Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm .3

| Dạng 2.Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số .9

| Dạng 3.Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần .14

C Bài tập trắc nghiệm .18

Bài 2 Tích phân 28 A Tóm tắt lí thuyết .28

B Các dạng toán .29

| Dạng 1.Dùng định nghĩa tính tích phân .29

| Dạng 2.Tính tích phân bằng bảng nguyên hàm .32

| Dạng 3.Tích phân hàm số chứa trị tuyệt đối b Z a |f (x)| dx .37

| Dạng 4.Phương pháp đổi biến số .39

| Dạng 5.Phương pháp từng phần .47

C Bài tập trắc nghiệm .52

Bài 3 Ứng dụng tích phân 69 A Tóm tắt lí thuyết .69

B Các dạng toán .70

| Dạng 1.Diện tích hình giới hạn bởi: đồ thị hàm số - trục hoành và hai cận .70

| Dạng 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số .73

| Dạng 3.Thể tích khối tròn xoay .77

| Dạng 4.Thể tích của vật thể .79

| Dạng 5.Bài toán thực tế: Tìm vận tốc, quãng đường .81

C Bài tập trắc nghiệm .84

Chương 4 SỐ PHỨC 108

A Tóm tắt lí thuyết .108

B Các dạng toán .110

| Dạng 1.Xác định phần thực - phần ảo của số phức .110

| Dạng 2.Xác định mô-đun của số phức .110

| Dạng 3.Hai số phức bằng nhau .111

| Dạng 4.Tìm tập hợp điểm biểu diễn .112

| Dạng 5.Số phức liên hợp .113

C Bài tập trắc nghiệm .114

Bài 2 Cộng, trừ và nhân số phức 126 A Tóm tắt lí thuyết .126

B Các dạng toán .127

| Dạng 1.Cộng trừ hai số phức .127

| Dạng 2.Phép nhân hai số phức .128

C Bài tập trắc nghiệm .131

Bài 3 Phép chia số phức 140 A Tóm tắt lí thuyết .140

B Các dạng bài tập .140

| Dạng 1.Phép chia số phức đơn giản .140

| Dạng 2.Các bài toán tìm phần thực và phần ảo của số phức .141

| Dạng 3.Một số bài toán xác định môđun của số phức .143

| Dạng 4.Tìm tập hợp điểm-GTNN-GTLN .145

C Bài tập trắc nghiệm .148

Bài 4 Phương trình bậc hai với hệ số thực 157 A Tóm tắt lí thuyết .157

B Các dạng toán .157

| Dạng 1.Giải phương trình bậc hai hệ số thực .157

| Dạng 2.Phương trình bậc cao với hệ số thực. .159

C Bài tập trắc nghiệm .162

ii

MỤC LỤC

GIẢI TÍCH

I

c Định lí 1.1 Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm

số G(x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K

c Định lí 1.2 Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì mọi nguyên hàm củahàm số f (x) trên K đều có dạng F (x) + C, với C là một hằng số

c Định lí 1.3 Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Z

f (x) dx ±

Zg(x) dx

Z

u0(x)v(x) dx

1 p CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

o Lưu ý: Vì u0(x) dx = dv, u0(x) dx = du nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng

o Lưu ý: Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân Z

v du dễtính hơn

| Dạng 4 I =

Z

ï sin xcos x

acos(ax + b) + C

Zdx

Z

dxcos2(ax + b) =

1

atan(ax + b) + C

19

Zdx

Z

dxsin2(ax + b) = −

aln |sin(ax + b)| + C

25

Z1

x2− a2dx = 1

2aln

x − a

x + a

Z1

1 Tích của đa thức hoặc lũy thừa −−−−−−−→ khai triển.Phương pháp

2 Tích các hàm mũ −−−−−−−→ khai triển theo công thức mũ.Phương pháp

3 Chứa căn −−−−−−−→ chuyển về lũy thừa.Phương pháp

4 Tích lượng giác bậc một của sin và cos −−−−−−−→ sử dụng công thức tích thành tổng.Phương pháp

○ Nếu bậc của tử P (x) ≥ bậc của mẫu Q(x) −−−−−−−→ chia đa thức.Phương pháp

○ Nếu bậc của tử P (x) < bậc của mẫu Q(x) −−−−−−−→ phân tích mẫu số Q(x) thành tíchPhương pháp

số, rồi sử dụng đồng nhất thức đưa về tổng của phân số

(x − b) +

D(x − b)2

VÍ DỤ 2

Tìm các nguyên hàm của các hàm số sau:

f (x) = 2x

2− 3x + 1x

x + 1

x2− x − 2c)

c) Ta viết f (x) = 2x − 1

(x2− x − 2) =

2x − 1(x + 1)(x − 2) =

Z2x − 1

Vậy F (x) = −x

4

4 + x

3− x2+ 5

4 b) Ta có: F (x) =

Z 1 2x − 5dx =

1

2 ln |2x − 5| + C Theo giả thiết: F (1) = 2 ln 3 ⇔ 1

2 ln |2.1 − 5| + C = 2 ln 3 ⇔

1

2ln 3 + C = 2 ln 3

2ln 3.

Vậy F (x) = 1

2ln |2x − 5| +

3

2ln 3 c) Ta có:

Z

f0(x)dx = f (x) + C ⇔ f (x) =

Z 2

x − 1dx − C = 2 ln |x − 1| − C.

Ta có ®f (0) = 2

f (2) = 4 ⇔®2 ln |0 − 1| − C1 = 2

2 ln |2 − 1| − C2 = 4 ⇔®C1 = −2

C2 = −4 ⇒®f (x) = 2 ln |x − 1| + 2

f (x) = 2 ln |x − 1| + 4.

Ta có: P = f (−2) + f (5) = (2 ln 3 + 2) + (2 ln 4 + 4) = ln 144 + 6

2 Bài tập tương tự

f (x) = 2x3− 5x2− 4x + 7

f (x) = (x − 1) (x2+ 2)

Ê Lời giải.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Bài 2. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: f (x) = 1 x3 − 2 x2 + 4 x4 a) f (x) = 2 (2x − 1)3 b) f (x) = 1 x + 1 (2 − x)2 c) f (x) = 6 (3x − 1)2 − 9 3x − 1 d) Ê Lời giải. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

f (x) = 2

3 − 2x + 1 −

3 cos2x.

x + 2

x+ cosπ

6 − 3x b)

f (x) = 3x − e3x+ 2

sin24x.

5 p CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Ê Lời giải.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Bài 4. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: f (x) = sin2x + 3 2. a) f (x) = 1 2 + cos 22x b) f (x) = cos 2x cos x + 1 c) d) f (x) = cos x cos 3x + sin2 x2 Ê Lời giải. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Bài 5. Tính các nguyên hàm của các hàm số sau: f (x) = (x 2− 1)2 x2 a) f (x) =√ x +√3 x +√4 x b) f (x) = (1 − 3x)5 c) f (x) = √3 1 − 4x + 1 5 √ 1 + 2x. d) Ê Lời giải. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

f (x) = 4x

2+ 1 2x .

2x + 3. b)

f (x) = x

3+ 2

x + 2 .

x2+ x − 2. d)

f (x) = 2x − 1

2x2− x − 1.

x(x + 3). f)

Ê Lời giải.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Bài 7. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa điều kiện cho trước: f (x) = x3 − 4x + 1; F (1) = 3 a) b) f (x) = 3 − cos x; F (π) = 2 f (x) = 3 − 5x 2 x ; F (e) = 1. c) f (x) = x 2+ 1 x ; F (1) = 3 2. d) Ê Lời giải. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Bài 8. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa điều kiện cho trước: f (x) = 5 2 − 10x; F (2) = 3 ln 2. a) f (x) = 1 2x + 1; F (0) = 2 Tính F (e). b) f0(x) = 1 2x − 1 và f (1) = 1 Tính f (5). c) f0(x) = 1 2x − 1, biết f (0) = 1 và f (1) = 2. Tính giá trị P = f (−1) + f (5) d) Ê Lời giải. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

LUYỆN TẬP 1

Tính các nguyên hàm của các hàm số sau:

f (x) = 3x3− 2 + 5

x.

f (x) = x(3x − 1)2

7 p CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

x2− x − 6.

3x2 − x − 4.d)

ã

= 2

3 Tính F (1)d)

f (x) = √ 2

4x − 1; F (3) = 3

√11

3x − 1; F (2) =

√5d)

2x + 1 −√

2x − 2; F (1) =

√2

3x + 7 −√

7 − 3x; F (2) = 1f)

= π

4.b)

2x + 1 −√

2x − 2; F (1) =

√2

3x + 7 −√

7 − 3x; F (2) = 1d)

f (x) = 4x.22x+3; F (0) = − 2

ln 2 Tính A =[ln 2.F (1)]3

210

x + 1; F (2) = 3 − ln 3d)

f (x) = x

3

x − 1; F (2) =

53

3

x + 2; F (−3) = 0 Tính F (−1).f)

| Dạng 2 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

o Lưu ý: Sau khi biến đổi và tính nguyên hàm xong, cần trả lại biến cũ ban đầu là x

Một số dạng biến đổi thường gặp

9 p CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

t2dt = t

3+ C =

Ä√

x2+ 3ä3

+ C

d) Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx

D =

Z

t3dt = t

4

4 + C =

sin4x

VÍ DỤ 2

Tính các nguyên sau:

I =

Z

ln x

x dx.

5 − exexdx

b)

K =

1 + tan x cos2x dx.

Z sin3xdx

d)

BÀI GIẢI

a) Đặt t = ln x ⇒ dx = dx

x .

I =

Z tdt = t

2

2 + C =

ln2x

b) Đặt t =√

5 − ex ⇒ t2 = 5 − ex⇒ 2tdt = −exdx

J = −

Z t.2tdt = −2

Z

t2dt = −2

3t

3+ C = −2

3

Ä√

5 − exä3+ C

c) Đặt t =√

1 + tan x ⇒ t2 = 1 + tan x ⇒ 2tdt = dx

cos2x

K =

Z t.2tdt = 2

Z

t2dt = 2

3t

3+ C = 2

3

Ä√

1 + tan xä3+ C

d) Ta viết lại H =

Z sin3xdx =

Z sin2x sin xdx =

Z

1 − cos2x
sin x dx Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx

H = −

Z

1 − t2
dt = t

3

3 − t + C = cos

3x

3 − cos x + C

2 Bài tập tương tự

I =

Z 2x2+ 1
7

x dx

x2+ 5dx.

b)

H =

Z

3

√

x2+ 1x dx

√

5 + 2x3dx

d)

Ê Lời giải.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

11 p CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

.

.

.

.

.

.

.

.

Bài 2. Tính các nguyên hàm sau: I = Z ex √ ex− 3dx. a) J = Z ex2+1x dx b) H = Z e √ x √ xdx. c) K = Z etan x cos2 xdx d) Ê Lời giải. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Bài 3. Tính các nguyên hàm sau: I = Z ln3x x dx. a) J = Z 1 + ln2x x dx. b) H = Z 3 ln x + 1 x ln x dx. c) K = Z √ 4 + ln x x dx. d) Ê Lời giải. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Bài 4. Tính các nguyên hàm sau:

I =

Z cos2021x sin x dx

Z sin x cos2xdx.

b)

H =

Z sin 2x cos2x dx

1 + 4 cos x.2 sin xdx

d)

Ê Lời giải.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

LUYỆN TẬP 1

Tính các nguyên hàm của các hàm số sau:

I =

(x + 1)5 dx.

Z x3dx

(1 + x2)3. b)

H =

Z 4x3 (x4+ 2)2 dx.

Z

x5

x2+ 1dx.

d)

LUYỆN TẬP 2

Tính các nguyên hàm của các hàm số sau:

I =

√

x2− 3x − 5dx.

Z

3

√

x2− 2021.x dx

b)

H =

3

√

x2+ 4dx.

√

1 − xdx.

d)

LUYỆN TẬP 3

Tính các nguyên hàm của các hàm số sau:

I =

x√

1 + ln xdx.

Z ln x√

1 + 3 ln x

b)

H =

Z

dx

x√3

1 + ln xdx.

Z

ln2x

x√

1 + ln xdx.

d)

M =

x ln xp6 + 3 ln2x

x (2 + ln x)2dx f)

LUYỆN TẬP 4

Tính các nguyên hàm của các hàm số sau:

I =

Z

ex

√

ex+ 3dx.

Z

ln x√

1 + 3 ln x

b)

H =

Z

dx

x√3

1 + ln xdx.

Z dx

ex+ e−xdx

d)

13 p CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Zsin x

Z(1 + 2 sin x) cos x dx

Z (1 + tan x)2cos2x dx.

b)

H =

Zdxcos4xdx.

Z(2 − cot x)2sin2x dx.

d)

M =

Zcos2xsin4xdx

Zcos4xsin6xdx.

Zv(x) dxPhương pháp

Z(3 − x) sin xdx.

b)

K =

Z2x ln xdx

Z 3x − 4cos2xdx.

dv = sin xdx ⇒®du = −dx

v = − cos x

J = (x − 3) cos x −

Zcos xdx = (x − 3) cos x − sin x + C

x2 − x

2

2 + Cd) Đặt

Đặt®u = ln x

dv = f0(x)dx ⇒







du = 1

xdx

v = f (x)

I = f (x) ln x −

Z f (x)

x dx = x

2

ln x −

Z xdx

= x2ln x − x

2

2 + C.

2 Bài tập tương tự

I =

Z

(2x + 1) ln xdx

Z

x sin xdx

b)

K =

Z

x cos xdx

Z (3 − 2x) sin 2xdx

d)

Ê Lời giải.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Bài 2. Tính các nguyên hàm sau: I = Z (4 + x) e2xdx a) J = Z x cos 2xdx b) K = Z ln xdx c) H = Z x.2xdx d) Ê Lời giải. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Bài 3. Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f (x) = x cos 3x thỏa mãn F (0) = 1 Ê Lời giải. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Bài 4. Cho F (x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số f (x) x4 Tìm nguyên hàm của hàm f0(x) ln x Ê Lời giải. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Bài 5. Cho F (x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số x.f (x) Tìm nguyên hàm của hàm f0(x) ln x Ê Lời giải. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

LUYỆN TẬP 1

Tính các nguyên hàm sau:

I =

Z (1 − 2x) e3xdx

Z

ln x

x3 dx

b)

K =

Z

Å x2− 1

x2

ã

ln xdx

Z (3x − 1).3xdx

d)

LUYỆN TẬP 2

Tính các nguyên hàm sau:

I =

Z

x2+ 1
ex

dx

Z (x + 1) ln (2x) dx

b)

K =

Z 3x2sin 4xdx

Z (4 − 3x) cos 2xdx

d)

17 p CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

ãcos x + x sin x là một nguyên hàm của hàm số f (x) sin x Tìm nguyênhàm của hàm số f0(x) cos x

A 2ex+ 1

cos x + C. B 2ex+ tan x + C

19 p CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

4ln |4x − 3| + C.

B

Z24x − 3dx =

1

2ln

Å2x −32

ã+ C

C

Z24x − 3dx =

1

2ln

... f (? ?2) + f (5) = (2 ln + 2) + (2 ln + 4) = ln 144 +

2 Bài tập tương tự

f (x) = 2x3− 5x2< /small>− 4x +

f (x) = (x − 1) (x2< /sup>+ 2) ...

4.b)

2x + −√

2x − 2< sup>; F (1) =

? ?2

3x + −√

7 − 3x; F (2) = 1d)

f (x) = 4x .2< small>2x+3; F (0) = − 2< /sup>...

2< /small >2

A

Z2(u2< /sup>− 4)u du B

Z2(u2< /sup>− 4) du

C

Z(u2< /sup>− 4) du D

Z(u2< /sup>− 3)