Tài liệu học tập môn Toán 11 – La Tuấn Duy (Tập 1)

Với mục đích giúp học sinh tự học chương trình Toán 11 (Đại số và Giải tích 11 và Hình học 11) trong kỳ nghỉ hè năm 2019, thầy La Hồ Tuấn Duy biên soạn tài liệu học tập môn Toán 11 (Tập 1), tài liệu gồm 79 trang bao gồm kiến thức và bài tập chủ đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, hình học không gian, tài liệu được biên soạn theo hướng tự luận.

Năm học: 2019 – 2020

TOÁN 11

TẬP 1

Cuốn sách này của:

Biên soạn & giảng dạy: Thầy Duy – THPT Gia Định

PHẦN 1:

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1: ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Giá trị lượng giác của một cung

Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung AM



có sđ AM :

Hình 1.1 Gọi M x M;y M thì ta có:

4 cot  xác định với mọi k ,k   và  cotk cot

2 Công thức lượng giác

a



cos

cot

sin

a a

Công thức cộng Công thức nhân đôi – nhân ba – hạ bậc

cos 2 cos sin

2 cos 1

1 2 sin

a a

 

2 2

1sin cos sin 2

2

1 cos 2sin

2

1 cos 2cos

2

a a

a a

cos 3a 4 cos a3 cosa (4cổ – 3 cô)

Công thức biến đổi tổng thành tích Công thức biến đổi tích thành tổng

sin sin 2 sin cos

2sin

11cos

12tan

1

t t t t t t

3 Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

Cung lượng giác 2

x  

m k   được biểu diễn bởi m điểm trên đường tròn lượng giác 

Bước 1: Xác định điểm M biểu diễn cung 

Bước 2: Xác định m  điểm còn lại trên đường tròn lượng giác cách đều điểm M 1

2 Cung lượng giác 2



, 54



;74

Sử dụng công thức lượng giác Thông thường ta thực hiện như sau:

 Có hệ số tự do  biến đổi cho mất số

Câu 2 Biến đổi biểu thức sau thành tổng sin sin sin

Câu 3 Biến đổi biểu thức sau thành tích P sin 2xcos 2x 1

Câu 4 Biến đổi biểu thức sau thành tích P sinxsin 2xsin 3x

Câu 5 Biến đổi biểu thức sau thành tích P  1 cosxcos 2xcos 3x

Câu 6 Biến đổi biểu thức sau thành tích P cos2xcos 22 xsin 32 xsin 42 x

sin cos 2 sin cos

Câu 8 Biến đổi biểu thức sau thành tích P sin 6x2 sin 3 cosx xcos 2x

Dạng 2: Rút gọn, chứng minh biểu thức lượng giác

Câu 11 Rút gọn biểu thức P 3 sin 4xcos4x 2 sin6xcos6x

Câu 13 Rút gọn biểu thức P cos 3 sinx 3xsin 3 cosx 3x

Dạng 3: Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Phương pháp:

Bước 1: Đưa cung về dạng 2

x  

m  có m điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x

Bước 2: Xác định điểm M biểu diễn cung  trên đường tròn lượng giác

Bước 3: Xác định m  điểm còn lại trên đường tròn lượng giác 1 cách đều điểm M

Câu 15 Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung 2

Câu 16 Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung x kk   

_ _ _ _ _

Câu 17 Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung

2

x   k k   

_ _ _ _ _

Câu 18 Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung

4

x  k k   

_ _ _ _ _

Câu 19 Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung 2

Câu 20 Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung

2

k

x   k   

_ _ _ _ _

Câu 21 Xác định các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Câu 2 Giải phương trình sin 3x  0

Câu 4 Giải phương trình 1

Câu 9 Tìm các nghiệm của phương trình sin 2 sin

2 Dạng mở rộng:

2cos cos

Câu 12 Giải phương trình cos 0

Câu 13 Giải phương trình cos 2 1

cos 2

2

x  _

Câu 16 Giải phương trình 3

Câu 17 Tìm các nghiệm của phương trình 2 cos 3 0

Dạng 3: Phương trình tan um và cot um

Phương pháp:

1 Dạng cơ bản:

 tan u m tanu tan  u  k k   

 cotum cotu cot  u  k k   

2 Dạng mở rộng:

tan tancot cot

Câu 20 Giải phương trình 3 cot 3x  3  0

Câu 21 Giải phương trình tan 2 tan

Câu 22 Giải phương trình cot 3 cot 2

Dạng 4: Đưa về phương trình cơ bản Phương pháp:

 Đưa dấu " " vào trong

sinu  sinv sinusin  v

sin cos sin sin

cosu cosv cosu cos v

cos sin cos cos

Câu 24 Giải phương trình 2 3

Câu 25 Giải phương trình sin 2 sin

Câu 28 Giải phương trình sin 2 cos 0

Câu 29 Giải phương trình sin 52 cos 32 0

Câu 31 Giải phương trình tan 3 tan 2 0

Dạng 5: Phương trình tích Phương pháp:

 Biến đổi phương trình về dạng 0 0

2 Công thức hạ bậc

3 Công thức tổng thành tích:

4 Công thức tích thành tổng

Câu 34 Giải phương trình sin 4xcos 4x  1 0

Câu 35 Giải phương trình sin 3xsin 4xsin 5x  0

Câu 36 Giải phương trình cos 3xsin 2xcosx  0

Câu 37 Giải phương trình cos 6 cos 3x x cos 7 cos 4x x

Câu 38 Giải phương trình sin 3 sinx xsin 8 sin 4x x  0

a sin 2xcos 2x  1 0

b 1cos 2xcos 4x  0

c 1cosxcos 2xcos 3x  0

d sinxsin 2xsin 3xsin 4x 0

e cos 5xcos 6xcos 7x  0

f sin 6 sin 2x x cos 3 cosx x

g sin2xsin 22 x cos 32 xcos 42 x

h sin 22 xsin 32 xsin 42 xsin 52 x  2

BÀI 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Dạng 1: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Phương pháp:

Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện

● cos 2a cos2asin2a 2 cos2a  1 1 2 sin2a

● cos4asin4a cos2asin2acos2asin2acos 2a

Câu 2 Giải phương trình sin 32 xcos 3x 1 0

Câu 3 Giải phương trình cos 4x3 sin 2x 2 0

Câu 4 Giải phương trình tan2x 31 tan x 3  0

Câu 5 Giải phương trình 12

cot 2 3sin 2x  x _

Câu 6 Giải phương trình 4 sin4x12 cos2x 7

Câu 7 Giải phương trình cos 2x3 cos4x 4 0

Câu 8 Giải phương trình cos 4x12 sin cosx x  5 0

Câu 9 Giải phương trình 2 cos 3 cosx x4 sin 22 x 1 0

Câu 10 Giải phương trình cos 5 cosx x cos 4 cos 2x x3 cos2x1

Câu 11 Giải phương trình cos4xsin4xcos 4x 0

Câu 12 Giải phương trình sin4x cos4xsin cosx x  0

cos sin cos 2

Dạng 2: Phương trình đưa về bậc hai Phương pháp:

x x

x x

x x

Câu 15 Giải phương trình 2 42 2

coscos

x x

Câu 16 Giải phương trình 3 tan 2xcotx4 tan xcotx  2 0

Dạng 3: Phương trình đối xứng – phản đối xứng Phương pháp:

● sin cos 2 sin

sin cos  sin cos 0

a x  x b x x  c

sin cos sin cos 0

Câu 18 Giải phương trình 2 sinx cosx 3 sin 2x  2 0.

Câu 19 Giải phương trình cosxsinx 2 sin 2x  1

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình sau

1 4 cos 22 x2 1  3 cos 2 x 3 0 2 cos 2 3 cos 4 cos2

7 5 sinx 2 3 1 sin  xtan2x 8 cos 8xsin3xcosxcos3xsinx 1 0

9 5 1 cosx 2 sin4xcos4x 10 3 cos 4x8 cos6x2 cos2x 3 0

Bài 2:

1 Tìm x   5;2

  nghiệm đúng phương trình 2 sin2x 5 sinx  2 0

2 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 2 cos 2x4 cosx  thỏa 1 0 x  5

Bài 3: Giải các phương trình sau

sinsin

x x

x x

Bài 4: Giải các phương trình sau

1 sinxcosx7 sin 2x  1 2 sin 2x2 2(sinxcos )x  5

3 cosxsinx 2 sin 2x  1 4 sin cosx x sinxcosx  1

sin cos 1 sin 2

2

7 cos3xsin3x 2 sin 2xsinxcosx

Bài 5: Giải các phương trình sau

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN

Cơ sở

1 Công thức cộng:

_ _ _ _

2 Nếu X2Y2  thì luôn tồn tại góc 1  sao cho sin

cos

X Y

 Chú ý: Dạng asinu b cosuc giải tương tự

Câu 2 Giải phương trình 3 cos 2xsin 2x   2

Câu 3 Giải phương trình cos 3 3 sin 3 1

Câu 4 Giải phương trình 3 sinx 4 cosx 5

Câu 5 Giải phương trình 3 sinx 3 cos 3x 1 4 sin3x

Câu 6 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình  2

sinxcosx  3 cos 2x  thỏa 2 x  3 _

Dạng 2: asinubcosu csinv

Điều kiện: a2b2 c2

Phương pháp:

_ _ _ _ _ _ _ _

 Chú ý: Dạng sin cos cos sin

Câu 7 Giải phương trình sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2x

Câu 8 Giải phương trình sin 3x 3 cos 3x 2 cos 5x

Câu 9 Giải phương trình 3 sin 7 cos 7 2 sin 5

Câu 10 Giải phương trình 3 cos 5x2 sin 3 cos 2x xsinx 0

Dạng 3: asinubcosucsinvdcosv

Điều kiện: a2b2 c2d2

Phương pháp:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Câu 12 Giải phương trình sin 7xcos 2x  3(sin 2xcos 7 )x

Câu 13 Giải phương trình 3(sin 2xcos 3 )x cos 2xsin 3x

3 5 sin 2x12 cos 2x 13 4 3 sinx4 cosx 3

5 2 sin2x 3 sin 2x3 6 2 cos 2x  6 cos xsinx

7 3 sin 3x 3 cos 9x  1 4 sin 33 x 8 4 sin3x 1 3 sinx 3 cos 3x

9 4 sin 4xcos4x 3 sin 4x  2 10 2 cos 2 4 sin cos 1 0

11 cos 7 cos 5x x 3 sin 2x  1 sin 7 sin 5x x

Bài 2: Giải các phương trình sau

1 sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2x 2 3 sin 7 cos 7 2 sin 5

5 3 cos 5x2 sin 3 cos 2x xsinx 0 6 sin 8xcos 6x  3 sin 6 xcos 8x

4 sin 2 3 cos 2 5 cos 3 0

7 cos2x 3 sin 2x 3 sinxcosx 4 0

8 sinxcos sin 2x x 3 cos 3x 2 cos 4 xsin3x

9 4 sin3xcos 3x4 cos3xsin 3x3 3 cos 4x 3

10 8 sin 6xcos6x3 3 cos 2x 113 3 sin 4x9 sin 2x

b Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  1 trên 

3 Cho hàm số 2 sin 2 cos 2

BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

Cơ sở Công thức cơ bản:

1 sin

tan

cos

a a

a

1 tancos a   a

_ _ _ _ _

Câu 2 Giải phương trình 3 sin 22 xsin 2 cos 2x x4 cos 22 x  2

Câu 3 Giải phương trình 2 sin 32 x 3 sin 6x4 cos 32 x  2

Câu 4 Giải phương trình 6 sin 22 xsin 4x8 cos 22 x  4

Câu 5 Giải phương trình 3 sin2x 5 cos2x 2 cos 2x  4 sin 2x

Câu 6 Giải phương trình : 13 sin 2x 2 tanx

Câu 7 Giải phương trình : 13 tanx 2 sin 2x

Dạng 2: Phương trình đẳng cấp bậc ba

sin sin cos sin cos cos sin cos

a ub u uc u ud ue uf u   Phương pháp: Xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1:

_ _ _ _ _ _ _ Trường hợp 2:

_ _ _ _ _ _ _

Câu 9 Giải phương trình 4 sin3x 3 cos3x 3 sinx sin2xcosx  0

Câu 10 Giải phương trình sin2x3 tanx cosx4 sinxcosx

Câu 11 Giải phương trình sin2xtanx13 sinxcosxsinx 3

Câu 12 Giải phương trình 4 sin 3xcos3xcosx3 sinx

Câu 13 Giải phương trình 2 2 cos3 3 cos sin 0

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình sau

1 2 cos2x 6 sin cosx x 6 sin2x 1 2 cos2x 3 sin 2x  1 sin2x

3 cos2xsin cosx x2 sin2x  1 0 4 9 sin2x30 sin cosx x 25 cos2x 25

5 2 2 sin x cosxcosx  3 2 cos2x 6 sin 2x2 sin2x 2 cos 2x

Bài 2: Giải các phương trình sau

1 3 sin3x 2 sin2xcosx  sin cosx 2x 2 6 sinx 2 cos3x  5 sin 2 cosx x

3 sinx 4 sin3x cosx 0 4 sin3x cos3x sinx cosx

5 sin3x 4 sin2x cosx 5 sin cosx 2x2 cos3x 0

Bài 3: Giải các phương trình sau

  2 tanxcotx 2 sin 2 xcos 2x

3 sin2xtanx13 sinxcosxsinx 3 4 8 cos3 cos 3

BÀI 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH

1 Phương trình tổng quát sin 2a x bcos 2xcsinxdcosx  e 0

Cơ sở

1 Công thức nhân đôi:

_ _ _ _

2 Phân tích bậc hai thành nhân tử:

_ _

3 Phương trình tích:

_

Phương pháp _ _ _ _ _

Câu 2 Giải phương trình cos 2x3 sin 2x9 sinx6 cosx  8

Câu 3 Giải phương trình cos 4x3 sin 4x9 cos 2x3 sin 2x  5 0

Câu 4 Giải phương trình 8 sin 6xcos6x3 3 cos 2x 11 3 3 sin 4 x9 sin 2x

Câu 5 Giải phương trình 2 sin 4 2 sin cos 3 cos 2 2

2 Phương trình đưa về dạng tích

Cơ sở

1 Công thức hạ bậc:

2 Công thức biến đổi

Tổng thành tích

Tích thành tổng

Câu 7 Giải phương trình sin 5 cos 3x x sin 9 cos 7x x

Câu 8 Giải phương trình cos cos 3x x sin 2 sin 6x xsin 4 sin 6x x