TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC

Chọn.. Trong mặt phẳng phức Oxy. Ta chọn đáp án A Chú ý biến đổi xác định tọa độ tâm của đường tròn để không nhầm dấu. Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn là một miền.. Ví dụ 2: Số phức [r]

TÌM TẬP HỢP CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC

I Phương pháp giải toán:

 Để tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức zx yi ( ;x y là số thực) thỏa mãn tính chất nào đó

ta tìm hệ thức liên hệ giữa x và y

 Chú ý: Khi tìm hệ thức liên hệ giữax và y , ta thường dẫn đến các phương trình và bất phương

trình là các đường hay các miền phẳng, chẳng hạn:

 Đường thẳng ax by c  0

 Nửa mặt phẳng ax by c  0;ax by c  0;ax by c  0;ax by c  0

xx  yy R x y  ax by c a b  c

 Hình tròn  2  2 2

xx  yy R (nếu không có dấu " " , tức là bỏ đi các điểm trên đường tròn (bỏ biên))

 Phần nằm ngoài hình tròn  2  2 2

xx  yy R

;

yax bx c y ax

 Elip

a b 

II – DẠNG TOÁN

Dạng 1:Tập hợp điểm biểu diễn là một đường thẳng

a) Ví dụ

Ví dụ 1: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z1i  z2i là đường nào sau

đây ?

A Đường thẳng B Đường tròn C Elip D Parabol

Lời giải:

Chọn A

Gọi zx yi , x y,  được biểu diễn bởi điểm M x y trong mặt phẳng  ;  oxy 

Ta có: z1i  z2i  x yi   1 i x yi 2i

 x1 2 y1 2  x2 y2 2  x12 y1 2x2 y2 2x3y 1 0 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x3y 1 0

Chú ý: Nếu z z 1  z z ( 2 z z cho trước) thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức 1; 2 zlà đường thẳng

Ví dụ 2:Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa

mãn điều kiện z2i  z 1

A Tập hợp những điểm Mlà đường thẳng có phương trình 4x2y 3 0

B Tập hợp những điểm Mlà đường thẳng có phương trình 4x2y 3 0

C Tập hợp những điểm Mlà đường thẳng có phương trình 2x4y 3 0

D Tập hợp những điểm Mlà đường thẳng có phương trình 2x4y 3 0

Lời giải Chọn C

Gọi zx yi , x y,  

Ta có: z2i  z1

 x y2 i  x1 yi x2 y2 2 x1 2y2 2x4y30

b) Bài tập vận dụng

Câu 1 Các điểm biểu diễn các số phức z 3 bi b(   trong mặt phẳng tọa độ, nằm trên đường )

thẳng có phương trình là:

A y b B y  3 C xb D x 3

Câu 2 Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện phần thực

của z bằng -2 là:

A x  2 B y 2 C y2x D yx 2

Câu 3 Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện phần ảo của

z nằm trong khoảng (2016; 2017) là:

A Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng x 2016 và x 2017, không kể biên

B Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng x 2016 và x 2017, kể cả biên

C Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng y 2016 và y 2017, không kể biên

D Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng y 2016 và y 2017, kể cả biên

Câu 4 Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện phần thực

của z nằm trong đoạn [ 1;3] là:

A Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng x  1 và x 3, kể cả biên

B Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng x  1 và x 3, kể cả biên

C Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng y   và 1 y  , không kể biên 3

D Các điểm nằm trong phần giới hạn bởi đường thẳng y   và 1 y  , kể cả biên 3

Câu 5 Cho số phức zaai a(   Tập hợp các điểm biểu diễn số phức liên hợp của z trong mặt )

phẳng tọa độ là:

A xy  0 B yx C xa D ya

Câu 6 Trong mặt phẳng phức Oxy , cho 2 số phức , ' z z thỏa mãn phần thực của z bằng phần ảo của

'

z và phần ảo của z bằng phần thực của ' z Nếu tập hợp của các điểm biểu diễn số phức z là

đường thẳng x2y  thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức '3 0 z là đường thẳng nào sau

đây?

A x2y  3 0 B 2xy  3 0 C x2y  3 0 D 2xy  3 0

Câu 7 Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho z2| |z 2 là:

A Gốc tọa độ B Trục hoành

C Trục tung và trục hoành D Trục tung

Câu 8 Cho số phức z thỏa mãn z  1 i z 1 2i , tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trên mặt

phẳng phức là hình:

A B

Câu 9 Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều

kiện: z z 3  4

A Đường thẳng 7

2

x  

B Đường thẳng 13

2

x 

C Hai đường thẳng 7

2

x   với 3

2

x

 

 , đường thẳng

1 2

2

x

 

D Đường thẳng 1

2

x 

Câu 10 Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều

kiện: |z i| |zi|

A Trục Oy B Trục Ox C y x D y  x

Câu 11 Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn zz  zz là

hai đường thẳng d d Giao điểm M của 2 đường thẳng 1, 2 d d có tọa độ là: 1, 2

A 0, 0 B  1,1 C 1, 2 D 0,3

Câu 12 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn | | 1 z  và phần ảo của z bằng 1 là:

A Giao điểm của đường tròn tâm O, bán kính R 1 và đường thẳng x 1

B Đường tròn tâm O, bán kính R  1

C Giao điểm của đường tròn tâm O, bán kính R  và đường thẳng 1 y  1

D Đường thẳng y  1

Câu 13 Nếu tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d trên hình vẽ bên dưới

thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đồ thị nào sau đây?

A Đường thẳng yx 2

B Đường thẳng y2 x

C Đường thẳng yx 2

D Đường thẳng y   x 2

Câu 14 Trong mặt phẳng phức Oxy , tâp hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho z là số thuần ảo 2

là hai đường thẳng d d Góc 1, 2  giữa 2 đường thẳng d d là bao nhiêu? 1, 2

A 450 B 600 C 900 D  300

Câu 15 Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp biểu diễn số phức z thỏa mãn z2  i z là đường

thẳng d Khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng d bằng bao nhiêu?

A  ,  3 5

10

d O d  B  ,  3 5

5

d O d  C  ,  3 5

20

d O d  D  ,  5

10

d O d 

Câu 16 Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn

 2 2 2

z  z  z  là hai đường thẳng d d Khoảng cách giữa 2 đường thẳng 1, 2 d d là bao 1, 2 nhiêu?

A d d d 1, 22 B d d d 1, 24 C d d d 1, 21 D d d d 1, 26

2 Dạng 2:Tập hợp điểm biểu diễn là một đường tròn, hình tròn

a) Ví dụ

Ví dụ 1: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn z 2 5i 4 là:

A Đường tròn tâm I2; 5  và bán kính bằng 2

B Đường tròn tâm I2; 5 và bán kính bằng 4

C Đường tròn tâm I2; 5  và bán kính bằng 4

D Đường tròn tâm O và bán kính bằng 2

Lời giải:

Chọn C

  , ,  

z x yi x y

 2 5 4  2 5 4 2 2 5 2 4 2 2 5 2 16

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm I2; 5 , bán kính R4

Chú ý: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z z 1 r r( 0),z cho trước là một 1

đường tròn có tâm I là điểm biểu diễn của z , bán kính 1 r(z 2 5i 4 z(2 5 ) i 4nên tập hợp điểm là đường tròn tâm I2; 5  và bán kính bằng 4 )

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z2 2 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

 1 

w i z i là một đường tròn Tính bán kính r của đường tròn đó

A r2 2 B r4 C r 2 D r2

Lời giải

Chọn A



1

1

w i

i ; đặt wx yi x y ; ,  

 1

x yi i z

i Ta có



1

x yi i z

i

1

2

Đường tròn có bán kính là R 221232 2

Cách 2:

 1    1 ( 2) 2(1 )

Kết luận

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z12;w(1 3 )i z2.Tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là

đường tròn, tính bán kính đường tròn đó

A R3 B R2 C R4 D R5

Lời giải

Chọn C

(3 3 ) (1 3 )( 1)

Ví dụ 4:

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thoả điều kiện z 1 3i 4

A Hình tròn tâm I( 1; 3) , bán kính r4 B Đường tròn tâm I( 1; 3), bán kính r4

C Hình tròn tâm I( 1; 3)  , bán kính r4 D Đường tròn tâm I(1; 3), bán kính r4

Lời giải Chọn A

Cách 1:

Giả sử zx yi x y  ,  , ta có z 1 3ix 1 y3i

       

 1 3 4 1  3 4 1  3 16

Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z là hình tròn tâm I( 1; 3) , bán kính

4

r

Cách 2:

 1 3 4   ( 1 3 ) 4

b) Bài tập vận dụng

Câu 1 Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện

là

A Một đường thẳng B Một đường tròn C Một đoạn thẳng D Một hình vuông Câu 2 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn | | 1 z  trên mặt phẳng tọa độ là:

A Hình tròn tâm O, bán kính R  , không kể biên 1

B Hình tròn tâm O, bán kính R  , kể cả biên 1

C Đường tròn tâm O, bán kính R  1

D Đường tròn tâm bất kì, bán kính R  1

Câu 3 Cho số phức zabi a b( ,   Để điểm biểu diễn của z nằm trong hình tròn như hình 3 )

(không tính biên), điều kiện của a và b là:

A a2b24 B a2b24

C a2b2 4 D a2b24

Câu 4 Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn z 2 5i 4 là:

A Đường tròn tâm I2; 5  và bán kính bằng 2

B Đường tròn tâm I  2;5 và bán kính bằng 4

C Đường tròn tâm I2; 5  và bán kính bằng 4

D Đường tròn tâm O và bán kính bằng 2

Câu 5 Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 2i  5

là:

A Đường tròn tâm I  ( 3; 2) bán kính bằng 5

B Đường tròn tâm I(3; 2) bán kính bằng 5

C Đường tròn tâm I(3;2) bán kính bằng 5

D Đường tròn tâm I ( 3;2) bán kính bằng 5

Câu 6 Trên mặt phẳng tọa độOxy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện ,

 2 2

z 1 2i  4

x

y

O

(H×nh 3)

A x 1 2  y 22 4 B x 3y 2 0

C 2x y 2 0 D x 1 2 y22  4

Câu 7 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn x12y22 9 Tập hợp các điểm

biểu diễn số phức z là đường tròn nào sau đây?

A x12y22 9 B x12y229

C x12y22 9 D x12y22 36

Câu 8 Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều

kiện: |z   1 i| 1

A Đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính R = 1

B Hình tròn tâm I(1;-1), bán kính R = 1

C Hình tròn tâm I(-1;-1), bán kính R = 1 (kể cả những điểm nằm trên đường tròn)

D Đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R = 1

Câu 9 Cho số phức thỏa mãn là số thuần ảo Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức là:

A Đường tròn tâm O, bán kính R  1

B Hình tròn tâm , bán kính (kể cả biên)

C Hình tròn tâm , bán kính (không kể biên)

D Đường tròn tâm , bán kính bỏ đi một điểm 0,1

Lời giải Chọn D

Gọi M a b ,  là điểm biểu diễn số phức za bi a b ( ,   )

Ta có:

Để là số thuần ảo thì

2 2

1 0 1



2 2

0, 1



 Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kínhR  1 Đáp án.D

Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn z 2 2 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

1 

w i z i là một đường tròn Tính bán kính r của đường tròn đó

A r 2 2 B r 4 C r  2 D r 2

Lời giải Chọn A

1 

1

w i

i



 ; đặt w x yi x y ; ,  

1

x yi i z

i

 Ta có

 1 

x yi i z

i



z i



i

z i

z i





1

( 1)



  

1

2

Đường tròn có bán kính là R  2212 3 2 2

Câu 11 Cho số phức z thỏa mãn z 1 2;w(1 3 )i z Tập hợp điểm biểu diễn của số phức 2 w

là đường tròn, tính bán kính đường tròn đó

A R  3 B R 2 C R 4 D R  5

Lời giải

Chọn C

Do đó, tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn có bán kính bằng 4

Câu 12 Trong mặt phẳng phức Oxy , cho số phức z thỏa lần lượt một trong bốn điều kiện

 I : zz  ; 2  II : z z  ; 5 III: z2i 4, IV :i z4i 3 Hỏi điều kiện nào để số phức Z có tập hợp biểu diễn là đường thẳng

A   II , III , IV  B    I , II C   I , IV  D  I

Lởi giải Chọn D

Gọi M x y ,  là điểm biểu diễn số phức z x yi x y , R

 I : zz 2 2x 2x   ; (Đường thẳng) 1

 II : z z 5 x2y25 (Đường tròn)

III: z2i 4 x2y2216; (Đường tròn)

IV i z i   iz  x  y  (Đường tròn)

Vậy đáp án D

Ở câu này học sinh cần nắm vững các dạng phương trình của các đường đã học và cách xác định mô đun số phức để tránh nhầm lẫn và chọn sai đáp án

Câu 13 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4i 2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu

diễn số phức w2z  là hình tròn có diện tích 1 i

A S 9 B S12 C S 16 D S 25

Lởi giải Chọn C

2

w z  i z  

 

1

2

z  i       i   w   i i   w  i 

Giả sử w x yi x y,  , khi đó  1 x72y92 16

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I7; 9 , bán kính r 4

Vậy diện tích cần tìm là S .42 16 

Câu 14 Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa mãn z2  z z 0 là đường

tròn  C Diện tích S của đường tròn  C bằng bao nhiêu?

A S4 B S2 C S3 D S

Lởi giải Chọn D

Gọi M x y ,  là điểm biểu diễn số phức z x yi x y , R

Ta có: z2 z z0 x2y2xyixyi0x2y22x0

1

R SR 

Câu 15 Trong mặt phẳng phức Oxy tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa mãn 2  

3

z z z i  i là đường tròn  C Khoảng cách từ tâm I của đường tròn  C đến trục tung bằng bao nhiêu?

A d I Oy  ,  1 B d I Oy  ,  2 C d I Oy  ,  0 D d I Oy  ,  2

Lởi giải Chọn A

Gọi M x y ,  là điểm biểu diễn số phức z x yi x y , R

Ta có: 2  

3

z z z i  i     iz i 3 yi x 1  3  2 2

Suy ra I  1;0 là tâm đường tròn C d I Oy ,  x I 1 Ta chọn đáp án A

Chú ý biến đổi xác định tọa độ tâm của đường tròn để không nhầm dấu

3 Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn là một miền

a) Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho số phức zabi a b( ,   Để điểm biểu diễn của z nằm trong dải (- 2; 2), ở hình 1, điều ) kiện của a và b là:

A a b  , ( 2; 2) B a ( 2; 2);b 

C a;b ( 2; 2) D a b  , [ 2; 2]

Lời giải Chọn B

Các số phức trong dải đã cho có phần thực trong khoảng ( 2; 2) , phần ảo tùy ý  Đáp án.

B

Ví dụ 2: Số phức z thỏa mãn điều nào thì có điểm biểu diễn thuộc phần gạch chéo như trên hình

A Số phức zabi z;| | 2; a  1;1

B Số phức zabi z;| | 2; a  1;1

C Số phức zabi z;| | 2; a  1;1

D Số phức zabi z;| | 2; b   1;1

Lời giải Chọn A

Từ hình biểu diễn ta thấy tập hợp các điểm M a b , biểu diễn số phức z trong phần gạch chéo

đều thuộc đường tròn tâm O0, 0 và bán kính bằng 2 ngoài ra  1 a1

Vậy M a b ,  là điểm biểu diễn của các số phức z a bi có mô đun nhỏ hơn hoặc bằng 2 và

có phần thực thuộc đoạn [-1;1] Ta có đáp án là A

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng phức , số phức z thỏa điều kiện nào thì có điểm biểu diễn số phức thuộc

phần tô màu như hình vẽ

A 1 z 2 và phần ảo dương

B 1 z 2 và phần ảo âm

C 1 z 2 và phần ảo dương

D 1 z 2 và phần ảo âm

Oxy

y

2

O

x -2

(H×nh 1)

Lời giải

Chọn B

Ta thấy phần tô màu là nửa dưới trục hoành của hình vành khăn được tạo bởi hai đường tròn đồng tâm O0, 0 và bán kính lần lượt là 1 và 2

Vậy đây chính là tập hợp các điểm M x y ,  biểu diễn cho số phức z x yi trong mặt phẳng phức với 1 | | 2 z  và có phần ảo âm

b) Bài tập vận dụng có chia mức độ

Câu 1 Cho số phức zabi a b( ,   Để điểm biểu diễn của z nằm trong dải ( 3 ;3 ))  i i như hình 2

thì điều kiện của a và b là:

A a; 3 b3 B  3 a3;b 

C  3 a b,  3 D a; 3 b3

Câu 2 Số phức z thỏa mãn điều nào thì có biểu diễn là phần tô mầu như trên hình

A Số phức z có phần thực lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2

B Số phức z có phần thực lớn hơn 1 và nhỏ hơn 2

C Số phức z có phần thực lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ 2

D Số phức z có phần ảo lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2

Câu 3 Số phức z thỏa mãn điều nào thì có biểu diễn là phần gạch chéo như trên hình

A Số phức z có phần ảo lớn hơn -1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2

B Số phức z có phần ảo lớn hơn -1 và nhỏ hơn 2

C Số phức z có phần ảo lớn hơn hoặc bằng -1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2

D Số phức z có phần ảo lớn hơn hoặc bằng -1 và nhỏ hơn 2

-3

3

y

x

O

(H×nh 2)