Toán 8 Đại số 334 bai BDT va ung dung

Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh... C¸ch2:(Dïng b®t Bunhiacopski).[r]

1

1)  x, y, z chứng minh rằng :

a) x2

+ y2 + z2  xy+ yz + zx b) x2

+ y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz

c) x2

+ y2 + z2+3  2 (x + y + z) Giải:

a) Ta xét hiệu

x2

+ y2 + z2

- xy – yz - zx

=

2

1.2 ( x2

+ y2 + z2

- xy – yz – zx)

=

2

1 (xy)2  (xz)2  (yz)2 0đúng với mọi x;y;zR

Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

Vậy x2

+ y2 + z2  xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

b)Ta xét hiệu

x2

+ y2 + z2

- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2

+ y2 + z2

- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z)2

0

 đúng với mọi x;y;zR

Vậy x2

+ y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zR

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

c) Ta xét hiệu

x2

+ y2 + z2+3 – 2( x+ y +z ) = x2

- 2x + 1 + y2

-2y +1 + z2

-2z +1 = (x-1)2

+ (y-1) 2

+(z-1)2  0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1

2) chứng minh rằng :

a)

2 2

2 2

2

c) Hãy tổng quát bài toán

giải a) Ta xét hiệu

2 2

=  

4

2 4

Dấu bằng xảy ra khi a=b

b)Ta xét hiệu

2 2

2 2

2 2

1 2 2

2 2

a n

a a

3) Chứng minh m,n,p,q ta đều có

m2

+ n2+ p2+ q2+1 m(n+p+q+1) Giải:

0 1 4

4 4

4

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

0 2

0 2

0 2

m q m p m n m

m

m q

m p

m n

2

q p n m

4) Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng

a) a b ab

4

2 2

(dÊu b»ng x¶y ra khi 2a=b) b) a2b2 1 abab

 a 2b 2 a 2c 2  a 2d 2 a 2c2  0

Giải:

 10 10 2 2  8 8 4 4

b a b a b a

b

b b a b a a b b a b a

 a8b2a2 b2a2b8b2a2 0

 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0  a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  0

Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

6) cho x.y =1 và x.y

Chứng minh

y x

y x



 2 2

 x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

(x-y- 2)2  0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

7) 1)CM: P(x,y)=9x2y2 y2  6xy 2y 1  0  ,x yR

2)CM: a2 b2 c2  a b  c

(gợi ý :bình ph-ơng 2 vế) 3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:

z y x

1 1 1

1

Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1

Giải:

Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1

=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(

z y x

1 1 1



 )=x+y+z - (1 1 1)  0

z y

z y x

1 1 1



 < x+y+z theo gt) 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là d-ơng

DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c

9)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1 CMR: 111 9

c b

a (403-1001) 2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 CMR:x+2y+z 4 ( 1 x)( 1  y)( 1 z)

b c b a

4)Cho x 0,y 0 tháa m·n 2 x  y  1 ;CMR: x+y

5

1

 10) Cho a>b>c>0 vµ a2b2c2  1 chøng minh r»ng

1 2

c c a

b c b a

c b

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c b

a

3

.

2 2 2 2

2 2

=2

3 3

1

=2 1

VËy

2

1 3 3

b c b

a

DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c=

3 1

11)

Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :

6

2 2 2

ab c

ac ab

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski

tacó ac+bd 2 2 2 2

. c d b

2ac bd c d b

a d b c

 2 2 2 2 2 2 2 2

.

2 a b c d c d b



) ( ) (ac  bd  a b  c d

1 1

d c a

d c a

 (a-c)(b-d) > cd

 ab-ad-bc+cd >cd

 ab> ad+bc (®iÒu ph¶i chøng minh)

15) Cho a,b,c>0 tháa m·n

3

5

2 2

2 b c 

a

Chøng minh

abc c b a

1 1 1 1





 Gi¶i:

Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)  0

 ac+bc-ab 

2

1( a2+b2+c2)

1 1

(§iÒu ph¶i chøng minh) 17) 1- Cho 0 <a,b,c <1 Chøng minh r»ng

2a3 2b3 2c3  3 a2bb2cc2a

Gi¶i :

Do a < 1  a2  1 vµ

8

Ta cã 1 a2.1 b 0  1-b- 2

a + 2

a b > 0  1+ 2

d a

d c

c d

c b

b c

b a

d a c

b a

a c

a c

b a

d c b a

a b d

c b

b d

c b a

9

d c b a

c b a

d c

c d

c b a

c d b

a d

d d

c b

d a

d c

c d

c b

b c

cd



 2 2

cd d b

cd ab b

cd ab





 2

2 ®iÒu ph¶i chøng minh 21) Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d-¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000

t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

a 

gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö :

c

a d

b

 Tõ :

c

a d

b



d

b d c

b a c

b, NÕu: b=998 th× a=1 

d

b c

d c

999

1  §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d= 1; c=999

VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

a  =999+

999

1khi a=d=1; c=b=999 22) Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng

4

3 1

2

1 1

1 2

n

Gi¶i:

Ta cã

n n n k

1 1 1

1

2

1 2

1

2

1 1

n n

n

n Với n là số nguyên Giải :

k k k

2 1

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có

1 1

1 1

3

1 2

1

1 1

1 1

3

1 2

1 3

1

2

1 1 2

1

2 2

2 2

c a b

c b a

) (

) (

2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có

a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)

b) Ta có a > b-c   2 2 2

) (b c a

a    > 0

b > a-c   2 2 2

) (c a b

b a c a c b c b a c b a

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

26) 1) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác

b c b

a

(1) Giải :

Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=

2

x z

; b =

2

y x

; c =

2

z y

ta có (1) 

z

z y x y

y x z x

x z y

2 2



12

   1    1    1  3

z

y z

x y

z y

x x

z x y

(  )  (  )  (  )  6

z

y y

z z

x x

z y

x x y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (   2 ;

y

x x

y

  2

z

x x

z

;   2

z

y y

z

nên ta có điều phải chứng minh

28) Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1

Chứng minh rằng

2

1 2

1 2

1

2 2

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có

1 1 1

Mà x+y+z < 1

Vậy 111  9

z y

2 2

2 2

1 2

1

2

1 1

1

2 2

2      nN; n 1 (1) Giải :

Với n =2 ta có

2

1 2 4

1

1    (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh

1 1

2

1 1

1

2 2

2

2   k  k  k Theo giả thiết quy nạp



1 2 1

1 1 2 ) 1 (

1 1

2

1 1

1

2 2

2 2

2   k  k  k  k  k

11

11

1)

1(

1

1

1

2 2

14

2 1 ( 2 ) ( 1 ) )

1 (

k k k

b a



2

2

b a b

1

1 

  k k

b a

(2)

Vế trái (2) 

2 4

2

2

1 1 1

b a b a

4 2

1 1

1 1

a    a k b k.ab 0 (+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b  k k k k

b a b

a     a k b k.ab 0 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)

34) Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0

Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0

Giải :

Giả sử a  0 thì từ abc > 0  a 0 do đó a < 0

Mà abc > 0 và a < 0  cb < 0

35) Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện

ac  2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

1 1

1   thì có một trong ba số này lớn hơn 1 Giải :

Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1

z y x

1 1

1   ) vì xyz = 1

theo giả thiết x+y +z >

z y x

1 1

1  

nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0

Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số d-ơng

Thật vậy nếu cả ba số d-ơng thì x,y,z > 1  xyz > 1 (trái giả thiết)

Còn nếu 2 trong 3 số đó d-ơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)

Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1

37) Cho abc = 1 và a3  36 Chứng minh rằng 

3

2

a

b2+c2> ab+bc+ac Giải

H0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh







y x y x

17

Giải :

Ta có x2y2xy2 2xyxy2 2 (vì xy = 1)  x2y22 xy4 4 xy2 4

Do đó BĐT cần chứng minh t-ơng đ-ơng với

 4  2  2

8 4

2 1

1 1

1

2 2

Giải :

Ta có

xy y

2 1

1 1

1

2 2

1

1 1

1 1

1 1

1

2 2

.

2 2

y xy xy

x

x xy

         0

1 1

) ( 1

1

) (

y x y xy

x

x y x

1  1 .1  0

1

2 2

x

xy x y

BĐT cuối này đúng do xy > 1 Vậy ta có điều phải chứng minh 41) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1

Chứng minh rằng

3

1 2 2

1a b c    a b c

  2  2 2 2

.

3 a b c c

b

18



3

1 2 2

2 b c 

a (v× a+b+c =1 ) (®pcm) 42) Cho a,b,c lµ c¸c sè d-¬ng

c c

b a

b c

a b a

b a

c c

a a

b b a

¸p dông B§T phô   2

x

y y

a

c b c

b

2 3

3

2 3

44) So s¸nh 3111

vµ 1714 Gi¶i :

Ta thÊy 11

31 <  11

11 5 55 56

32  2  2  2

19

MÆt kh¸c 56 4.14  4 14 14 14

2  2  2  16  17 VËy 3111

< 1714

(®pcm) 45) Cho a ,b ,c ,d > 0 Chøng minh r»ng :

Ta cã tõ (1)  DÊu b»ng x¶y ra khi 1  x 4

(2)  DÊu b»ng x¶y ra khi 2  x 3

VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2  x 3

49) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1

Gi¶i :

V× x,y,z > 0 ,¸p dông B§T C«si ta cã

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4 4 4

Gäi c¹nh huyÒn cña tam gi¸c lµ 2a

§-êng cao thuéc c¹nh huyÒn lµ h

VËy S lín nhÊt khi x.y lín nhÊt  x y

VËy trong c¸c tam gi¸c cã cïng c¹nh huyÒn th× tam gi¸c vu«ng c©n cã diÖn tÝch lín nhÊt 52) Gi¶i ph-¬ng tr×nh sau

x y

2 2

4 8 2

x x x

   NÕu x = 2 th× y = 2 2

NÕu x = - 2 th× y = -2 2

24

VËy hÖ ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm 2

2

x y

x y

y z z

x y z

Víi y = 1 kh«ng thÝch hîp

Víi y = 2 ta cã x = 2

VËy (2 ,2,1) lµ mét nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh

Ho¸n vÞ c¸c sè trªn ta ®-îc c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh





 



27

2 2

Giải :

Xét hiệu : H =

2 2

=

4

) 2

( ) (

2 a2 b2  a2  abb2

4

1 ) 2 2

2 ( 4

1 a2  b2 a2 b2  ab  ab 2  Với mọi a, b Dấu '' = '' xảy ra khi a = b

62) : Cho a, b là hai số d-ơng có tổng bằng 1 Chứng minh rằng :

3

4 1

1 1

 9  4ab + 8  1  4ab  (a + b)2  4ab

Bất đẳng thức cuối đúng Suy ra điều phải chứng minh

; trong đó a > 0 ; b > 0

 3a2 - 6ab + 3b2  3(a2 - 2ab + b2)  0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra :

3 3

65) Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 CMR a3 + b3 + ab 

2 1

Giải :

Ta có : a3 + b3 + ab 

2

1 <=> a3 + b3 + ab -

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =

2 1

66) Chứng minh bất đẳng thức :

3 3

Trong đó : a > 0 , b > 0

Giải :

29

Với a > 0 , b > 0 => a + b > 0

Ta có :

3 3

2 2

2 2

<=>

2 2

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b

67) Với a > 0 , b > 0 Chứng minh bất đẳng thức :

1 1 1 (x y z)( ) 9.

     Khi nào xảy ra đẳng thức ?

Giải Vì x, y, z là ba số dương nên

813

Ta có biến đổi sau, (1) tương đương:

3

3 3

3 3

3

3

3 3

9 4

9 4

9 4

Dấu “ = ” xảy ra cho cả a) và b) khi và chỉ khi  đều : a = b = c

( p là nữa chu vi của ABC:

222

Đặt :

000

1 2

1 1 1

z y x

z y

x

Vậy phương trình có nghiệm (x, y, z) = (1; 2; 3)

109) Giải phương trình : x2  x 1 x x     2 1 x2 x 2 (1) Giải

2

   Tương tự : xi  1 với mọi i

Cộng n phương trình của hệ theo từng vế ta được: 1 2

212121

x y z y z x z

Vậy hệ có hai họ nghiệm (x, y, z) = {(0; 0; 0) ; (1; 1; 1)}

113) Tìm số nguyên dương n và các số nguyên dương a1 = a2 = = an thoả các điều kiện :

  víi i = 1, 2, , n Suy ra 4  2n hay n  2:

Với n = 1: hệ 1

1

212

DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c

115) Cho a>b>c>0 vµ a2 b2c2  1chøng minh r»ng

47

1 2

c c a

b c b a

c b

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c b

a

3

.

2 2 2 2

2 2

=2

3 3

1

=2 1

Vậy

2

1 3 3

b c b

a

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=

3 1

116) Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :

2 2 2

ab c

ac ab

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski

tacó ac+bd 2 2 2 2

. c d b

2ac bd c d b

a d b c

 2 2 2 2 2 2 2 2

.

2 a b c d c d b



) ( ) (ac  bd  a b  c d

1 1

1   a b c  a b c

 3 2 2 2 2 2 2  

a +b +c ³a +b +c +2 ab+bc+ac  2 2 2

a +b +c ³ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c

119) Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a> c+d , b>c+d

d c a

d c a

 (a-c)(b-d) > cd

 ab-ad-bc+cd >cd

 ab> ad+bc (®iÒu ph¶i chøng minh)

120) Cho a,b,c>0 tháa m·n

3

5

2 2

2 b c 

a

Chøng minh

abc c b a

1 1 1

1    Gi¶i:

Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)  0

 ac+bc-ab 

2

1( a2+b2+c2)

1 1 1

49

(1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c

 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)

=1-a-b-c-d+ad+bd+cd  (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d

(§iÒu ph¶i chøng minh) 122) 1- Cho 0 <a,b,c <1 Chøng minh r»ng

d a

d c

c d

c b

b c

b a

a

Gi¶i :

Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã

50

d c b a

d a c

b a

a c

a c

b a

d c b a

a b d

c b

b d

c b a

c b a

d c

c d

c b a

c d b

a d

d d

c b

d a

d c

c d

c b

b c

cd ab





 2 2

cd d b

cd ab b

cd ab





 2

2 ®iÒu ph¶i chøng minh

126) Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d-¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000

t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

a 

gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö :

c

a d

b

 Tõ :

c

a d

b



d

b d c

b a c

b, NÕu: b=998 th× a=1 

d

b c

d c

999

1  §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d= 1; c=999

VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

a  =999+

999 1khi a=d=1; c=b=999

1 1

1 2

n

Giải:

Ta có

n n n k

1 1

1

2

1 2

1

2

1 1

n n

1

n Với n là số nguyên Giải :

k k k

2 1

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có:

1 1

1 1

52

1

1

3

1 2

1

1 1

1 1

3

1 2

1 3

1

2

1 1 2

1

2 2

2 2

c a b

c b a

) (

) (

2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có

a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)

b) Ta có a > b-c   2 2 2

) (b c a

a    > 0

b > a-c   2 2 2

) (c a b

b a c a c b c b a c b a

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

131) Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng

b c b

a

(1) Giải :

Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=

2

x z

; b =

2

y x

; c =

2

z y

53

ta có (1) 

z

z y x y

y x z x

x z y

2 2

x y

z y

x x

z x y

(  )  (  )  (  )  6

z

y y

z z

x x

z y

x x y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (   2 ;

y

x x

y

  2

z

x x

z

;   2

z

y y

z

nên ta có điều phải chứng minh

132) Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1

Chứng minh rằng

2

1 2

1 2

1

2 2

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có

1 1 1

Mà x+y+z < 1

Vậy 111  9

z y

2 2

2 2

1 2

1

2

1 1

1

2 2

2      nN; n 1 (1) Giải :

Với n =2 ta có

2

1 2 4

1

1    (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh

1 1

2

1 1

1

2 2

2

2   k  k  k Theo giả thiết quy nạp



1 2 1

1 1 2 ) 1 (

1 1

2

1 1

1

2 2

2 2

2   k  k  k  k  k

55

11

11

1)

1(

1

1

1

2 2

1 (

1 1

k k k

b a



2

2

b a b

1

1 

  k k

b a

(2)

Vế trái (2) 

2 4

2

2

1 1 1

b a b a

4 2

1 1

1 1

a    a k b k.ab 0 (+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b  k k k k

b a b

a     a k b k.ab 0 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)

138) Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0

Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0

Giải :

Giả sử a  0 thì từ abc > 0  a 0 do đó a < 0