Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan - Nguyễn Thanh Tùng

– Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm thoả mãn điều kiện cho trước.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C đi qua điểm M0 ;x y.. Chú ý : Do các tiếp tuyến của các

CHUYÊN ĐỀ

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Mục Lục Đề mục Trang A KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ………

B CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN………

Bài toán 1: Các bài toán liên quan tới phương trình tiếp tuyến……… 2

Bài toán 1.1……… 2

Bài toán 1.2……… 10

Bài toán 2: Các bài toán liên quan tới cực trị……… 15

Bài toán 2.1……… 15

Bài toán 2.2……… 19

Bài toán 2.3……… 26

Bài toán 3: Bài toán giao điểm……… 28

Bài toán 3.1……… 28

Bài toán 3.2……… 41

Bài toán 3.3……… 44

Bài toán 4: Bài toán tìm điểm……… 49

Bài toán 5: Các bài toán về tính đơn điệu của hàm số……… 52

Bài toán 5.1……… 52

Bài toán 5.2……… 53

CHUYÊN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

A KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

B CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Bài toán 1: Các bài toán liên quan tới phương trình tiếp tuyến

Cơ sở lí thuyết:

* Cho hàm số y f x( )có đồ thị (C), phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0( ,x y0 0)( )C là :

y f x'( )(0 xx0)y0 (*) (M gọi là tiếp điểm) 0

* Hai đồ thị hàm số y f x( )và yg x( ) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm :

Nghiệm của (2*) là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị

Nhận xét : Với kiến thức cơ bản trên, giúp ta giải quyết hai lớp câu hỏi liên quan tới việc viết phương trình

tiếp tuyến (tại điểm và đi qua điểm) Cụ thể :

+) Với câu hỏi tại điểm, để viết được phương trình (*) ta cần 3 yếu tố x y và 0, 0 f x Ứng với điều này sẽ có '( )0

3 cách ra đề : cho biết x , cho biết0 y hoặc cho biết 0 f x dưới các cách phát biểu khác nhau, và điều này sẽ '( )0

được diễn đạt thông qua Bài toán 1.1

+) Với câu hỏi đi qua điểm sẽ được phát biểu qua Bài toán 1.2

Bài toán 1.1

Nội dung bài toán :

Cho hàm số y f x( ) có đồ thị là ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C :

1 Tại điểm có hoành độ là a 2 Tại điểm có tung độ là b

3 Có hệ số góc là k 4 Song song với đường thẳng yax b

5 Vuông góc với đường thẳng yax b 6 Tạo với trục hoành (Ox ) một góc bằng 

7 Cắt các trục Ox Oy, lần lượt tại hai điểm A B, sao cho OBkOA

, thay vào (*) ta được phương trình cần lập

2 Với y0 b f x( )0  (2) Giải phương trình (2) tìm b x và suy ra 0 f x Sau đó thay các thông số tìm '( )0

được vào (*) ta được phương trình cần lập

3 Tiếp tuyến có hệ số góc k , suy ra f x'( 0) (3) Giải phương trình (3) tìm k x và suy ra 0 y Sau đó thay vào 0

(*) ta được phương trình cần lập

4 Tiếp tuyến song song với đường thẳng yax b , suy ra f x'( 0) (4) a

Giải phương trình (4) tìm được x và suy ra 0 y Sau đó thay vào (*) ta được phương trình (kiểm tra lại tính 0

song song) và kết luận

5 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng yax b , suy ra f '(x0) 1

a

  (5)

Giải phương trình (5) tìm được x và suy ra 0 y Sau đó thay vào (*) ta được phương trình cần lập 0

6 Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc , suy ra f x'( 0) tan (6)

Giải phương trình (6) tìm được x và suy ra 0 y Sau đó thay vào (*) ta được phương trình cần lập 0

7 Tiếp tuyến cắt trục Ox Oy, lần lượt tại A B,

sao cho OBkOA, khi đó gọi  là góc tạo bởi

tiếp tuyến và trục hoành ta có: tan OB k

OA

Suy ra f '(x0) tan   (7) k

Giải phương trình (7) tìm được x và suy ra 0 y 0

Sau đó thay vào (*) ta được phương trình cần lập

Nhận xét:

*) Ngoài cách phát biểu tường minh như ý 1, 2 ta có thể gặp những câu hỏi tương tự như sau:

– Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại giao điểm của ( )C với trục hoành (với đường thẳng

yax b , với đường cong yg x( )…)

– Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại điểm thoả mãn điều kiện cho trước

*) Các ý 3, 4, 5, 6, 7 thực chất là dữ kiện cho biết f x nhưng được phát biểu dưới nhiều cách diễn đạt '( )0

khác nhau

Ví dụ 1 Cho hàm số y f x( )x36x29x có đồ thị 1 ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C :

1 Tại điểm có hoành độ bằng 2 2 Tại điểm có tung độ bằng 15

3 Tại giao điểm của đồ thị ( )C với đường thẳng y4x1

4 Tại điểm có hoành độ x , biết 0 f ''(x0)0 và chứng minh rằng tiếp tuyến khi đó là tiếp tuyến của ( )C có

(2) 3

f x

Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là: y24x9

3 Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C với đường thẳng y4x1 là:

+) Với M0(1;5) f '(1) , suy ra phương trình tiếp tuyến: 0 y 5

+) Với M0(5; 21) f '(5)24, suy ra phương trình tiếp tuyến: y24x99

4 Ta có y'' f ''( )x 6x12, khi đó f ''(x0)06x0120x0 2

0

'(2) 3(2) 3

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại điểm có hoành độ x bằng :

'( ) '( ) 3 12 9 3( 2) 3 3

y x  f x  x  x  x    ,    , suy rax y x'( )min   khi 3 x2x0

Vậy tiếp tuyến của ( )C tại điểm có hoành độ x thỏa mãn 0 f ''(x0)0có hệ số góc nhỏ nhất (đpcm)

Ví dụ 2 Cho hàm số y x4x2 có đồ thị là 6 ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C :

1 Có hệ số góc là 6 2 Song song với đường thẳng 3x2y 2 0

3 Vuông góc với đường thẳng 1 3

Ta có y' 4x32x Gọi M0( ;x y là tiếp điểm của tiếp tuyến cần lập 0 0)

1 Tiếp tuyến có hệ số góc là 6 , suy ra: y x'( 0)6 4x032x0 6

2

(x 1)(2x 2x 3) 0 x 1 y y( 1) 4

           

Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là: y6x10

2 Đường thẳng 3x2y 2 0 được viết lại thành: 3 1

3 Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 3

6

y x , suy ra: y x'( 0)  6

 4x032x0   6 2x03x0 3 0 (x01)(2x022x03)0 x0  1 y0  y(1)4

Khi đó phương trình tiếp tuyến: y 6(x1)4 hay y 6x10

4 Do tiếp tuyến tạo với trục hoành (Ox ) một góc bằng  , nên suy ra: '( 0) tan 9

x m



 có đồ thị (C m) và m là tham số

1 Với m  , viết phương trình tiếp tuyến của 1 (C song song với đường thẳng 1) y4x16

2 Tìm m để tiếp tuyến của ( C m) tại giao điểm của đồ thị (C m) với trục hoành song song với đường thẳng

: 1

y x



 Gọi M0( ;x y là tiếp điểm của tiếp tuyến cần lập Khi đó tiếp tuyến tại 0 0) M0( ;x y song song với đường 0 0)

+) Với M0(0; 0), phương trình tiếp tuyến: y4x (thỏa mãn)

+) Với M 0( 2;8), phương trình tiếp tuyến: y4x16 (loại)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là y4x

2 Ta có:

2 2

4'

m y



Do tiếp tuyến của (C m) tại M song

song với đường thẳng d y:  x 1 nên:

2 2

Nhận xét: Như vậy qua Ví dụ 3 ta nhận thấy, khi gặp dạng câu hỏi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

số y f x( ) song song với đường thẳng yax b , việc sử dụng dữ kiện f x'( 0) chỉ là điều kiện cần nhưng a chưa đủ Do đó sau khi giải ra kết quả ta cần có bước kiểm tra lại điều kiện song song

Ví dụ 4 Cho hàm số

1

x y x

1 Gọi M0( ;x y là tiếp điểm của tiếp tuyến cần lập 0 0)

Do tam giác OAB cân và vuông tại O nên OAOB, suy ra: y x'( 0)  1

0

1'( ) 0, 1

01

2( 1)

x

y x

x x

01

M  

 

Ví dụ 5 Cho hàm số yx33mx23(m1)x có đồ thị (1 C m) và m là tham số thực

1 Tìm m biết tiếp tuyến của đồ thị ( C m) tại điểm K song song với đường thẳng 3xy0 và K là điểm thuộc đồ thị (C m) có hoành độ bằng 1

2 Với m  Tìm hai điểm phân biệt 2 M N, thuộc đồ thị (C sao cho tiếp tuyến của đồ thị 2) (C tại 2) M và

N song song với nhau và thỏa mãn:

a Độ dài MN 2 5 , đồng thời M N, có tọa độ nguyên

b Đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng xy20150

Giải:

1 Ta có y'3x26mx3(m1) Do K(C m) và có hoành độ bằng 1, suy ra K( 1; 6  m3)

Khi đó tiếp tuyến tại K có phương trình: yy'( 1)( x1) 6 m 3 y(9m6)x3m3 ( )

Do  song song với đường thẳng 3xy0 (hay y3x) khi và chỉ khi: 9 6 3 1

m

m m

3 2 2

b Do b a  nên 0 MNb a b a ; (  )(1ab)

cùng phương với vecto uMN (1;1ab)

Đường thẳng d x: y20150 có vecto chỉ phương u d (1; 1)

Nội dung bài toán :

Cho hàm số y f x( ) có đồ thị là ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C đi qua điểm M0( ;x y 0 0)

Cách giải chung:

+) Đường thẳng  có hệ số góc k đi qua M0( ;x y có phương trình : 0 0) yk x( x0)y0

+)  là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm : ( ) ( 0) 0 (1)

Giải phương trình (*) ta tìm được x , sau đó thay vào (2) suy ra được k

Khi đó ta viết được phương trình tiếp tuyến cần lập

Chú ý :

Do các tiếp tuyến của các đồ thị hàm số trong chương trình phổ thông luôn có hệ số góc (trường hợp phương

trình tiếp tuyến không có hệ số góc là x  không có ), nên ta được phép gọi luôn phương trình có hệ số góc k a như cách trình bày trên

Ví dụ 1 Cho hàm số 4 2

3

y x x  ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C đi qua điểm M(1; 1)

Giải:

+) Đường thẳng  có hệ số góc k đi qua M(1; 1) có phương trình : yk x( 1) 1

+)  là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :

4 2 3

Ở Bài toán 1.1 khi viết phương trình tiếp tuyến tại điểm thì điểm đó luôn thuộc đồ thị, trong khi Bài toán 1.2

thì điểm đi qua có thể thuộc hoặc không thuộc đồ thị Ở ví dụ trên điểm mà tiếp tuyến cần lập đi qua M(1; 1)

khá đặc biệt khi M( )C Do đó trong trường hợp này rất nhiều bạn sẽ đi viết phương trình giống như Bài toán 1.1 (nghĩa là chuyển về bài toán viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1; 1) ) và cũng cho ra kết quả tương tự Song cách làm đó sẽ không được điểm tuyệt đối (nếu bạn không chứng minh thêm tính duy nhất của

tiếp tuyến) Vì vậy việc trình bày theo Bài toán 1.2 là sự lựa chọn hợp lí nhất Để hiểu rõ hơn chúng ta chuyển qua Ví dụ 2

Ví dụ 2 (B – 2008). Cho hàm số y4x36x2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết 1rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M  ( 1; 9)

Giải:

+) Đường thẳng  có hệ số góc k đi qua M  ( 1; 9) có phương trình : yk x( 1) 9

+)  là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :

3 2 2

Với x  1 k24, phương trình tiếp tuyến là : y24x15

Trong Ví dụ 2 ta cũng nhận thấy điểm M thuộc đồ thị Song nếu viết phương trình tiếp tuyến theo góc nhìn

của Bài toán 1.1 (viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M ) thì ta chỉ thu được phương trình y24x15 và

thiếu đi một phương trình Lí do là vì khi sử dụng Bài toán 1.1 thì tiếp tuyến luôn tiếp xúc với đồ thị tại điểm

M , trong khi ở Bài toán 1.2 nếu M thuộc đồ thị thì tiếp tuyến có thể tiếp xúc hoặc không tiếp xúc với đồ thị tại

M ( do tiếp tuyến chỉ cần đi qua điểm M ) Do đó ta được 2 phương trình tiếp tuyến như trên Vì vậy khi câu

hỏi trong đề bài là viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm thì ta sẽ giải theo cách giải của Bài toán 1.2

Ví dụ 3 Cho hàm số y x33x có đồ thị là 2 ( )C Tìm các điểm M trên đường thẳng y 4, sao cho từ M

kẻ được ba tiếp tuyến tới ( )C , trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Giải:

Gọi M m( ; 4) thuộc được thẳng y 4

Khi đó phương trình tiếp tuyến ( )d có hệ số góc k đi qua M có dạng: yk x( m)4

( )d là tiếp tuyến của ( )C khi hệ sau có nghiệm:

3 2

, suy ra phương trình tiếp tuyến là y 4 Do tiếp tuyến này không vuông góc với bất

kì một tiếp tuyến nào khác Nên để có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau thì phương trình (3) phải có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn: , 2 2

'( ) '( ) 1 9( 1)( 1) 1 0

y x y x    x  x   

Giải:

Gọi M(0; )m Oy

Khi đó phương trình tiếp tuyến ( )d có hệ số góc k đi qua M có dạng : ykxm

( )d là tiếp tuyến của ( )C khi hệ sau có nghiệm:

4 2 3

Nhận thấy với mỗi nghiệm tt0  của 0 (4) cho ta nghiệm xx0   t0 Suy ra k 4(t01) t0

Do đó ( )d là tiếp tuyến duy nhất qua M khi (4) có duy nhất một nghiệm t  thỏa mãn: 0

Bài toán 2: Các bài toán liên quan tới cực trị

Bài toán 2.1

Nội dung bài toán :

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x m( , )ax3bx2cxd

Cách giải chung:

Bước 1: Tính y'3ax22bx ; c 2

y   ax  bx  c (*)

Bước 2: Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 mD

+) Nếu nghiệm x x đẹp (1, 2  ' b23acu2: có dạng bình phương)

Ta có hai điểm cực trị A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2), suy ra phương trình AB

+) Nếu nghiệm x x “không đẹp” , chia 1, 2 y cho y' ( làm nháp) và viết thành: yu x y( ) 'pxq

Ví dụ 1 (A – 2002) Cho hàm số: y x33mx23(1m x2) m3m2 (1) ( với m là tham số thực)

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

2 2

21

Vậy phương trình đi qua hai điểm cực trị A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2) là: y2x m 2m

Ví dụ 2 Cho hàm số y2x33(m1)x2m Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu ,A B sao

Khi đó phương trình đi qua hai điểm cực trị A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2) là : 2

cùng phương với vecto uAB (1; ( m1) )2

Đường thẳng d y:  x 2xy 2 0 có vecto chỉ phươngu d (1;1)

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2) là : y (m1)2xm m( 1)

Do AB vuông góc với đường thẳng yx2 nên: ( 1)2 1 0

2

m m

(thỏa mãn điều kiện (*))

Vậy giá trị m cần tìm là m  hoặc 0 m  2

Ví dụ 4 Cho hàm số yx33x2 có đồ thị là 2 ( )C và đường tròn ( )T có phương trình:

x x A

(Nếu cần biểu diễn y y theo 1, 2 m thì sử dụng Bài toán 2.1 )

+) Cắt nghĩa điều kiện (*) (có thể sử dụng (2) hoặc kết hợp các kiến thức hình học phẳng…) thiết lập được :

g m ( ) 0 (hoặc ( ( )g m 0, ( )g m 0 )m Kết luận m D

Chú ý: Do số cực trị của hàm bậc ba chỉ có thể là 2 hoặc không có Do đó nếu đề bài yêu cầu tìm m để hàm số

có cực trị, được hiểu là tìm m để hàm số có 2 cực trị (một cực đại và một cực tiểu)

+) Với x x là nghiệm của 1, 2 (1) nên 1 2 2

3

3(0;3 )

OAB

Ví dụ 3. Cho hàm số y x3(2m1)x2(m23m2)x  Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực 4đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung

+) Hàm số có hai điểm cực trị A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2) với x x là nghiệm của 1, 2 (1)

Khi đó hai điểm A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2) nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi:

2

1 2 0 3 2 0 1 2

x x  m  m   m , kết hợp với (2)ta được đáp số: 1m 2

Chú ý: Việc cắt nghĩa điều kiện (*) khi hai điểm cực trị A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2):

+) cùng phía với trục tung (trục Oy ) là: x x 1 2 0

+) khác phía (nằm về hai phía) với trục tung (trục Oy ) là: x x 1 2 0

+) cùng phía với trục hoành (trục Ox ) là: y y  1 2 0

+) khác phía (nằm về hai phía) với trục hoành (trục Ox ) là: y y  1 2 0

Ví dụ 4. Cho hàm số y x33x2m23m với m là tham số thực Chứng minh hàm số luôn có cực đại, cực

tiểu với mọi m Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng :yx5

Giải: +) Có y' 3x26x;

2 2

Vậy m   hoặc 1 m  là các giá trị cần tìm 4

Ví dụ 5. Cho hàm số yx33x2mx có đồ thị là (C m) Xác định m để ( C m) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng x2y  5 0

Giải:

+) Ta có: y'3x26x m ; y'03x26xm0 (1)

Đồ thị (C m) có các điểm cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt,

hay   ' 9 3m0 m 3 (2)

+) Gọi A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2) là hai điểm cực trị của ( C m) với: y x'( )1  y x'( 2) 0

Với m  hàm số có dạng 0 yx33x2 có hai điểm cực trị A(0; 0), (2; 4)B 

Khi đó trung điểm AB là I(1; 2) d (thỏa mãn điều kiện đủ)

Vậy giá trị m  là đáp số của bài toán 0

Ví dụ 6. Cho hàm số y(m3)x32mx với 3 m là tham số thực Biện luận theo m số cực trị của hàm

Chú ý: Các kiến thức hình học phẳng cơ bản cần nhớ để cắt nghĩa điều kiện (*):

(Tam giác ABC luôn cân tại A)

+) Cắt nghĩa điều kiện (*), suy ra được phương trình: ( )g m  0 m Kết luận m D

Ví dụ 1 Cho hàm số 1 4 2 5

m

y  x mx  (C m), với m là tham số thực Tìm m để hàm số ( C m) có cực tiểu mà không có cực đại

 y ' 0 có một nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) thỏa mãn:

(m1).(m)0m m( 1)0  1 m0

Vậy  1 m là đáp số của bài toán 0

Ví dụ 2 (A – A1 – 2012) Cho hàm số yx42(m1)x2m2 (C m), với m là tham số thực Tìm m để đồ

thị của hàm số (C m) có ba cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

Giải:

+) Ta có y'4x34(m1)x4 (x x2m1); ' 0 2 0

1 (1)

x y

1; ( 1)1; 2 1

Theo đề bài tam giác ABC vuông, mà tam giác ABC luôn cân tại A

Suy ra ABC vuông tại A  AB AC 0

x y

+) Vậy với    , đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị m

Mặt khác: a   nên ta có hai điểm cực tiểu đối xứng nhau qua trục tung và có hoành độ 1 0

lần lượt là: x1  m2m1;x2  m2m1 Khi đó khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu là:

2 2

Hàm số đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu ) tại xx0 khi f '( , )x m0 0mm0 (ở đây y có đạo hàm tại x ) 0

+) Điều kiện đủ: (kiểm tra giá trị mm0)

Cách 1: Nếu f ''( ;x m0 0) thì hàm số đạt cực đại tại 0 xx0

Nếu f ''( ;x m0 0) thì hàm số đạt cực tiểu tại 0 xx0

Cách 2: Dùng bảng biến thiên để kiểm tra

Ví dụ 1 Tìm m để hàm số 1 3 2 2

( 1) 123

+) Điều kiện cần: Hàm số đạt cực đại tại x   , suy ra : 2 2 1

Với m2y''2x10y''( 2)  140 (thỏa mãn)

Vậy với m  hoặc 1 m  hàm số đạt cực đại tại 2 x   2

Nhận xét: +) Với bài toán trên ta có thể chỉ ra luôn y''( 2)  2m2  , m6 0   

+) Với hàm số bậc ba Cụ thể với ví dụ trên, ta có thể trình bày gọn bằng cách giải hệ: '( 2) 0

''( 2) 0

y y

 Điều kiện đủ: Với xx0  và 0 m 1 y''  4 0 (không thỏa mãn)

Với xx0  và 0 m  1 y''0 (chưa kết luận được)

Hàm số có dạng y x4 có a    nên có cực đại là gốc tọa độ 1 0

Vậy x  không thỏa mãn 0 0

 Điều kiện đủ: Với m  và 1 x2 x02  1 y''80 (thỏa mãn)

Vậy với m  thì hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 1

BÀI TOÁN 3: Bài toán giao điểm

Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm : g x( ) pxqax3bx2cx d  0 (1)

Bước 2: Nhẩm nghiệm xx0 (bằng cách khử m ) ta đưa (1) về dạng tích:

Bước 3: ( Xét a không chứa tham số m - xem thêm Chú ý sau Ví dụ 2)

*) Nếu cắt tại một điểm (n 1) thì (1) có một nghiệm

 (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép xx0 1

0

00( ) 0

*) Nếu cắt tại hai điểm phân biệt (n 2) thì (1) có hai nghiệm

 (2)có nghiệm kép khác x hoặc có hai nghiệm phân biệt và có nghiệm 0 x 0



0

0( ) 0

*) Nếu cắt tại ba điểm phân biệt (n 3) thì (1) có ba nghiệm phân biệt

 (2)có hai nghiệm phân biệt khác x0 3