Câu 1(4đ): Tìm số tự nhiên n để 18n + và 41n − là hai số chính phương. Câu 2(4đ): a) Giải hệ phương trình: 2 2 1 12 1 8 x x y y x x y y  + + =     + + =   b) Giải phương trình: x + 3 + 6 - x (x + 3)(6 - x) = 3− . Câu 3(5đ): a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 3 3 3 abc + xyz (a + x)(b + y)(c + z) ≤ . b) Từ đó suy ra : 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 + + − ≤ Câu 4(5đ): Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông. a) Chứng minh rằng S ABCD AC 4 ≤ (MN + NP + PQ + QM). b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất. Câu 5(2đ): Cho ba số a,b,c thỏa mãn đồng thời các điều kiện: a+b+c=1 và 1 111 =++ cba . Chứng minh: 2011 2011 2011 1a b c+ + = Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh . Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Câu Nội dung Điểm Câu 1 Để 18n + và 41n − là hai số chính phương thì 2 18n p + = và ( ) 2 41 ,n q p q − = ∈ N ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 18 41 59 59p q n n p q p q ⇒ − = + − − = ⇔ − + = 1,0đ 1,0đ Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: 1 30 59 29 p q p p q q − = =   ⇔   + = =   1,0đ Từ 2 2 18 30 900n p+ = = = suy ra 882n = 0,5đ Thay vào biểu thức 41n − , ta được 2 2 882 41 841 29 q− = = = . Vậy với 882n = thì 18n + và 41n − là hai số chính phương. 0,5đ Câu 2 a) Giải hệ phương trình: 2 2 1 12 (1) 1 8 (2) x x y y x x y y  + + =     + + =   Lấy (1)+(2) theo vế ta được: (x + 1 y ) 2 + x + 1 y - 20 = 0. Đặt: t = x + 1 y => t 2 + t - 20 = 0 (t – 4)(t + 5) = 0  t 1 = 4, t 2 = -5 Với t = 4 => x + 1 y = 4 => x = 4 - 1 y . Thay vào (2) có: (2y-1) 2 = 0 => y = 1 2 => x = 2. Với t = -5 => x + 1 y = -5=> x = -5 - 1 y . Thay vào (2) có: 13y 2 + 5y + 1 = 0 phương trình vô nghiệm. Vậy hệ có nghiệm duy nhất: x = 2, y = 1 2 b) Giải phương trình: x + 3 + 6 - x - (x + 3)(6 - x) 3 (1)= Điều kiện : x+3 0 -3 x 6 6-x 0 ≥  ⇔ ≤ ≤  ≥  . Đặt : 2 2 x + 3 , , 0 9. v = 6 - x u u v u v  =  ≥ ⇒ + =    Phương trình đã có trở thành hệ : 2 2 2 u + v = 9 (u + v) - 2uv = 9 u + v - uv = 3 u + v = 3 + uv   ⇔     Suy ra : (3+uv) 2 -2uv = 9 uv = 0 u = 0 uv = -4 v = 0   ⇔ ⇔     x+3 = 0 x = -3 x = 6 6-x = 0   ⇔ ⇔      . Vậy phương trình có nghiệm là x =-3 , x = 6. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TOÁN Câu 3 a) Từ biểu thức : 3 3 3 abc xyz (a+x)(b+y)(c+z) (1)+ ≤ Lập phương 2 vế của (1) ta được : 2 2 3 3 abc + xyz + 3 (abc) xyz +3 abc(xyz) (a+x)(b+y)(c+z)≤ 2 2 3 3 abc + xyz+ 3 (abc) xyz +3 abc(xyz) ⇔ ≤ abc+xyz+abz+ayc+ayz+xbc+xyc+xbz 2 2 3 3 3 (abc) xyz +3 abc(xyz) (abz+ayc+ xbc)+ (ayz+xbz+xyc)⇔ ≤ (2) Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : 2 3 (abz+ayc+ xbc) 3 (abc) xyz≥ (3) 2 3 (ayz+xbz+ xyc) 3 abc(xyz)≥ (4) Cộng hai bất đẳng thức (3) và (4) ta được bất đẳng thức (2), do đó (1) được chứng minh. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) Áp dụng BĐT (1) với 3 3 a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = 3 - 3, y = 1, z = 1 Ta có : abc = 3 + 3 3 , xyz = 3- 3 3 , a+ x = 6, b + y = 2, c + z = 2 Từ đó : 3 3 3 3 3 3 3+ 3 3- 3 6.2.2 2 3+ ≤ = (đpcm). 1,0đ 0,5đ 0,5đ Câu 4 a) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của QN, MN, PQ. Khi đó : BJ = MN 2 (trung tuyến ∆ vuông MBN) Tương tự DK = PQ 2 . IJ = QM 2 (IJ là đtb ∆ MNQ). Tương tự IK = PN 2 . Vì BD ≤ BJ + JI + IK + KD. Dođó: ABCD AC AC S .BD (BJ+JI + IK+KD) 2 2 = ≤ AC = (MN+NP+PQ+QM) 4 - đpcm. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ b) Chu vi tứ giác MNPQ là : MN + NP + PQ + QM = 2BJ + 2IK +2DK + 2IJ = 2(BJ + JI + IK + KD) ≥ 2BD (cmt) Dấu bằng xảy ra khi đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ //NP, MN//PQ, MN=PQ (vì cùng là cạnh huyền 2 tam giác vuông cân bằng nhau), lúc đó MNPQ là hình chữ nhật. 0,5đ 0,5đ 1,0đ Câu 5 Ba số a,b,c, thỏa mãn đồng thời các điều kiện: a+b+c = 1 và 1 111 =++ cba . Từ 1 111 =++ cba . => ab+ac+bc= abc <=> (a+b+c)(ab+ac+bc) = abc 0,5đ <=> (a+b)(b+c)(c+a) = 0 <=> a+b = 0 hoặc b+c= 0 hoặc c+a = 0. 0,5đ Nếu: a+b = 0 => c = 1 => a 2011 + b 2011 = 0 => a 2011 + b 2011 +c 2011 = 1 Tương tự với: b+c= 0 hoặc c+a = 0. 1,0đ A B D C M N P Q I J K MA TRẬN ĐỀ Nội dung – Chủ đề Mức độ Tổng Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao KQ TL KQ TL KQ TL Số học C1 4 1 4 Đại số C2a 2 C2b 2 C3a,b;C5 7 5 11 Hình học C4a 3 C4b 2 2 5 Tổng 2 4 3 9 3 7 8 20 Người ra đề: Nguyễn Thái Hòa. Đơn vị: Trường THCS Phúc Thịnh. .  1,0đ Từ 2 2 18 30 900n p+ = = = suy ra 88 2n = 0,5đ Thay vào biểu thức 41n − , ta được 2 2 88 2 41 84 1 29 q− = = = . Vậy với 88 2n = thì 18n + và 41n − là. Nội dung Điểm Câu 1 Để 18n + và 41n − là hai số chính phương thì 2 18n p + = và ( ) 2 41 ,n q p q − = ∈ N ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 18 41 59 59p q n n p q p