De HSGDe xuat

Đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại P.. Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài tại Q.[r]

PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011

MÔN THI : TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4 điểm)

1) Cho a, b, c là số hữu tỷ

Chứng minh rằng      

a b  b c  c a là một số hữu tỷ

2) Rút gọn:

S =

2 1 1 2  3 2 2 3   1999 1998 1998 1999  2000 1999 1999 2000 

Câu 2 (4 điểm).

1) Tìm số dư của phép chia

S = 1n + 2n + 3n + 4n cho 4 2) Tìm số nguyên n để cho n + 4 chia hết cho n – 1

Câu 3 (4 điểm) Giải hệ phương trình :

9

1 1 1

1 27

x y z

x y z

xy yz zx

   











Câu 4 (2 điểm) Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba

cạnh) Chứng minh rằng:

2

p a p b p c a b c

Dấu bằng trong đẳng thức trên xảy ra lúc tam giác ABC có đặc điểm gì?

Câu 5 (6 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh là 3 lấy điểm M trên cạnh BC

Đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại P Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài tại Q BP cắt CQ tại I

1) Cho CM = 1 Tính BI, CI ?

2) Khi M di động trên đoạn BC, tìm quỹ tích điểm I

………Hết………

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011

MÔN THI : TOÁN

Câu 1 (4 điểm)

1) Cho a, b, c là số hữu tỷ

Chứng minh rằng      

a b  b c  c a

là một số hữu tỷ

Đặt x = a – b, y = b – c, z = c – a  x + y + z = 0 0,5

Ta có: 2 2 2

x  y  z =

2

1 1 1

x y z

 

2

xy yz zx

0,5

=

2

1 1 1

x y z

 

2 x y z xyz

 

=

2

1 1 1

x y z

 

0,5

x y z xyz

Vậy :      

a b  b c  c a

là một số hữu tỷ

0,5

2) Rút gọn:

S =

2 1 1 2  3 2 2 3   1999 1998 1998 1999  2000 1999 1999 2000 

Xét k  N, k  1

Ta có :  

 

 2 2 

1

k k k k

k k k k k k k k



 

 

k k k k

0,5

Cho k = 1, 2, 3, … , 1999, 2000, ta có:

2 1 1 2   1 2

3 2 2 3   2  3 ………

1

2000 1999 1999 2000 

1999 2000

1

 P =

Câu 2 (4 điểm).

1) Tìm số dư của phép chia

S = 1n + 2n + 3n + 4n cho 4

* Nếu n lẻ, n = 2k + 1, k  N, ta có:

4n  4

1n + 3n = 4 (3n-1 – 3n-2 + … - 1)  4

2n = 2.4k

+ Với k = 0  Sn = 4p +2

+ Với k > 0  Sn = 4q

1

* Nếu n chẵn, n = 2k , k  N, ta có:

4n  4

2n  4

3n = 9k = (2.4 + 1)k = 4t + 1

1n = 1

 Sn = 4h +2

Vậy: Khi chia S = 1n + 2n + 3n + 4n cho 4 , hoặc ta có dư bằng 0,

hoặc có dư bằng 2

1

2) Tìm số nguyên n để cho n + 4 chia hết cho n - 1

Ta có

1

n

n



  

  , do đó muốn n + 4 chia hết cho n – 1 thì

5 1

n  

Z

n – 1   5; 1;1;5  

0,5

 Khi n – 1 = - 1  n = 0 ; thỏa mãn

 Khi n – 1 = 1  n = 2; thỏa mãn

 Khi n – 1 = -5  n = - 4 ; thỏa mãn

 Khi n – 1 = 5  n = 6 ; thỏa mãn

1

Vậy với n = 0; 2; -4; 6 thì (n + 4)  (n - 1) 0,5

Câu 3 (4 điểm) Giải hệ phương trình :

9

1 1 1

1 27

x y z

x y z

xy yz zx

   











Từ x + y + z = 9  81 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) 1

 81 = x2 + y2 + z2 + 2.27  x2 + y2 + z2 = 27 1

 x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx  2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2zx

(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 0  x = y = z

1

Do đó:

3

z

x y z



  



1

Câu 4 (2 điểm) Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba

cạnh) Chứng minh rằng:

2

p a p b p c a b c

Dấu bằng trong đẳng thức trên xảy ra lúc tam giác ABC có đặc điểm gì?

Ta có: p – a = 2 2

a b c b c a

a

 

> 0 Tương tự: p – b > 0, p – c > 0

0,5

áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

(p – a) + (p – b)  2 (p a p b )(  )

p a  p b 

2 (p a p b )(  )  p a   p b 

p a  p b  4



p a  p b  p a p b   p a b  c

0,5

Tương tự

p b p c a

p c p a b

Cộng từng vế ta có:

2

p a p b p c a b c

0,5

Ta có:

2

p a p b p c a b c



2

a b c a a b c b a b c c a b c

0,5

b c a a c b a b c a b c

Dấu “=” xảy ra  a = b = c  ABC là tam giác đều

Câu 5 (6 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh là 3 lấy điểm M trên cạnh BC

Đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại P Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo

dài tại Q BP cắt CQ tại I

1).Cho CM = 1 Tính BI, CI ?

2) Khi M di động trên đoạn BC, tìm quỹ tích điểm I

Q

P

M

I

0,5

1) Ta có: CM = 1  BM = 2

CMD

  BMQ (g g)  MC CD BQ 6

MB BQ  

0,5

ABM

  CPM (g g) 

3 2

MC CP

CP

MB AB  

0,5

Xét BCQ và CPBcó: QBC = BCP = 900, 2

BQ CB

BC CP 

0,5

 BCQ  CPB(c g c)  BQC CBP , BCQ CPB  0,5

Mà CBP PBQ  902  BQC PBQ   902 0,5

 BIQ  902  BIC vuông tại I 0,5

 BIC  CIP(g.g)  IB BC 2

IC CP 

0,5

Do đó: BC2 BI2CI2  5CI2

3 5

CI 

và

6 5

2) Trong trương hợp tổng quát, đặt CM = x  BM = 3 – x 0,5

Tương tự cách chứng minh trên (ý 1), ta có BIC vuông tại I

 BIC  90 2  I thuộc đường tròn đường kính BC

1

Người ra đề: Nguyễn Thị Hường.

Đơn vị: Trường THCS Minh Quang.