Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC tới đường tròn sao cho góc BAC nhỏ hơn 90 0.. Tia phân giác của góc BAC.[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
I THIẾT LẬP MA TRẬN:
Mức độ
Chủ đề
Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao Tổng
Số học C3(2)
2
C3(1)
2
1 4 Đại số C1(1)
2
C4
2
C2; C1(2)
4
4
10
3
C5(3,4)
3
4
6
4
2
5
5
11
9
20
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Trang 2PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 4 điểm).
1) Rút gọn biểu thức:
A = 3940 3638 3633 32 1
1
2) Cho A = 2 21 2 1 1 1
1 4( 1)
x
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A
Câu 2 (4 điểm) Giải hệ phương trình
1 11
3 6 7
x y z x y z
x y z
Câu 3 (4 điểm)
1) Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, x Z có các hệ số nguyên
Chứng minh rằng nếu p(x) chia hết cho 5 với mọi trị nguyên của x thì các hệ số a,
b, c, d đều chia hết cho 5
2) Tìm số b nguyên tố sao cho b + 6, b + 14, b + 12 và b + 8 đều là số nguyên tố
Câu 4 (2 điểm) Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 + 32 = 10ab Tính giá trị của biểu thức:
P = a b
a b
Câu 5 (6 điểm) Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến SA và cát
tuyến SBC tới đường tròn sao cho góc BAC nhỏ hơn 900 Tia phân giác của góc BAC dây BC tại D và cắt đường tròn tâm O tại E Các tiếp tuyến của của đường tròn O tại C
và E cắt nhau tại điểm N Gọi Q và P theo thứ tự là giao điểm của từng cặp đường thẳng
AB và CE, AE và CN
1) Chứng minh: SA = SD
2) Chứng minh EN và BC song song với nhau
3) So sánh tam giác QCB và tam giác PCE
4) Chứng minh hệ thức 1 1 1
CN CD CP
……….HẾT……….
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Trang 3PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Câu 1 ( 4 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:
A = 3940 3638 3633 32 1
1
Với tử số Đặt a = x3, ta nhận được
TS = a13 a12 a11 a 1
13 12 11
( 1)
a
0,5
= 14 1
1
a
a
= 423 1
1
x x
0,25
Với mẫu số Đặt b = x2, ta nhận được:
MS = b20 b19 b18 b 1
=
20 19 18
( 1)
b
0,5
=
21 1 ( 1)
b b
= 422 1
1
x x
0,25
Suy ra: A = 423 1
1
x x
: 422 1
1
x x
= 423 1
1
x x
422 1
1
x x
0,5
2) Cho A = 2 21 2 1 1 1
1 4( 1)
x
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A
a) A có nghĩa khi 1xx2 2
0,5
b) A = 1 2 1 12 1 2 1 1
4 4
1
x x
1 x 12 1 x 12 x 2
0,5
Trang 4A = 1 1 1 1
2
x
0,5
Nếu 1 < x < 2 thì A = 2
1 x
Nếu x > 2 thì A = 2
1
x
0,5
Câu 2 (4 điểm) Giải hệ phương trình
1 11(1) (2)
3 6 7
x y z x y z
x y z
Phương trình (1) trở thành u2 + u -12 = 0 (u - 3)(u + 4) = 0 1
3
4
u
u
; (u = - 4 không thỏa mãn điều kiện vì u 0) 0,5
Do đó: x y z 1 = 3 x y z 8 0,5
3 6 7 3 6 7 16 2
x y z x y z
0,5
Vậy:
.3
1
.6 3 2
.7
x
y
z
1
Câu 3 (4 điểm)
1) Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, x Z có các hệ số nguyên Chứng minh rằng nếu p(x) chia hết cho 5 với mọi trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5
Xem đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, x Z có các hệ a, b, c, d nguyên
Theo đề bài, ta có
P(x) 5, x Z
0,5
Trang 5Suy ra:
(0) 5 (1) 5 ( 1) 5 (2) 5
p p p p
5
5 5
d
a b c d
a b c d
a b c d
0,5
5 5
a b c
a b c
a b c
1 2 3
Từ (1) và (2) 2b 5, (2, 5) = 1 b 5
0,5
Do đó ta có:
4a c a c 55
4 5
Từ (4) và (5) 3a 5, (3, 5) = 1 a 5
c 5
Vậy: Nếu P(x) 5 x Z thì: a, b, c, d 5
0,5
2) Tìm số b nguyên tố sao cho b + 6, b + 14, b + 12 và b + 8 đều là số nguyên tố
Bất kì số tự nhiên b nào cũng có một trong các dạng :
5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4, với k N
0,5
Nếu b = 5k + 1 thì b + 14 = 5k + 1 + 14 = 5k + 15 5, không nguyên tố
Nếu b = 5k + 2 thì b + 8 = 5k + 2 + 8 = 5k + 10 5, không nguyên tố
Nếu b = 5k + 3 thì b + 12 = 5k + 15 5, không nguyên tố
Nếu b = 5k + 4 thì b + 6 = 5k + 10 5, không nguyên tố
Do đó b = 5k mà b nguyên tố nên b = 5
1
Ta suy ra: b + 6 = 11
b + 8 = 13
b + 12 = 17
b + 14 = 19, đều là số nguyên tố
0,5
Câu 4 (2 điểm) Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 + 32 = 10ab Tính giá trị của biểu thức:
P = a b
a b
Trang 6ĐÁP ÁN 2 ĐIỂM
Xét: P2 = ( )22 22 2 22
a b a ab b
a b a ab b
= 3 22 3 22 6
0,5 0,5
= 1010 66 164 41
ab
ab ab
ab
ab
Mà: P > 0 P = 21 (Vì a > b > 0) 0,5
Câu 5 (6 điểm)
G
T
S (O); tiếp tuyến SA,
cát tuyến SBC, (B, C
(O)); BAC< 900; AD
BC = D AD(O) =
E
BAE CAE ; tiếp tuyến tại
C và E cắt nhau tại N;
AB CE = Q ; AE
CN = P
S
A
O
C
P
D B
N Q
0,5
K
L
a) SA = SB
b) EN // BC
c) So sánh QCB và
PCE
d) CN1 CD1 CP1
Chứng minh:
ĐIỂM
a) Tia AE là phân giác góc BAC, nên BE EC
2
SAD sđ (AB BE ); 1
2
ADS sđ (EC AB ), mà BAE CAE (gt), nên
BE EC
SAD = ADS ASD cân tại S SA = SD
0,5 0,5 0,5
b) NECcân tại N vì có NC = NE Do đó, NEC NCE
Nhưng NCE = ECB ECB = NEC Vậy EN // BC
0,5 0,5
c) Ta có: AQC sđ (AC BE ) : 2; APC sđ (AC EC ): 2
Vì AE là phân giác góc A APC AQC QCBPCE (g.g)
0,5 0,5
Trang 7e) Do EN // BC, nên theo định lí Ta-let đối với tam giác PCD
Ta có: CD EN PC PN PC PC NC 1 PC NC
Vì EN = NC,
PC
NC CD
NC
1
Chia hai vế cho NC, ta được:
CP CD CN PC
NC CD
1 1 1 1
1 1
0,5 0,5
1
Người ra đề: Nguyễn Thị Hường.
Đơn vị: Trường THCS Minh Quang.