Bài giảng toán v

Định nghĩa:Biến ngẫu nhiên là một hàm số đặt tương ứng mỗi phần tử trong không gian mẫu với Trong đó, s là 1 điểm mẫu của không gian mẫu.. Hàm phân phối xác suất Định nghĩa: Hàm số f

Bài1111:::: KHÁI NI KHÁI NI KHÁI NIỆM C ỆM C ỆM CƠ B Ơ B Ơ BẢN VỀ XÁC SUẤT ẢN VỀ XÁC SUẤT ẢN VỀ XÁC SUẤT

1 KHÔNG GIAN MẪU BIẾN CỐ 1.1 Không gian mẫu

Mỗi một kết quả của không gian mẫu được gọi là một phần tử, hay một điểm mẫu

Nếu không gian mẫu có hữu hạn phần tử, ta có thể liệt kê các phần tử (giống như tập hợp) Nếu không gian mẫu có quá nhiều hoặc vô hạn phần tử thì ta có thể mô tả nó bởi 1 mệnh đề

hoặc quy tắc Trong một số trường hợp, ta có thể sử dụng sơ đồ cây (ví dụ 2)

1.1.2 Ví dụ

Ví dụ 1: Xét phép thử “tung 1 đồng xu” Tìm không gian mẫu?

Không gian mẫu: Ω ={N S, } (S: biểu thị mặt sấp xuất hiện, N: biểu thị mặt ngửa xuất hiện)

Ví dụ 2: Xét phép thử “tung 1 đồng xu , nếu mặt sấp xuất hiện thì tung tiếp lần thứ 2, nếu mặt ngửa

xuất hiện thì tung 1 con xúc xắc” Tìm không gian mẫu?

Không gian mẫu : Ω ={SS SN N N, , 1, 2, 3, 4, 5, 6N N N N }

Ví dụ 3: Xét phép thử “tung 1 con xúc xắc” Tìm không gian mẫu?

Ví dụ 4: Lấy ngẫu nhiên 1 điểm (x,y) nằm trên biên hoặc thuộc miền trong của hình tròn tâm O bán

kính 2 Tìm không gian mẫu?

Ví dụ 5: Một hộp có 5 viên bi: 2 xanh, 3 đỏ Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 viên bi trong số 5 viên đó Tìm không gian mẫu?

Tập hợp toàn bộ không gian mẫu gọi là biến cố chắc chắn

Mỗi một phần tử của không gian mẫu cũng là một biến cố, gọi là biến cố sơ cấp

1.2.2 Mối liên hệ giữa các biến cố

A, B là 2 biến cố của không gian mẫu S

Phần bù của biến cố A trong S là biến cố chứa tất cả những

phần tử nằm trong S nhưng không nằm trong A

Kí hiệu: A

A còn được gọi là biến cố đối của biến cố A

Giao của 2 biến cố A và B là biến cố chứa tất cả các phần tử

chung của A và B

Kí hiệu: A B∩ (hoặc AB)

A, B được gọi là 2 biến cố xung khắc (rời nhau) nếu A B∩ = ∅

Hợp của 2 biến cố A và B là biến cố chứa tất cả các phần tử

thuộc A hoặc thuộc B

Ví dụ 6: Xét phép thử “tung 1 con xúc xắc”, A là biến cố “số chấm xuất hiện là chẵn”, B là biến cố “

số chấm xuất hiện nhỏ hơn 4 ” Tìm các biến cố A∪B A, ∩B A, ∪B?

Ví dụ 7: Xét 1 học sinh bất kì của lớp 12A thi tốt nghiệp môn Toán và Văn, gọi A là biến cố “học

sinh đó đỗ môn Toán ”, B là biến cố “ học sinh đó đỗ môn Văn” Biểu diễn các biến cố sau:

a) “Học sinh đó đỗ môn Toán và trượt môn Văn”

b) “Học sinh đó đỗ ít nhất 1 trong 2 môn Toán, Văn”

c) “Học sinh đó không đỗ môn nào trong 2 môn Toán, Văn”

d) “Học sinh đó đỗ đúng 1 môn”

Lời giải:

2 ĐẾM CÁC ĐIỂM MẪU 2.1 Quy tắc nhân

Nếu một công việc được chia ra k giai đoạn, giai đoạn 1 có n cách thực hiện, giai đoạn 2 1

có n2cách thực hiện, … giai đoạn k có n k cách thực hiện, thì số cách thực hiện xong công việc là

1 2 k

n n n cách

1 công việc : k giai đoạn

Ví dụ: Để đi từ nhà đến trường, An phải đi qua hợp tác xã Từ nhà đến hợp tác xã có 3 con đường, từ

hợp tác xã đến trường có 4 con đường Hỏi có bao nhiêu con đường để An đi từ nhà đến trường? Lời giải: 3.4 = 12 cách

2.2 Quy tắc cộng

Nếu một công việc được chia ra k trường hợp, trường hợp 1 có n1 cách thực hiện, trường hợp 2 có n2cách thực hiện, … trường hợp k có n k cách thực hiện, thì số cách thực hiện xong công việc là n1 +n2+ +n k cách

1 công việc : k trường hợp

Ví dụ: Một nhà máy cần mua thiết bị sản xuất, họ có thể mua của 1 trong 3 công ty A, B, C Công ty

A có 2 loại thiết bị, công ty B có 4 loại thiết bị, công ty C có 5 loại thiết bị Hỏi họ có bao nhiêu cách lựa chọn thiết bị?

trường hợp k: n k cách

.…

Lời giải: 2 + 4 + 5 = 11 cách

2.3 Hoán vị

Định nghĩa: Một hoán vị là một sắp xếp của toàn bộ hoặc một bộ phận của một tập phần tử

Định lý:

Số hoán vị của n phần tử phân biệt là P n =1.2.3 n=n!

Số hoán vị của k phần tử phân biệt trong n phần tử (chỉnh hợp chập k của n phần tử) là:

!

!

k n

n A

n k

=

−

Số những hoán vị của n phần tử phân biệt được sắp xếp theo 1 vòng tròn là (n - 1)!

Số những hoán vị của n phần tử phân biệt mà trong đó n1 phần tử thuộc kiểu thứ nhất, n2

phần tử thuộc kiểu thứ hai, …., n k phần tử thuộc kiểu thứ k là

Chú ý: Khi ta sắp xếp n phần tử thành r tập con (r ngăn), mà thứ tự các phần tử bên trong 1 ngăn là

không quan trọng, các tập con này đôi một giao nhau bằng tập ∅ , còn hợp tất cả các tập con chính là

tập ban đầu, thì ta gọi đó là 1 phân hoạch

Khi đó số cách phân hoạch 1 tập hợp n phần tử thành r ngăn, trong đó n phần tử thuộc ngăn 1

thứ 1, n phần tử thuộc ngăn thứ 2, …, 2 n phần tử thuộc ngăn thứ r là: r

C ) thì về bản chất chính là ta đã thực hiện một phân hoạch với 2 ngăn: một

ngăn chứa k phần tử, một ngăn chứa n – k phần tử Khi đó:

!

k n

n C

3 XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ 3.1 Định nghĩa

Định nghĩa: Xác suất của biến cố A là tổng xác suất của tất cả các điểm mẫu trong A Kí hiệu P(A)

Định lý: Nếu 1 phép thử có thể dẫn đến bất kỳ 1 trong N kết quả phân biệt đồng khả năng và trong

đó có đúng n kết quả thuận lợi cho biến cố A, thì xác suất của biến cố A là

( ) n

P A

N

=Nói cách khác

P(A) =

Ví dụ 14: Rút 5 quân bài từ bộ bài 52 quân Tìm xác suất để trong đó có 2 cây Át và 3 cây J

Lời giải:

Ví dụ 15: Lấy lần lượt 2 quân bài từ một bộ bài theo phương thức không hoàn lại Tính xác suất để 2

quân bài đều là quân cơ

Số khả năng thuận lợi cho A Tổng số khả năng có thể xảy ra

Lời giải:

Ví dụ 16: Trong ngăn bàn có 10 quyển sách: 3 quyển Toán, 4 quyển Văn, 3 quyển Tiếng Anh Lấy ngẫu nhiên 3 quyển Tìm xác suất để trong 3 quyển sách lấy được có đúng 1 quyển Văn được chọn? Lời giải:

Bài 2: CÁC Đ

Bài 2: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ PHÉP TOÁN XÁC SUẤT ỊNH LÝ VỀ PHÉP TOÁN XÁC SUẤT ỊNH LÝ VỀ PHÉP TOÁN XÁC SUẤT

1 QUY TẮC CỘNG 1.1 Định lý 1: Nếu A, B là hai biến cố tùy ý thì :

Chú ý: Khái niệm một phân hoạch của không gian mẫu

Hệ biến cố {B B1, 2, ,B k} gọi là 1 phân hoạch (hệ

đầy đủ) của không gian mẫu S nếu thỏa mãn đồng thời hai

điều kiện:

+) Hệ biến cố {B B1, 2, ,B k} đôi một xung khắc, tức là

B i ∩B j = ∅ ∀, i j, =1, ,k i≠ j

+) Hệ biến cố {B B1, 2, ,B k} hợp lại thành không gian mẫu, tức là B1 ∪B2∪ ∪ B k =S

1.2 Định lý 2: Nếu A, A là hai biến cố đối lập thì P A( )+P A( )= 1

Chú ý: Trong một số trường hợp tính trực tiếp xác suất của biến cố A là khó khăn, ta có thể tính gián tiếp thông qua biến cố A dựa vào công thức trên

Ví dụ 1: Xác suất để Paula thi đỗ môn toán là 2/3, thi đỗ môn tiếng anh là 4/9, và xác suất để cô ấy

thi đỗ cả 2 môn là 1/4 Tính xác suất để Paula thi đỗ ít nhất 1 môn? Không thi đỗ môn nào trong 2 môn trên?

Ví dụ 2: Trong 1 nhà tù liên bang có 2/3 số tù nhân dưới 25 tuổi Biết rằng 3/5 số tù nhân là nam, 5/8

số tù nhân là nữ hoặc trên 25 tuổi Chọn ngẫu nhiên 1 tù nhân, tìm xác suất để tù nhân đó là nữ và trên 25 tuổi?

Lời giải:

2 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Ta xét ví dụ nhỏ sau đây: Có 10 người tham gia một cuộc tuyển kỹ sư công trình: vòng 1 có 4 người đạt, 6 người trượt Những người qua vòng 1 sẽ thi tiếp vòng 2, vòng 2 có 2 người đạt, 2 người trượt

Khi đó nếu ta chọn bất kỳ 1 người trong 10 người thì xác suất anh ta đạt qua cả 2 vòng sẽ là

2/10 Nhưng nếu ta biết trước điều kiện, anh ta đã qua vòng 1 thì khi đó xác suất anh ta đạt qua cả 2 vòng sẽ là 2/4 Rõ ràng khi biến cố A “anh ta đã qua vòng 1” đã xảy ra, thì xác suất của biến cố B

“anh ta qua cả 2 vòng” đã bị thay đổi Khi đó ta nói xác suất của biến cố B với điều kiện biến cố A

Ví dụ 4: Xác suất để 1 chuyến bay khởi hành đúng giờ là P(A) = 0,83 Xác suất để 1 chuyến bay đến

đúng giờ là P(B) = 0,82 Xác suất để nó khởi hành và đến đúng giờ là P(AB) = 0,78 Tính xác suất để

1 chuyến bay:

a) Đến đúng giờ biết rằng nó khởi hành đúng giờ

b) Khởi hành đúng giờ biết rằng nó đến đúng giờ

c) Đến đúng giờ biết rằng nó khởi hành không đúng giờ

P A B =P A hoặc P B A( | )=P B( )

3 QUY TẮC NHÂN 3.1 Định lý

Định lý 1: Nếu trong một phép thử, các biến cố A, B có thể cùng xảy ra thì

3.2 Ví dụ

Ví dụ 5: Hộp 1 có 2 bi xanh, 5 bi trắng Hộp 2 có 3 bi xanh, 3 bi trắng Từ mỗi hộp ta lấy ra 1 viên

bi Tính xác suất 2 viên bi lấy ra cùng màu?

Hệ biến cố {B B1, 2, ,B k} là một phân hoạch của không gian mẫu S, P B( )i ≠0,i=1,k Khi

đó với một biến cố A bất kì trong S ta có:

Ví dụ 7: Trong một dây chuyền sản xuất, ba máy B1, B2, và B3 tạo ra 30%, 45%, và 25% sản phẩm tương ứng Biết rằng tỷ lệ phế phẩm của mỗi máy tương ứng là 2%, 3% và 2% Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm Tính xác suất để nó là phế phẩm

Lời giải:

Ví dụ 8: Có 2 lô sản phẩm, lô 1 có 5 chính phẩm, 5 phế phẩm; lô 2 có 6 chính phẩm, 4 phế phẩm Từ mỗi lô lấy ra 1 sản phẩm Sau đó từ 2 sản phẩm thu được lại lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm sau cùng là chính phẩm?

4.2 Quy tắc Bayes

Hệ biến cố {B B1, 2, ,B k} là một phân hoạch của không gian mẫu S, P B( )i ≠0,i=1,k Khi

đó với một biến cố A bất kì trong S thỏa mãn P A( )≠ , ta có: 0

1 Dấu hiệu để nhận biết hệ biến cố {B B1, 2, ,B k} là phân hoạch (hệ đầy đủ):

+) {B B1, 2, ,B k} là các biến cố xung khắc (tách rời nhau)

+) P B( )1 +P B( )2 + +P B( )k =1

2 Dấu hiệu nhận biết một số biến cố quan trọng:

+) Biến cố giao thường được diễn đạt bởi các từ: và, đồng thời …

+) Biến cố hợp thường được diễn đạt bởi các từ: hoặc, ít nhất…

+) Biến cố điều kiện thường được diễn đạt bởi các từ: biết rằng, với điều kiện…

Bài 3: BI

Bài 3: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

1 KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN

Ta thấy mỗi điểm mẫu sẽ xác định 1 giá trị thực duy nhất: 0, 1, 2, hoặc 3 Các giá trị này là các con

số ngẫu nhiên được xác định từ kết quả của phép thử Ở đây nếu ta gọi X là số phế phẩm có trong 3 sản phẩm kiểm tra, thì X có thể nhận giá trị 0, 1, 2, 3 Khi đó ta nói X là 1 biến ngẫu nhiên

Định nghĩa:Biến ngẫu nhiên là một hàm số đặt tương ứng mỗi phần tử trong không gian mẫu với



Trong đó, s là 1 điểm mẫu của không gian mẫu

- Tập tất cả các số thực mà biến ngẫu nhiên X nhận được gọi là tập giá trị

- Dựa vào đặc điểm của tập giá trị, người ta chia biến ngẫu nhiên thành 2 loại:

+) Biến ngẫu nhiên rời rạc: là bnn mà tập giá trị là tập đếm được

+) Biến ngẫu nhiên liên tục: là bnn mà tập giá trị là 1 khoảng thực (tập không đếm được)

- Trong thực tế, bnn liên tục thường biểu diễn cho các dữ liệu đo được như chiều cao, cân nặng, nhiệt

độ, lượng mưa…Bnn rời rạc thường biểu diễn cho các dữ liệu đếm được như số sản phẩm lỗi, số tai nạn giao thông, số sinh viên…

2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

2.1 Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa: Hàm số f(x) là hàm phân phối xác suất

của bnn rời rạc X nếu với mỗi kết cục có thể có x ta

Ví dụ 1: Một hộp kẹo sôcôla có 8 chiếc: 3 chiếc kẹo

nhân sữa, 5 chiếc kẹo nhân hạt điều Lấy ngẫu nhiên

ra 4 chiếc Lập bảng phân phối xác suất của biến

ngẫu nhiên chỉ số kẹo nhân sữa lấy được

Lời giải:

Ví dụ 2: Một thiết bị gồm 2 bộ phận, xác suất trong

cùng khoảng thời gian t các bộ phận bị hỏng là 0,2;

0,35 Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong khoảng thời

gian t Tìm phân phối xác suất của X?



a) Tính k?

b) Tính P X( ≤1)Lời giải:

Ví dụ 5: Thời gian mà một gia đình cho chạy

máy hút bụi trong một năm là bnn liên tục X

có hàm mật độ như sau (đơn vị: 100h)

2.2 Hàm phân phối tích lũy

Định nghĩa: Bnn rời rạc X có hàm phân phối xác

Lời giải:

2.2 Hàm phân phối tích lũy

Định nghĩa: Bnn liên tục X có hàm mật độ xác suất f x( ) Khi đó hàm số:

Chú ý: Hàm phân phối tích lũy là hàm không giảm,

luôn bắt đầu từ 0 và kết thúc tại 1

- Nhìn vào biểu đồ hàm phân phối xác suất người ta

có thế thấy được sự phân phối xác suất của biến ngẫu

nhiên X: tại vị trí nào xác suất xảy ra là lớn, tại vị trí

nào là nhỏ

2.3 Chú ý:Với bnn liên tục thì tập giá trị là một khoảng thực, không đếm được Vì thế xác suất để X nhận 1 giá trị cụ thể thuộc tập giá trị luôn bằng 0:P X( =x)= Ta chỉ 0

quan tâm tới giá trị của hàm f (x) trên 1

3 HÀM CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

Định lý: Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất f (x) Giả sử Y = u (X) xác định phép biến

đổi một một giữa các giá trị của X, Y sao cho y = u (x) giải được duy nhất nghiệm x tính theo y là x

= w(y) Khi đó phân phối xác suất của Y là

14

3)(

Bài

Bài 4444: : : : CÁC S CÁC S CÁC SỐ Ố Ố Đ ĐĐ ĐẶC TR ẶC TR ẶC TRƯNG C ƯNG C ƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN ỦA BIẾN NGẪU NHIÊN ỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

PHÂN PH PHÂN PHỐI NHỊ THỨC VÀ SIÊU BỘI ỐI NHỊ THỨC VÀ SIÊU BỘI ỐI NHỊ THỨC VÀ SIÊU BỘI

60

1.1 Định nghĩa: Cho X là biến ngẫu

nhiên với phân phối xác suất f (x) Giá trị

trung bình (hay kỳ vọng) của X, kí hiệu là

µ hoặc E(X) và được xác định như sau:

x

1.1 Định nghĩa: Cho X là biến ngẫu nhiên với

phân phối xác suất f (x) Giá trị trung bình (hay kỳ

vọng) của X, kí hiệu là µ hoặc E(X) và được xác định như sau:

Ví dụ 1: Trong một trò chơi cờ bạc, người

ta tung ngẫu nhiên ba đồng xu Người chơi

sẽ nhận được 5 USD nếu tất cả các đồng xu

đều sấp hoặc đều ngửa, người chơi sẽ mất 3

USD nếu ngược lại Người chơi hy vọng sẽ

kiếm được bao nhiêu?

Lời giải:

Ví dụ 2: Đặt X là tuổi thọ tính theo giờ của một thiết

bị điện tử nào đó, X là một biến ngẫu nhiên Hàm

mật độ xác suất là

3

20000, 100( )

Lời giải:

-

Chú ý:

- Kỳ vọng của bnn X không nhất thiết là 1 giá trị của tập giá trị, mà nó thường nằm trong

khu vực có phân phối xác suất cao

- Trong thực tiễn các giá trị của biến ngẫu nhiên X luôn biến đổi nhưng giá trị trung bình

của X thì tương đối ổn định và là giá trị đại diện cho biến X Ta nói E(X) là tâm của phân phối xác suất

- E aX( +b)=aE X( )+ ,b a,b là hằng số

1.2 Định lý: Cho X là bnn rời rạc với phân

phối xác suất f (x) Giá trị trung bình (hay kỳ

vọng) của bnn g(X), xác định như sau:

Ví dụ 3: X là bnn chỉ số lượng xe ôtô đến cửa

hàng rửa xe vào khoảng thời gian từ 4 giờ

chiều đến 5 giờ chiều của một ngày thứ sáu

khô ráo, có phân phối xác suất như sau:

Đặt g(X) = 2X - 1 là số tiền (tính theo

USD) mà người chủ cửa hàng phải trả cho

công nhân rửa xe Người công nhân rửa xe hy

vọng sẽ kiếm được bao nhiêu tiền trong

khoảng thời gian nói trên?

Lời giải:

1.2 Định lý: Cho X là bnn liên tục với phân

phối xác suất f (x) Giá trị trung bình (hay kỳ

vọng) của bnn g(X), xác định như sau:

2 PHƯƠNG SAI

2.1 Định nghĩa: X là bnn với phân phối xác

suất f (x) Phương sai của X, kí hiệu σ2, là kỳ

vọng của bình phương độ lệch giữa X và giá trị

2.1 Định nghĩa: X là bnn với phân phối

xác suất f (x) Phương sai của X, kí hiệu σ2,

là kỳ vọng của bình phương độ lệch giữa X

- Phương sai để đánh giá độ phân tán của biến ngẫu nhiên X xung quanh giá trị trung bình

Nếu các giá trị của X tập trung quanh giá trị trung bình (tức là gần µ) thì phương sai nhỏ ,

và ngược lại Trong thực tế, phương sai thể hiện độ đồng đều, mức độ ổn định của bnn X

- Căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn của bnn X, kí hiệu σ: σ = σ2

Ví dụ 5: X là bnn biểu thị số xe ôtô được sử dụng

cho mục đích kinh doanh chính thức trong 1 ngày

Hãy chỉ ra rằng phương sai của phân phối xác

suất tại công ty B lớn hơn so với tại công ty A

lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên g (X)= 3X – 1?

Lời giải:

3 MỘT SỐ DẠNG PHÂN PHỐI RỜI RẠC 3.1 Phân phối nhị thức

Một thí nghiệm thường bao gồm nhiều phép thử được thực hiện lặp đi lặp lại, mỗi phép thử người ta thường quan tâm đến một biến cố, gọi là biến cố thành công, biến cố còn lại gọi là biến cố thất bại Ứng dụng rõ ràng nhất là kiểm tra các sản phẩm của một dây chuyền sản xuất, mỗi lần kiểm tra chính là 1 phép thử, ta có thể đặt biến cố thành công là “sản phẩm kiểm tra là chính phẩm”, biến

cố thất bại là “sản phẩm kiểm tra là phế phẩm” Hoặc một ví dụ khác, đó là khi rút các quân bài liên tiếp từ một cỗ bài, mỗi lần rút được coi là thành công nếu rút được quân cơ, ngược lại là thất bại Nếu mỗi lần rút một quân bài, rồi lại hoàn lại và xáo cỗ bài trước khi rút quân tiếp theo, thì cả hai lần rút quân bài đều có tính chất tương tự nhau, nhưng kết quả thì độc lập với nhau, và xác suất của biến

cố thành công trong mỗi phép thử là như nhau Người ta gọi quá trình trên là quá trình Bernoulli

Tổng quát, ta gọi Quá trình Bernoulli là quá trình có tính chất sau:

1 Gồm n phép thử cùng loại được lặp đi lặp lại một cách độc lập

2 Mỗi biến cố của một phép thử được phân loại theo biến cố thành công hoặc biến cố thất bại

3 Xác suất của biến cố thành công trong mỗi phép thử đều bằng nhau và được kí hiệu là p

Mỗi phép thử trong quá trình Bernoulli gọi là một phép thử Bernoulli hoặc phép thử nhị thức

Định nghĩa: Giả sử X là số lần thành công trong n phép thử Bernuolli, X được gọi là một biến ngẫu

nhiên nhị thức, ta gọi phân phối xác suất của nó là phân phối nhị thức

Hàm phân phối xác suất của X là

( ) ( ; , ) khi 0,1, 2, ,

0 khi 0,1, 2, ,

x x n x n

trong đó p là xác suất để biến cố thành công xảy ra và q = 1- p

Ta ký hiệu hàm xác suất bởi b(x; n, p) là do nó phụ thuộc vào số phép thử và xác suất thành công trong mỗi phép thử, ta còn gọi n và p là hai tham số của phân phối nhị thức

Định lý: Giá trị trung bình và phương sai của phân phối nhị thức b(x; n, p) lần lượt là

Ví dụ 7 : Xác suất để một bệnh nhân sống sót sau khi mắc một loại bệnh hiếm thấy về máu là 0,4

Nếu biết rằng đã có 15 người mắc loại bệnh này, tìm xác suất để

(a) có ít nhất 10 người sống sót;

(b) có từ 3 đến 8 người sống sót;

(c) có đúng 5 người sống sót

Lời giải:

3.2 Phân phối siêu bội

Như ta đã biết, phân phối nhị thức là áp dụng cho dãy các phép thử độc lâp Và thường chỉ dùng khi mẫu được lấy ra từ 1 tổng thể có số lượng lớn, và việc lấy mẫu phải được tiến hành theo phương thức hoàn lại Vì thế trong trường hợp mẫu lấy không hoàn lại ta không sử dụng được Phân phối siêu bội lại thỏa mãn điều kiện đó: không đòi hỏi tính độc lập của các phép thử, lấy mẫu theo phương thức không hoàn lại

Khi chọn ngẫu nhiên n phần tử từ N phần tử trong đó có k phần tử được đặt tên là thành công

còn N – k phần tử là thất bại, ta quan tâm đến xác suất để chọn được x phần tử thành công Phép thử

kiểu này được gọi là phép thử siêu bội, tức là một phép thử có hai đặc tính sau:

1 Một mẫu cỡ n được chọn ngẫu nhiên theo phương thức không hoàn lại từ N phần tử

2 Trong N phần tử đã định rõ k phần tử là thành công và N – k phần tử còn lại là thất bại

Định nghĩa: Số phần tử thành công X trong phép thử siêu bội được gọi là biến ngẫu nhiên siêu bội Phân phối xác suất của bnn siêu bội được gọi là phân phối siêu bội P(X = x) được kí hiệu là h(x; N,

n, k ), bởi vì mỗi giá trị phụ thuộc vào số lượng phần tử thành công k trong tập N phần tử mà ta chọn

ra n phần tử Hàm phân phối xác suất của X là

n x

C

C C k n N x

N

x n k N x k

2, ,1,0,khi0

2, ,1,0,khi)

,,

;(

Định lý: Trung bình và phương sai của phân phối siêu bội h(x; N, n, k) là

nk N

Ví dụ 8: Một lô gồm 40 sản phẩm có chứa đúng 3 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm trong lô

để kiểm tra và loại lô hàng nếu thấy có phế phẩm trong 5 sản phẩm chọn ra

a) Tính xác suất để có đúng 1 phế phẩm được tìm thấy trong mẫu?

b) Tính xác suất để lô hàng bị loại

Lời giải:

BÀI 5: PHÂN PH

BÀI 5: PHÂN PHỐI CHUẨN ỐI CHUẨN ỐI CHUẨN

M MỘT SỐ THỐNG KÊ MẪU QUAN TRỌNG ỘT SỐ THỐNG KÊ MẪU QUAN TRỌNG ỘT SỐ THỐNG KÊ MẪU QUAN TRỌNG

I PHÂN PHỐI CHUẨN

Phân phối xác suất quan trọng nhất trong thống kê là dạng phân phối chuẩn Đồ thị của dạng phân phối này giống với hình quả chuông, gọi là đường cong chuẩn Năm 1733, Abraham DeMoivre

đã tìm ra phương trình toán học của đường cong chuẩn, là đường cong phụ thuộc vào hai tham số, ký hiệu bởi µ vàσ

1.1 Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là biến ngẫu nhiên chuẩn nếu hàm mật độ

phụ thuộc hai số µ và được xác định như sau : σ

x

2

1),

; ( ( 1 / 2 )[ µ / σ ]2

πσσµ

Với mỗi cặp giá trịµ vàσ được cho, đường cong chuẩn hoàn toàn xác định

Tính chất của đường cong chuẩn

1 Mode, là điểm trên trục hoành mà tại đó đường cong đạt giá trị lớn nhất, xảy ra tại x=µ. 2.Đường cong có trục đối xứng là đường thẳng đứng đi qua µ

3 Đường cong có hai điểm uốn tại x=µ±σ , lồi nếu µ−σ < X <µ+σ, lõm nếu ngược lại

4 Đường cong tiệm cận với trục hoành nếu cho x di chuyển dần xa khỏi giá trị trung bình

5 Tổng diện tích của phần bên dưới đường cong và bên trên trục hoành bằng 1

Định lý: Kỳ vọng và phương sai của bnn chuẩn X với phân phối n(x; µ,σ), lần lượt là µ, σ2

1.2 Diện tích phần bên dưới đường cong chuẩn

Bất kỳ hàm mật độ nào cũng đều có đồ thị là đường cong mà diện tích miền dưới đường cong chắn bởi 2 đường x=x x1, =x2 chính bằng xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị nằm giữa

x=x x=x Như ta đã biết

dx e

dx x

n x

X x

x

x x

1

2 ] / )[(

2 / 1 ( 2

1

2

1)

,

;()

πσσ

µ Thế nhưng, việc tính tích phân này khá khó khăn Ta cần lập một bảng tra sẵn để tính cho

nhanh, vấn đề là không thể lập bảng tra cho các bộ µ vàσ khác nhau Rất may mắn ta có thể biểu

diễn kết quả cần tính thông qua một tích phân dạng như trên với µ=0; σ = bằng phép đặt sau 1

trường hợp đặc biệt quan trọng của dạng phân phối chuẩn, mà ta gọi là biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn

và phân phối của nó là phân phối tiêu chuẩn

Bảng A.3 chỉ ra diện tích phần bên dưới đường cong tiêu chuẩn ứng với P(Z< z), với giá trị

của z chạy từ -3.49 đến 3.49

Để minh họa cách dùng của bảng này, ta đi tính P Z( <1, 74).Đầu tiên, chúng ta xác định giá

trị của z bằng 1.7 trong cột bên trái, rồi di chuyển theo hàng ngang tới cột bên dưới số 0.04, ở đó

chúng ta sẽ gặp giá trị 0.9591 Do đó, P(Z <1.74)=0.9591

Để tìm giá trị của z ứng với xác suất cho trước, chúng ta làm ngược lại Ví dụ, giá trị z ứng

với phần diện tích 0.2148 nằm bên dưới đường cong và ở bên trái số z được tìm thấy là - 0.79

Ví dụ 1: Cho phân phối tiêu chuẩn, tìm diện tích phần nằm bên dưới đường cong chuẩn

(a) ở bên phải số z = 1.84

(b) giữa hai số z = - 1.97 và z = 0.86

Lời giải

Ví dụ 2: Cho phân phối tiêu chuẩn, tìm giá trị của k sao cho

Ví dụ trên đã cho biết trước giá trị của x và do đó biết trước giá trị của z rồi sau đó yêu cầu

tính diện tích của phần hình được chỉ ra Trong ví dụ dưới đây chúng ta sẽ làm ngược lại, chúng ta sẽ

bắt đầu với một diện tích hoặc xác suất cho trước, sau đó tìm giá trị của z và xác định giá trị của x bởi

công thức

.hay

Ví dụ 4: Cho một phân phối chuẩn với µ=40 vàσ =6, tìm giá trị của x tương ứng với

(a) phần hình nằm ở bên trái có diện tích 45%;

(b) phần hình nằm ở bên phải có diện tích 14%

Lời giải:

1.3 Ứng dụng của phân phối chuẩn

Ví dụ 5 Một loại pin có tuổi thọ trung bình là 3 năm và độ lệch tiêu chuẩn là 0.5 năm Giả sử tuổi

thọ của pin có phân phối chuẩn, tìm xác suất để pin có tuổi thọ ít hơn 2.3 năm

Lời giải

Ví dụ 6 Trong một dây chuyền sản xuất công nghiệp, đường kính của một vòng bi là một bộ phận

cấu thành quan trọng Người mua hàng chỉ đặt mua những vòng bi có đường kính thuộc phạm vi 3.0 01

0

± Điều này có nghĩa là những vòng bi có đường kính rơi ra ngoài phạm vi trên sẽ không được chấp nhận Biết rằng đường kính của vòng bi có phân phối chuẩn với trung bình 3.0 và độ lệch tiêu chuẩn là 0.005 Hỏi trung bình có bao nhiêu vòng bi sẽ bị làm phế thải

Lời giải

Ví dụ 7 Một cái thước dây dùng để loại đi tất cả các vật liệu mà kích thước của nó không nằm trong

khoảng xác định 1.50±d Biết rằng các kích thước này tuân theo phân phối chuẩn với trung bình

1.50 và độ lệch tiêu chuẩn 0.2 Xác định giá trị d sao cho khoảng xác định trên chứa 95% các số đo

Lời giải

Ví dụ 8 Điểm trung bình trong một kỳ thi là 74, và độ lệch tiêu chuẩn là 7 Nếu 12% các lớp có điểm

là điểm A, và tập hợp các điểm thi lập thành một đường cong chuẩn thì một sinh viên cần điểm tối thiểu là bao nhiêu để được nhận điểm loại A? Một sinh viên muốn đạt được điểm loại B thì cần được tối đa bao nhiêu điểm?

 Mỗi phần tử trong tổng thể gọi là một cá thể

 Việc chọn ra từ tổng thể một tập con bất kỳ gọi là phép lấy mẫu Tập con này gọi là một mẫu,

số lượng phần tử trong mẫu gọi là cỡ mẫu

Việc chọn mẫu là ngẫu nhiên thì mẫu được gọi là mẫu ngẫu nhiên cụ thể

♦ Lấy ngẫu nhiên một cá thể của tổng thể

♦ Gọi X là số đo đặc tính chung của cá thể được chọn

♦ X là bnn, có phân phối là f (x)

Ví dụ: Một người phải kiểm tra chiều dài của mỗi sản phẩm do một dây chuyền sản xuất làm ra

- Toàn bộ sản phẩm do dây chuyền này làm ra là một tổng thể

b Mẫu ngẫu nhiên tổng quát

Định nghĩa: Cho X1 , X2,…, Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập, mỗi biến ngẫu nhiên đều có phân phối

là f(x) Khi đó ta nói bộ các biến ngẫu nhiên X1 , X2,…, Xn là một mẫu ngẫu nhiên cỡ n từ tổng thể

và phân phối xác suất đồng thời của mẫu ngẫu nhiên được viết dưới dạng:

f (x1 , x2,…, xn) = f(x1) f(x2) … f(xn)

3 MỘT SỐ THỐNG KÊ QUAN TRỌNG

Định nghĩa: Thống kê là hàm của các biến ngẫu nhiên nằm trong một mẫu ngẫu nhiên

3.1 Trung bình mẫu

Định nghĩa: Cho X1,X2, ,X n là một mẫu ngẫu nhiên cỡ n Trung bình mẫu là một thống kê, kí

hiệu X, được xác định như sau

n

X X

n i i

∑

=

= 1Trong tính toán, giá trị của thống kê được tính khi đã biết một giá trị mẫu và cũng được gọi

theo tên gọi của thống kê đó Chẳng hạn, khi mẫu ngẫu nhiên X1 , X2,…, Xn nhận các giá trị tương

ứng x1, x2, , xn thì giá trị của X là

n

x x

n i i

∑

=

= 1 và cũng được gọi là trung bình mẫu

Ví dụ 10: Một vị thanh tra thực phẩm kiểm tra một mẫu ngẫu nhiên 7 hộp cá ngừ có cùng nhãn hiệu

để xác định phần trăm các tạp chất lạ Các số liệu sau đây đã được ghi lại: 1,8; 2,1; 1,7; 1,6; 0,9; 2,7

và 1,8 Hãy tính trung bình mẫu

Lời giải:

3.2 Trung vị mẫu

Định nghĩa: Cho X1 , X2,…, Xn là một mẫu ngẫu nhiên cỡ n đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần

(tính từ trái qua phải) Trung vị mẫu là một thống kê được kí hiệu X , được xác định như sau:

1 2 /2 ( /2) 1

2

n

X X

Ví dụ 12: Hàm lượng nicotin (đơn vị: milligam) trong 6 điếu thuốc cùng một nhãn hiệu được xác

định là

2.3, 2.7, 2.5, 2.9, 3.1, 1.9 Tìm trung vị mẫu

Lời giải:

3.3 Mode

Định nghĩa: Gọi X là một mẫu ngẫu nhiên có cỡ mẫu n Khi đó mode M là giá trị của mẫu xuất hiện

nhiều nhất (có tần số lớn nhất) Mode có thể không tồn tại hoặc tồn tại mà không duy nhất

Ví dụ 13: Nếu các đồ tặng của một mẫu ngẫu nhiên các cư dân của Fairway Forest cho Hiệp hội

phổi Virginia được ghi nhận là 9, 10, 5, 9, 9, 7, 8, 6, 10 và 11 đô la, khi đó mode là m = 9 đô la, đó là

giá trị xảy ra với tần số cao nhất

3.4 Phương sai mẫu

Định nghĩa: Cho X 1 , X 2 , …, X n là mẫu ngẫu nhiên cỡ n, khi đó phương sai mẫu được xác định bởi

thống kê

1

)(

1

2 2

n

i i

khi n lẻ khi n chẵn

Ví dụ 14: So sánh giá cà phê ở 4 cửa hiệu tạp phẩm được lựa chọn ngẫu nhiên tại San Diego cho

thấy các mức tăng từ tháng trước là 12, 15, 17 và 20 cents cho mỗi gói nặng một pound Tìm phương sai của mẫu ngẫu nhiên các mức tăng giá

Định nghĩa: Độ lệch tiêu chuẩn mẫu ký hiệu bằng S, là căn bậc hai số học của phương sai mẫu.

Ví dụ 15: Tính phương sai của mẫu số liệu

3, 4, 5, 6, 6 và 7 Biểu diễn số cá hồi mà một mẫu ngẫu nhiên các ngư dân đánh bắt được trong ngày 19 tháng 7 năm

1966, tại hồ Muskoka

Lời giải:

4 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA CÁC THỐNG KÊ

4.1 Phân phối mẫu của giá trị trung bình

Giả sử một mẫu ngẫu nhiên cỡ n được lấy từ tổng thể chuẩn với kỳ vọng là µ và phương sai

là 2

σ Vì các biến ngẫu nhiên thành phần Xi (i = 1, 2, , n) trong mẫu ngẫu nhiên đều có phân phối

chuẩn với kỳ vọng và phương sai lần lượt là µ, 2

σ nên

Từ công thức

n

X X

Nếu chúng ta lấy mẫu từ một tổng thể mà phân phối chưa xác định thì ta vẫn có phân phối

của Xlà xấp xỉ chuẩn miễn sao cỡ mẫu đủ lớn

a) Định lý giới hạn trung tâm: Nếu X là trung bình của một mẫu ngẫu nhiên có kích thước n được

lấy từ một tổng thể có giá trị trung bình là µ và phương sai hữu hạn σ2, thì giới hạn của

/

X Z

n

µσ

−

=khi n→ ∞, là biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn n(z; 0,1).

Việc lấy xấp xỉ chuẩn cho biến ngẫu nhiên X chỉ tốt khi n ≥ 30 Nếu n < 30 thì việc lấy xấp

xỉ chỉ tốt khi phân phối của tổng thể khá gần với phân phối chuẩn Đặc biệt, nếu tổng thể có phân phối chuẩn thì ta không cần quan tâm đến cỡ của tổng thể và chắc chắn rằng X có phân phối chuẩn

Ví dụ 16: Một công ty điện sản xuất các loại bóng điện với tuổi thọ có phân phối xấp xỉ chuẩn, giá

trị trung bình bằng 800 giờ và độ lệch tiêu chuẩn 40 giờ Tìm xác suất để một mẫu ngẫu nhiên 16 bóng có tuổi thọ trung bình chưa đến 775 giờ

Lời giải:

Phân phối của X sẽ xấp xỉ chuẩn với µX =800và σX =40 / 16 10=

Xác suất cần tìm được cho trong miền gạch chéo trong hình sau:

Tương ứng với x=775, chúng ta nhận thấy rằng

775 800

2.510

b) Phân phối mẫu của sự sai khác giữa hai giá trị trung bình

Giả sử ta có hai tổng thể, tổng thể thứ nhất có trung bình là µ1 và phương sai 2

1

σ còn tổng thể

thứ hai có trung bình là µ2 và phương sai là 2

2

σ Đặt X và 1 X lần lượt là trung bình mẫu được lấy 2

từ tổng thể thứ nhất và thứ hai, hai mẫu được lấy một cách ngẫu nhiên và độc lập với cỡ mẫu lần lượt

là n1, n2 Ta có thể kết luận gì về phân phối lấy mẫu của độ chênh lệch X1−X2, khi đã biết X và 1

σ tương ứng, thì phân phối của X1−X2 là xấp xỉ chuẩn có giá trị trung bình và phương sai là

có phân phối tiêu chuẩn khi n n1, 2 đủ lớn

Nếu n 1 và n 2 cùng lớn hơn 30 thì xấp xỉ phân phối chuẩn cho X1−X2 là rất tốt Nếu n 1hoặc

n 2 nhỏ hơn 30 thì việc xấp xỉ chuẩn nói trên là tương đối tốt trừ khi cả hai tổng thể đều khác phân phối chuẩn một cách rõ rệt Đặc biệt, cả hai tổng thể đều có phân phối chuẩn thì X1−X2có phân phối chuẩn bất kì cỡ mẫu như thế nào

Ví dụ 17: Thí nghiệm trên hai loại sơn khác nhau để so sánh thời gian khô : 50 mẫu sơn loại A, và

50 mẫu sơn loại B Ở cả hai trường hợp, độ lệch tiêu chuẩn tổng thể là 1,0 Giả thiết thời gian khô trung bình bằng nhau với cả 2 loại sơn Tính P(X A−X B)>1

- Suy ra : P(X A−X B)>1=P Z( >5)= −1 P Z( <5)≈ −1 0,9999 0, 0001=

4.2 Phân phối mẫu của phương sai mẫu

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối Khi-bình phương

với υbậc tự do nếu hàm mật độ của nó có dạng:

0khi)

2/(2

1)

1 2 2

/

x

x e

x x

f

x

υ

trong đó υ là một số nguyên dương

Định lý: Nếu S 2 là phương sai của mẫu ngẫu nhiên cỡ n được chọn từ một tổng thể có phân phối

chuẩn với phương sai σ2, thì thống kê

có phân phối Khi-bình phương với υ= n -1 bậc tự do

Giá trị của biến ngẫu nhiên χ2 được tính với mỗi mẫu cụ thể là theo công thức

2 2

4.3 Phân phối Student (phân phối t)

Định lý: Cho Z là biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn và V là một biến ngẫu nhiên Khi-bình phương với υ

bậc tự do Nếu Z và V độc lập thì phân phối của biến ngẫu nhiên T với

υ/

+Γ

)2/(

]2/)1[(

)(

2 / 1 (

υ πυ υ

υ

và được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối student (phân phối t)

Hệ quả: Giả sử X 1 , X 2 , …, X nlà các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ và độ lệch chuẩn σ Đặt: