Bài giảng toán kinh tế

Khi đã cho một số thực z , thì giá trị tuyệt đối của nó sẽ được ký hiệu là: { Khoảng cách Euclid giữa hai điểm xvà y trong được định nghĩa là – |, tức là giá trị tuyệt đối của hiệu s

BỘ MÔN KINH TẾ

*****

BÀI GIẢNG TOÁN KINH TẾ

Biên soạn: Th.S Đào Văn Khiêm Th.S Trần Văn Khiêm

Hà Nội, 2015

1.1 KÝ HIỆU VÀ CÁC ĐỊNH NGHĨA MỞ ĐẦU 3

1.2 TẬP HỢP VÀ CHUỖI TRONG n 7

1.3 MA TRẬN 18

1.4 HÀM SỐ 27

1.5 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 34

Chương 2: TỐI ƯU TRONG n 40

2.1 CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG n 40

2.2 CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU DƯỚI DẠNG THAM SỐ 42

2.3 CÁC BÀI TOÁN: MỘT SỐ VÍ DỤ 43

2.4 CÁC MỤC TIÊU CỦA LÝ THUYẾT TỐI ƯU 47

2.5 LỘ TRÌNH 48

Chương 3: TỒN TẠI NGHIỆM: ĐỊNH LÝ WEIERSTRASS 50

3.1 ĐỊNH LÝ WEIERSTRASS 50

3.2 ĐỊNH LÝ WEIERSTRASS TRONG ỨNG DỤNG 51

3.3 CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ WEIERSTRASS 54

Chương 4: TỐI ƯU KHÔNG RÀNG BUỘC 56

4.1 TỐI ƯU “KHÔNG RÀNG BUỘC” 56

4.2 CÁC ĐIỀU KIỆN BẬC NHẤT 57

4.3 CÁC ĐIỀU KIỆN BẬC HAI 58

4.4 SỬ DỤNG CÁC ĐIỀU KIỆN BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 59

Chương 5: CÁC RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC VÀ ĐỊNH LÝ LAGRANGE 62

5.1 BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ RÀNG BUỘC 62

5.2 CÁC RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC VÀ ĐỊNH LÝ LAGRANGE 63

5.3 CÁC ĐIỀU KIỆN BẬC HAI 66

5.4 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ LAGRANGE 69

5.5 HAI VÍ DỤ TỪ KINH TẾ HỌC 75

Chương 6:CÁC RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ĐỊNH LÝ KUHN-TUCKER 82

6.1 ĐỊNH LÝ KUHN-TUCKER 82

6.2 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ KUHN-TUCKER 85

6.3 MINH HỌA TỪ KINH TẾ HỌC 91

6.4 TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT: CÁC RÀNG BUỘC HỖN HỢP 98

Chương 7: CÁC CẤU TRÚC LỒI TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƯU 99

7.1 TÍNH LỒI XÁC ĐỊNH 99

7.2 CÁC HÀM Ý CỦA TÍNH LỒI 102

7.3 TÍNH LỒI VÀ TỐI ƯU HÓA 109

7.4 SỬ DỤNG TÍNH LỒI TRONG TỐI ƯU HÓA 112

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC TOÁN HỌC

1.1 KÝ HIỆU VÀ CÁC ĐỊNH NGHĨA MỞ ĐẦU

1.1.1 Số nguyên, Hữu tỷ, và Thực, n

Tập số nguyên dương được ký hiệu là và tập tất cả các số nguyên là :

Tập các số hữu tỷ được ký hiệu bởi :

Cuối cùng, tập tất các các số thực, cả vô tỷ lẫn hữu tỷ, được ký hiệu là Như đã được nhắc tới trước đây, giả sử rằng ít nhất độc giả đã có hiểu biết trực giác về trục số thực và các thuộc tính của chúng (Xem thêm Phụ lục B để biết chi tiết) Khi đã cho một số thực z , thì giá trị tuyệt đối của nó sẽ được ký hiệu là:

{

Khoảng cách Euclid giữa hai điểm xvà y trong được định nghĩa là – |, tức là giá trị tuyệt đối của hiệu số của chúng Đối với bất kỳ số nguyên dương nào, tích Đề các n-chiều của sẽ được ký hiệu là n Chúng ta sẽ gọi n là không gian Euclid n-chiều Khi , chúng ta sẽ tiếp tục viết thay cho 1 Một điểm trong n là một véc tơ trong đó đối với mỗi ,

là một số thực Số được gọi là tọa độ thứ của véc tơ Chúng ta sử dụng 0 để ký hiệu số thực 0 cũng như véc tơ n Ký hiệu này tuy hơi tùy ý, nhưng ý nghĩa đúng sẽ thường là rõ ràng cho từng hoàn cảnh Cộng véc tơ và nhân vô hướng được định nghĩa trong n như sau: đối với và

Hình 1.1 cung cấp lời giải thích bằng đồ thị cho cộng véc tơ và nhân vô hướng trong 2 Khi đã cho một cặp n-véc tơ bất kỳ và , chúng ta viết

Lưu ý:

 không loại trừ khả năng là , và

 đối với , các véc tơ và không nhất thiết là so sánh được trong bất kỳ phân loại nào nói trên; ví dụ, các véc tơ và trong 2

không thỏa mãn , mà cũng không thỏa mãn

Các góc phần tư không âm và dương ngặt của n, được ký hiệu là n

 và n một cách tương ứng, được định nghĩa là

và

1.1.2 Tích trong, Chuẩn, Mê tric

Mục con này mô tả 3 cấu trúc trong không gian n: tích trong Euclid của hai véc tơ và

trong n

, chuẩn Euclid của một véc tơ trong n

, và mê tric Euclid đo lường khoảng

cách giữa hai điểm và trong n Mỗi một trong số các cấu trúc này tổng quát một khái niệm quen thuộc từ Cụ thể, khi , và và chỉ là những số thực; chuẩn Euclid của đơn giản chỉ của của hiệu của chúng

Khi đã cho , tích trong Euclid của các véc tơ và , được ký hiệu là được định nghĩa là:

∑

Từ đây trở đi, chúng ta sẽ gọi tích trong Euclid đơn giản là tích trong

Định lý 1.1: Đối với bất kỳ véc tơ , và các số vô hướng , tích trong có

các thuộc tính sau:

1 Đối xứng:

2 Song tuyến (bilinearity): ( và x

3 Tính dương: , với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Chứng minh: Tính đối xứng và song tuyến có thể dễ kiểm tra từ định nghĩa của tích

trong Để kiểm tra tính dương, nhận xét là bình phương của một số thực luôn là không âm,

và có thể bằng không khi và chỉ khi bản thân số đó bằng không Từ đó suy ra là tổng của các bình phương của các số thực ∑ luôn, là không âm, và bằng không khi và chỉ khi cho mỗi i, tức là, khi và chỉ khi

Tích trong cũng thỏa mãn một điều kiện rất hữu ích có tên gọi là bất đẳng thức

Nếu , thì và bất phương trình được bảo đảm một cách dễ dàng Do vậy, giả sử Nhận xét rằng theo tính dương của tích trong, chúng ta khi đó phải có Thuộc tính tính dương cũng hàm ý là đối với bất kỳ số vô hướng nào, chúng ta

có

Nói riêng, bất phương trình này phải bảo toàn cho Khi giá trị này của được sử dụng trong phương trình ở trên, chúng ta có

( ) ( ) /

hoặc Vì , điều này đến lượt mình hàm ý là  đpcm

Chuẩn Euclid (từ đây trở đi sẽ gọi đơn giản là chuẩn) của một véc tơ , được

Kết quả tiếp theo của chúng ta, là điều mô tả một số thuộc tính hữu ích của chuẩn, sử dụng quan sát này

Định lý 1.3: Chuẩn thỏa mãn các thuộc tính sau tại tất cả các , và :

1 Tính dương: , với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2 Tính thuần nhất (homogeneity):

3 Bất đẳng thức (bất phương trình) tam giác

Chứng minh: Thuộc tính tính dương của chuẩn suy ra từ thuộc tính tính dương của tích

trong, và sự kiện Tính thuần nhất có được vì

Bất phương trình tam giác đôi chút khó hiểu hơn; chúng ta sẽ cần bất phương trình

Cauchy-Schwartz để thiết lập nó Hãy quan sát rằng đối với x và y bất kỳ trong n, chúng

ta có

Theo bất phương trình Cauchy-Schwartz, Thế bất phương trình này vào phương trình trước đó, chúng ta đạt được

Chứng minh được rút ra bằng cách lấy căn bậc hai cho cả hai vế Đpcm

Khoảng cách (mê tric) Euclid giữa hai véc tơ x và y trong n

Định lý 1.4: Độ đo d thỏa mãn các thuộc tính sau cho tất cả ,

1 Tính dương: với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2 Đối xứng:

3 Bất phương trình tam giác: cho tất cả

các ,

Chứng minh: Thuộc tính tính dương của độ đo suy ra từ thuộc tính tính dương của

chuẩn, và quan sát là – Tính đối xứng là trực tiếp từ định nghĩa Bất phương trình là giống hệt như

– –

Đây chỉ là bất phương trình tam giác cho các chuẩn, là điều mà chúng ta đã thiết lập

Đpcm

Các khái niệm tích trong, chuẩn, và độ đo có thể được định nghĩa trên bất kỳ không gian véc tơ trừu tượng nào, chứ không chỉ n Trên thực tế, các thuộc tính mà chúng ta vừa liệt kê trong các Định lý 1.1, 1.3 và 1.4, trong các không gian véc tơ trừu tượng, xác định

ra các đặc trưng của các khái niệm tương ứng Bởi vậy, ví dụ, một tích trong trong một

không gian véc tơ được xác định là bất kỳ toán tử nào thỏa mãn ba thuộc tính đối xứng,

song tuyến và tính dương; trong khi chuẩn trong không gian đó được định nghĩa là bất kỳ toán tử nào đáp ứng các điều kiện tính dương, tính thuần nhất, và bất phương trình tam giác Để biết chi tiết thêm, xem Phụ lục C

1.2.1 Chuỗi và giới hạn

Một chuỗi (sequence) trong n

là một dãy các điểm cho mỗi số nguyên Chuỗi thường được viết là

hoặc, súc tích hơn, đơn giản là Thình thoảng, chúng ta ký hiệu chuỗi là

1 Chuỗi các điểm trong n được nói là hội tụ tới một giới hạn (viết là ) nếu khoảng cách giữa và tiến tới không khi k tiến ra vô hạn, tức là, nếu đối với tất cả , tồn tại một số nguyên sao cho đối với tất cả , chúng ta có Một chuỗi hội tụ tới một giới hạn được gọi

Vì và , bất phương trình này chỉ ra là không thể tiến tới

không khi k tiến tới vô hạn, do vậy , là không thể Đpcm

Một chuỗi trong n được gọi là một chuỗi bị chặn nếu tồn tại một số thực M

sao cho cho k Một chuỗi không bị chặn được gọi là không bị chặn; tức

là, là một chuỗi không bị chặn nếu tồn tại một k(M) sao cho

Định lý 1.6: Mọi chuỗi hội tụ trong n

đều bị chặn

Chứng minh: Giả sử Giả sử trong định nghĩa hội tụ Khi đó, tồn tại k(1)

sao cho , Vì , áp dụng bất phương trình

tam giác sẽ tạo ra cho

Bây giờ định nghĩa M là cực đại của tập hữu hạn các con số

Khi đó, k đpcm Trong khi Định lý 1.5 đã thiết lập rằng một chuỗi có thể có nhiều nhất một giới hạn, Định lý 1.6 hàm ý là một chuỗi có thể không có giới hạn nào Quả thực, vì mỗi chuỗi hội thụ phải bị chặn, suy ra là nếu là chuỗi không bị chặn, thì không thể hội tụ Do vậy, ví dụ, chuỗi trong được xác định bởi đối với mọi k là một chuỗi không-hội tụ Tuy nhiên, tính không bị chặn không là nguyên nhân duy nhất để một chuỗi không thể hội tụ Hãy xét một ví dụ sau: giả sử trong được cho bởi ,

Chuỗi này bị chặn vì chúng ta có | cho tất cả mọi k Tuy nhiên, nó không có giới hạn Nguyên nhân ở đây là các thành phần lẻ của chuỗi hội tụ tới không, trong khi các thành phần chẵn hội tụ tới 1 Vì một chuỗi có thể chỉ có một giới hạn, chuỗi này không hội tụ Kết quả tiếp theo của chúng ta chỉ ra rằng tính hội tụ của một chuỗi trong n tương đương với sự hội tụ theo mỗi tọa độ Điều này mang lại cho chúng ta một cách thức khác để thiết lập sự hội tụ trong n Chúng ta sử dụng các chỉ số trên để ký hiệu chuỗi trong kết quả này để tránh sự nhầm lẫn giữaphần tử thứ k là của chuỗi, và tọa độ thứ i là tọa độ của một véc tơx Định lý 1.7: Một chuỗi trong n hội tụ tới một giới hạn x khi và chỉ khi

đối với mọi trong đó và

Chứng minh: Chúng ta sẽ sử dụng sự kiện là khoảng cách Euclid giữa hai điểm  x và

trong n có thể được viết là (∑

)

trong đó là khoảng cách Euclid giữa và trong

Thứ nhất, giả sử Chúng ta sẽ chỉ ra là cho mỗi i, tức là, với bất kỳ i

và đã cho nào, tồn tại sao cho , chúng ta có

Do vậy giả sử đã cho Theo định nghĩa , chúng ta sẽ tồn tại sao cho cho tất cả Do vậy, đối với và với bất kỳ i, chúng

Đặt cho mỗi i, chứng minh rằng cho mỗi i Đpcm

Bây giờ giả sử hội tụ tới cho mỗi i Giả sử đã cho Chúng ta sẽ chỉ ra là tồn tại sao cho cho tất cả , là điều thiết lập rằng Định nghĩa √ Đối với mỗi i, tồn tại sao cho đối với , chúng ta có Định nghĩa cực đại của tập hữu hạn các con số Khi đó, đối với chúng ta có cho mọi i do vậy

Định lý 1.7 tạo điều kiện dễ dàng chứng minh kết quả quá trình sau đây:

Định lý 1.8: Giả sử là một chuỗi trong n hội tụ tới giới hạn x Giả sử đối với mỗi

k, chúng ta có , trong đó và là một số véc

tơ cố định trong n Khi đó,

Chứng minh: Định lý sẽ được chứng minh nếu chúng ta chỉ ra là cho mỗi

Giả sử kết quả này là sai, do vậy, đối với một i nào đó, chúng ta có

Vì , theo Định lý 1.7 thì cho mỗi ; nói riêng Nhưng

kết hợp với hàm ý là đối với mọi k lớn, chúng ta phải có Điều này mâu thuẫn với giả thiết là cho mọi k Một lý lẽ tương tự thiết lập rằng

cũng dẫn tới mâu thuẫn Do vậy, Đpcm

1.2.2 Các chuỗi con và các điểm giới hạn

Giả sử đã cho một chuỗi trong n Giả sử m là một quy tắc bất kỳ gán cho mỗi k

một giá trị , Giả sử tiếp theo là m là tăng, tức là, đối với mỗi , chúng ta có Khi đã cho chúng ta bây giờ có thể xác định một chuỗi mới { , mà phần tử thứ k của nó là phần tử thứ của chuỗi Chuỗi mới này

được gọi là chuỗi con của Nói một cách khác, chuỗi con của một chuỗi là bất kỳ một tập con vô hạn nào của chuỗi nguyên thủy bảo tồn sắp đặt trật tự của các thành phần Thậm chí nếu một chuỗi không là hội tụ, nó có thể chứa các chuỗi hội tụ Ví dụ, chuỗi không có giới hạn, nhưng các chuỗi con và , là những chuỗi đạt được từ chuỗi nguyên thủy bằng cách lựa chọn các phần tử chẵn và lẻ một cách tương ứng đều là các chuỗi hội tụ

Nếu một chuỗi có chứa một chuỗi con hội tụ, giới hạn của chuỗi con hội tụ được gọi

là một điểm giới hạn của chuỗi nguyên thủy Do vậy, chuỗi có hai điểm giới

hạn là 0 và 1 Kết quả sau đây đơn giản là lời phát biểu lại định nghĩa của điểm giới hạn:

Định lý 1.9: Điểm x là điểm giới hạn của một chuỗi khi và chỉ khi đối với mọi

bất kỳ, có nhiều vô số các chỉ số m mà đối với nó

Chứng minh: Nếu x là điểm giới hạn của thì phải có một chuỗi { hội tụ tới x Theo định nghĩa hội tụ, đó là trường hợp với mọi bất kỳ, tất cả vô số các phần tử của chuỗi { phải nằm bên trong khoảng của x Do vậy, có vô số phần tử của chuỗi

cũng phải nằm bên trong khoảng của x

Ngược lại, giả sử đối với mọi bất kỳ, có vô số m sao cho Định nghĩa một chuỗi { như sau: gọi m(1) là một m bất kỳ sao cho Bây giờ đối với hãy định nghĩa một cách kế tiếp m(k) là bất kỳ m nào thỏa mãn các điều kiện (a) , và (b) – Các xây dựng này là khả thi, vì

đối với mỗi k, tồn tại vô hạn m thỏa mãn Hơn nữa, chuỗi { hiển

nhiên hội tụ tới x, do vậy x là

Nếu một chuỗi là hội tụ (ví dụ, tới một giới hạn x), thì rõ ràng là mỗi chuỗi con

của phải một điểm giới hạn của hội tụ tới x Kém rõ ràng hơn, nhưng cũng sẽ

đúng là, nếu mỗi chuỗi co { của một chuỗi đã cho hội tụ tới giới hạn x, thì

tự thân hội tụ tới x Chúng tôi không đưa ra lời chứng minh của sự kiện này ở đây, vì

nó có thể dễ được rút ra như một hậu quả của các xem xét khác Hãy xem Hệ quả 1.19 dưới đây

Nói chung, một chuỗi có thể có một số lượng bất kỳ các điểm giới hạn Ví dụ, mỗi số nguyên dương phát sinh như một điểm giới hạn của chuỗi

Tất nhiên, cũng có khả năng là không có chuỗi nào từ một chuỗi đã cho hội tụ, do vậy một chuỗi đã cho có thể không có điểm giới hạn nào Một ví dụ đơn giản là chuỗi trong được xác định bởi cho tất cả các k: mỗi chuỗi con của chuỗi này đều phân

kỳ tới +

1.2.3 Chuỗi Cauchy và tính đầy đủ

Một chuỗi trong n được nói là thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy nếu với mọi , tồn tại một số nguyên sao cho chúng ta có Một cách không chính thức, một chuỗi thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy nếu, bằng cách lựa chọn k

đủ lớn, khoảng cách giữa bất kỳ hai phần tử và nào trong đuôi của chuỗi

đều có thể được làm nhỏ một cách tùy ý Một chuỗi , thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy được

gọi là một chuỗi Cauchy

Một ví dụ của chuỗi Cauchy được cho bởi chuỗi trong được xác định bởi cho mọi k Để kiểm tra chuỗi này có thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy trong thực tế

hay không, hãy cho trước một bất kỳ Giả sử là một số nguyên k bất kỳ thỏa

mãn k( ), chúng ta có

| | | | |

|

và thành phần cuối cùng này nhỏ hơn khi lựa chọn

Kết quả đầu tiên của chúng ta làm việc với tương tự của Định lý 1.7 cho các chuỗi Cauchy Nó khẳng định rằng một chuỗi trong n

là chuỗi Cauchy khi và chỉ khi mỗi một chuỗi tọa độ của nó là chuỗi Cauchy trong k

Định lý 1.10: Chuỗi trong n là chuỗi Cauchy khi và chỉ khi với mọi , chuỗi là một chuỗi Cauchy trong

Chứng minh: Giả sử là một chuỗi Cauchy trong n Chúng ta sẽ chỉ ra là đối với i

bất kỳ và bất kỳ, tồn tại sao cho chúng ta có | | Do vậy giả sử và i đã cho trước Vì là chuỗi Cauchy, tồn tại sao cho chúng ta có Do vậy, với bất kỳ chúng ta có

Bây giờ giả sử là chuỗi Cauchy cho mỗi i Chúng ta sẽ chỉ ra rằng đối với

bất kỳ, tồn tại sao cho hàm ý Do vậy hãy giả sử

đã cho trước Định nghĩa √ Vì mỗi là một chuỗi Cauchy, tồn tại sao cho chúng ta có| | Định nghĩa Khi đó, chúng ta có

Định lý 1.11: Chuỗi trong n là chuỗi Cauchy khi và chỉ khi nó là một chuỗi hội tụ,

tức là khi và chỉ khi tồn tại một x n

sao cho

Chứng minh: Chứng minh rằng mỗi chuỗi hội tụ cũng phải là một chuỗi Cauchy là đơn

giản Giả sử Hãy giả sử đã được cho trước Định nghĩa Vì , tồn tại sao cho , chúng ta có Từ đó suy ra là bằng cách sử dụng bất phương trình tam giác , chúng ta có

( ) ( )

Bởi vậy, đặt , chúng ta đã chứng minh được rằng là một chuỗi Cauchy

Đpcm

Chứng minh mỗi chuỗi Cauchy phải hội tụ thật không may đòi hỏi nhiều công cụ hơn

so với những thứ mà chúng ta đã xây dựng Nói riêng, nó yêu cầu một định nghĩa chính thức của khái niệm “số thực”, và các thuộc tính của các số thực Phụ lục B, là phụ lục trình mày mô tả hình thức này, chứng minh rằng mỗi chuỗi Cauchy trong phải hội tụ Sự viện

dẫn tới Định lý 1.10 cho phép chúng ta hoàn thành chứng minh này Đpcm

Bất kỳ một không gian metric nào có thuộc tính mỗi chuỗi Cauchy cũng là một chuỗi

hội tụ được nói là đầy đủ Bởi vậy, theo Định lý 1.11, n

là đầy đủ Một điều quan trọng là cần phải lưu ý là không phải tất cả các không gian metric đều là đầy đủ (do vậy định nghĩa không là vô nghĩa) Xem thêm về vấn đề này, hãy xem Phụ lục C

Thậm chí không viện dẫn tới tính đầy đủ của n, vẫn có khả năng chỉ ra là chuỗi Cauchy phải có hai thuộc tính mà tất cả các chuỗi hội tụ phải có: cụ thể, nó phải bị chặn,

và nó có nhiều nhất một điểm giới hạn

Định lý 1.12: Giả sử là một chuỗi Cauchy trong Rn Khi đó,

1 bị chặn

2 có nhiều nhất một điểm giới hạn

Chứng minh: !

1.2.4 Suprema, Infirma, Maxima, Minima

Giả sử A là một tập con không rỗng của Tập các biên trên của A, ký hiệu là U ( A)

được định nghĩa là

trong khi tập các biên dưới của A , được ký hiệu là L(A), được cho bởi

Nói chung U(A) và/hoặc L(A) có thể là rỗng Ví dụ, nếu A = , tập các số nguyên

dương, thì U(A) là rỗng; nếu A= , tập tất cả các số nguyên, thì cả U(A) lẫn L(A) đều là

rỗng Nếu U ( A) là không rỗng, thì A được nói là bị chặn trên Nếu L(A) là không rỗng, thì A được nói là bị chặn dưới

Supremum của A , được viết là sup A, được định nghĩa là biên trên nhỏ nhất của A

Cụ thể là, nếu U(A) là không rỗng, thì supA được định nghĩa là điểm duy nhất ,

sao cho Mặt khác, nếu U(A) là rỗng, thì A không có giới hạn trên hữu

hạn, do vậy, theo truyền thống, chúng ta đặt

Tương tự, infimum của A , được ký hiệu là inf A được định nghĩa là biên thấp nhất của A

Tức là, khi L(A) là không rỗng, thì inf A là điểm duy nhất ̂ sao cho ̂ cho mọi

Nếu L(A) là rỗng, thì A không có các biên dưới, do vậy, theo tập tục, chúng ta đặt

Định lý 1.13: Nếu U(A) là không rỗng, supremum của A được xác định tốt, tức là, tồn tại

sao cho cho tất cả các Tương tự, nếu L(A) là không rỗng,

infimum của A được xác định tốt, tức là tồn tại ̃ sao cho ̃ cho tất cả các

Nhận xét 1: Theo các tập tục của chúng ta là khi U(A) là rỗng và

khi L(A) là rỗng, điều này sẽ thiết lập rằng sup A và inf A được xác định cho bất kỳ

tập không rỗng A nào

Nhận xét 2: Để tránh sự rắc rỗi hợp lệ, chúng ta cần nhấn mạnh một điểm là một số tác

giả (ví dụ như Apostol, 1967, hoặc Bartle, 1964) sử dụng một tiếp cận xấp xỉ cho trục số

thực Trong tiếp cận này, Định lý 1.13 là một tiên đề (axiom), quả thực, một tiên đề then

chốt Các tác giả khác chấp nhận một tiếp cận xây dựng cho trục số thực, khi xây dựng các

số thực từ các số hữu tỷ bằng các sử dụng, ví dụ như, phương pháp lát cắt Dedekind (Rudin, 1976), hoặc các chuỗi số hữu tỷ Cauchy tương đương (Hewitt và Stromberg, 1965; Strichartz, 1982; Phụ lục B trong cuốn sách này) Trong trường hợp đó, kết quả rằng các tập bị chặn có các

supremum được xác định tốt , quả

Chứng minh: Chúng ta chứng minh rằng sup A được xác định tốt bất cứ khi nào A bị

chặn trên Một thủ tục tương tự có thể được sử dụng để chỉ ra là inf A được xác định tốt bất

cứ khi nào A bị chặn dưới Các chi tiết được để lại như một bài tập

Do vậy giả sử A bị chặn trên và U(A) là không rỗng Chúng ta sẽ xây dựng hai chuỗi {

và { có chung một giới hạn Chuỗi { sẽ bao gồm toàn bộ những điểm từ A và

sẽ hội tụ “hướng lên” tới ., trong khi chuỗi { sẽ chỉ bao gồm những điểm từ U(A),

và sẽ hội tụ “hướng xuống” tới ., Điều này dễ dàng được suy ra từ việc xây dựng các chuỗi này là giới hạn chung .,, trên thực tế, là sup A

Các chuỗi được yêu cầu (như trên) được xây dựng bằng cách sử dụng một thủ tục

“chia và chiếm” (divide-and-conquer) Chọn một điểm trong A và một điểm trong

U(A) Giả sử = ( là trung điểm của chúng Tất nhiên, Có hai trường hợp có thể xảy ra: và Trong trường hợp 1, khi mà , đặt và = Trong trường hợp 2, khi mà , phải tồn tại một điểm a nào đó sao cho a ≥ Trong trường hợp này, đặt và (Xem Hình 1.2)

Lưu ý là trong trường hợp nào đi chăng nữa chúng ta có và Hơn nữa, chúng ta cũng phải có và Cuối cùng, trong trường hợp thứ nhất, chúng ta có ( ) , trong khi trong trường hợp thứ hai, chúng ta có , vì Bởi vậy, trong trường hợp nào đi chăng nữa, chúng ta có d(

Chúng ta lặp lại thủ tục này Đặt là trung điểm của và Nếu , đặt và Nếu , thì sẽ phải tồn tại sao cho

≥ ; trong trường hợp này, đặt và Khi đó, lại một lần nữa đúng là ba điều kiện sau đây được thỏa mãn trong bất kỳ trường hợp nào: thứ nhất, chúng ta có

và ; thứ hai, và ; cuối cùng,

Cứ tiếp tục theo mạch này, chúng ta đạt được các chuỗi và sao cho

1 đối với mỗi k, và ;

2 là chuỗi không giảm, và là một chuỗi không tăng; và

3 d(

Thuộc tính 2 nói riêng hàm ý là và là các chuỗi bị chặn Từ thuộc tính 3 suy ra và là các chuỗi Cauchy tương đương, và, do vậy, chúng có cùng một giới hạn *

a Chúng ta sẽ chỉ ra là , bằng cách đầu tiên chỉ ra là , và sau đó cho tất cả các u

Chọn bất kỳ Vì cho mỗi k, chúng ta có cho mỗi k, do

vậy Vì a là tùy ý, bất phương trình này hàm ý Bây giờ chọn u bất kỳ Vì cho mỗi k, chúng ta phải có u ≥ cho mỗi k Do vậy,

chúng ta cũng phải có Vì là tùy ý, bất phương trình này hàm

ý cho tất cả

Tóm lại, và cho tất cả các Theo định nghĩa, điều này có nghĩa là Đó là đpcm

Kết quả sau đây là một hậu quả trực tiếp của định nghĩa supremum Chúng tôi nâng

nó lên mức định lý, vì đó là một quan sát hay gặp một cách khá thường xuyên:

Định lý 1.14: Giả sử sup A là hữu hạn Khi đó, đối với bất kỳ , tồn tại sao

cho a( )> sup A -

Chứng minh: Để dễ ký hiệu, giả sử Giả sử định lý không đúng cho một >

0 nào đó, tức là, giả sử tồn tại sao cho cho tất cả Khi đó,

sẽ là một biên trên của A Nhưng điều này vi phạm định nghĩa của như là một biên trên

nhỏ nhất, vì rõ ràng là nhỏ hơn hẳn so với

Một kết quả tương tự với Định lý 1.14 hiển nhiên đúng cho infimum Điều này được

để lại cho độc giả như một bài tập để điền đủ các chi tiết

Hai khái niệm liên quan một cách chặt chẽ với supremum và infimum là maximum và

minimum của một tập không rỗng A Maximum của A, được ký hiệu là maxA, được

định nghĩa là một điểm sao cho cho tất cả Minimum của A, được ký

hiệu là min A, được định nghĩa là một điểm sao cho w ≤ a cho tất cả các

Theo định nghĩa, maximum phải là biên trên của A, và minimum phải là một biên dưới của

A Do vậy, chúng ta có thể định nghĩa một cách tương đương , và

Một điều quan trọng là chỉ ra rằng trong khi sup A và inf A luôn được định nghĩa cho một tập A bất kỳ không rỗng nào (chúng có thể là vô hạn), và đều có thể là rỗng, do vậy max A và min A không phải luôn tồn tại Điều này là đúng thậm chí nếu

sup A và inf A đều là hữu hạn Ví dụ, nếu A = (0,1) , chúng ta có và

, do vậy và nhưng max A và min A không tồn tại Quả thực, một điều được suy ra từ định nghĩa là nếu max A (tương ứng là min A) được xác định tốt, chúng ta phải có (tương ứng là ), do vậy max A tồn

tại khi và chỉ khi (tương ứng là min A tồn tại khi và chỉ khi )

1.2.5 Các chuỗi đơn điệu trong

Chuỗi trong được nói là một chuỗi đơn điệu tăng nếu đó là trường hợp mà

Ví dụ một chuỗi trong phân kỳ tới (viết là ) nếu với mọi các

số nguyên dương , tồn tại k(p) sao cho với mọi , chúng ta có ; và phân kỳ tới (viết là ) nếu với mọi số nguyên dương bất kỳ , tồn

tại k(p) sao cho với mọi , chúng ta có

Quan sát thấy trong khi một chuỗi phân kỳ tới phải nhất thiết không bị chặn, nhưng điều ngược lại không phải luôn đúng: chuỗi x k được xác định bởi

{

là một chuỗi không bị chặn nhưng nó không phân kỳ tới (Tại sao?) Mặt khác, một điều đúng là nếu là một chuỗi không bị chặn, nó phải chứa ít nhất một chuỗi phân kỳ (hoặc tới  hoặc tới )

Kết quả sau phân loại hành vi tiệm cận của chuỗi tăng đơn điệu

Định lý 1.15: Giả sử là một chuỗi đơn điệu tăng trong Nếu không bị chặn, nó

phải phân kỳ tới Nếu bị chặn, nó phải hội tụ tới giới hạn x , trong đó x là supremum của tập các điểm

Chứng minh: Đầu tiên giả sử là là một chuỗi không bị chặn Khi đó, với mọi ,

tồn tại một số nguyên k(p) sao cho .Vì là đơn điệu tăng, bây giờ sẽ là

trường hợp với mọi , chúng ta có Điều này nói một cách chính xác là phân kỳ tới

Giả sử tiếp theo, là một chuỗi bị chặn Chúng ta sẽ chỉ ra , trong đó, như được định nghĩa trong phát biểu định lý, x là supremum của tập các điểm

Giả sử đã được cho Lời chứng minh sẽ được hoàn thành nếu chúng ta chỉ ra là tồn

tại k( ) sao cho cho tất cả

Vì x là biên trên nhỏ nhất của tập các điểm ., không là một biên

trên của tập này Do vậy, tồn tại sao cho Vì là là đơn điệu tăng, suy ra là cho tất cả Mặt khác, vì x là một biên trên, rõ rằng sẽ đúng

là cho mọi k Kết hợp những phát biểu này, chúng ta có

là điều, tất nhiên, hàm ý rằng cho tất cả Đpcm

Vì một chuỗi trong là đơn điệu tăng khi và chỉ khi là đơn điệu giảm Định lý 1.15 có hệ quả trung gian sau:

Hệ quả 1.16: Giả sử là một chuỗi đơn điệu giảm trong Nếu không bị chặn,

nó phải phân kỳ tới Nếu bị chặn, nó phải hội tụ tới giới hạn x , trong đó x là infimum của tập các điểm

1.2.6 Cầu mở, Tập mở, Tập đóng

Giả sử Cầu mở với tâm x và bán kính được cho bởi

Nói cách khác, là tập các điểm trong có khoảng cách tới x nhỏ hơn hẳn so với

Nếu chúng ta thay bất phương trình ngặt bằng bất phương trình yếu , thì chúng

ta có được cầu đóng ̃

Một tập S trong được nói là mở nếu với mọi , tồn tại một sao cho Một cách trực giác, S là mở nếu với mọi , ai đó có thể dịch chuyển

một khoảng nhỏ ra khỏi x theo bất kỳ hướng nào mà không rời khỏi S

Định lý 1.20:Một tập S nbị đóng khi và chỉ khi với mọi chuỗi sao cho cho

Bây giờ giả sử đối với tất cả các chuỗi trong S sao cho , chúng ta

có Chúng ta sẽ chỉ ra là S phải là đóng Nếu S không là đóng, thì không là mở

Vì tính mở của không còn đúng nữa, phải tồn tại một điểm sao cho không có

cầu mở với tâm x nào được chứa hẳn bên trong , tức là mỗi cầu mở với tâm x và bán kính

có ít nhất một điểm không nằm trong Với định nghĩa , và giả sử Khi đó, theo cách xây dựng cho mỗi k, do

vậy, cho mỗi k Hơn nữa, vì cho mỗi k, đó là trường hợp

do vậy Nhưng điều này hàm ý là x phải nằm trong S, và điều này là mâu

được nói là bị chặn nếu tồn tại sao cho  , tức là, nếu

S được chứa hoàn toàn trong một cầu mở nào đó trong n, có tâm là gốc tọa độ Ví dụ, khoảng là một tập con bị chặn trong , nhưng tập các số nguyên thì không

Một tập  được nói là compact nếu với mọi chuỗi các điểm{ } sao cho

cho mỗi k, tồn tại một chuỗi con { } của{ } và một điểm sao cho Nói bằng lời, định nghĩa này được nói tắt là “một tập là compact nếu mọi chuỗi có chứa một chuỗi con hội tụ”.Nếu là compact, dễ thấy là S phải bị chặn Vì nếu S không bị chặn,

sẽ có khả năng chọn được một chuỗi { } trong S sao cho‖ ‖ , và một chuỗi như

thế không thể chứa một chuỗi hội tụ (Tại sao?) Tương tự, nếu S là compact, nó cũng phải

bị đóng Nếu không, sẽ tồn tại một chuỗi { } trong S sao cho , trong đó Tất cả

các chuỗi con của chuỗi này khi đó cũng hội tụ tới x, và vì , định nghĩa compact bị vi phạm Do vậy, mỗi tập compact trong n

phải là bị đóng và bị chặn

Định lý 1.21: Một tập là compact khi và chỉ khi nó bị đóng và bị chặn

Chứng minh: Xem Rudin (1976, Định lý 2.41, tr 40)

1.2.8 Tổ hợp lồi và các tập lồi

Cho trước một tập hữu hạn các điểm , một điểm được gọi là tổ hợp

lồi của các điểm nếu tồn tại thỏa mãn (i) và (ii)∑ , sao cho ∑

Một tập  là lồi nếu tổ hợp lồi của bất kỳ 2 điểm nào trong S cũng nằm trong S Một cách trực giác, S là lồi nếu đường thẳng nối 2 điểm bất kỳ trong S cũng hoàn toàn được chứa trong S

Ví dụ, các khoảng đơn vị đóng và mở và đều là các tập con lồi của , trong khi đĩa đơn vị

‖ ‖

là một tập con lồi của 2 Mặt khác, vòng đơn vị

‖ ‖ không phải là một tập con lồi của 2

vì và , nhưng tổ hợp lồi Các ví dụ bổ sung về các tập lồi và không lồi được cho trên Hình 1.3

]

trong đó là một số thực cho mỗi và Chúng ta sẽ thường coi

như là phần tử của ma trận A Viết bởi ký hiệu súc tích hơn, ta có ma trận là

Véc tơ

được gọi là hàng thứ i của ma trận A, và sẽ được ký hiệu là Véc tơ:

]

được gọi là cột thứ j của ma trận A, và sẽ được ký hiệu là Do vậy, một ma

trận A kích thướcn có n hàng và m cột, và có thể được thể hiện khác nhau như

[

] [ ]

Nếu A và B là hai ma trận kích thướcn , tổng của chúng là ma trận kích thướcn , có phần tử thứ là :

[

] Nhận xét là chỉ được xác định nếu A và B có cùng số hàng và số cột Nếu A là một ma trận và B là ma trận , tích của chúng AB là ma trận

có phần tử thứ là tích nội của hàng thứ i của A và cột thứ j của B: [

] Tất nhiên, đối với và bất kỳ, ∑ Lưu ý là để cho tích AB được xác định tốt, số các cột trong A phải giống hệt như số hàng trong B Cũng lưu ý là tích AB nói chung không là giống như tích BA Quả thực, nếu A là ma trận , và B là ma trận thì AB được xác định tốt, nhưng BA thậm chí không được xác định trừ phi

Định lý 1.39: Tổng ma trận A + B và tích AB có các thuộc tính sau đây: 1

2 Phép cộng có tính kết hợp:

3 Phép nhân có tính kết hợp:

4 Phép nhân phân phối theo phép cộng:

Chứng minh: Trực tiếp từ các định nghĩa.Đpcm Chuyển vị của một ma trận A, được ký hiệu là , là ma trận mà phần tử thứ là Do vậy, nếu A là một ma trận , A' là một ma trận

Ví dụ, nếu A là ma trận

[

] Thì là ma trận

*

+

Dễ kiểm tra từ các định nghĩa rằng chuyển vị có các thuộc tính sau đây đối với tổng

và tích.(Đối với thuộc tính thứ 2, hãy lưu ý là tích được xác định tốt bất kể khi nào tích được xác định tốt và ngược lại)

1

2

Cuối cùng, đôi lời về ký hiệu.Có một thông lệ trong đại số tuyến tính là coi các véc tơ như các véc tơ cột, tức là như các ma trận , và viết để biểu thị véc tơ hàng, tức là như một ma trận Nói riêng,theo tập tục này, chúng ta sẽ viết để ký hiệu tích nội của các véc tơ và , chứ không phải như đã làm Để lạm dụng ký hiệu, chúng ta sẽ tiếp tục sử dụng để ký hiệu tích nội, nhưng sẽ trong hoàn cảnh của nhân

ma trận, coi x như một véc tơ cột Do vậy ví dụ chúng ta sử dụng để ký hiệu tích của

ma trận A kích thước và véc tơ Tương tự, chúng ta sẽ sử dụng để ký hiệu nhân trước véc tơ của ma trận kich thước

1.3.2 Một số lớp ma trận quan trọng

Mục đích của mục con này là chọn ra một số lớp ma trận quan trọng Các thuộc tính của các ma trận này được nhấn mạnh trong các mục kế tiếp về hạng, định thức, và ma trận nghịch đảo

Ma trận vuông

Ma trận vuông là ma trận A kích thước có đặc điểm (tức là, số hàng và cột

bằng nhau) Giá trị chung của n và m cho một ma trận vuông A được gọi là bậc của ma

trận Khi đã cho một ma trận vuôngA( bậc n, các phần tử , được gọi là

các phần tử đường chéo của A, và các phần tử với được gọi là các phần tử

ngoài-đường chéo

Ma trận đối xứng

Ma trận vuông A bậc n được gọi là ma trận đối xứng nếu chúng ta có

Nhận thấy là A là một ma trận đối xứng khi và chỉ khi nó trùng với chuyển vị của nó,

]

Lưu ý mọi ma trận đường chéo cũng là đối xứng

Ma trận đơn vị

Ma trận đơn vị bậc n là ma trận vuông có các phần tử đường chéo đều bằng đơn vị,

và tất cả những phần tử ngoài-đường chéo đều bằng không:

[

]

Ma trận đơn vị là một ma trận đường chéo (và, do vậy, cũng là ma trận đối xứng) Thêm

nữa, nó có thuộc tính là nếu A và B là các ma trận và bất kỳ, thì và

Nói riêng, do vậy,

Ma trận tam giác-dưới

Ma trận tam giác-dưới bậc n là ma trận vuông D bậc n có thuộc tính là tất cả các phần tử

phía trên đường chéo bằng không:

[

]

Ma trận tam giác-trên

Ma trận tam giác-trên bậc n là một ma trận vuông bậc n có thuộc tính là tất cả các phần tử

phía dưới đường chéo bằng không:

Giả sử đã cho một bộ sưu tập hữu hạn các véc tơ trong n Các véc tơ

được nói là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số thực , với cho i nào

đó, sao cho

Nếu, mặt khác, lời giải duy nhất của phương trình là , các véc tơ được nói là độc lập tuyến tính

Ví dụ, các véc tơ , và được cho bởi

Giả sử A là ma trận n Khi đó, mỗi một trong n hàng của A xác định một véc tơ

trong m Hạng hàng của A, được ký hiệu là , được định nghĩa là số lượng tối đa các

hàng độc lập tuyến tính của A Tức là, hạng hàng của A là k nếu các điều kiện sau đều thỏa

Lưu ý nếu, điều kiện thứ hai là thừa, vì không thể có khả năng lựa chọn (n+1) số nguyên

phân biệt từ một tập chỉ bao gồm n số nguyên

Tương tự, mỗi một trong số m cột của A xác định ra một véc tơ trong n

, và hạng cột của A, được ký hiệu là , được xác định như số lượng tối đa các cột độc lập tuyến tính

trong A Vì A là ma trận n , chúng ta phải có và Trong số các kết quả hữu ích nhất trong đại số tuyến tính, ta có:

Định lý 1.40: Hạng hàng của ma trận bất kỳ A kích thước n nào đều trùng với

hạng cột của nó

Chứng minh: Xem Munkres (1964, Hệ quả 7.3, tr 27) hoặc Johnston (1984, Chương 4,

tr 115)

Tiếp theo, chúng ta sẽ ký hiệu giá trị chung này của và Lưu ý là vì

và , chúng ta phải có Một hệ quả trực tiếp của Định lý 1.40, là định lý mà chúng ta trình bày như một hệ quả để nhấn mạnh, là hạng của

ma trận trùng với hạng của chuyển vị của nó:

Hệ quả 1.41: Hạng của một ma trận A bất kỳ bằng với hạng ́ của chuyển vị ́

của nó

Kết quả tiếp theo liệt kê một số biến đổi quan trọng của một ma trận làm cho hạng của nó không thay đổi

Định lý 1.42 : Giả sử A là ma trận n đã cho Nếu B là ma trận có được từ A

1 bằng cách trao đổi hai hàng bất kỳ của A, hoặc

2 bằng cách nhân mỗi phần tử trong một hàng đã cho với hằng số khác không,

hoặc

3 bằng cách thay thế một hàng đã cho, ví dụ hàng thứ i bởi chính bản thân nó cộng với một đại lượng vô hướng nhân với một hàng khác nào đó, ví dụ hàng thứ j, hạng của B giống hệt như hạng của A Kết quả cũng chính xác như vậy nếu từ

“hàng” trong mỗi phép tính nói trên được thay thế bởi từ “cột”

Chứng minh: Xem Munkres (1964, Định lý 5.1, tr 15) Đpcm

Ba phép tính được mô tả trong Định lý 1.42 được gọi là “các phép tính hàng cơ bản” Chúng đóng một vai trò quan trọng trong việc giải các hệ phương trình tuyến tính bởi

phương pháp biến đổi ma trận hệ số tới một dạng hàng-bậc thang rút gọn (xem Munkres,

1964, để biết chi tiết)

Cuối cùng, một ma trận A kích thước được nói là có hạng đầy đủ nếu min Nói riêng, một ma trận vuông A bậc n được nói là có hạng đầy đủ nếu

Trong suốt mục con này, chúng ta sẽ giả thiết là A là ma trận vuông bậc n

Định thức là một hàm gán cho mỗi ma trận vuông A, một số thực, được ký hiệu là

Định nghĩa hình thức của hàm này đôi chút là phức tạp Chúng ta trình bày nó trong vài bước sau

Khi đã cho một tập hữu hạn các số nguyên , hoán vị của tập này là việc viết lại n số nguyên này theo một trật tự nào đó, ví dụ như Cố định một hoán vị, chọn bất kỳ Đếm số lượng số nguyên đứng sau theo trật tự , nhưng đứng trước nó trong trật tự tự nhiên 1, …, n Con số này là số lượng các đảo ngược gây ra bởi Khi

chúng ta xác định số các đảo ngược gây ra bởi mỗi và cộng chúng lại, chúng ta có được

tổng số các đảo ngược trong hoán vị Nếu tổng số này là một số lẻ, chúng ta gọi

hoán vị là hoán vị lẻ; nếu tổng số là chẵn, chúng ta gọi hoán vị là hoán vị chẵn

Ví dụ, xét hoán vị của các số nguyên Số đảo ngược gây ra bởi 4 trong hoán vị là 3, vì tất cả ba con số sau nó trong hoán vị cũng đều đứng trước nó trong trật tự tự nhiên Số 2 trong hoán vị chỉ gây ra một đảo ngược, vì chỉ có con số 1 đứng sau

nó trong hoán vị và cũng đứng trước nó trong trật tự tự nhiên Tương tự, con số 3 cũng chỉ gây ra một đảo ngược, và, cuối cùng, con số 1 rõ ràng không gây ra đảo ngược nào Do vậy, tổng số đảo ngược trong hoán vị là 3 + 1 + 1 = 5, và đó là hoán vị lẻ

Bây giờ giả sử đã cho ma trận A=( ) kích thước n Giả sử ký hiệu bất

kỳ hoán vị nào của các số nguyên , và xét một véc tơ , - Lưu ý là véc

tơ này bao gồm một phần tử của mỗi hàng của A, và không có hai phần tử nào trên cùng

một cột Lấy tích của các phần tử này

Ví dụ, đã cho ma trận 2

*

+ Chúng ta có Biểu thức cho định thức của ma trận 33 là phức tạp hơn Nếu

[

] thì

Đối với các ma trận bậc cao hơn, các biểu thức sẽ phức tạp lên rất nhiều: có tới 4! = 24 hoán vị cho tập , do vậy có tới 24 biểu thức trong định thức của ma trận 4 , trong khi con số đó cho ma trận 5 là 120

Rõ ràng định nghĩa định thức mà chúng ta đã cung cấp không thể sử dụng được nhiều

để tính toán Trong mục con sau đây, chúng ta đề xuất một số các thủ tục dễ dàng hơn để tính định thức Những thủ tục này được dựa trên các thuộc tính rất hữu ích sau đây:

5 Nếu A là một ma trận tam giác-dưới (hoặc tam giác-trên) bậc n, thì định thức của

A là tích của các thành phần đường chéo: Nói riêng, định thức của

ma trận đơn vị là đơn vị:

Mỗi một trong số bốn thuộc tính đầu tiên cũng đúng nếu như từ “hàng” được thay thế bởi từ “cột”

Chứng minh: Xem Munkres (1964, Chương 8) Đpcm

Khái niệm định thức liên hệ chặt chẽ với hạng của ma trận Để phát biểu mối quan

hệ này cần có thêm một định nghĩa nữa Khi đã cho một ma trận B kích thước , bất

kỳ ma trận nào đạt được từ B bằng cách xóa đi một số hàng và/hoặc cột của nó được gọi là

ma trận con của B Ví dụ, nếu

[

]

thì những ma trận sau đây là các ma trận con của nó:

[

] [

]

Tất nhiên, không phải tất cả các ma trận con của B nhất thiết phải là vuông Ma trận con

sau đây, ví dụ, không phải là vuông:

[

]

Định lý 1.45: Giả sử B là ma trận kích thước n Giả sử k là bậc của ma trận con

vuông lớn nhất của B có định thức khác không Khi đó, Nói riêng, các hàng của

B là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi B có chứa một số ma trận con vuông bậc n có định thức khác không

Chứng minh: Xem Munkres (1964, Định lý 8.1) Đpcm

Một trường hợp đặc biệt của kết quả này là các ma trận vuông có hạng đầy đủ khi và chỉ khi chúng có một định thức khác-không:

Hệ quả 1.46: Ma trận vuông A bậc n có hạng n khi và chỉ khi

1.3.5 Nghịch đảo

Giả sử đã cho ma trận trận vuông A kích thước n Ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu

là , được định nghĩa là một ma trận B kích thước có thuộc tính là AB=I

Chứng minh: Xem Johnston (1984, Chương 4) Đpcm

Có khả năng mô tả một thủ tục để xây dựng ma trận nghịch đảo của một ma trận

vuông A thỏa mãn điều kiện Đầu tiên hãy xét ma trận con của A có kích thước là

nhận được khi hàng i và cột j bị xóa đi Ký hiệu định thức của ma trận con này là Định nghĩa

( )

được gọi là phần phụ đại số (cofactor) thứ (i,j) của A

Bây giờ, xây dựng ma trận C(A) kích thước có phần tử thứ (i,j) là

Chuyển vị của C(A) được gọi là ma trận phụ hợp (adjoint matrix) của A, và được ký hiệu

Chúng ta liệt kê một số thuộc tính hữu ích của ma trận nghịch đảo trong kết quả tiếp theo của chúng ta Trong khi phát biểu những thuộc tính này, giả thiết trong mỗi trường hợp ma trận nghịch đảo thích hợp được xác định tốt

Định lý 1.48: Ma trận nghịch đảo có những thuộc tính sau:

Trong mục con này chúng ta đề xuất hai phương pháp tính toán định thức của một ma trận

vuông A Mỗi phương pháp đều dễ sử dụng hơn cách tính trực tiếp theo định nghĩa của

định thức

Phương pháp thứ nhất dựa trên nhận xét là từ định nghĩa của định thức, biểu thức cho

A đối với bất kỳ ma trận A kích thước đã cho nào đều có thể được viết là

Nhận xét này mang lại cho chúng ta một phương pháp truy hồi để tính toán định

thức, vì nó cho phép chúng ta biểu diễn định thức của ma trận A kích thước theo các

định thức của các ma trận con kích thước (n-1) là A(11), …,A(1n) Bằng cách áp dụng lại phương pháp, chúng ta có thể biểu diễn các định thức của mỗi một từ các ma trận con (n-1) theo một số ma trận con của các ma trận con này và vân vân Bởi vậy,

ví dụ, đối với ma trận 3 , chúng ta có được:

|

thì, chúng ta có

Phương pháp này không dựa gì vào việc sử dụng hàng thứ nhất của ma trận Bất kỳ

hàng nào (hoặc, cột nào) cũng có thể được sử dụng như vậy; trên thực tế, chúng ta có

Phương pháp thứ hai được dựa vào việc khai thác ba thuộc tính sau đây của định thức:

1 Nếu B có được từ A bằng cách đổi chỗ bất kỳ hai hàng (hoặc cột), thì

2 Nếu B có được từ A bằng cách thay thế bất kỳ hàng thứ i nào (cột thứ i) bởi chính

nó cộng với nhân với một hàng khác thứ j nào đó (cột khác thứ j nào đó),

] Chúng ta có:

|

| | | |

| |

|

trong đó biểu thức thứ hai có được từ biểu thức thứ nhất bằng cách thay thế hàng 2 bởi chính nó cộng (-3) nhân với hàng 1; biểu thức thứ ba có được từ biểu thức thứ hai bằng cách thay thế hàng 3 bởi chính nó cộng (-6) nhân hàng 1; và, cuối cùng, biểu thức cuối cùng có được từ biểu thức thứ ba bằng cách thay thế hàng 3 bởi chính nó cộng với (-29/13)

nhân hàng 2 Vì biểu thức cuối có dạng ma trận tam giác, định thức của A được tính bằng

cách nhân:(1)(-13)(-4)=52

1.4 HÀM SỐ

Giả sử S, T là các tập con của n

và l một cách tương ứng Hàm số f từ S và T, được ký

hiệu là , là một quy tắc kết hợp với mỗi phần tử của S, một và chỉ một phần tử của

T Tập S được gọi là miền của hàm f, và tập T là miền giá trị (range)

1.4.1 Các hàm liên tục

Giả sử , trong đó S n và T  l Khi đó, f được nói là liên tục tại nếu

với mọi , tồn tại sao cho và hàm ý (Lưu

ý là là khoảng cách giữa x và y trong n, trong khi là khoảng cách

trong l.) Theo ngôn ngữ chuỗi, là liên tục tại nếu với mọi chuỗi sao cho cho tất cả các k, và , thì = f x)

Về mặt trực giác, f là liên tục tại x nếu giá trị của f tại bất kỳ điểm y nào “gần” với x

là một xấp xỉ tốt của giá trị của f tại x Bởi vậy, hàm đồng nhất với mọi x n là liên tục tại mỗi x , trong khi hàm f: được cho bởi

,

là liên tục mọi nơi ngoại trừ tại x = 0 Tại x = 0, mọi cầu mở với tâm x và bán kính

có chứa ít nhất một điểm y>0 Tại tất cả những điểm như vậy, , và xấp xỉ này không thể cải thiện được, bất kể y gần x như thế nào (tức là bất kể chúng ta lấy nhỏ như thế nào)

Một hàm được nói là liên tục trên S nếu nó liên tục tại mọi điểm trong S

Nhận thấy rằng nếu f: S n l, thì f bao gồm l “hàm cấu phần” , tức là, tồn tại các hàm số , i=1,…,l sao cho đối với mỗi , chúng ta có Một điều sẽ

được để lại cho độc giả như một bài tập là hãy chỉ ra f liên tục tại x S (tương ứng, f là liên tục trên S) khi và chỉ khi mỗi i

f liên tục tại x (một cách tương ứng, khi và chỉ khi mỗi

i

f lầ liên tục trên S) ( )

Kết quả sau mang lại cho chúng ta một đặc trưng hóa tương đương của tính liên tục,

là kết quả tỏ ra khá hữu ích trong thực tế:

Định lý 1.49: Một hàm f: S  n l

là liên tục tại một điểm khi và chỉ khi đối với

mọi tập mở V  l sao cho , tồn tại một tập mở U nsao cho , và đối với tất cả

Như một hệ quả trực tiếp, chúng ta có phát biểu sau đây, là điều thường được viết tắt

là “một hàm là liên tục khi và chỉ khi ảnh ngược của mỗi tập mở là mở”

Hệ quả 1.50: Một hàm số n l là liên tục trên S khi và chỉ khi với mỗi tập mở

Nói riêng, nếu S là một tập mở trong n

, f là liên tục trên S khi và chỉ khi là tập

mở trong n cho mỗi tập mở V trong l

Cuối cùng là một số nhận xét Lưu ý tính liên tục của một hàm f tại một điểm x là một thuộc tính địa phương, tức là nó liên quan tới hành vi của f ở gần x, nhưng nó không cho chúng ta biết điều gì về hành vi của f tại những nơi khác Nói riêng, tính liên tục của f tại x không có các hàm ý thậm chí cho tính liên tục của f tại các điểm “gần” x Quả thực,

dễ xây dựng các hàm số là liên tục tại một điểm đã cho x, nhưng những hàm này là không liên tục tại mọi điểm khác trong mọi lân cận của x (xem các Bài tập) Một điều cũng quan

trọng cần lưu ý là, nói chung, các hàm không nhất thiết là liên tục tại thậm chí tại một điểm

đơn trong miền của chúng Hãy xét f : + + được cho bởi f(x)=1, nếu x là số hữu tỷ, và

f(x)=0 nếu không phải như vậy Hàm này không liên tục khắp nơi trên +.

1.4.2 Các hàm khả vi và khả vi liên tục

Trong suốt mục con này S sẽ ký hiệu một tập mở trong n

Một hàm f : S m được nói là khả vi tại một điểm nếu tồn tại một ma trận A

kích thước sao cho với mọi , tồn tại sao cho và ‖ ‖ hàm

cung cấp một minh họa đồ thị của đạo hàm Bảo lưu thói quen thực hành chuẩn, sau đây chúng ta sẽ ký hiệu Df(x) là khi n=m=1, tức là, khi mà S và

Nhận xét: Định nghĩa về đạo hàm Df có thể được xuất phát như sau Một hàm á tuyến từ

có thể là một xấp xỉ tốt cho f tại x), chúng ta phải có g(x)=Ax+b=f(x), hoặc b = -A(x)

Do vậy, chúng ta có thể viết hàm xấp xỉ g là

Khi đã cho giá trị này cho , nhiệm vụ chỉ ra xấp xỉ á tuyến tốt nhất cho f tại x bây giờ rốt cuộc là chỉ ra một ma trận A sao cho

.‖ ‖

‖ ‖ / .

‖ ( )‖

‖ ‖ /

Đây chính xác là định nghĩa của đạo hàm mà chúng ta đã nhận được Đpcm

Nếu f là khả vi tại tất cả các điểm trong S, thì f được nói là khả vi trên S Khi f là khả vi trên S, đạo hàm Df tự hình thành nên một hàm số từ S tới mxn Nếu Df : S mxn

vi tại x S khi và chỉ khi mỗi một trong số m hàm cấu phần f i : S của f là khả vi tại

x, trong trường hợp đó chúng ta có Df x Df1 x, ,Df m x  Hơn nữa, f là 1

Cho dù ví dụ này là như vậy, một sự thực là đạo hàm của hàm f khả vi mọi nơi phải

có một mức độ liên tục tối thiểu Xem Định lý Giá trị Trung gian (Intermediate Value Theorem) cho Đạo hàm trong mục nhỏ 1.6.1 để biết chi tiết

Chúng tôi khép lại mục con này với một phát biểu về hai thuộc tính quan trọng của

đạo hàm Thứ nhất, khi đã cho hai hàm số f : n m

Chứng minh: Rõ ràng từ định nghĩa về tính khả vi Đpcm

Tiếp theo, khi đã cho các hàm f : n m

và h : k n , hãy định nghĩa hợp

là hàm từ k m

có giá trị tại bất kỳ điểm x k được cho bởi , tức là bởi

giá trị của f được tính tại

Chứng minh: Xem Rudin (1976, Định lý 9.15, tr 214) Đpcm

Các định lý 1.52 và 1.53 chỉ là các hàm ý một-chiều Ví dụ, trong khi tính khả vi của

f vàg tại x hàm ý tính khả vi ủa tại x, có thể khả vi mọi nơi (thậm chí 1

mọi x, do vậy tại mọi x, hàm ý là 1

C Tương tự, tính khả vi của

không có các hàm ý cho tính khả vi của f tại hoặc tính khả vi của h tại x

1.4.3 Đạo hàm riêng và tính Khả vi

Giả sử f :S , trong đó S n

là một tập mở Ký hiệu e j là véc tơ trong n chứa 1 tại vị

trí thứ j và không tại những chỗ khác Khi đó đạo hàm riêng thứ j của f được nói là tồn tại tại điểm x nếu có một con số sao cho

. ( ) /

Một trong những điểm lý thú là điều sau đây:

3 f là C1trên S khi và chỉ khi tất cả các đạo hàm riêng của f tồn tại và liên tục trên S

Chứng minh: Xem Rudin (1976, Định lý 9.21, tr 219) Đpcm

Bởi vậy, để kiểm tra xem f có là 1

C hay không, chúng ta chỉ cần tính xem nếu (a) tất

cả các đạo hàm riêng đều tồn tại trên S hay không, và (b) tất cả chúng có liên tục trên S hay không Mặt khác, yêu cầu các đạo hàm riêng không chỉ tồn tại mà còn liên tục tại x là rất

quan trọng cho sự trùng khớp véc tơ các đạo hàm riêng với Khi thiếu điều kiện này, tất cả các đạo hàm riêng có thể tồn tại tại một điểm nào đó mà tự thân hàm số không khả vi tại điểm đó Hãy xét ví dụ sau:

Giả sử f là khả vi tại Khi đó, đạo hàm riêng phải trùng khớp với véc

tơ các đạo hàm riêng tại do vậy chúng ta phải có Tuy nhiên, từ định nghĩa đạo hàm, chúng ta cũng phải có

‖ ‖

‖ ‖nhưng điều này là không thể xảy ra nếu Để thấy điều này, hãy lấy một điểm bất kỳ có dạng cho nào đó, và lưu ý là mỗi lân cận của có chứa ít nhất một điểm như vậy Vì , , và‖ ‖ √ , suy ra

‖ ‖

‖ ‖

do vậy giới hạn của phân thức này khi a 0 không thể là không

Về mặt trực giác, đặc điểm tạo ra ví dụ này là khi xét đạo hàm riêng của f theo (ví dụ như) x tại điểm , chúng ta chỉ dịch chuyển theo đường đi qua song song với trục x (xem đường được ký hiệu là l trên Hình 1.6) Tương tự, đạo hàm riêng theo y liên 1

quan đến việc giữ cho biến x cố định, và chỉ dịch chuyển trên đường thẳng qua song song với trục y (xem đường được ký hiệu là l trên Hình 1.6) Mặt khác, khi nhìn vào đạo 2

hàm , cả hai biến x và y được phép thay đổi một cách đồng thời (ví dụ, dọc theo đường cong rời nét trên Hình 1.6)

Cuối cùng cần phải nhấn mạnh là mặc dù một hàm cần phải liên tục để là khả vi (điều này dễ thấy từ các định nghĩa), không có hàm ý nào theo hướng ngược lại (hướng thuận: khả vi phải liên tục; hướng ngược lại: liên tục chưa chắc đã khả thi _ ND) Tồn tại các ví dụ cực đoan về các hàm số liên tục trên toàn bộ , nhưng không khả vi thậm chí tại một điểm đơn (xem, ví dụ, Rudin, 1976, Định lý 7.18, tr 154) Các hàm như vậy không hề bệnh hoạn; ví dụ, chúng đóng một vai trò trung tâm trong nghiên cứu chuyển động Brown trong lý thuyết xác suất (với xác suất 1, chuyển động Brown liên tục tại mọi nơi và nhưng không khả vi ở đâu cả)

1.4.5 Đạo hàm cấp cao

Giả sử f là một hàm từ S n

tới , trong đó S là một tập mở Trong suốt mục con này, chúng ta sẽ giả thiết f là khả vi trên toàn bộ S, do vậy tự bản thân đạo hàm xác định một hàm từ S vào n

Bây giờ giả sử tồn tại x S sao cho chính bản thân đạo hàm khả vi tại x, tức là, đối

với mỗi i, hàm khả vi tại x Ký hiệu đạo hàm riêng của theo hướng

j

x tại x là , nếu , và nếu Khi đó, chúng ta nói là f khả vi hai

lần tại x, với đạo hàm bậc hai , trong đó

[

]Một lần nữa, chúng ta sẽ theo thực hành chuẩn và ký hiệu là bất cứ khi nào

n = 1 (tức là, nếu S )

Nếu f khả vi hai lần tại mỗi x trong S, chúng ta nói là f khả vi hai lần trên S Khi f khả vi hai lần trên S, và đối với mỗi , đạo hàm chéo là hàm liên

tục từ S vào , chúng ta nói là f là khả vi hai lần liên tục trên S, và chúng ta viết f là C2

Khi f là , đạo hàm bậc hai , là đại lượng cũng được gọi là ma trận của các đạo

hàm riêng chéo (hoặc ma trận Hex của f tại x), có thuộc tính hữu ích sau:

Chứng minh: Xem Rudin (1976, Hệ quả cho Định lý 9.41, tr 236) Đpcm

Để thấy một ví dụ về việc tính đối xứng của bị phá hủy vì các đạo hàm riêng không liên tục, hãy xem các Bài tập

Điều kiện các đạo hàm riêng cần phải liên tục để trở thành ma trận đối xứng có thể bị được giảm nhẹ đôi chút Cụ thể, để

thỏa mãn, điều kiện đủ phải là (a) các đạo hàm riêng và tồn tại mọi nơi

trên D, và (b) một trong các đạo hàm riêng hoặc tồn tại mọi nơi

trên D và liên tục tại y

Các đạo hàm cấp cao hơn (cấp ba, cấp bốn, …) có thể được xác định cho một hàm số

f : n Ý tưởng nằm bên dưới là đơn giản: ví dụ, một hàm là khả vi-ba lần tại một

điểm x nếu tất cả các hàm số cấu phần của đạo hàm-cấp-hai f (tức là, nếu tất cả các hàm

đạo hàm riêng-chéo( ) tự bản thân khả vi tại x; nó là 3

C nếu tất cả các hàm cấu phần là khả vi liên tục, … Mặt khác, khái niệm này trở nên khá phức tạp trừ phi

(tức là, f : ), và chúng ta không sử dụng điều gì trong cuốn sách này cho các đạo hàm cao cấp hơn cấp hai, do vậy chúng ta sẽ không cố gắng đưa ra các định nghĩa hình thức ở đây nữa

trong đó là một ma trận đối xứng Vì dạng toàn phương hoàn toàn

được chỉ ra bởi ma trận A, từ nay về sau chúng ta coi chính bản thân A là dạng toàn

phương Mối quan tâm của chúng ta đối với các dạng toàn phương xuất phát từ sự kiện là

nếu f là hàm , và z là một điểm trên miền xác định của f , thì ma trận đạo hàm riêng bậc

hai xác định một dạng toàn phương (điều này suy ra từ Định lý 1.58 về thuộc tính đối xứng của f cho hàm 2

C là f

Một dạng toàn phương A được nói là

1 xác định dương nếu chúng ta có > 0 cho mọi x n,

2 bán xác định dương nếu chúng ta có cho mọi x n,

3 xác định âm nếu chúng ta có cho mọi x n,

4 bán xác định âm nếu chúng ta có cho mọi x n,

Các thuật ngữ “xác định không âm” và “xác định không dương” thường được sử dụng để thay cho “bán xác định dương” và “bán xác định âm” một cách tương ứng

Ví dụ, dạng toàn phương A được xác định bởi

* +

là xác định dương, vì đối với bất kỳ xx1, x2 2

, chúng ta có , và đại lượng này là dương bất cứ khi nào Mặt khác, hãy xét dạng toàn phương

* + Đối với bất kỳ 2 nào, chúng ta có , do vậy có thể là 0 thậm chí nếu (Ví dụ, nếu Do vậy, A không là xác định dương

Mặt khác, một điều chắc đúng là chúng ta luôn có , do vậy A là bán xác định dương

Nhận thấy là tồn tại các ma trận A không phải bán xác định dương mà cũng không

phải là bán xác định âm, và do vậy không thuộc vào bốn phân loại mà chúng ta đã chỉ ra

Những ma trận như vậy được gọi là các dạng toàn phương không xác định Như một ví dụ của dạng toàn phương không xác định A, hãy xét

* + Đối với , , do vậy A không là bán xác định âm Nhưng đối với , , do vậy A cũng không là bán xác định dương

Khi đã cho một dạng toàn phương A và bất kỳ t nào, chúng ta có , do vậy dạng toàn phương có cùng dấu với nhau qua gốc tọa độ Bởi vậy, nói riêng

A là xác định dương (xác định âm, một cách tương ứng) khi và chỉ khi nó thỏa mãn

( một cách tương ứng) cho mọi x trong cầu đơn vị

‖ ‖

Chúng ta sẽ sử dụng nhận xét này để chỉ ra rằng nếu A là xác định dương (hoặc xác định

âm) nn , và bất kỳ dạng toàn phương B nào khác đủ gần với A:

Định lý 1.59: Giả sử A là một ma trận xác định dương Khi đó tồn tại sao cho

nếu B là một ma trận nn bất kỳ với | | với mọi j, k , thì B cũng là

xác định dương Một phát biểu tương tự cũng đúng cho ma trận xác định âm A

Chứng minh: Chúng ta sẽ sử dụng Định lý Weierstrass, là định lý đã được chứng minh

trong Chương 3 (Xem Định lý 3.1) Định lý Weierstrass phát biểu rằng nếu là compact, và

là hàm liên tục, thì f có cả cực đại lẫn cực tiểm trên tức là, tồn tại các điểm và trên sao cho với mọi k

Bây giờ, cầu đơn vị rõ ràng là compact, và dạng toàn phương A là liên tục trên tập này Do vậy, theo Định lý Weierstrass, tồn tại z trên sao cho đối với bất kỳ x nào, chúng ta có

Nếu A là xác định dương, thì phải là dương ngặt, do vậy phải tồn tại sao cho

cho mọi x

Gọi Giả sử B là một ma trận đối xứng bất kỳ, sao cho |

|  cho mọi j, k = 1,…,n Khi đó đối với bất kỳ x ,

do vậy B cũng là xác định dương, và đây là đpcm

Một hàm ý riêng của kết quả này mà chúng ta sẽ sử dụng trong Chương 4 khi nghiên cứu về các bài toán tối ưu không ràng buộc, là như sau:

Hệ quả 1.60: Nếu f là một hàm 2

C sao cho tại một điểm x nào đó, là một ma trận

xác định dương, thì tồn tại một lân cận của x sao cho đối với mọi y , cũng là ma trận xác định dương Một phát biểu tương tự cũng đúng nếu

thay vào đó, là ma trận xác định âm

Cuối cùng, một điều quan trọng là chỉ ra rằng Định lý 1.59 không còn đúng nữa nếu

“xác định dương” được thay bởi “bán xác định dương” Hãy xét, như một phản ví dụ, ma

trận A được xác định bởi

* +

Chúng ta đã thấy ở trên là A là bán xác định dương (nhưng không xác định dương) Chon

> 0 bất kỳ, Khi đó, đối với , ma trận

* + thỏa mãn | | cho mọi Tuy nhiên, B không là bán xác định dương: đối

với , chúng ta có , và đại lượng này có thể là âm (ví dụ, nếu

và ) Do vậy, không tồn tại lân cận nào của A sao cho tất cả các dạng toàn

phương trong lân cận đó cũng là bán xác định dương

1.5.2 Nhận biết tính xác định và bán xác định

Từ quan điểm thực hành, một điều lý thú là câu hỏi: các ràng buộc nào lên cấu trúc của A cần phải được đặt ra nếu yêu cầu A phải là dạng toàn phương xác định dương (hoặc âm)?

Chúng ta cung cấp các câu trả lời cho câu hỏi này trong mục này Các kết quả chúng ta

trình bày, trên thực tế, là các phát biểu tương đương: tức là, các dạng toàn phương có các thuộc tính xác định hoặc bán xác định khi và chỉ khi chúng đáp ứng các điều kiện mà

chúng ta phác họa ra

Kết quả đầu tiên là về tính xác định dương và âm Khi đã cho ma trận đối xứng A

kích thước , giả sử là ma trận con của A có được khi chỉ giữ lại k hàng và cột đầu tiên, tức là ta có ký hiệu sau:

1 xác định âm khi và chỉ khi cho mọi

2 xác định dương khi và chỉ khi cho mọi

Hơn nữa, dạng toàn phương bán xác định dương A là xác định dương khi và chỉ khi

, trong khi dạng toàn phương bán xác định âm là xác định âm khi và chỉ khi

Chứng minh: Xem Debreu (1952, Định lý 2, tr 296) Đpcm

Suy luận tự nhiên là định lý này sẽ tiếp tục đúng nếu các từ “xác định âm” và “xác định dương” được thay thế bởi “bán xác định âm” và “bán xác định dương” một cách tương ứng, miễn là các bất phương trình ngặt được thay thế cho các bất phương trình yếu

Suy luận này không đúng.Hãy xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.62: Giả sử

* + *

+

Khi đó, A và B đều là các ma trận đối xứng Hơn nữa, , do

vậy nếu suy đoán là đúng, cả A lẫn B sẽ qua được kiểm định cho tính bán xác định dương, cũng như kiểm định cho tính bán xác định âm Tuy nhiên, đối với bất kỳ x 2

, =

và Do vậy, A là bán xác định dương nhưng không là bán xác định âm,

trong khi B là bán xác định âm, nhưng không là bán xác định dương Đpcm

Nói một cách thô thiển, đặc điểm đưa tới phản ví dụ này là, trong cả hai ma trận A và

B, các phần tử 0 trong toàn bộ ma trận, ngoại trừ vị trí làm cho các định thức cả bậc 1 lẫn bậc 2 bằng 0 Nói riêng, dấu của phần tử tại vị trí chẳng có vai trò gì, nó dương trong một trường hợp và âm trong trường hợp còn lại Mặt khác việc kiểm tra các biểu thức và cho thấy rằng trong cả hai trường hợp, dấu của dạng toàn phương được xác định một cách chính xác bởi dấu của phần tử

Vấn đề này cho thấy sự cần thiết phải mở rộng tập các ma trận con mà chúng ta xem xét, nếu chúng ta muốn đạt được kết quả tương tự với Định lý 1.61 cho tính chất bán xác

định dương và âm Giả sử ma trận A đối xứng và có kích thước đã được cho trước,

và giả sử là một hoán vị của các số nguyên Ký hiệu là ma trận đối xứng có được bằng cách thực hiện hoán vị  cho cả các hàng và các cột của

A:

[

] Với , giả sử là ma trận con đối xứng kích thước của có được bằng

cách chỉ giữ lại k hàng và cột đầu:

[

]

Cuối cùng, giả sử  là ký hiệu của tập tât cả các hoán vị có thể của

Định lý 1.63: Ma trận đối xứng A kích thước là

1 bán xác định dương khi và chỉ khi với mọi và với mọi ∏

2 bán xác định âm khi và chỉ khi với mọi và với mọi

∏

Chứng minh: Xem Debreu (1952, Định lý 7, tr 298) Đpcm

Một nhận xét cuối cùng là quan trọng Giả thiết đối xứng là tối quan trọng cho tính

đúng đắn của các kết quả này Nếu không thỏa mãn, ma trận A có thể qua tất cả các kiểm

định cho (ví dụ) tính bán xác định dương mà không thực sự là xác định đương Ở đây có hai ví dụ sau:

Ví dụ 1.64: Giả sử

* + Lưu ý là , và , do vậy A qua được kiểm định cho tính xác định dương Tuy nhiên, A không là ma trận đối xứng, và, trên thực tế, không là xác

định dương: chúng ta có , là âm với Đpcm

Ví dụ 1.65: Giả sử

* + Chỉ có hai hoán vị có thể có của tập , cụ thể, bản thân , và Điều này dẫn tới bốn ma trận con khác nhau mà định thức của chúng chúng ta phải xem xét: