Bài toán 8 đường tròn

Hình vẽ 1 Lời giải Để dựng nên một cấu hình như trong đề bài không phải là khó.. Trong phần chứng minh chúng ta sẽ sử dụng đến định lý 4 điểm và định lý Carnot nên để tiện cho theo dõi

Bài toán 8 đường tròn

Nguyễn Chương Chí

Đề bài (Đào Thanh Oai):

Cho 6 điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 nằm trên 1 đường tròn Sáu đường tròn (O1), (O2), (O3), (O4), (O5), (O6) lần lượt đi qua A1, A2, A3, A4, A5, A6 giao nhau tại các điểm thứ 2 là B1, B2, B3, B4, B5, B6 như hình vẽ Biết rằng B1, B2, B3, B4, B5, B6 cũng thuộc 1 đường tròn Chứng minh rằng các đường nối tâm O1O4, O2O5 và O3O6 đồng quy

Hình vẽ 1

Lời giải

Để dựng nên một cấu hình như trong đề bài không phải là khó Với 6 điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 nằm trên đường tròn (O) và điểm B1 trên đường tròn (I) cho trước ta tiếp tục lấy B2, B3, B4, B5, B6 lần lượt là giao của (A1B1A2), (A2B2A3), (A3B3A4), (A4B4A5), (A5B5A6) với đường tròn (I) Lúc này 4 điểm A6, B6, B1, A1 đã được xác định và chúng tự nhiên luôn luôn nằm trên một đường tròn (đó là đường tròn (O6) – bạn đọc tự chứng minh)

Trong phần chứng minh chúng ta sẽ sử dụng đến định lý 4 điểm và định lý Carnot nên để tiện cho theo dõi tôi sẽ giới thiệu chi tiết trong bài viết nhưng không chứng minh

1/ Định lý 4 điểm:

Với 4 điểm A, B, C, D bất kỳ trên mặt phẳng thì AB ⊥ CD ⇔ AD² - AC² = BD² - BC²

Hình vẽ 2

2/ Định lý Carnot:

Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P Các đường thẳng dA, dB, dC theo thứ tự qua M, N, P

và theo thứ tự vuông góc với BC, CA, AB Khi đó: dA, dB, dC đồng quy khi và chỉ khi:

(MB² - MC²) + (NC² - NA²) + (PA² - PB²) = 0

Đây là cách phát biểu với các điểm M, N, P bất kỳ trong mặt phẳng tam giác ABC Ngoài ra còn một cách phát biểu khác với M, N, P lần lượt nằm trên các đường thẳng chứa BC, CA, AB – nhưng thực chất thì đó là 2 cách phát biểu tương đương

Hình vẽ 3

3/ Chứng minh các tứ giác A1B1B4A4, A2B2B5A5, A3B3B6A6 là các tứ giác nội tiếp:

Hình vẽ 4-5

Chứng minh:

∠A1B1B4 + ∠B4A4A1 =

∠A1B1B6 + ∠B6B1B4 + (∠B4A4A5 - ∠A1A4A5) =

= ∠A1B1B6 + (∠B6B1B4 + ∠B4A4A5) – ∠A1A4A5 =

= ∠A1B1B6 + ∠B6B5A5 – (180⁰ - ∠A1A6A5) =

= ∠A1B1B6 + ∠B6B5A5 -180⁰ + ∠A1A6A5 =

= ∠A1B1B6 + ∠B6B5A5 -180⁰ + ∠A1A6B6 + ∠B6A6A5 =

= (∠A1B1B6 + ∠A1A6B6) + (∠B6B5A5 + ∠B6A6A5) -180⁰ =

= 180⁰ + 180⁰ - 180⁰ = 180⁰

Vậy tứ giác A1B1B4A4 nội tiếp một đường tròn

Chứng minh hoàn toàn tương tự như vậy ta có các tứ giác A2B2B5A5, A3B3B6A6 cũng nội tiếp

4/ Phần chính của bài toán:

Gọi giao điểm của các cặp đường thẳng A1B1 với A4B4 là P, A2B2 với A5B5 là Q và A3B3 với A6B6 là R Ta thấy:

- P là tâm đẳng phương của 5 đường tròn (A1B1A4B4), (O6), (O1), (O3) và (O4) (1)

- Q là tâm đẳng phương của 5 đường tròn (A2B2A5B5), (O1), (O2), (O4) và (O5) (2)

- R là tâm đẳng phương của 5 đường tròn (A3B3A6B6), (O2), (O3), (O5) và (O6) (3)

Như vậy:

- từ (1) và (2) suy ra PQ là trục đẳng phương của (O1) và (O4) nên PQ ⊥ O1O4 Theo định lý 4 điểm ta có: O1P² - O1Q² = O4P² - O4Q² (4)

- từ (2) và (3) suy ra QR là trục đẳng phương của (O2) và (O5) nên QR ⊥ O2O5 Theo định lý 4 điểm ta có: O2Q² - O2R² = O5Q² - O5R² (5)

- từ (1) và (3) suy ra RP là trục đẳng phương của (O3) và (O6) nên RP ⊥ O3O6 Theo định lý 4 điểm ta có: O3R² - O3P² = O6R² - O6P² (6)

Hình vẽ 4-5

Gọi biểu thức Carnot ứng với các điểm O1, O2, O3 của tam giác PQR là Φ = (O1P² - O1Q²) + (O2Q² - O2R²) + (O3R² - O3P²) thì theo (4), (5) và (6) ta có Φ = (O4P² - O4Q²) + (O5Q² - O5R²) + (O6R² - O6P²) Như vậy:

2Φ =

= (O1P² - O1Q²) + (O2Q² - O2R²) + (O3R² - O3P²) + (O4P² - O4Q²) + (O5Q² - O5R²) + (O6R² - O6P²)

= (O1P² - O6P²) + (O2Q² - O1Q²) + (O3R² - O2R²) + (O4P² - O3P²) + (O5Q² - O4Q²) + (O6R² - O5R²) (7)

Do đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường tròn luôn vuông góc với đường nối tâm, nghĩa là: PA1 ⊥ O1O6, QA2 ⊥ O1O2, RA3 ⊥ O2O3, PA4 ⊥ O3O4, QA5 ⊥ O4O5 và RA6 ⊥ A5A6 nên theo định lý 4 điểm ta có:

O1P² - O6P² = O1A1² - O6A1²

O2Q² - O1Q² = O2A2² - O1A2²

O3R² - O2R² = O3A3² - O2A3²

O4P² - O3P² = O4A4² - O3A4²

O5Q² - O4Q² = O5A5² - O4A5²

O6R² - O5R² = O6A6² - O5A6²

Thay thế các vế của các đẳng thức trên vào (7) ta có:

2Φ =

= (O1A1² - O6A1²) + (O2A2² - O1A2²) + (O3A3² - O2A3²) + (O4A4² - O3A4²) + (O5A5² - O4A5²) + (O6A6² - O5A6²)

= (r1² - r6²) + (r2² - r1²) + (r3² - r2²) + (r4² - r3²) + (r5² - r4²) + (r6² - r5²) = 0

Từ đây suy ra Φ = 0, như vậy theo định lý Carnot O1O4, O2O5 và O3O6 đồng quy

(Xong)