Bài 8 đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp

CHUYÊN ĐỀ BÀI 8: ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP, ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP Mục tiêu  Kiến thức + Nêu được định nghĩa, tính chất của đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp một đa giác.. + Tính bán

CHUYÊN ĐỀ BÀI 8: ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP, ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nêu được định nghĩa, tính chất của đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp một đa giác + Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp một đa giác khi biết cạnh đa giác

+ Tính cạnh đa giác khi biết bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đa giác đó.

 Kĩ năng

+ Vẽ được tâm của đa giác đều, từ đó vẽ đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một đa giác đều cho trước

+ Tính được cạnh a theo R và ngược lại tính được R theo a

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Định nghĩa

Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi

là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa

giác nội tiếp đường tròn.

Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác

được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi

là đa giác ngoại tiếp đường tròn.

2 Định lí

Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn

ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp

Trong đa giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với

tâm của đường tròn ngoại tiếp và được gọi là tâm của một đa

giác đều

Chú ý:

• Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ

tâm đến đỉnh

• Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ

tâm O đến một cạnh

• Cho n- giác đều cạnh a

- Chu vi của đa giác: 2p na (p là nửa chu vi)

- Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng n 2 180 o

n



- Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng

o 360 n

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp: o

a

180 2sin n



Khi đó

o 180

a 2R.sin

n



- Bán kính đường tròn nội tiếp: o

a

180

2 tan n



Khi đó

o 180

a 2r.tan

n



- Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp:

Đường tròn tâm I bán kính r là đường tròn nội tiếp tam giác ABC Đường tròn tâm O bán kính R là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

2 2 2.

4

R  r a

- Diện tích đa giác đều: S 1nar

2



Một số hình ảnh về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính độ dài bán kính đường tròn, cạnh của đa giác

Phương pháp giải

+ Dựa vào tính chất các đa giác nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn

+ Dựa vào định lý Py-ta go, các hệ thức lượng trong tam giác để tính toán

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác

ABC

Hướng dẫn giải

ĐƯỜNG

TRÒN NỘI

TIẾP,

NGOẠI TIẾP

ĐA GIÁC

Định nghĩa

Định lí

Ví dụ

Đường tròn ngoại tiếp đa giác

là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó

Đường tròn nội tiếp đa giác

là đường tròn tiếp xúc với tất

cả các cạnh của đa giác đó

Đa giác đều nào cũng chỉ có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

Đường tròn ngoại tiếp

và nội tiếp tứ giác đều

Đường tròn ngoại tiếp

và nội tiếp lục giác đều

Tâm của đa giác đều vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa

là tâm đường tròn nội tiếp

r: Bán kính đường tròn nội tiếp

Bán kính đường tròn ngoại tiếp

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AB, AC và O là giao điểm của AM, BP, CN.

Vì ABC là tam giác đều nên OA OB OC  hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác ta có OM ON OP  hay O cách đều ba cạnh của tam giác

Vậy O cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Xét tam giác vuông AMB có

 

 

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: R OA 2AM a 3.

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: r OM 1AM a 3

Ví dụ 2 Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) Tính độ dài các cạnh của hình vuông theo R.

Hướng dẫn giải

Vì (O) ngoại tiếp hình vuông ABCD nên O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Theo giả thiết ta có OA OB OC OD R.   

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác OAB có

OA OB AB  AB R R 2R  AB R 2.

Vậy cạnh của hình vuông có độ dài là R 2

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC có chu vi 20 cm ngoại tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến của đường tròn (O)

song song với BC bị AB, AC cắt thành đoạn thẳng MN = 2,4 cm Tính độ dài BC

Hướng dẫn giải

Gọi D, E, F là tiếp điểm của (O) với AB, AC, BC.

Ta cĩ AD AE, BD BF, CE CF   nên

Đặt BC x, AD y  ta cĩ x y 10 1    

Suy ra MNBC chu vi AMNchu vi ABC .

 Mặt khác chu vi tam giác AMN là: AM AN MN AD AE 2AD 2y.     

Khi đĩ 2, 4 2y xy 24 2  

x 20  

x 4





 Vậy độ dài cạnh BC là: 6 cm hoặc 4 cm

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Xác định bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp lục giác đều cạnh a.

Câu 2: Cho tam giác ABC vuơng tại A Gọi r là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC.

Tính tỉ số AB AC BC

r

Bài tập nâng cao

Câu 3: Cho tam giác đều ABC cĩ cạnh bằng 18cm Một tiếp tuyến với đường trịn nội tiếp tam giác cắt

các cạnh AB và AC ở M và N Tính diện tích tam giác AMN biết MN = 8cm

Câu 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn (O;R), biết AB 8cm, AC 18cm,  đường cao

Dạng 2: Tính độ dài của dây căng cung

Phương pháp giải

- Nếu cung đã cho căng một dây là cạnh của một

đa giác đều n cạnh thì ta tính độ dài của cạnh này

theo cơng thức:

o 180

a 2R.sin

n



- Áp dụng định lí Py-ta-go hoặc hệ thức giữa cạnh

và gĩc trong tam giác vuơng để tính dây căng cung

90°

Ví dụ: Trên đường trịn bán kính R lần lượt đặt

theo cùng một chiều, kể từ A, ba cung AB, BC,

CB sao cho

sđAB 60 ,sđBC 90 và sđCD 120

Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.

Hướng dẫn giải

- Vì sñAB 60 nên OAB là tam giác đều.  o

Do đó AB = R

- Vì sñBC sñAD 90 nên BC và AD là các    o cạnh của một hình vuông nội tiếp, do đó

BC AD R 2. 

- Vì sñCD 120 nên CD là cạnh của một tam  o

giác đều nội tiếp, do đó CD R 3 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O;R) Từ điểm A trên đường tròn này vẽ các cung AB và AC sao cho

sñAB 30 ,sñAC 90 (điểm A nằm trên cung nhỏ BC) Tính các cạnh của ABC và diện tích của nó

Hướng dẫn giải

Ta có BsñAC 90  o 45 o

 sñAB 30  o  o

Suy ra sñBAC 30 90 120       

Do đó BC là cạnh của một tam giác đều nội tiếp Vậy BC R 3.

Vì sñAC 90 nên AC là cạnh của một hình vuông nội tiếp.  o

Vậy AC R 2.

Vẽ đường cao AH ta được AH AC.sin C R 2 sin15   o

Xét tam giác vuông HAB có:

o

AH

AB AH 2 R 2 sin15 2 2R sin15

sin 45

Diện tích ABC là 1 1 o 2 6 o

S AH.BC R 2 sin15 R 3 R sin15

Ví dụ 2: Cho đường trịn (O;R) Cho dây BC R 3. Lấy A thuộc cung nhỏ BC sao cho BA R 2. Vẽ

AHBC Tính AH; AC

Hướng dẫn giải

Vẽ OIBC, ta cĩ BI CI R 3

2

Áp dụng định lí Py-ta-go, ta cĩ:

Suy ra OI R

2

 Suy ra OI 1BO

2

 Vậy IBO 30  o

Ta cĩ: BO2OA2 2R2 AB2 nên OAB vuơng, do đĩ BOA 90  

ABC ABO CBO 45     30   15

AH AB.sin ABC R 2 sin15  

Mà ACB1AOB hệ quả góc nội tiếp  45 o

2 Suy ra AHC vuơng cân, do đĩ AH = HC

Áp dụng định lí Py-ta-go trong AHC, ta cĩ:

AC AH HC  AC AH 2 R 2 sin15 2 2R.sin15   

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1: Một đường trịn cĩ bán kính R

a) Tính diện tích tam giác đều nội tiếp đường trịn đĩ theo R

b) Tính diện tích hình vuơng nội tiếp đường trịn đĩ theo R

c) Tính diện tích lục giác đều nội tiếp đường trịn đĩ theo R

Câu 2: Trên một đường tròn bán kính R, ta lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ một điểm A, một cung

AB 60  rồi một cung BC 90  và một cung CD 120   Tứ giác ABCD là hình gì? Chứng minh hai đường chéo của nó vuông góc với nhau Tính các cạnh và đường chéo của tứ giác ABCD theo R

Bài tập nâng cao

Câu 3: Cho đường tròn (O;R), S là điểm sao cho OS 2R. Vẽ cát tuyến SCO đến đường tròn (o) Lấy C,

D thuộc đường tròn (O) Biết DC R 3 Tính SC và SD theo R

Câu 4: Cho đường tròn (O; R), BC là dây cung cố định, sñBC 120 Điểm A di động trên cung lớn BC.   Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC

ĐÁP ÁN Dạng 1: Tính độ dài bán kính đường tròn, cạnh của đa giác

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Gọi O là tâm của lục giác đều ABCDEF

Khi đó O vừa là tâm đường tròn nội tiếp, vừa là tâm đường tròn

ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF

Ta có OA OB OC OD OE OF AB a.      

Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp là R a.

Xét tam giác đều OAB cạnh a có đường cao OI a 3

2



Vậy bán kính đường tròn nội tiếp lục giác đều ABCBEF là r a 3

2



Câu 2.

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và E, G, H theo thứ tự là điểm tiếp xúc của đường tròn với các cạnh AB, CA, AB

Suy ra AH AG, BH BE, CE CG.  

Tứ giác AHOG có A H G 90 và AH AG     nên AHOG

là hình vuông

Suy ra AH AG r. 

Ta có AB AC BC AH BH AG CG BE CE



2



Vậy AB AC BC 2

r



Bài tập nâng cao

Câu 3

Gọi (O;r) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và E,

F là điểm tiếp xúc của đường tròn với cạnh AC, AB

Ta có AE AF, NE NI, MF MI.  

Vì tam giác ABC đều nên bán kính đường tròn nội tiếp

tam giác là r 1.BE 1 AB 3 3 3 cm  

Xét OEN và OIN có NE NI r; NE NI   (chứng

minh trên); NO là cạnh chung

Suy ra OENOIN c c c    

Chứng minh tương tự ta có OMIOMF

2 MN

1

2 OI.M

2

AEOF AEO

AMN AEOF OENMF

S S  S 27 3 24 3 3 3 cm  

Câu 4.

Kẻ đường kính AD

Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên

ADC ABC 180   

Mặt khác ABH ABC 180   

Do đó ABH ADC.

Xét hai tam giác vuông ABH và ADC có ABH ADC. (chứng

minh trên)

Suy ra ABHADC g g   

 

R 12 cm

Vậy R 12 cm  

Dạng 2: Tính độ dài của dây căng cung

Bài tập cơ bản

Câu 1.

a) Gọi a là độ dài cạnh tam giác đều, ta có:

o o

a

180 sin 3

Khi đó diện tích của tam giác được cho bởi: a2 3 R 32 3 3R2 3

b) Gọi a là độ dài cạnh hình vuông, ta có:

o o

a

180 2sin 4

Khi đó diện tích hình vuông được cho bởi: S a 2 R 22 2R2

c) Diện tích S của lục giác đều gồm 6 tam giác đều có cạnh bằng R.

Do đó S 6.R2 3 3R2 3

Câu 2.

Ta có sñAD 360  o sñAB sñBC sñCA      

         

AD BC

ACD BAC AB / /CD

Suy ra ABCD là hình thang mà tứ giác ABCD nội tiếp đường

tròn (O;R) nên ABCD là hình thang cân

Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD

sñAB sñCD  o

Ta có AB là dây cung của (O;R) và sñAB 60  o

Suy ra AB là cạnh của lục giác đều nội tiếp (O;R)  AB R.

Ta có BC là dây cung của (O;R) và sñBC 90  o

Suy ra BC là cạnh của hình vuông nội tiếp (O;R)  BC R 2. Do đó: AD BC R 2. 

Ta có CD là dây cung của (O;R) và sñCD 120  o

Suy ra CD là cạnh của tam giác đều nội tiếp (O;R)  CD R 3.

Ta có sñBAC 1sñBC 45   o

2 Khi đó AIB vuông cân tại I (vì 

I 90 ;BAI 45 ). 



Suy ra AI IB AB 2 R 2

Tương tự DIC vuông cân tại I IC DC 2 R 3 2 R 6.

Ta có BD AC AI IC R 2 R 6 R 21 3 

Bài tập nâng cao

Câu 3.

Vẽ OHCD, H CD.

Ta có: CD R 3  CD là cạnh của tam giác đều nội tiếp

(O; R)  COD 120  

Do đó: HOC 60  

Ta có HOC là nửa tam giác đều nên

HOS có H 90 o nên



3 5 1 15R R 3



Câu 4.

Hạ OMBC, AHBC H, M BC   

Ta có sñBC 120  o  BOC 120  o MOC 60   o

Xét tam giác OMC vuông tại M có

OM OC.cos MOC R.cos 60 OM

2

BC 2MC 2 OC   OM  BC R 3.

Xét ba điểm A, O, M ta có: AM OA OM. 

Do vậy: AH R R 3R

2

S  AH.BC (không đổi

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC là

2

3 3R

4 .