Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi H là trực tâm tam giác ABC.. Vậy trường hợp này P cần tìm là đỉnh góc tù A... Bài toán đã được giải quyết!. Trường hợp a , b, c là các số dương tùy ý chờ
Trang 1Nếu a= BC b = AC và c = AB thì ta giải như sau
Trường hợp 1: tam giác ABC có 3 góc A ≤ 90 0
Gọi S là diện tích tam giác D là giao của AP với BC, H và k là chân các đường vuông góc vẽ từ B và C tới AP ta có:
PA.BC = PA ( BD +DC ) ≥ PA ( BH +CK ) hay :
PA.BC ≥ 2 ( S∆ABP+S∆ACP)( 1) Tương tự ta sẽ có:
PB CA ≥ 2 ( S∆ABP+S∆BCP) (2)
PA.BC ≥ 2 ( S∆CBP+S∆ACP) (3) cộng (1) (2) và (3) ta có
a.PA + b PB + c PC ≥ 4S∆ABC. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi H là trực tâm tam giác ABC
Trường hợp 2: tam giác ABC có góc A tù
Vẽ AB/ ⊥ AC và AB = AB/
G Giả sử P khác A và P nằm trong tam giác giác AB/C ( Nêu không ta vẽ
AC/ ⊥ AB,AC/ = AC và c/m tương tự)
Vì ∠AB/B= ∠ABB/ ⇒ ∠PB/B> ∠PBB/ ⇒PB>PB/ và ∠CB/B>CBB/ ⇒
CB>CB/ Vậy : PA.BC + PB.AC > PA.B/C
Vậy: PA.BC +PB.AC +PC.AB >
PA.B/C+AC.PB/ +PC.AB/
Nhưng theo trường hợp 1
AC AB AC
AB C
AB S AB PC AC PB
C
B
PA / + / + / > 4 ∆ / = 2 = 2 Vậy trường hợp này P cần tìm là đỉnh góc tù A Khi P≡ A thì a.PA +b.PB +c.PC = 2 AB.AC
A
K
P H
A
B
/
B
C P
Trang 2Bài toán đã được giải quyết!
Trường hợp a , b, c là các số dương tùy ý chờ lời giải sau tiếp tục