CÁC bất ĐẲNG THỨC PHỤ HAY DÙNG TRONG các bài THI đại học 1

Mảng kiến thức các bài toán về Max Min cực lớn. Có thể nói là không bao giờ học hết được. Nhưng trong khuôn khổ thi đại học ta có thể dùng các bđt phụ để chứng minh dồn biến và xét hàm tìm ra lời giải. Tài liệu cung cấp cho các bạn CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ HAY DÙNG TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC do thầy Mẫn Ngọc Quang biên soạn

CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHẦN 1 : Nhóm các bất đẳng thức Cosi và hệ quả của nó :

Hệ quả với 2 biến : x,y>0

( x y )( ) 4

x y x y x y

 (4) hay viết kiểu này ( )( 1 1 ) 4 1 1 1 ( 1 )

4

x y

 Dấu bằng khi x = y

VÍ DỤ ĐỂ CÁC EM DỄ HÌNH DUNG BÀI TOÁN ÁP DỤNG LUÔN CHO CÁC EM DỄ HÌNH DUNG :

Câu 1 : Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giac thỏa mãn : 2c b abc

b c a a c b a b c

Trước tiên phân tích bài toán này , thầy muốn hỏi các em tại sao người ta lại cho a,b,c là độ dài 3 cạnh

của một tam giác ? Cái này để biết được b c a  0,a  c b 0,a b c  0, như vậy mới áp dụng

x  y  x  y , Tuy nhiên , tử số của các biểu thức không đồng đều nhau như bđt phụ , ta dùng

phương pháp đồng nhất hệ số để dung nó như sau :

b c a a c b a b c b c a a c b a b c b c a a b c a c b

      

Áp dụng : 1 1 4

x  y  x  yta có :

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ HAY DÙNG TRONG CÁC

1 1 4 2

2

2

2

b c a a c b c c

b c a a b c b b

a b c a c b a a

Vậy ta có :

P

Bây giờ ta mới để ý đến giả thiết xem nó ra sao : 2c b abc, chia 2 vế cho b.c ta được

b c

     , Ồ hay quá , nhìn thấy thế này ai chả thích!!! , thay vào biểu thức P trên ta

có :

Một điều quan trọng khi sử dụng bất đẳng thức phụ là các em phải biết đươc điểm rơi khi nào , điểm rơi

ở đây ý nói là dấu bằng xảy ra khi nào , các em nhớ là dấu = nó phải phù hợp và nhất quán từ đầu cho

đến cuối , đúng ở các bất đẳng thức phụ , ví dụ như bài trên chung ta áp dụng các bđt phụ nào các em

nhìn lại nhé :

BĐT PHỤ 1: 1 1 4

x  y  x  y

dấu bằng xảy ra khi x = y , ở đây là a b c  a c b    b c aabc

BĐT PHỤ 2 : ( a 3 ) 2 a 3 2 3

Kết hợp 2 cái bđt phụ trên không thấy có gì mâu thuẫn cả , vậy bài toán đã đi đúng hướng và dấu bằng

xảy ra khi : a  b   c 3

KINH NGHIỆM 1 : Nếu các em thấy các bài toán mà cho dạng phân thức mà 3 biến nó tuần hoàn đối

xứng như bài trên ta nghĩ ngay đến điểm rời là a = b = c , từ đó chúng ta nghĩ ngay đến được bất đẳng

thức phụ 1 1 4

x  y  x  y

1 1 1

P

x y z x y z x y z

Bài toán này tìm max các em nhé , chúng ta nhớ rằng 1 1 4

x  y  x  ychỉ cho chúng ta giá trị min , vậy làm gì để có cái max , đó là vấn đề sử dụng ngược bđt phụ trên , các em quan sát thầy làm nhé BĐT phụ trên có thể viết lại như sau : ( )( 1 1 ) 4 1 1 1 ( 1 )

4

x y

 Ồ!!! đến đây chúng ta có thể sử dụng để tìm max rồi

Nào , đầu tiên chúng ta tìm điểm rơi xem nó ra sao , 3 biến x,y,z đối xứng đẹp thế kia , ở cả giả thiết lẫn biểu thức P , mà lại cả 3 cùng dương nên chắc chắc một điều dấu bằng xảy ra khi x=y=z các em nhé

Ta sẽ làm như sau :

( x  y ) (  x  z )  4 x  y  x  z  4 4 x  y  4 x  z 16 x  y  z

( x  y ) (  y  z )  4 x  y  y  z  4 4 x  y  4 y  z 16 x  y  z

( x  z ) (  y  z )  4 x  z  y  z  4 4 x  z  4 y  z 16 x  y  z

P

x y z x y z x y z x y z

Đến đây chúng ta sẽ sử dụng giả thiết như sau : xyxzyz4xyzthường mà bài toán cho tích xyz chúng ta hay làm phép chia cả 2 vế cho dễ sử dụng : xy+xz+yz=4xyz 1 1 1 4

x y z

Vậy ta có được : 1 4.4 1

16

P   , Dấu = khí x = y = z và 1 1 1 4

x  y  z 

3 4

x y z

MỞ RỘNG VỚI 3 BIẾN , 4 BIẾN TA CŨNG CÓ :

Khi có 3 biến : x,y,z>0

x y z x y z x y z

 

hay viết ( )( 1 1 1 ) 9 1 1 1 ( 1 1 )

9

x y z

x y z x y z x y z

  Dấu bằng khi x = y = z

Khi có 4 biến :

16

x y z t

x y z t x y z t x y z t

   Chú ý , bài toán 2 các em có thể sử dụng bất đẳng thức phụ cho 4 biến , tuy nhiên các em cần phải chưng minh nó trước khi sử dụng

BÀI TẬP CHO CÁC EM ÁP DỤNG

Sau đây là bài ví dụ cho các em thực hành , làm nhiều dạng , xuôi rồi ngược nó mới quen các em nhé , nếu không làm được thì các em đặt câu hỏi tại group , sẽ co bạn trả lời cho các em

Bài 3 : Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng

P

 

Bài 4 : x y , 0, xy1 Tìm min :

P

x y

x y



Bài 5 :a b c, , 0,a2b2c4 Tìm min :

2

P

ab ac bc ab ac c

Bài 6 : Cho x0 y ,

2

x y

y    x   xy

Tìm min : 4 4 2 2 2 2

4

P x y x y x y

x y

(CHÚ Ý : TẤT CẢ CÁC BÀI TẬP TRÊN ĐỀU CÓ VIDEO HƯỚNG DẪN CÁC EM LÀM BÀI , TUY NHIÊN CÁC EM

NÊN TỰ VẬN DỤNG CÁC BĐT PHỤ THẦY ĐƯA TRÊN ĐỂ TẬP SUY NGHĨ NHÉ , CÀNG NGHĨ NHIỀU THÌ NÃO

MÌNH CÀNG HOẠT ĐỘNG LINH HOẠT )

PS : Trong các ví dụ các em thực hành đôi khi sử dụng một vài bđt phụ nhỏ khác nữa , có thể các em

đã biết rồi