Bất đẳng thức jensen ứng dụng trong việc giải và sáng tạo ra các bài toán sơ cấp

15 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁNCỰC TRỊ .... Để giải các bài toán bất đẳng thức thì có không ít phương pháp giải chẳng hạn phương pháp biến đổi

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ Đại

số, các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong trường ĐHSP Hà Nội

2 và các bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của

mình tới Thầy Phạm Lương Bằng- người đã tận tình giúp đỡ em trong

quá trình hình thành khóa luận

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hơn nữa do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện và

LỜI CAM ĐOAN

Tôi khẳng định rằng: Đây là công trình nghiên cứu khoa học của riêng tôi do chính sức lực của bản thân tôi đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học và tài liệu tham khảo Nó không trùng với kết quả của bất cứ người nào khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Nguyệt Hoa

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

VÀI NÉT TÓM TẮT VỀ NHÀ TOÁN HỌC JENSEN 2

PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 Định nghĩa hàm lồi, hàm lõm 3

1.2 Tính chất cơ bản của hàm lồi 3

1.3 Điều kiện đủ để một hàm số là hàm lồi hoặc lõm 7

PHẦN 2: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN 8

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN TRONG VIỆC CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC 8

1.1 Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển 8

1.2 Chứng minh các bất đẳng thức khác nhờ sử dụng bất đẳng thức Jensen 15

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁNCỰC TRỊ 36

2.1 Cơ sở lý thuyết của phương pháp giá trị lớn nhất(GTLN); giá trị nhỏ nhất (GTNN) 36

2.2 Các bài toán cực trị 38

PHẦN 3: SÁNG TẠO 46

KẾT LUẬN 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

Vì vậy chúng thường có mặt trong các kì thi học sinh giỏi, thi đại học và thi cao đẳng

Chuyên đề bất đẳng thức xuyên suốt quá trình học không chỉ ở các lớp THCS, THPT mà đại học vẫn được giảng dạy Để giải các bài toán bất đẳng thức thì có không ít phương pháp giải chẳng hạn phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm số, phương pháp tam thức bậc 2… Trong những phương pháp đó ta không thể không kể đến một phương pháp khác đặc biệt đó là phương pháp sử dụng tính chất cơ bản nhất của hàm lồi và tính chất đó được gọi

là Bất đẳng thức Jensen

Được sự gợi ý, động viên và tận tình giúp đỡ của Thầy Phạm Lương Bằng cùng với sự say mê của bản thân, em mạnh dạn nghiên cứu

và thực hiện bài khóa luận với đề tài “ Bất đẳng thức Jensen- Ứng dụng

trong việc giải và sáng tạo ra các bài toán sơ cấp”

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về bất đẳng thức Jensen và áp dụng vào việc giải, sáng tạo các bài toán bất đẳng thức trong phổ thông

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số bài tập về bất đẳng thức

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp

2

VÀI NÉT TÓM TẮT VỀ NHÀ TOÁN HỌC JENSEN Johan Ludwig William Valdemar Jensen hay còn gọi là Johan Jensen (08/05/1859- 05/03/1925)

Ông vừa là một nhà toán học người Đan Mạch, vừa là một kỹ sư Ông là chủ tịch của Hội toán học Đan Mạch từ 1892 đến 1903

Jensen đã được sinh ra tại Nakskov,Đan Mạch Nhưng ông đã dành nhiều thời gian thơ ấu của mình ở miền Bắc Thụy Điển Vì cha của ông

có được một công việc quản lý bất động sản, gia đình của họ trở về Đan Mạch trước năm 1876, khi Jensen ghi danh theo học trường Đại học công nghệ Copenhagen Ông không những nghiên cứu toán học về các đối tượng khác nhau tại trường đại học mà còn công bố một bài nghiên cứu trong toán học Ông đã tự học các chủ đề toán học tiên tiến, tuy nhiên ông không có một học vị nào trong toán học Thay vào đó, ông là một kỹ sư thành công cho Công ty Điện thoại Bell tại Copenhagen từ năm 1881 tới 1924, và trở thành người đứng đầu bộ phận kĩ thuật vào năm 1890 Tất cả các nghiên cứu toán học của ông đã được thực hiện trong thời gian rảnh rỗi Jensen chủ yếu nổi tiếng vì bất đẳng thức Jensen Năm 1915, Jensen đã chứng minh được bất đẳng thức Jensen trong phân tích phức tạp

3

PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Định nghĩa hàm lồi, hàm lõm

1.1.1.Định nghĩa hàm lồi: Giả sử A là tập lồi trong R Hàm số f(x):

* 2

Dấu bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2 x n.

1.2.2.Tính chất 2:Giả sử f là hàm lồi trên D

Nếu f là hàm f lồi trên D và f có đạo hàm tại mọi xDthì đạo

hàm 'f của f là một hàm đồng biến trên D

1.3 Điều kiện đủ để một hàm số là hàm lồi hoặc lõm

Cho f x là một hàm số liên tục và có đạo hàm đến cấp 2 trên

khoảng a b; Nếu nhƣ f " x   0; x  a b; thì f(x) là hàm lồi trên ( ; )a b

Ngƣợc lại thì f(x) là hàm lõm trên a b;

Chứng minh: Giả sử f" x   0; x  a b; ; ,  0 mà   1

Ta phải chứng minh: f x1x2f x 1  f x 2 (*)

Rõ ràng (*) đúng khix1  x2 Vậy ta xétx1  x2

Không giảm tính tổng quát ta giả sử x1  x2  x1 x1x2 x2

Xét hàm số f x trên x1;x1x2 Theo định lý Lagrange tồn tại 1

1.1.1 Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetric Meanns- Geometric Means)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 a n

Chứng minh: Chỉ có hai khả năng sau xảy ra:

1 Tồn tạia i 0; 1  i n Khi đó bất đẳng thức hiển nhiên đúng

2.a i   0; i 1,n

Xét hàm số   x

f x e , với x   ; 

Ta có: f ' x e x suy ra f " x e x

Vậy f(x) là hàm lồi với mọi x   ; 

Giả sử a a1, 2,,a n đều dương, khi đó tồn tại x x1, ,2 ,x n sao cho:

9

Tức là:  1 1

1

n n

n

x x

n j

+) Khi a=0 hoặc b=0 thì hiển nhiên (1) đúng

+) Giả sử a0;b0 thì tồn tại x x sao cho: 1; 2

Với quy ƣớc: Nếu b k 0với một số k nào đó thì a k 0

Từ kết quả trên ta có: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số  và

không đồng thời bằng 0 sao cho: a k p b k q;k1,n

Vậy ta có điều phải chứng minh

b

n n

n

j i j n

i

j

i j

n i

j

j

x x

x x

j i j

j i

x x

i

j j

x

x x

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1 x n 0

Vậy ta có điều phải chứng minh

1.2 Chứng minh các bất đẳng thức khác nhờ sử dụng bất đẳng thức Jensen

1.2.1.2 Cho số nguyên dương n và n số thực dương x x1; ;2 ;x n sao cho:

h x

x

  , với x0 Vậy f x g x h x     ; ; là các hàm số lồi trên 0;1

a a a a

a a a a

21

      Theo bất đẳng thức Jensen với  1 2 

Theo bất đẳng thức Jensen, với    x 0; k x; ta có:

1 1

b b

j n

Dựa vào việc sử dụng bất đẳng thức Jensen, cho phép chúng ta có một phương pháp giải nhất quán nhiều bất đẳng thức lượng giác trong tam giác

Sau đây là một số bất đẳng thức lượng giác cơ bản mà sử dụng phương pháp hàm lồi ta có thể chứng minh dễ dàng

1.2.2.1: Cho 0 x i  với mọi i1;2;;n Chứng minh rằng:

1.2.2.2 Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ABC, ta có bất đẳng

thức sau:tanAtanBtanCcotAcotBcotC

Do các vế của (4);(5) đều dương nên nhân từng vế của (4), (5) ta được:

tanAtanBtanCcotAcotBcotC

Vậy ta có điều phải chứng minh

1.2.2.3: Chứng minh trong ABC, ta có:

1.2.2.4: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC; ta có bất đẳng thức

sau:1 cos A1 cos B1 cos Ccos cos cos A B C

Chứng minh:

Chỉ có hai khả năng sau xảy ra:

1 Nếu tam giác ABC có một góc vuông hoặc một góc tù, thì bất đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng, vì vế trái lớn hơn hoặc bằng 0, còn vế phải nhỏ hơn hoặc bằng 0

2 Xét khi tam giác ABC là tam giác nhọn

Áp dụng công thức

2 2

1cos

1

t x

Ta biết rằng trong mọi tam giác không phải là tam giác vuông, ta có:

1.2.2.5: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta có bất đẳng thức

Viết lại f(x) dưới dạng:   sin2 cos2 1

29

Nhƣ vậy phần bên trái của bất đẳng thức đƣợc chứng minh Bây giờ

ta chứng minh phần bên phải của bất đẳng thức đã cho

4 sin

n n

i i

a n

2cos2

n i i

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đa giác đó là đa giác đều

Vậy ta có điều phải chứng minh

1.2.3.2: Cho∆ABC, M là một điểm nằm trong tam giác Kí hiệu x,y,z lần lượt là khoảng cách từ M đến 3 đỉnh A,B,C và p,q,r tương ứng

là khoảng cách từ M tới 3 cạnh BC, AC, AB Chứng minh các bất đẳng thức sau:

32

Theo bất đẳng thức AM-GM thì:

cosM4 cosM3cosM2 cosM1cosM6 cosM5

cos 4 cos 3 cos 2 cos 1 cos 6 cos 5

Từ (1);(2);(3) suy ra: pq q rr pxyz

Vậy ta có điều phải chứng minh

1.2.3.3: Cho đường tròn bán kính 1 Gọi Sn là diên tích đa giác đều

n cạnh nội tiếp trong đường tròn này (n4) Chứng minh rằng:

1 2S2n S n S4n

2 2S2n S n1S4n2

.Chứng minh:

sin2

36

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN

CỰC TRỊ 2.1 Cơ sở lý thuyết của phương pháp giá trị lớn nhất(GTLN); giá trị nhỏ nhất (GTNN)

2.1.1 Định nghĩa

*) Cho hàm số ( )f x xét trên miền D, ta nói rằng M là giá trị lớn

nhất của f(x) trên D nếu như đồng thời thỏa mãn 2 điều kiện sau:

*) Chú ý: Khi nói đến GTLN; GTNN của một hàm số bao giờ ta

cũng phải xác định nó xác định trên tập hợp nào Cùng một hàm số nhưng xác định trên các tập khác nhau thì các GTLN; GTNN cũng khác nhau

Trong phần lý thuyết này, khi đề cập đến GTLN (GTNN) trên một tập hợp nào đó ta luôn giả thiết là chúng tồn tại

Trong mục này, chúng ta sẽ đề cập đến một số tính chất của GTLN;GTNN của hàm số thường được sử dụng đến

• Chú ý: Từ tính chất trên cho ta chuyển việc tìm GTLN;GTNN của

một hàm số phức tạp về việc tìm các giá trị tương ứng trên các tập D1, D2đơn giản hơn Chính vì vậy tính chất này được gọi là tính chất phân rã Tính chất có thể phát triển đươi dạng tổng quát sau

n

n

n i i

n T

n n

41

1 2

n

n

i i

1 1

101

1

22

10

n

i n i

i n i

n n

n T

a a

a a T

Theo định nghĩa  GTLN của T = 0

2.2.2 Các bài toán cực trị lượng giác

2.2.2.1 A,B,C là ba góc của một tam giác tùy ý

  

  Khi tam giác ABC đều

2.2.2.2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

43

2.2.3 Các bài toán cực trị hình học

2.2.3.1 Cho tam giác ABC có diện tích S M là một điểm tùy ý

trong mặt phẳng của tam giác Tìm giá trị lớn nhất của:

  6  6 6 6

46

PHẦN 3: SÁNG TẠO

Qua quá trình nghiên cứu trên, ta thấy sử dụng bất đẳng thức Jensen

để chứng minh các bất đẳng thức là một phương pháp rất dễ hiểu, dễ sử dụng Tuy nhiên, ngoài việc ứng dụng bất đẳng thức Jensen để giải các bài toán liên quan tới bất đẳng thức ta còn có thể ứng dụng bất đẳng thức Jensen để sáng tạo ra các bất đẳng thức mới

Thật vậy, việc lựa chọn các hàm số trên một tập xác định bất kì sao cho hàm số đó lồi(hoặc lõm) không quá khó Chẳng hạn ban đầu ta chọn hàm số f(x) xác định, liên tục, và luôn dương(hoặc âm) với mọi 𝑥 ∈

𝐷𝑅 Lấy nguyên hàm hai lần của f(x) ta tìm được hàm g(x) là hàm số lồi( hoặc lõm) trên D Bước cuối cùng là ta đi tìm các biến thích hợp và

sử dụng các tính chất của hàm số lồi để biến đổi và tìm ra các bất đẳng thức mới

  Tương tự, ta có:

3

22

   Nhân từng vế các bất đẳng thức tương đương, ta được:

Ta có cách giải khác cho bài toán trên nhƣ sau:

Ta chứng minh kết quả sau:  3

a  b c

Vậy ta có bài toán sau: Cho a b c; ;  1thỏa mãn a b c    1 Tìm GTLN của A (1 a)(1b)(1c)

Ta còn có cách giải khác cho bài toán trên như sau:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương 1a;1b;1c ta được:

 ; với   x 0

Dễ thấy hàm H > 0 với ∀x>0

Vậy ta có bài toán sau:

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a b c    1 Tìm GTNN của a b c

Vậy ta có bài toán sau: Trong ∆ABC

Ta có cách giải khác cho bài toán trên nhƣ sau:

Cộng tứng vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ A=B=C ⇔ ∆ABC đều

57

KẾT LUẬN

Trong khóa luận trên, em đã hệ thống một cách tương đối các vấn

đề quan trọng liên quan đến bất đẳng thức Jensen Như chúng ta đã biết, các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hàm số thì rất phong phú và đa dạng, đòi hỏi vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo Tuy nhiên, việc sử dụng bất đẳng thức Jensen để giải các bài toán đó là một phương pháp mới đối với các em học sinh trung học Với việc sử dụng bất đẳng thức Jensen để chứng minh bất đẳng thức, sáng tạo bất đẳng thức, và giải các bài toán về cực trị hàm số, em mong muốn có thể cung cấp cho các bạn yêu thích toán một phương pháp mới để có thể chứng minh được một số bất đẳng thức hay và khó, giải một số các bài toán về cực trị hàm số một cách ngắn gọn và dễ dàng Do năng lực của bản thân còn hạn chế nên em kính mong các thầy cô giáo cùng toàn thể các bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn Thầy Phạm Lương Bằng đã tạo

điều kiện và giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

58

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Nguyễn Xuân Liêm - Chuyên đề về bất đẳng thức và bất phương

trình, (2002), Nxb Giáo dục

2) Phan Huy Khải - 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức(tập 1)

Nxb Hà Nội

3) Phan Huy Khải - Giải tích lồi và các bài toán sơ cấp

4) Phạm Kim Hùng- Sáng tạo bất đẳng thức (2006),Nxb Tri Thức 5) Trần Phương - Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán

học (2009) Nxb Tri Thức