Xây dựng hàm giải tích với tập không điểm là tập không có điểm tụ cho trước

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN XÂY DỰNG HÀM GIẢI TÍCH VỚI TẬP KHÔNG ĐIỂM LÀ TẬP KHÔNG CÓ ĐIỂM TỤ CHO TRƯỚC Người hướng dẫn : ThS... Tôi xin khẳng định kết

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

XÂY DỰNG HÀM GIẢI TÍCH VỚI TẬP KHÔNG ĐIỂM

LÀ TẬP KHÔNG CÓ ĐIỂM TỤ CHO TRƯỚC

Người hướng dẫn : ThS Nguyễn Quốc Tuấn

Cơ quan công tác : Khoa Toán,Trường ĐHSPHN 2

Họ và tên sinh viên: Vũ Thị Yến

Xuân Hòa - Ngày 14 tháng 5 năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS Nguyễn Quốc Tuấn Người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi để tôi hoàn thành bài khóa luận củamình Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy

-cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán

đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt bài khóa luận này

Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian, do trình độ

có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy, tôi kính mong nhận được những góp ý của cácthầy cô và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, Ngày 14 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

VŨ THỊ YẾN

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn tận tìnhcủa ThS Nguyễn Quốc Tuấn

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã tham khảo một sốtài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Xây dựng hàm giải tích với tập không điểm

là tập không có điểm tụ cho trước” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, Ngày 14 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Vũ Thị Yến

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Số phức và dãy số phức 3

1.1.1 Số phức 3

1.1.2 Dãy và chuỗi số phức 5

1.2 Tôpô trên mặt phẳng phức 6

1.2.1 Các khái niệm cơ bản 6

1.2.2 Tập bị chặn và tập compact 8

1.2.3 Giả khoảng cách giữa hai tập hợp 8

1.2.4 Đường và miền trong mặt phẳng phức 9

1.3 Hàm số biến số phức 11

1.3.1 Hàm biến phức 11

1.3.2 Chuỗi hàm 13

1.4 Hàm giải tích 17

1.4.1 Khái niệm hàm giải tích 17

Chương 2 Xây dựng hàm giải tích với tập không điểm là tập không có điểm tụ cho trước 20

2.1 Điểm bất thường, không điểm của hàm giải tích 20

2.1.1 Điểm bất thường của hàm giải tích 20

2.1.2 Không điểm của hàm giải tích 21

2.1.3 Hàm nguyên và hàm phân hình 21

2.2 Tích vô hạn 23

2.3 Xây dựng hàm giải tích với tập không điểm là tập không có điểm tụ cho trước26

2.4 Định lý Mittag - Leffler 28Tài liệu tham khảo 31

MỞ ĐẦU

Vào thế kỉ XVI, số phức được phát minh dựa trên việc giải các phương trình đại số.Người đầu tiên đưa ra định nghĩa về số phức là nhà toán học người Italia, R Bombelli(1526 –1573), ông viết nó trong các công trình đại số của ông năm 1572 tại Bologne,lúc đó số phức được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" Nó được công bố ít lâu trướckhi ông mất Trong khi nghiên cứu phương trình bậc ba, ông đã định nghĩa các số phức

và đưa ra căn bậc hai của −1 Năm 1746, nhà toán học người Pháp, J D’Alembert(1717 – 1783) đã xác định được dạng tổng quát của số phức "a + bi", đồng thời chấpnhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n Sau đó, nhà toán họcngười Thụy Sĩ, L Euler (1707 – 1783) đã đưa ra ký hiệu "i" để chỉ căn bậc hai của

−1 Cho đến năm 1801, nhà toán học người Đức, Johann C F Gauss (1777 – 1855)

đã dùng lại ký hiệu này và từ đó kí hiệu "i" được sử dụng phổ biến cho đến nay Sốphức đóng vai trò cực kì quan trọng trong việc giải quyết các bài toán mà với phươngpháp trên tập số thực thông thường tỏ ra không hiệu quả Như vậy, số phức dần dần

có mặt trong đại số, lượng giác, hình học và giải tích

Người đầu tiên nghiên cứu về số không điểm của hàm nguyên hình là nhà toán họcngười Đức, K Weierstrass (1815 – 1897) Vấn đề đó được ông nghiên cứu trong luận án

"Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen" tại Royal Academy of Sciences,năm 1876 Mở rộng hơn, Mittag-Leffler nghiên cứu bài toán về số không điểm của hàmphân hình Từ năm 1876 đến năm 1877, Ông đã trao đổi với Weierstrass về vấn đềtrên qua thư Cuối cùng, Mittag-Leffler đã hoàn thành bài toán trên và đăng trongbài báo "Om den analytiska framst¨allningen af en funktion af rationel karakter med engodtyckligt vald gr¨anspunkt" xuất bản năm 1877 Năm 1882, G Mittag-Leffler xuấtbản bài báo "Fullst¨andig analytisk framst¨allning af hvarje entydig monogen funktion,hvars singul¨ara st¨allen utg¨ora en v¨ardem¨angd af f¨orsta slaget" Trong bài báo đó, Ông

đã nghiên cứu đầy đủ về vấn đề không điểm của hàm phân hình, từ đó chúng ta có thểxây dựng được hàm phân hình với tập không điểm là tập không có điểm tụ cho trước.Bằng sự ham học hỏi, tìm tòi của một sinh viên Sư phạm chuyên ngành Toán vàtrong khuôn khổ của một bài khóa luận tốt nghiệp, đồng thời nhận được sự hướng dẫnnhiệt tình của thầy Nguyễn Quốc Tuấn tôi đã chọn đề tài

"Xây dựng hàm giải tích với tập không điểm

là tập không có điểm tụ cho trước"

để hoàn thành khóa học của mình Hy vọng đề tài này sẽ đem lại nhiều kiến thức bổích cho bản thân và nhiều thú vị cho độc giả

Cấu trúc của đề tài được bố cục thành hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Xây dựng hàm giải tích với tập không điểm là tập không có điểm tụ chotrước

Chương 1 giới thiệu về hàm giải tích và các tính chất cơ bản của hàm giải tích Baogồm: Giới thiệu về số phức, dãy số phức, tôpô trên mặt phẳng phức và các tính chấtcủa chúng; giới thiệu về hàm số biến số phức, nghiên cứu về chuỗi hàm, các điều kiện

để một chuỗi hàm hội tụ, hội tụ đều hay hội tụ tuyệt đối; giới thiệu về định nghĩa hàmgiải tích và một số tính chất đáng nhớ của hàm này

Chương 2 giới thiệu về vấn đề được lựa chọn nghiên cứu sâu về hàm giải tích: “Hàmgiải tích với tập không điểm” Bao gồm : Các khái niệm điểm bất thường của hàm giảitích, không điểm của hàm giải tích, hàm nguyên và hàm phân hình; tích vô hạn củahàm giải tích Xây dựng hàm giải tích với tập không điểm là tập không có điểm tụ chotrước thông qua các định lý phân tích Weierstrass, định lý Mittag-Leffler

Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản thân nên đềcương không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự quan tâm, góp ý của thầy cô

và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Ngày 14 tháng 5 năm 2015

không thể khai triển được thành chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng.

Với lý do trên, ta phải đi tìm kiếm trường C nào đó chứa R như một trường con saocho tối thiểu phương trình x2 + 1 = 0 có nghiệm Ở đây, ta nói R là trường con của Cnếu các phép toán trên R được cảm sinh bởi các phép toán trên C Ta có R ⊂ C nên

C chứa tất cả các phần tử có dạng a + bi; a, b ∈ R

Hay xét tập C các cặp số thực z = (a, b), C = {(a, b) : a, b ∈ R} Sau đó đưa vàoquan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng C trở thành một trường chứa

R như một trường con (qua phép đồng nhất nào đó) Các phép toán này được dẫn dắt

từ các phép toán của trường R với chú ý i2 = −1 Ta có:

i Quan hệ bằng nhau

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c và b = d

ii Phép cộng

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) iii Phép nhân

(a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

Định nghĩa 1.1 Tập hợp C với quan hệ bằng nhau, phép cộng và nhân xác định nhưtrên lập thành một trường gọi là trường các số phức, còn mọi phần tử của C được gọi

là số phức Số i ∈ C gọi là đơn vị ảo của C

Bởi vì (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + b (0, 1) = a + bi nên mọi số phức z ∈ C ta viếtduy nhất dưới dạng z = a + bi, a, b ∈ R, được gọi là dạng đại số của số phức z, các sốthực a, b lần lượt được gọi là phần thực và phần ảo của z, kí hiệu a = Rez, b = Imz.Khi đó, ¯z = a − ib ∈ C được gọi là số phức liên hợp của số phức z

Với mỗi số z = x + iy ∈ C ta đặt |z| = px2 + y2 = √

z.¯z và gọi là môđun của z.Đặt r = |z|, xr = cos ϕ0, yr = sin ϕ0, 0 ≤ ϕ0 < 2π Số thực ϕ0 thỏa mãn dạng lượng giác(1.2) sau đây được gọi là argument chính của z, kí hiệu là argz

z = |z| (cosϕ0 + i sin ϕ0), 0 ≤ ϕ0 < 2π (1.2)

Rõ ràng đối với mọi argument ϕ của z tồn tại số nguyên k sao cho ϕ = arg z + 2kπ.Tập hợp Argz = {arg z + 2kπ : k = 0; ±1; ±2; } được gọi là argument của z Vớikhái niệm môđun và argument của số phức z 6= 0, khi đó, số phức z viết dưới dạng(1.3) sau được gọi là dạng lượng giác của z

z = |z| (cosϕ + i sin ϕ), ϕ ∈ Argz (1.3)Với mọi số thực ϕ đặt

khi đó, số phức z 6= 0 có thể viết dưới dạng (1.5) sau được gọi là dạng mũ của z.

Cho dãy số phức {zn} ∈ C, ta nói dãy này hội tụ tới z ∈ C nếu |zn − z| → 0 khi

n → ∞ Điều này có nghĩa là ∀ε > 0, ∃nε, ∀n > nε : |zn − z| < ε Do

zn = xn + iyn, z = x + iy,

|zn − z| =

q(xn − x)2 + (yn − y)2nên zn → z khi và chỉ khi xn → x và yn → y Như vậy, tất cả những gì đã biết về sựhội tụ trong R có thể chuyển tương ứng sang C Chẳng hạn, ta có:

∀ε > 0, ∃nε, ∀n, m > nε : |zn − zm| < ε

iv Mọi dãy {zn} bị chặn trong C (nghĩa là: sup

n≥1

|zn| < ∞) có một dãy con hội tụ

v Dãy {zn} → z khi và chỉ khi Re zn → Re z và Im zn → Im z

Định nghĩa 1.2 Cho dãy số phức {un} ∈ C Biểu thức hình thức

Định lý 1.1 Giả sử chuỗi (1.7) hội tụ tuyệt đối Khi đó:

1.2.1 Các khái niệm cơ bản

Vì mặt phẳng phức C có thể đồng nhất với R2 qua ánh xạ z 7→ (Re z, Im z) nêntôpô của mặt phẳng phức C chính là tôpô của R2 Vì vậy, ở đây ta chỉ nhắc lại và nóithêm một số điều cần thiết dưới ngôn ngữ số phức

Trước hết lân cận của một điểm a ∈ C là tập bất kỳ bao hàm hình tròn D(a, r)tâm a, bán kính r > 0.

D (a, r) = {z ∈ C : |z − a| < r} Đặc biệt D(a, r) là một lân cận của a và được gọi là r lân cận Rõ ràng:

i Nếu U là lân cận của a ∈ C thì mọi tập hợp bao hàm U là lân cận của a

ii Giao hữu hạn và hợp của một họ bất kỳ các lân cận của a là lân cận của a.iii Nếu U là lân cận của a thì tồn tại lân cận V của a sao cho V là lân cận của mọi

z ∈ V và V ⊂ U

Tập G ⊂ C gọi là mở nếu G là lân cận của mọi điểm của nó Hiển nhiên ∅ và C làcác tập mở, hợp của một họ bất kỳ và giao của một họ hữu hạn các tập mở là tập mở

Từ định nghĩa suy ra hình tròn D(a, r) là tập mở với mọi a ∈ C và mọi r > 0

Tập F ⊂ C được gọi là đóng nếu phần bù của nó CF = C\F là mở Từ tính chấtcủa các tập mở suy ra ngay tập hợp của một số hữu hạn và giao của họ bất kỳ các tậpđóng là tập đóng

Cho X ⊂ C, khi đó ta có một số khái niệm sau:

i Điểm z0 ∈ X gọi là điểm trong của X nếu X là lân cận của z0 Nói cách khác, tồntại ε > 0, để D (z0, ε) ⊂ X Tập tất cả các điểm trong của X được gọi là phần trongcủa x và kí hiệu là int X hay X 0

ii Điểm z0 gọi là điểm tụ của X nếu mọi lân cận U của z0 chứa ít nhất một điểmcủa X khác z0 Tập tất cả các điểm tụ của X gọi là tập dẫn xuất (thứ 1) của Xvà kýhiệu là X0

iii Điểm z0 gọi là điểm cô lập của X nếu tồn tại một lân cận U của z0 chứa duynhất điểm z0 thuộc X

iv Điểm z0 hoặc là điểm tụ hoặc là điểm cô lập của X được gọi chung là điểm dínhcủa X Đặt ¯X = tập các điểm dính của X Rõ ràng X là tập đóng khi và chỉ khi

X = ¯X và ¯X là tập đóng nhỏ nhất chứa X Vì vậy ¯X được gọi là bao đóng của X

v Tập X là tập đóng nếu mọi dãy trong X hội tụ thì giới hạn của nó thuộc X

vi Điểm z0 gọi là điểm biên của X nếu U ∩ X 6= ∅ và U ∩ (C\X) 6= ∅ với mọi lâncận U của z0 Tập tất cả các điểm biên của X kí hiệu là ∂X Hiển nhiên

∂X = ¯X\X 0

1.2.2 Tập bị chặn và tập compact

Tập X ⊂ C gọi là bị chặn nếu tồn tại R > 0 sao cho |z| ≤ R, ∀z ∈ X

Tập X được gọi là compact nếu mọi dãy trong X có chứa một dãy con hội tụ tớimột điểm thuộc X Dễ dàng kiểm tra lại các khẳng định sau:

i Giao của một họ bất kỳ và hợp của một họ hữu hạn các tập compact là compact

1.2.3 Giả khoảng cách giữa hai tập hợp

Giả sử A và B là các tập con của C Ta gọi số

d (A, B) := inf {|a − b| : a ∈ A, b ∈ B}

là giả khoảng cách giữa A và B Viết d(a, B) khi A = a Rõ ràng rằng:

i d(A, B) = d(B, A)

ii Nếu A ∩ B = ∅ thì d(A, B) = 0 Tuy nhiên điều ngược lại nói chung không đúng.Định lý 1.5 Giả sử A và B là các tập đóng khác rỗng trong C và một trong chúng làcompact Khi đó:

i Tồn tại a ∈ A, b ∈ B để d (A, B) = |a − b|

ii Nếu A ∩ B = ∅ thì d(A, B) > 0

1.2.4 Đường và miền trong mặt phẳng phức

Giả sử ϕ (t) và ψ (t) là các hàm giá trị thực liên tục trên đoạn [a,b] (a<b) Khi đó,phương trình

z = z (t) = ϕ (t) + iψ (t) , a ≤ t ≤ bcho biểu diễn tham số của đường cong liên tục L = z([a, b]) trong C Đường cong đượcgọi là trơn nếu nó có biểu diễn tham số z (t) = ϕ (t) + iϕ (t) sao cho ϕ và ψ là các hàm

có đạo hàm liên tục với

|ϕ0(t)|2 + |ψ0(t)|2 6= 0 với t ∈ (a, b)

Đường cong liên tục tạo bởi một số hữu hạn các đường cong trơn được gọi là đườngcong trơn từng khúc Các điểm z(a) và z(b) lần lượt gọi là các điểm đầu và cuối củađường cong L Sau này các đường cong ta luôn coi là liên tục

Định lý 1.6 Với mọi r > 0 tồn tại các điểm z0, z1, , zn ∈ L sao cho

|ϕ (s) − ϕ (t)| < √r

2với zj+1 ∈ D (zj, r)

Một đường cong L có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là đường congkín Đường cong không có điểm tự cắt, tức là không tồn tại t1, t2 ∈ (a, b) để

ϕ (t1) + iψ (t1) = ϕ (t2) + iψ (t2) và ϕ (t1) + iψ (t1) 6= ϕ (a) + iψ (a)được gọi là đường cong Jordan Đường cong Jordan kín còn được gọi là chu tuyến.Tập Ω ⊂ C được gọi là một miền nếu nó thỏa mãn hai điều kiện:

có phân biệt đến chiều, ta viết ∂Ω+ là biên của Ω với chiều dương còn ∂Ω− là biên của

Ω lấy theo chiều ngược lại

Miền Ω được gọi là miền đơn liên nếu với mọi chu tuyến γ ⊂ Ω ta đều có Ωγ ⊂ Ω.Nếu tồn tại các chu tuyến γ1, γ2, sao cho các miền Ωγ1, Ωγ2, không bao hàmtrong Ω ta nói Ω là miền đa liên Ta nhận thấy rằng nếu bổ sung vào ∂Ω các đường

l1, l2, thì miền thu được sẽ là miền đơn liên

Hình 1.1: Hình 1.2:

Bằng cách ta viết ω = u + iv, u = Re ω, v = Im ω, hàm f có thể viết dưới dạng

f (z) = u (z) + iv (z) Hai hàm u và v được gọi là phần thực với phần ảo của f

u (z) = Re f (z) = (Re f ) (z)

v (z) = Im f (z) = (Im f ) (z) Bằng cách đồng nhất z với (x, y), x = Rez, y = Imz, hàm f có thể coi như hàm củahai biến thực x, y và vậy thì hai hàm u và v cũng được coi như thế

Bây giờ ta xét tính liên tục và liên tục đều của hàm biến phức

Định nghĩa 1.5 Cho hàm f xác định trên tập tùy ý Ω ⊂ ¯C với giá trị trong C và z¯ 0

là điểm tụ của Ω hữu hạn hay là điểm xa vô tận Số phức a ∈ ¯C gọi là giới hạn củahàm f (z) khi z dần đến z0 và viết

lim

z→z 0

f (z) = anếu với mọi lân cận V của a tồn tại lân cận U của z0 sao cho

f (z) ∈ V với mọi z ∈ U ∩ Ω, z 6= z0

Dễ thấy i trong định nghĩa 1.6 tương đương với một trong hai điều kiện sau:

i0 Với mọi ε > 0, tồn tại một lân cận U của z0 sao cho

|f (z) − f (z0)| < ε, ∀z ∈ U ∩ Ω

ii0 Nếu {zn} ⊂ D, zn → z0 thì lim

n→∞f (zn) = f (z0) Khi viết f (z) = u (z) + iv (z) , z ∈ Ω dễ dàng thấy rằng f liên tục tại z0 ∈ Ω khi vàchỉ khi u và v liên tục tại z0

Định nghĩa 1.7 Hàm f được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi z ∈ Ω.Tương tự như đối với hàm biến thực, nếu f (z) và g (z) là các hàm liên tục tại z0 ∈ Ωthì: αf (z) + βg (z) , f (z) g (z) , f (z)g(z), (g (z0) 6= 0) liên tục tại z0 ∈ Ω với mọi α, β ∈ C

Định nghĩa 1.8 Hàm f được gọi là hàm liên tục đều trên Ω nếu

∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀z1, z2 6= ∞, z1, z2 ∈ Ω, |z1 − z2| < δ,

|f (z2) − f (z1)| < ε

Rõ ràng nếu f liên tục đều trên Ω thì nó là hàm liên tục trên Ω

Định lý 1.7 Nếu f liên tục trên tập compact K ⊂ C thì f liên tục đều trên K

Định lý 1.8 Nếu f liên tục trên tập compact K ⊂ C thì hàm z → |f (z)| đạt cận trênđúng và cận dưới đúng trên K, tức là tồn tại a, b ∈ K để

|f (a)| = sup

z∈K

|f (z)| v`a |f (b)| = inf |f (z)| Định lý 1.9 Nếu f liên tục trên tập compact K ⊂ C, thì f (K) ⊂ C là compact.1.3.2 Chuỗi hàm

Định nghĩa 1.9 Cho dãy hàm biến số phức

f1, f2, , fn, (1.8)

cùng xác định trên tập tùy ý Ω ⊂ C Dãy hàm (1.8) được gọi là hội tụ tại z ∈ Ω nếudãy số phức {fn (z)}∞ hội tụ Nếu dãy (1.8) hội tụ tại mọi z ∈ Ω, ta nói nó hội tụ trênΩ

Trong trường hợp giới hạn của dãy là hữu hạn trên Ω, bằng cách đặt

∀ε > 0, ∃z ∈ Ω, ∃N (ε, z) , ∀n > N (ε, z) ,

|fn (z) − f (z)| < ε