Về các định lý cơ bản của giải tích hàm trên không gian bị chặn địa phương

Vào khoảng thập niên 60 đến 80 của thế kỷ trước, chúng được mở rộng trên nhiều lớp không gian rộng hơn không gian Banach, điểnhình là các mở rộng lên một số lớp không gian lồi địa phương

MỤC LỤC

Mở đầu 3

1 Không gian bị chặn địa phương 5 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 5

1.2 Không gian bị chặn địa phương 8

2 Về các định lý cơ bản của giải tích hàm trên không gian bị chặn địa phương 18 2.1 Định lý Hahn-Banach 18

2.2 Định lý ánh xạ mở 24

2.3 Nguyên lý bị chặn đều 26

Kết luận 30

Tài liệu tham khảo 31

MỞ ĐẦU

Định lý Hahn-Banach, định lý ánh mở, nguyên lý bị chặn đều là cácnguyên lý cơ bản của giải tích hàm Chúng có vai trò và ý nghĩa to lớntrong lĩnh vực toán giải tích nói riêng và toán học hiện đại nói chung.Dạng cổ điển của các định lý trên được phát biểu trong không gianBanach Vào khoảng thập niên 60 đến 80 của thế kỷ trước, chúng được

mở rộng trên nhiều lớp không gian rộng hơn không gian Banach, điểnhình là các mở rộng lên một số lớp không gian lồi địa phương bởi một sốchuyên gia nổi tiếng trong giải tích hàm như Kothe, Meise, Vogt, (xem[5]) Các mở rộng trên lớp không gian không lồi địa phương (nhưng bịchặn địa phương) được thực hiện vào những năm 90 của thế kỷ trước bởichùm các công trình của Bayoumi (xem [2], [3], [4]) Những kết quả này

là cơ sở quan trọng để nghiên cứu giải tích phức trên không gian khônglồi địa phương

Với mục đích tìm hiểu các định lý cơ bản của giải tích hàm trên khônggian bị chặn địa phương, chúng tôi lựa chọn đề tài sau cho luận văn củamình là: Về các định lý cơ bản của giải tích hàm trên không gian bị chặnđịa phương

Nội dung của luận văn được trình bày trong 2 chương Chương 1 trìnhbày những kiến thức cơ sở về không gian véctơ tôpô cần dùng về sau vànhững kết quả cơ bản về không gian bị chặn địa phương, ánh xạ tuyếntính liên tục giữa các không gian bị chặn địa phương Chương 2 trìnhbày ba định lý cơ bản của giải tích hàm đối với không gian bị chặn địaphương là: Định lý Hahn-Banach, định lý ánh xạ mở và nguyên lý bịchặn đều

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình và nghiêm khắc của thầy giáo, TS Kiều Phương Chi Tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy Nhân dịp này, tác giảxin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệmkhoa toán Tác giả xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giảitích, Khoa toán đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốtthời gian học tập Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè,đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 18 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ

và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đónggóp của các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 9 năm 2012

Bùi Quang Trung

CHƯƠNG 1KHÔNG GIAN BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này nhắc lại một số kết quả về không gian véctơ tôpô, không gianđịnh chuẩn, không gian Banach cần dùng về sau Các kết quả này có thểtìm thấy trong [1]

1.1.1 Định nghĩa Cho E là một không gian tuyến tính trên trường K

và M là một không gian con của E M được gọi là có đối chiều n và kýhiệu codimM = n, nếu tồn tại không gian con N của E sao cho N cóchiều n và E là tổng trực tiếp của M và N , tức là với mọi x ∈ E tồn tạiduy nhất y ∈ M và z ∈ N sao cho x = y + z

1.1.2 Định nghĩa Không gian véctơ tôpô là một không gian véctơ cùngvới một tôpô trên đó sao cho các phép toán cộng và nhân vô hướng làliên tục

Tập con U trong không gian véctơ X được gọi là cân nếu αU ⊂ U vớimọi α ∈ K và |α| < 1; tập U được gọi là hút nếu với mọi x ∈ X tồn tại

δ > 0 sao cho αx ∈ U với mọi |α| < δ

Trong không gian véctơ tôpô luôn tồn tại cơ sở lân cận U của 0 gồmcác tập cân, hút và với mọi U ∈ U tồn tại V ∈ U sao cho V + V ⊂ U 1.1.3 Định nghĩa Tập con U của không gian véctơ X được gọi là lồinếu với mọi x, y ∈ U , với mọi 0 6 λ 6 1, thì λx + (1 − λ)y ∈ U

Không gian véctơ tôpô được gọi là lồi địa phương nếu nó có cơ sở lâncận U của 0 gồm các tập lồi

1.1.4 Định nghĩa Tập con U của không gian véctơ tôpô E được gọi

là bị chặn nếu với mọi lân cận V của 0 tồn tại s > 0 tương ứng sao cho

1.1.5 Định nghĩa Không gian véctơ tôpô E được gọi là F -không giannếu tồn tại mêtric d bất biến trên E (tức là d(x, y) = d(x + z, y + z) vớimọi x, y, z ∈ E) sao cho (E, d) đầy đủ và mêtric d sinh ra tôpô của E.Như vậy, mỗi không gian bị chặn địa phương là một F -không gian.1.1.6 Định nghĩa Mỗi F -không gian và lồi địa phương được gọi làkhông gian Frechet

1.1.7 Định nghĩa Cho E là không gian tuyến tính trên trường R Hàmk.k : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiệnsau:

1) kxk > 0, với mọi x ∈ E và kxk = 0 ⇔ x = 0;

2) kλxk = |λ|kxk, với mọi λ ∈ R và với mọi x ∈ E;

3) kx + yk 6 kxk + kyk, với mọi x, y ∈ E Khi đó (E, k.k) được gọi làmột không gian định chuẩn

Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩnd(x, y) = kx−yk, ∀x, y ∈ E Không gian định chuẩn E được gọi là khônggian Banach nếu E đầy đủ với mêtric sinh bởi chuẩn Với tôpô sinh bởimêtric sinh bởi chuẩn các phép toán cộng và nhân vô hướng trên E là liêntục Rõ ràng mỗi không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương

và bị chặn địa phương Bởi vì Bn = {x ∈ E : kxk < 1

n}, n = 1, 2, là

cơ sở lân cận gồm các tập lồi, bị chặn của E Hơn nữa, người ta chứngminh được kết quả quan trọng sau:

1.1.8 Định lý Không gian véctơ tôpô là khả định chuẩn khi và chỉ khi

nó lồi địa phương và bị chặn địa phương

Ví dụ sau cho thấy mỗi không gian bị chặn địa phương có thể khônglồi địa phương

1.1.9 Ví dụ Xét không gian lp = {x = {xn} ⊂ R : P∞

n=1|xn|p < +∞}với 0 < p < 1 Khi đó, lp là không gian véctơ với các phép toán cộng vànhân vô hướng theo số hạng tương ứng của dãy Hơn nữa, lp là F −khônggian với mêtric bất biến xác định bởi

xkn = 1 nếu k = n và xkn = 0 nếu k 6= n Khi đó, ε1pxk ∈ Vε ⊂ U với mọi

với mọi s Mặt khác d(y, 0) = εs1−p > 1 khi s đủ lớn Mâu thuẫn với

U ⊂ V Vậy lp không phải là không gian lồi địa phương

Tuy nhiên lp là không gian bị chặn địa phương, bởi vì V là lân cận

bị chặn của 0 Thật vậy, với mọi lân cân U của 0, tồn tại ε > 0 sao cho

Vε = {x ∈ lp : d(x, 0) 6 ε} ⊂ U Nếu lấy s = 2

ε thì rõ ràng V ⊂ tU vớimọi t> s

Ví dụ sau lại chứng tỏ mỗi lồi địa phương có thể không bị chặn địaphương.

1.1.10 Ví dụ Giả sử R∞ = {x = {xn} : xn ∈ R} là không gian véctơcác dãy số thực với các phép toán cộng và nhân vô hướng theo số hạngtương ứng của dãy Khi đó, R∞ là F −không gian với khoảng cách xácđịnh bởi

pn(x) = |xn|với mọi x ∈ R∞ Nói cách khác R∞ là không gian Frechet Tuy nhiên,

R∞ không phải là không gian bị chặn địa phương Thật vậy, nếu ngượclại thì nó là không gian định chuẩn Khi đó, tồn tại chuẩn trên R∞sao cho tôpô sinh ra bởi chuẩn trùng với tôpô sinh ra bởi {pn} XétB(0, 1) = {x ∈ R∞ : kxk < 1} Khi đó, tồn tại

V = {x ∈ R∞ : pi(x) = |xi| < δ, i ∈ I}

trong đó I là tập hữu hạn sao cho V ⊂ B(0, 1) Lấy x0 = {x0n} ∈ R∞sao cho x0n = 0 nếu n ∈ I và x0n 6= 0 với n /∈ I Khi đó, x0 6= 0 và suy ra

kx0k = r > 0 Với mọi số tự nhiên k do cách xác định của x0 và V ta có

kx0 ∈ V Do đó kx0 ∈ B(0, 1) với mọi k Suy ra kkx0k = kr < 1 với mọi

k Ta nhận được sự mâu thuẫn Vậy R∞ không bị chặn địa phương

1.2 Không gian bị chặn địa phương

Mục này chúng tôi trình bày những kết quả cơ sở về các không gian bịchặn địa phương, cụ thể hơn là các không gian tuyến tính p-định chuẩn.Các kết quả chính của mục này cơ bản được trích ra từ [2]

Trong mục này, các không gian véctơ được xét trên trường K = R, C.1.2.1 Định nghĩa Một p−chuẩn trên không gian véctơ E là ánh xạk.k : E →R+ thoả mãn các tính chất sau:

i) kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0;

ii) kλxk = |λ|pkxk, với mọi λ ∈ K, x ∈ E;

iii) kx + yk 6 kxk + kyk, với mọi x, y ∈ E

(E, k.k) gọi là không gian tuyến tính p-chuẩn, hay viết gọn là không gianp-chuẩn, (với 0 < p 6 1)

1.2.2 Ví dụ Xét tập R với cấu trúc tuyến tính thực thông thường Với

0 < p 6 1 cố định, xét công thức

kxk = |x|p, ∀x ∈R.Khi đó, công thức trên xác định một p chuẩn trên R

1.2.3 Định nghĩa Một tựa chuẩn trên không gian véctơ E trên trường

K là ánh xạ k.k : E → R+ thoả mãn các tính chất sau:

i) kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0;

ii) kλxk = |λ|kxk, với mọi λ ∈ K, x ∈ E;

iii) kx + yk 6 σ(kxk + kyk), với mọi x, y ∈ E, trong đó σ > 1 là hằng

số độc lập với x, y

Số σ nhỏ nhất để iii) đúng được gọi là hằng số tựa chuẩn của không gian(E, k.k)

1.2.4 Nhận xét 1) Giả sử (E, k.k) là không gian tựa chuẩn Khi đó, họ

BE(0, ε) = {x ∈ E : kxk < ε}, ε > 0 là cơ sở lân cận tại 0 Hơn nữa, E

là không gian mêtric tuyến tính, do cơ sở lân cận tại gốc có thể chọn làđếm được

2)Nếu k.k là một p-chuẩn trên E với 0 < p 6 1 thì k.k1p xác định mộttựa chuẩn, hơn nữa dp(x, y) = kx − yk1p là mêtric sinh ra tôpô tuyến tínhtrên E

3) Người ta còn chứng minh được rằng: nếu E là không gian bị chặnđịa phương thì tồn tại một p-chuẩn k.k trên E sao cho dp(x, y) = kx−yk1p

là mêtric sinh ra tôpô tuyến tính trên E Do đó, mỗi không gian bị chặnđịa phương xác định bởi một p chuẩn nào đó, tức là nó được xem nhưmột không gian p-định chuẩn

1.2.5 Định nghĩa Không gian p−định chuẩn E được gọi là p-Banachnếu nó đầy đủ với mêtric sinh bởi p-chuẩn

Như vậy mỗi không gian p-Banach là F -không gian

1.2.6 Ví dụ Không gian bị chặn địa phương lp, 0 < p < 1, được xácđịnh bởi p-chuẩn

1.2.7 Mệnh đề Mỗi p-chuẩn là một hàm thực liên tục

Chứng minh Giả sử k.k là một p−chuẩn trên E Ta chứng minh bấtđẳng thức sau

|kxk − kyk| 6 kx − ykvới mọi x, y ∈ E

Thật vậy, với mọi x, y ∈ E

Từ (1.1) và (1.2) suy ra

|kxk − kyk| 6 kx − yk

Bất đẳng thức này chứng tỏ p-chuẩn liên tục

1.2.8 Định nghĩa Cho E và F lần lượt các không gian p-chuẩn, khônggian q-chuẩn ánh xạ A : E → F được gọi là ánh xạ tuyến tính nếuA(tx + y) = tA(x) + A(y) với mọi x, y ∈ E và với mọi t ∈ K

Ví dụ sau cho thấy ánh xạ tuyến tính giữa các không gian p-chuẩn cóthể không liên tục

1.2.9 Ví dụ Cho E = C(I,K) là không gian p-chuẩn chứa tất cả cáchàm liên tục trên đoạn I = [0, 1] nhận giá trị trong K, xác định bởip-chuẩn (0 < p 6 1)

kf k = sup

x∈I

|f (x)|p.Cho F là không gian con của E chứa tất cả các hàm f ∈ E sao cho f cóđạo hàm df liên tục trên I

Xét ánh xạ D : F → E xác định bởi D(f ) = df với mọi f ∈ F Khi

đó, dễ thấy D là ánh xạ tuyến tính Tuy nhiên D không liên tục Thậtvậy, xét dãy {fn} ∈ F xác định bởi fn(x) = sin nx

sin nxn

pi1p

6 1

n.Suy ra kfnk1p → 0 khi n → ∞ Vì vậy {fn} hội tụ tới 0 trong F Tuynhiên

pi1p

= 1với mọi n Ta nhận được Dfn không hội tụ tới 0 trong E Vậy D khôngliên tục

1.2.10 Định nghĩa Cho E và F lần lượt các không gian p-chuẩn, khônggian q-chuẩn (0 < p, q 6 1) ánh xạ tuyến tính A : E → F được gọi là

bị chặn trên U ⊂ E nếu tồn tại C > 0 sao cho

xạ tuyến tính liên tục và ánh xạ tuyến tính bị chặn trong không gianp-chuẩn

1.2.11 Định lý Cho E và F lần lượt các không gian p-chuẩn, khônggian q-chuẩn (0 < p, q 6 1) và ánh xạ tuyến tính A : E → F Khi đó,các mệnh đề sau là tương đương:

A nằm trong BF[0, 1] Khi đó, với x 6= 0 thì r1p x

kxk1 ∈ BE[0, r] và do đó

kA(r1p x

kxk1p)k 6 1

Suy ra

kA(x)k 6 M kxkpq,

trong đó M = h1

r

ipq

Rõ ràng x = 0 bất đẳng thức trên luôn đúng Vìvậy (c) được chứng minh

Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh (c) kéo theo (a) Nếu (c) đúng thì

kA(x) − A(y)k 6 M kx − ykpqvới mọi x, y ∈ E Bất đẳng thức này chứng tỏ A liên tục đều trên E

1.2.12 Nhận xét Nếu p = q thì (c) có dạng kA(x)k 6 M kxk tương tựnhư trong không gian định chuẩn

Cho E và F lần lượt các không gian p-chuẩn, không gian q-chuẩn(0 < p, q 6 1) và L(E, F ) không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ

E vào F Khi đó, L(E, F ) là không tuyến tính với các phép toán cộng

và nhân vô hướng theo điểm thông thường

Với mỗi A ∈ L(E, F ), ta đặt

kAk = infM : kA(x)k 6 M kxkqp với mọi x ∈ E

Theo Định lý 1.2.11, kAk hoàn toàn xác định và

kA(x)k 6 kAkkxkqpvới mọi x ∈ E Bổ đề sau cho ta phương pháp xác định chuẩn của ánhxạ

1.2.13 Bổ đề Cho E và F lần lượt các không gian p-chuẩn, không gianq-chuẩn (0 < p, q 6 1) Nếu A ∈ L(E, F ) thì

kAk = sup

x∈E\{0}

kA(x)kkxkqp

kxk 6 1,x6=0

kA(x)kkxkqp

Do tính tuyến tính của A và tính chất của q chuẩn ta có

kAk = sup

x∈E\{0}

kA(x)kkxkqp

= sup

x6=0

kA xkxk1p

> sup

kxk 6 1,x6=0

kA(x)kkxkqp

kxk 6 1,x6=0

kA(x)kkxkqp

Chứng minh Với mỗi A ∈ L(E, F ) ta có

Suy ra {An(x)} là dãy Cauchy trong F Vì F đầy đủ nên {An(x)} hội

tụ tới y ∈ F Ta xác định ánh xạ A : E → F xác định bởi A(x) =

y = lim

n→∞An(x) Khi đó, dễ dàng kiểm tra được A là ánh xạ tuyếntính Từ {An} là dãy Cauchy suy ra {kAnk} là dãy số bị chặn Do đósupn>1kAnk = C < +∞ Ta nhận được

k(An− A)(x)k = lim

m→∞k(An− Am)(x)k < εkxk

p q

với mọi n > N Suy ra kAn− Ak < ε với mọi n > N Do đó {An} hội tụtới A trong L(E, F )

Định lý sau đây trình bày sự mở rộng ánh xạ tuyến tính lên khônggian con đóng

1.2.15 Định lý Cho E là không gian p-chuẩn, M là không gian con của

E và F là không gian con q-Banach Nếu A : M → F là ánh xạ tuyếntính liên tục thì tồn tại duy nhất một mở rộng tuyến tính liên tục A0 của

A lên bao đóng M của M sao cho

kAk = kA0k

Chứng minh Dễ dàng chứng minh được bao đóng của M là không giancon đóng của E Lấy x ∈ M Khi đó, tồn tại dãy {xn} ∈ M sao cholimn→∞xn = x Ta có

kA(xn) − A(xm)k 6 kAkkxn − xmkqp.Bởi vì mỗi dãy hội tụ là dãy Cauchy nên kxn−xmkqp → 0, khi m, n → ∞.Suy ra {A(xn)} là dãy Cauchy trong F Vì F Banach nên limn→∞A(xn) =

y := A0(x) Khi đó A0(x) xác định (không phụ thuộc vào dãy {xn}) Thậtvậy, giả sử {un} ⊂ M và limn→∞un = u Khi đó,

kA(xn) − A(un)k 6 kAkkxn− unkqp = kAkkxn− x + x − unkqp → 0khi n → ∞ Vì vậy limn→∞A(xn) = limn→∞A(un) = A0(x) Dễ dàngkiểm tra được A0 là ánh xạ tuyến tính và rõ ràng A0 = A trên M

Tiếp theo ta chứng minh A0 bị chặn Bởi vì mỗi q chuẩn là liên tụcnên

kA0(x)k = lim

Mặt khác

kA(xn)k 6 kAkkxnkpq.Suy ra

kA0(x)k 6 kAk lim kxnkqp = kAkkxk

q p

với mọi x ∈ M Do đó A0 bị chặn và kA0k 6 kA Rõ ràng kA0k > kAk

Do đó kA0k = kAk

Ta nhận được trực tiếp hệ quả sau

1.2.16 Hệ quả Cho E là không gian p-chuẩn, M là không gian con trùmật trong E và F là không gian con q-Banach Nếu A : M → F là ánh

xạ tuyến tính liên tục thì tồn tại duy nhất một mở rộng tuyến tính liêntục A0 của A lên E sao cho

kAk = kA0k

Việc mở rộng tuyến tính liên tục từ một không gian con đóng bất kỳlên toàn bộ không gian dường như chưa có câu trả lời đầy đủ Trườnghợp đặc biệt, nếu F là trường vô hướng K được nghiên cứu trong chươngsau Mệnh đề sau thuộc về Kondia

1.2.17 Mệnh đề Nếu M là không gian con thật sự và đóng của F-khônggian bị chặn địa phương E thì với mọi ε > 0, tồn tại y ∈ E với kyk = 1

và x ∈ M sao cho

kx − yk > 1 − ε

Chứng minh Lấy y0 ∈ E \ M và đặt d = inf{ky0− xk : x ∈ M } Khi đó,

d > 0 và với mọi η > 0 tồn tại x0 ∈ M sao cho

CHƯƠNG 2

VỀ CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH HÀM TRÊN

KHÔNG GIAN BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG

Chương này trình bày các định lý cơ bản của giải tích hàm là định lýHahn-Banach, định lý ánh xạ mở và nguyên lý bị chặn đều trên khônggian bị chặn địa phương Các kết quả chính của chương này được trích

ra từ [2]

2.1 Định lý Hahn-Banach

Mục này trình bày một dạng mở rộng phiếm hàm tuyến tính với dữliệu dựa trên các hàm nửa tuyến tính kiểu σ (thay bởi hệ dữ liệu nửachuẩn hay sơ chuẩn ở dạng cổ điển của định lý Hahn-Banach)

2.1.1 Định nghĩa Cho E là không gian véctơ trên trường vô hướng K.Hàm thực không âm q trên E được gọi là nửa tuyến tính kiểu σ nếu nóthoả mãn:

(i) q(x + y) 6 σ(q(x) + q(y)), ∀x, y ∈ E,

(ii) q(tx) = tq(x), x ∈ E, t > 0, trong đó σ > 1 Nếu (ii) thay bởi điềukiện q(tx) = |t|q(x) với các vô hướng t ∈ K thì ta gọi q là nửa tuyến tínhtuyệt đối kiểu σ

Định lý sau là một dạng của định lý Hahn-Banach

2.1.2 Định lý Cho E là một véctơ thực, M là không gian con của E cóđối chiều n và q là một hàm thực nửa tuyến tính kiểu σ xác định trên E

VỀ CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH HÀM TRÊN

KHƠNG GIAN BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG

Chương trình bày định lý giải tích hàm định lýHahn-Banach, định lý ánh xạ mở nguyên lý bị chặn khônggian... tụtới A L(E, F )

Định lý sau trình bày mở rộng ánh xạ tuyến tính lên khơnggian đóng

1.2.15 Định lý Cho E không gian p-chuẩn, M không gian

E F không gian q-Banach Nếu A : M... bị chặn khônggian bị chặn địa phương Các kết chương trích

ra từ [2]

2.1 Định lý Hahn-Banach

Mục trình bày dạng mở rộng phiếm hàm tuyến tính với dữliệu dựa hàm nửa tuyến tính