120 bài tập tích phân vận dụng cao

Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên Biết và với mọi Tính tích phân Lời giải Từ giả thiết... Tương tự như bài trước, ta tìm được Hàm bình phương không như thông thư

TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018

Vấn đề 1 Tính tích phân theo định nghĩa

Câu 5 Cho hàm số liên tục trên với và thỏa với mọi Tính

Vấn đề 2 Kỹ thuật đổi biến

Câu 16 Cho hàm số thỏa mãn và Tính

Câu 19 Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên Biết và

với mọi Tính tích phân

Lời giải

Từ giả thiết

Khi đó

Đáp án A

Nhận xét Ở đây chọn thay bởi để rút gọn cho ,giảm thiểu biến đổi

Vậy

Đáp án C

Vấn đề 6 Tính tích phân dựa vào tính chất

Lời giải

Từ giả thiết, thay bằng ta được

Từ giả thiết, thay bằng ta được

Đổi cận: Khi đó

Vậy

Vấn đề 8 Kỹ thuật biến đổi

với mọi Mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải

Từ giả thiết suy ra (do không âm trên )

Thay vào hai vế, ta được

với mọi Biết rằng tính tích phân

Câu 57 Cho hàm số có đạo hàm không âm trên thỏa mãn với mọi và

Biết hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sauđây

Cho ta được

Đáp án D

mọi Đặt ,khẳng định nào sau đây đúng?

Thay ngược lại, ta được

Câu 64 Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn với mọi và

Suy ra

Thay vào hai vế ta được

Vậy

Đáp án C

Nhận xét: Ý tưởng nhân hai vế cho là để thu được đạo hàm đúng dạng

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 70 Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn hệ thức Biết

Vấn đề 10 Kỹ thuật đưa về bình phương loại 1

Do đó giả thiết tương đương với

Câu 75 Cho hàm số có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn thỏa và

Giá trị của tích phân bằng

Lời giải

Nhóm hằng đẳng thức ta có

Tương tự như bài trước, ta tìm được

Hàm bình phương không như thông thường là hoặc

Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là nên ta sẽ liên kết với bình phương

Nhận thấy có một tích phân khác cận là Bằng cách đổi biến ta thu được tích phân

Do đó giả thiết được viết lại

Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là nên ta sẽ liên kết với bình phương

Tương tự như các bài trên ta tìm được

Do đó

Đáp án D

Câu 80 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn , và

Tích phân bằng

A B C D

Lời giải

Hàm dưới dấu tích phân là không có mối liên hệ với nhau

suy ra

Bây giờ giả thiết được đưa về Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là nên

ta sẽ liên kết với bình phương

Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có thay vào ta được

Suy ra (làm tiếp như trên)

Câu 81 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn , và

Tính

Lời giải

Viết lại

Dùng tích phân từng phần ta có Kết hợp với giả thiết ,tasuy ra

Bây giờ giả thiết được đưa về Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là nên

ta sẽ liên kết với bình phương Tương tự như bài trên ta tìm được

Từ giả thiết suy ra

Hàm dưới dấu tích phân là nên sẽ liên kết với bình phương

Chuyển thông tin sang bằng cách tích phân từng phần, ta được

Hàm dưới dấu tích phân là nên liên kết với

Hàm dưới dấu tích phân là và ,không thấy liên kết.

Do đó ta chuyển thông tin của về bằng cách tích phân từng phần của

cùng với kết hợp ta được Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là và nên ta sẽ liên kết với bình phương

Ta tìm được

Đáp án B

Cách 2 Theo Holder

Câu 86 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và Tích

Lời giải

Hàm dưới dấu tích phân là và ,không thấy liên kết

Do đó ta chuyển thông tin của về bằng cách tích phân từng phần của

Hàm dưới dấu tích phân là và ,không thấy liên kết

Do đó ta chuyển thông tin của về bằng cách tích phân từng phần của

cùng với kết hợp ta được Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là và nên ta sẽ liên kết với bình phương

Ta tìm được

Vậy

Đáp án B

Cách 2 Theo Holder

Câu 88 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và Tích

A B C D

Lời giải

Tích phân từng phần của kết hợp với ta được

Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là và nên ta sẽ liên kết với

Hàm dưới dấu tích phân là nên ta cần tìm một thông tin liên quan

Từ giả thiết ta nghĩ đến

Do đó ta có hàm dưới dấu tích phân là và nên sẽ liên kết với bình phương Với mỗi số thực ta có

Câu 92 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và

Tích phân bằng

Lời giải

Tương tự bài trước, ta có

Do đó ta có hàm dưới dấu tích phân là và nên sẽ liên kết với bình phương

Như các bài trước, ta chuyển về thông tin của bằng cách tích phân từng phần Đặt

vì giả thiết không cho Do đó ta điều chỉnh lại như sau

Câu 94 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và

thiết không cho Do đó ta điều chỉnh lại như sau

với là hằng số

Khi đó

Ta chọn sao cho

Khi đó

Hàm dưới dấu tích phân là nên ta liên kết với

Hàm dưới dấu tích phân là và nên ta sẽ liên kết với bình phương

Nhưng khi khai triển thì vướng nên hướng này không khả thi.Tích phân từng phần kết hợp với ta được

Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là và nên ta sẽ liên kết với bình phương

Ta tìm được

Đáp án A

Câu 97 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn , và

Giá trị của tích phân bằng

Vấn đề 12 Kỹ thuật đánh giá AM-GM

Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Lời giải

Ta có

Mà nên dấu xảy ra, tức là

Theo giả thiết nên ta có

Theo giả thiết

Để dấu xảy ra thì ta cần có

Với thì đẳng thức xảy ra nên

Theo giả thiết

Đáp án C

Cách 2 Theo Holder

Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có thay vào ta được

Suy ra (làm tiếp như trên)

Tính giá trị của

Lời giải

Nhận thấy bài này ngược dấu bất đẳng thức với bài trên

Hàm dưới dấu tích phân là Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng ,muốnvậy ta phải đánh giá theo như sau:

Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có thay vào ta được Suy ra

(làm tiếp như trên)

Với thì đẳng thức xảy ra nên

Theo giả thiết

Đáp án D

Cách 2 Ta có

Theo Holder

ra (làm tiếp như trên)

Vấn đề 13 Tìm GTLN-GTNN của tích phân

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

đạt giá trị lớn nhất, khi đó hãy tính

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

với mọi ,tích phân có giá trị lớn nhất bằng

Suy ra

Do đó

Đáp án B

với mọi ,tích phân có giá trị lớn nhất bằng

với mọi Biết giá trị lớn nhất của tích phân có dạng với Tính

với mọi ,tích phân có giá trị lớn nhất bằng

Suy ra (Đến đây bạn đọc có thể chọn A)

Dấu xảy ra khi thay vào ta được

Điều này hoàn toàn vô lý

Theo Holder

Lại có

Do đó

Đáp án B

Nhận xét:  Ta nhân thêm vào giả thiết được gọi là phương pháp biến thiên hằng số

 Cách tìm giá trị lớn nhất của ta làm như sau:

Nếu (chính là đáp án sai mà mình đã làm ở trên)

dò tìm Kết quả thu được GTLN của bằng khi

Vậy dấu để bài toán xảy ra khi thay ngược lại điều kiện, ta được

tích phân bằng

của tích phân Mệnh đề nào sau đây đúng?

Suy ra

Đáp án B

Nhận xét: Bài giải trên sử dụng bất đẳng thức ở bước cuối là

Mà

Từ đó suy ra

Đáp án B