Chứng minh rằng phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó.. Định lý 1.[r]
Trang 1VẤN ĐỀ 6 PHÉP VỊ TỰ
I Khái niệm phép vị tự
1 Cho điểm O cố định và điểm M bất kỳ cho trước Dựng các điểm M ' sao cho OM 'kOM
với
a) k 1
2
2 Qua phép vị tự tâm O (gốc toạ độ) tỷ số k hãy tìm ảnh của điểm M x( ;0 y z0; 0)
II Tính chất của phép vị tự
3 Cho phép vị tự tâm O tỷ số k và hai điểm A, B
a) Dựng ảnh A’, B’ lần lượt của A, B qua V(O, k)
b) Chứng minh rằng A ' B 'kAB
và A ' B ' k AB
b) V(O,k ): A A 'OA 'kOA, B B 'OB 'kOB
Từ đó sử dụng A ' B ' OB ' OA '
4 Chứng minh rằng phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó
Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng hàng, B nằm giữa A và C Gọi A ', B ', C ' lần lượt là ảnh của A, B, C qua V(O,k) Sử dụng định lý 1 để chứng minh A ', B ', C ' thẳng hàng và B ' nằm giữa A ', C '
5 Từ định lý 2 hãy suy ra kết luận về ảnh của đường thẳng, đoạn thẳng, tam giác, góc qua phép vị tự?
6 Chứng minh rằng phép vị tự tâm O tỷ số k biến đường tròn tâm I bán kính R thành đường tròn tâm I ' bán kính R ' k R
Cho điểm O cố định và số thực k0 Phép biến hình biến mỗi điểm M trong mặt phẳng thành điểm M ' sao cho OM 'kOM
gọi là phép vị tự tâm
O tỷ số k Ký hiệu là V(O,k) hoặc V Như vậy:
(O,k )
V : M M 'OM 'kOM
Định nghĩa phép vị
tự
Phép vị tự tâm O tỷ số k biến hai điểm A, B thằnh hai điểm A ', B ' thì
A ' B 'kAB
và A ' B ' k AB
Định lý 1
Phép vị tự tâm O tỷ số k biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó
Định lý 2
Trang 2(O,k )
V : II ' I ' cố định Lấy M bất kỳ trên (I, R) IMR Gọi M 'V(M) Phải chứng minh M ' thuộc (I ', k R)
7 Cho phép vị tự tâm O tỷ số k Hỏi qua V(O, k ):
a) Những đường thẳng nào biến thành chính nó
b) Những đường tròn nào biến thành chính nó
8 Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O sẽ được một phép vị tự tâm O
III Tâm vị tự của hai đường tròn
9 Cho hai đường tròn (I, R) và (I ', R ') Tìm các phép vị tự biến (I, R) thành (I ', R ') Xét các trường hợp a) II ' và R R ', b) II ' và RR và c) II ' và RR '
IV Bài tập về phép vị tự
10 Trong hệ trục Oxy cho đường thẳng d : 2x 3y 5 0 Tìm d’ của d qua phép vị tự tâm O
tỷ số k 3
11 (ĐC HKI - AMS) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : (x2)2(y 1) 24
và (C ') : (x 8) 2(y 4) 216
a) Tìm phương trình trục đối xứng của (C) và (C ')
b) Tìm k sao cho (C ') là ảnh của (C) qua phép vị tự tỷ số k
c) Tìm ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(3, 4) tỷ số k 2
d) Tìm toạ độ tâm vị tự của (C) và (C ')
12 Cho tam giác ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O Sử dụng phép vị tự, chứng minh rằng GH 2GO
(Nếu G, H, O không trùng nhau thì chúng nằm trên một đường thẳng, gọi là đường thẳng Euler)
Gọi A ', B ', C ' lần lượt là trung điểm BC, CA, AB, chứng tỏ O là trực tâm tam giác
A ' B 'C ' Tìm ảnh của A ' B ' C ' và của O qua V(G , 2)
Phép vị tự tâm O tỷ số k biến đường tròn tâm I bán kính R thành đường tròn tâm I ' bán kính R ' k R
Định lý 3
Nếu có phép vị tự tâm O biến đường tròn này thành đường tròn
kia thì O gọi là tâm vị tự của hai đường tròn đó Hơn nữa, nếu tỷ số vị tự dương thì O gọi là tâm vị tự ngoài, trái lại, ta có tâm vị tự trong
Chú ý
Trang 313 Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định còn A chạy trên đường tròn (O, R) cố định không có điểm chung với đường thẳng BC Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC
14 (ĐC HKI - AMS) Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AB = a, AD = b,
DC và hai đỉnh A, B cố định c
a) Tìm quỹ tích các điểm C khi D thay đổi
b) Tìm quỹ tích giao điểm I của hai đường chéo của hình thang khi C thay đổi
a) Gọi A' la đỉnh của hình bình hành AA’CD, suy ra A’ cố định Đáp số
C (A ', b)TAA '(A, b)
b) Chứng minh AI a AC
a c
Đáp số a
a c
I V ((A ', b))
15 Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Hãy dựng qua A một đường thẳng d cắt (O) ở M và cắt (O’) ở N sao cho M là trung điểm của AN
