Bài giảng số 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian và các dạng bài tập cơ bản

Tìm giao điểm (nếu có) của đường thẳng MN và mặt phẳng (SCD). Bài 5: Cho hình chóp OABC. Gọi M, N, P là các điểm lần lượt lấy trên các đoạn thẳng OA, OB, OC và không trùng với đầu mút [r]

Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Trong hình học không gian, ta công nhận các tính chất sau đây, và gọi là các tiên đề:

 Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có một và chỉ một đường thẳng mà thôi

 Tiên đề 2: Qua ba điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng chứa chúng

 Tiên đề 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt nằm trên một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trên mặt phẳng

 Tiên đề 4: Có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

 Tiên đề 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn một điểm chung khác nữa

 Hệ quả: Theo tiên đề 3 và 5, nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất Đường thẳng chung này được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó

 Chú ý 1: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Khi đó hình hợp bởi bốn tam giác ABC, ACD, ADB, BCD gọi là hình tứ diện

 Chú ý 2: Cho đa giác lồi A A1 2 A và điểm S ở ngoài mặt phẳng chứa đa giác Khi đó hình hợp bởi n

đa giác A A1 2 A cùng n tam giác n SA A SA A1 2, 2 3, ,SA A gọi là hình chóp Ký hiệu là n 1 S A A 1 2 A Ta n

gọi S là đỉnh của hình chóp, còn A A1 2 A là đáy của hình chóp n

 Tứ diện có thể xem như một trường hợp đặc biệt của hình chóp

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Dạng 1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

 Cách giải: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung phân biệt của mặt phẳng đó

Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm vừa tìm được chính là giao tuyến của chúng

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M là một điểm thuộc miền trong tam giác SCD Tìm giao tuyến của

(SBM) và (SAC)

Giải:

Trong mp SCD  kẻ SM cắt CD tại N Trong mp ABCD  kẻ

AC cắt BN tại K

Ta có: SSBM  SAC

A

S

D M

N

K

 

KACK SAC , NSM NSBM do đó KBN KSBM

Vậy SK là giao tuyến của hai mặt phẳng SBM và SAC

Dạng 2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

 Cách giải: Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta làm như sau:

Bước 1: Chọn một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d;

Bước 2: Tìm giao tuyến  của (P) và (Q);

Bước 3: Trong mặt phẳng (Q), tìm giao điểm I của d và ; 

Bước 4: Kết luận I chính là giao điểm của d và (P)

Ví dụ 2: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC Trên

đoạn BD lấy điểm P sao cho BP=2PD

a) Tìm giao điểm của CD với mp(MNP);

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD)

Giải:

a) Ta có: CDBCD

BCD  MNPNP Kẻ NP cắt CD tại I

Khi đó I chính là giao điểm của CD với

b) Do M N lần lượt là trung điểm của ,

à

AC v BC nên MN AB

mà PMNP  ABD nên giao tuyến của hai

mặt phẳng MNP và ABD là đường thẳng đi

qua P và song song với MN và AB

Dạng 3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng

 Cách giải: Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó ở trên giao tuyến của hai

mặt phẳng phân biệt

A

B C

M

N

P

D

I (d)

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành, O là tâm của đáy, M, N lần lượt là trung

điểm của SA và SC Gọi (P) là

mặt phẳng đi qua M, N, B Tìm

giao điểm E, F của DA, DC với

(P) và chứng minh E, B, F thẳng

hàng

Giải:

Ta có DA và DC đều nằm

trong mp ABCD 

Do M N lần lượt là trung điểm ,

của SA và SC nên MN AC,

mà MN  P , ACABCD

   

B P  ABCD  Giao tuyến của  P và ABCD là đường thẳng  d qua B và song song với à

MN v AC

Do đó E d AD và F  d DC

Vì E F B, ,  d nên E F B thẳng hàng , ,

Dạng 4 Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

 Cách giải: Tìm giao điểm I của hai trong ba đường đã cho, sau đó chứng minh đường thẳng còn lại cũng đi qua I

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có O là giao điểm của AC và BD Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA,

SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q Chứng minh rằng MP, NQ và SO đồng quy

Giải:

Do MP SO, SAC nên MP cắt SO tại I

Ta tìm giao tuyến của  P và SBD Dễ dàng chứng minh

được QN   P  SBD

Mặt khác ISOSBD và I P nên I  P  SBD

Do đó IQN

Vậy MP, NQ và SO đồng quy tại I

B

M S

O

F E

A

S

C

B

O

P Q

I

Ví dụ 5: Cho hai hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng

a) Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng (AEC) và (BFD); (BCE) và (ADF);

b) Lấy M là một điểm trên đoạn DF Tìm giao điểm của AM và (BCE);

c) Chứng minh rằng AC và BF không cắt nhau

Giải:

a) Trong mp ABEF  kẻ AE cắt BF tại I Khi đó

Trong mp ABCD  kẻ AC cắt BD tại J Khi đó

Vậy IJ là giao tuyến của 2 mặt phẳng AEC và BFD

Trong mp ABEF  kẻ AF cắt BE tại K Khi đó

Trong mp ABCD  kẻ AD cắt BC tại N Khi đó

Vậy KN là giao tuyến của 2 mặt phẳng BCE và ADF

b) Do MDF nên AM ADF Vì vậy giao điểm của AM và

BCE chính là giao điểm H của AM và KN

c) Giả sử AC và BF cắt nhau tại X Khi đó X nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng AEC và

BFD, tức là X IJ hay X J I (Vô lý)

Vậy AC và BF không cắt nhau

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và BC

a) Tìm giao tuyến của (IBC) và (KAD)

K

I

A

D

N

C

B

J H M

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD trong đó AB và CD không song song Tìm giao

tuyến của:

Bài 3: Cho hình chóp O.ABC Trên các đoạn thẳng OA, OB, OC ta lần lượt lấy M, N, P không trùng với

các đầu mút các đoạn thẳng đó Gọi I là điểm thuộc mặt phẳng (ABC) và nằm trong tam giác ABC Tìm

giao điểm của:

a) Đường thẳng NP và mặt phẳng (OAI)

b) Đường thẳng OI và mặt phẳng (MNP)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD với AB không song song với CD; M và N là hai điểm lần lượt trên SA và

SB Tìm giao điểm (nếu có) của đường thẳng MN và mặt phẳng (SCD)

Bài 5: Cho hình chóp OABC Gọi M, N, P là các điểm lần lượt lấy trên các đoạn thẳng OA, OB, OC và

không trùng với đầu mút các đoạn thẳng đó Chứng minh rằng nếu các cặp đường thẳng MN và AB, NP và

BC, PM và CA cắt nhau lần lượt tại D, E, F thì ba điểm D, E, F thẳng hàng

Bài 6: Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng ở ngoài mặt phẳng (P) Giả sử các đường

thẳng AB, BC, CA cắt mặt phẳng (P) tại D, E, F Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng

Bài 7: Cho tứ diện ABCD Một mặt phẳng (P) không chứa AB và cắt các cạnh AC, BC, BD, AD lần lượt

tại M, N, R, S Giả sử MN, RS, AB đôi một không song song Chứng minh rằng ba đường thẳng AB, MN

và RS đồng quy

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD Trên cạnh SC lấy một điểm E không trùng với hai điểm S và C

a) Tìm giao điểm F của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABE)

b) Giả sử AB không song song với CD, hãy chứng tỏ rằng ba đường thẳng AB, CD và EF đồng quy

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang đáy lớn là AB Gọi I và J lần lượt là trung

điểm của SA, SB và M là điểm tuỳ ý trên SD

a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC)

b) Tìm giao điểm K của IM với mặt phẳng (SBC)

c) Tìm giao điểm N của SC với mặt phẳng (IJM)

d) Gọi H là giao điểm của IN và JM Khi M chạy trên SD, chứng minh rằng H chạy trên một đường thẳng cố

định