Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HA.. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. a Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng b Chứng minh tam giác ABE vuông cân tại A.. c Gọi
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN TOÁN NĂM HỌC 2010-2011
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x2 + 2011x + 2010
b) b)x4+ 2012x2 +2011x + 2010
Câu 2: Tìm giá trị của x và y, biết x2 + y2 + x – xy + ½ = 0
Câu 3: Chứng minh rằng
2
4
4 b
b a b a
ab
Câu 4: Cho hai số dương a, b và a = 5 – b
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng P =
b a
1 1
Câu 5: Cho a và b là hai số thực dương thõa mãn điều kiện :
a b a b a b Tính tổng: S =a2010 b2011
Câu 6: Tìm số đường chéo của một hình đa giác có 2010 cạnh.
Câu 7: Cho 2 22 ;
1
x y
x
2 2
2
; 1
y z
y
1
z x
z
Tìm giá trị của S = (x + y + z)4
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC)
Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HA Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
a) Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng
b) Chứng minh tam giác ABE vuông cân tại A
c) Gọi M là trung điểm của BE, vẽ tia AM cắt BC tại G
Chứng minh rằng: GB BC AH HD HC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2010-2011
I./ Biểu điểm:
Điểm 1,0 1,0 1,0 0,75 1,0 0,75 1,0 0,75 1,0 1,0 0,75
II./ Đáp án cụ thể:
Câu 1: a) x2 + 2011x + 2010 = (x + 1)(x + 2010)
b) x4+2009x2 +2008 x +2009 = ( x4+x2+1) +2010(x2+ x +1)
= (x2+ x +1)( x2- x +1)+ 2008( x2+ x +1) = ( x2+ x +1)( x2- x +2010)
Câu 2: = 2x2 + 2y2 + 2x – 2xy + 1 = 0 (x+1)2 + (x – y)2 + y2 = 0
Suy ra x + 1 = 0
x – y = 0
y = 0 Không tồn tại giá trị x, y thỏa mãn đề bài
Câu 3:
2
4
4 b
b a b a
ab
a4 b4 2ab3 2a3b 2a2b2 a4b4 2ab3 2a3b 2a2b2 0
) 2
( ) 2
(a4 a3ba2b2 b4 ab3 a2b2
a ab b ab
Bất đẳng thức đúng Dấu bằng xẩy ra khi a = b = 1
Câu 4: P=
b a
1 1
ab
b
a
=
ab
5
20 4
20
b a
ab =
5
4
; ( Do (a+b)2 4ab và a + b= 5) Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 54 khi a = b = 25
Câu 5: Ta có: a22 b22 (a21b21)(a b ab a ) ( 20 b20)
1=ab ab ( 1 a)( 1 b) 0
a 1 ,b 1 ; Vậy S=1+1=2
Câu 6: Ta có số đường chéo của 1 đa giác có n cạnh là: n n ( 2 3)
Số cạnh của đa giác có 2010 cạnh là: 2010(2010 3) 1005.2007 2017035
Trang 3Câu 7: Chuyển
2
2 2
2
2
2
2 2
1
1
1
x y
x y x
y z
z x
z x x
Suy ra x = y = z = 1 Vậy S = (1 + 1 + 1)4 = 81
Câu 8: a) Chứng minh được hai tam giác
CDE và CAB đồng dạng:
=> CD CA
Chỉ được C là góc chung của hai tam giác BEC và ADC
Suy ra: Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (c-g-c)
b) Theo câu ta suy ra: BEC ADC
lại có ADC EDC ADE 90 0 45 0 135 0
Suy ra: BEC 135 0 => AEB 45 0 => Tam giác ABE vuông cân tại A
c) Tam giác ABE cân tại E nên AM còn là phân giác của góc BAC
Suy ra: GB AB
GC AC , mà AB ED ABC DEC AHED AH// HD
AC DC HC HC
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng thì giáo viên phân theo
từng bước và cho điểm tối đa của bài /