đề thi sưu tầm 10 năm đề thi chọn đội tuyển imo cac de thi hsg cua dhsphn de chon doi tuyen ninh binh de de nghi toan 11 cua hai phong de hsg tphcm 2009 de kt doi tuyen chuyen quang trung de kt do…

Tôi đã chấm, trao giải thưởng và thống kê cụ thể như sau: các em học sinh khá đã xây dựng được khoảng 30% đến 50% bài toán tương tự như các bài toán có trong bài viết của tôi, các em học[r]

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

I.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Một bài toán khó (Bài T7/374 – THTT năm 2008) “Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện 4(a + b +c) – 9 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S=(a+√a2+ 1)b(b+√b2+1)c(c+√c2+ 1)a ” hay một bài toán mang tính “tầm

Giải hai bài toán trên có phải dùng đến một phương pháp “cao siêu” hay một kỉthuật “tinh xảo” nào đó không ? Xin trả lời rằng chỉ cần dùng một tính chất đơngiản của hàm số là ta có thể giải quyết được hai bài toán đó Vậy thì những họcsinh khá giỏi toán có thể tạo ra được những bài toán như thế không ? Xin thưarằng không những các em có thể tạo ra được những bài toán như thế mà còn cókhả năng là “tác giả” của những bài toán hay và khó hơn Thiết nghỉ để các em

có thể trở thành “chủ nhân” của những bài toán hay và khó thì ngoài việc truyềnthụ kiến thức cơ bản cho học sinh giáo viên nên cho các em học sinh tiến hành

hoạt động “khai thác những vấn đề tưởng chừng như đơn giản” trong SGK.

Đây là hoạt động rất cần thiết để phát triển tư duy sáng tạo; phát triển tính chịukhó tìm tòi, đào sâu suy nghỉ của học sinh để từ đó giáo viên phát hiện và bồidưỡng những học sinh có năng khiếu toán học Vì lí do đó mà tôi chọn viết đềtài này

I.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Có rất nhiều vấn đề có thể “khai thác” được trong SGK, Sách Bài Tập,

Sách Tự Chọn Thiết nghỉ tôi và các đồng nghiệp phải thường xuyên chịu khó

“tìm tòi” những vấn đề đó rồi định hướng cho học sinh và yêu cầu các em tựmình “khai thác” để tìm ra những “cái mới” của riêng các em Nếu chúng ta làmtốt hoạt động này thì sẽ phát huy được năng lực của học sinh; các em sẽ chủđộng hơn trong việc tiếp thu kiến thức và có thể các em sẽ tìm ra một phươngpháp học hiệu quả nhất cho riêng mình Bài viết này không mong muốn thể hiện

hết các ý trên mà chỉ được xin phép đưa ra một dẫn chứng khi “Vận dụng hai tính chất của hàm số để sáng tạo và chứng minh các bài toán”.

I.3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Học sinh lớp 12 (Chú trọng học sinh khá giỏi)

- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT

PHẦN II NỘI DUNG

II.1 NHỮNG THUẬN LỢI VÀ KHÓ KHĂN

1 Thuận lợi

- Bản thân tôi được Nhà trường; Tổ chuyên môn quan tâm giúp đỡ, khuyến

khích động viên trong việc tổ chức các cuộc thi về Toán học như: “Giải toán cóthưởng”; “Câu lạc bộ Toán học & Bạn yêu toán”; cuộc thi “Ai là tác giả củanhiều bài toán nhất”;…

- Bản thân tôi là giáo viên trẻ nhiệt tình, luôn chịu khó tìm tòi sáng tạo, cókinh nghiệm và nhiều ý tưởng trong việc tổ chức các cuộc thi về Toán học

- Có rất nhiều học sinh đặc biệt là những học sinh lớp chọn có tố chất; nhiệttình và luôn mong muốn tìm hiểu, khám phá những vấn đề mới của Toán học

2 Khó khăn

Bên cạnh những thuận lợi thì tôi củng gặp một số khó khăn nhất định sau:

- Đặc thù của môn Toán là rất khó so với các môn học khác nên các emthường có tâm lý e ngại khi học Toán, chưa nói đến việc “khai thác, hiểu sâu” vềmôn Toán

- Phần lớn học sinh của trường đều có hoàn cảnh gia đình khó khăn nên cácbậc phụ huynh chưa chú trọng vào việc học của con em mình; từ đó các em họcsinh củng sao nhãng trong việc học tập của bản thân Đầu vào lớp 10 của các emcòn rất thấp so với mặt bằng chung toàn Tỉnh đặc biệt là môn Toán

- Các em còn có tâm lý rụt rè khi tham gia các cuộc thi nói chung và các cuộcthi về Toán học nói riêng

II.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

- Có thể nói có không ít giáo viên đã “lãng quên” đi hoạt động “khai thác những vấn đề” trong SGK Nếu chúng ta chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản cho

học sinh mà bỏ qua hoạt động này thì không những bản thân chúng ta sẽ bị maimột kiến thức mà các em học sinh sẽ bị động trước một vấn đề “tưởng chừngnhư mới mẽ” của toán học; khả năng suy luận, tư duy, sáng tạo của học sinh sẽ

bị hạn chế Đây là thực trạng đáng buồn cho nhiều giáo viên

- Một số học sinh mang khuynh hướng “học đối phó, học để thi” nên khôngmuốn “hiểu sâu, hiểu rộng” về một vấn đề nào đó của toán học Do vậy các emluôn “nói không” hoặc không nhiệt tình khi tham gia các cuộc thi về Toán học

II.3 KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI ĐỀ TÀI

Đề tài này có khả năng ứng dụng và triển khai rộng khắp cho môn Toán ởcác trường THPT, trường BC, trường DL Tôi tin tưởng vào tính khả thi của đề

tài này Hy vọng các đồng nghiệp sẽ triển khai và ứng dụng thành công./.

II.4 LÝ THUYẾT CƠ SỞ

1 Hai tính chất hiển nhiên đúng của hàm số

Tính chất 1 Cho đồ thị hàm số y = f(x)

lồi trên khoảng (a; b) Cát tuyến AB có

phương trình y = Ax + B, tiếp tuyến của

đồ thị hàm số tại điểm C có hoành độ x0

thuộc khoảng (a; b) có phương trình

y = ax + b Ta luôn có bất đẳng thức

Ax B f (x) ax b     với  x a;b

( Xem hình 1) Hình 1

Tính chất 2 Cho đồ thị hàm số y = f(x)

lõm trên khoảng (a; b) Cát tuyến AB có

phương trình y = Ax + B, tiếp tuyến của

đồ thị hàm số tại điểm C có hoành độ x0

thuộc khoảng (a; b) có phương trình

y = ax + b Ta luôn có bất đẳng thức

ax b f (x) Ax B     với  x a;b

( Xem hình 2) Hình 2

2 Nhắc lại một số kiến thức sử dụng trong đề tài

1 Nếu f (x) 0''  ,  x (a;b) thì đồ thị hàm số y = f(x) lõm trên khoảng (a; b)

2 Nếu f (x) 0''  ,  x (a;b) thì đồ thị hàm số y = f(x) lồi trên khoảng (a; b)

3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm C(x0; f(x0)) là

II.5 VẬN DỤNG HAI TÍNH CHẤT TRÊN

Ta sẽ áp dụng hai tính chất nêu trên cho các hàm số quen thuộc để tạo ra cácbài toán về Bất đẳng thức và các bài toán về Phương trình

1 Vận dụng cho hàm số lượng giác

Xét hàm số f(x) = sinx trên khoảng 0;; ta có f (x)" sinx 0 với  x 0;suy ra đồ thị hàm số lồi trên khoảng 0; Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạiđiểm có hoành độ x 0 0;  có phương trình

'

y f x  x x   f x  cos x x x   sinx Theo tính chất 1 ta có bất đẳng

thức: sinx cos x x x  0  0  sinx 0(1) Dễ thấy đồ thị hàm số f(x) = sinx lồi trênkhoảng 0; x 1 0;  Cát tuyến OA qua hai điểm O(0; 0) và A x ;sinx 1 1 có

phương trình

1 1

Bây giờ ta sẽ vận dụng BĐT(1) và BĐT(2) để tạo ra một số bài toán

** Áp dụng BĐT(1) cho các góc A; B; C của tam giác ABC và x0 3

 ;

2 sin C  C

 Từ đó ta thu được BĐT sau

2 sin A sin B sin C    A B C    2

 (vì A B C  ) Vậy là ta có bài toán sau:

Bài 1 a) Chứng minh:

3 3 sin A sin B sin C

2

với mọi tam giác ABC b) Chứng minh: sin A sin B sin C 2   với tam giác ABC nhọn.

** Áp dụng BĐT(1) cho các góc

A B C

; ;

2 2 2 (với A; B; C là số đo các góc của

tam giác ABC) và x0 6

2 2 2 (với A; B; C là số đo các góc của

tam giác nhọn ABC) và x1 4

Bài 2 a) Chứng minh:

sin sin sin

2  2  2 2 với mọi tam giác ABC

b) Chứng minh:

sin sin sin 2

2  2  2  với mọi tam giác nhọn ABC.

C 4 2 2 C sin >

4  4  4   với mọi tam giác nhọn ABC.

b) Chứng minh: n n n

2  2  2     (n  dấu căn) với mọi tam giác nhọn ABC và n N,n 2  .

** Áp dụng BĐT(1) cho các góc AB; BC; CA với A; B; C là các góc

của tam giác ABC và x0 3

2AB 2AB 1 2AB 3

A B   B C   C A   2 Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

A B   B C   C A   2 với mọi tam giác ABC.

sin AB sin BC sin CA

2  2  2 2 Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

Bài 9 Chứng minh rằng:

sin AB sin BC sin CA

sin A B sin B C sin C A

2  2  2 2 Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

sin A B sin B C sin C A

  Tiếp tuyến của đồ thị

hàm số tại điểm có hoành độ x0 0;2

y f x  x x   f x  sin x x x   cosx Theo tính chất 1 ta có bất

đẳng thức: cosx  sin x x x 0  0  cosx 0(3)

Dễ thấy đồ thị hàm số f(x) = cosx lồi trên khoảng 0; x1 0;2

Bài 12 Chứng minh: cos A+ cosB+cos C ≤3

2 với mọi tam giác nhọn ABC.

Bài 13 a) Chứng minh:

cos cos cos

2  2  2  2 với mọi tam giác ABC

b) Chứng minh:

2  2  2  với mọi tam giác nhọn ABC.

4  4  4   với mọi tam giác nhọn ABC.

  Tiếp tuyến của đồ thị

hàm số tại điểm có hoành độ x0 0;2

tanx tan x< x

x (6) Ta sẽ vận dụng BĐT(5) và BĐT(6) để tạo ra một

số bài toán:

** Áp dụng BĐT(5) cho các góc A; B; C của tam giác nhọn ABC và

tan A tan B tan C 4 A B C         3 3 3 3  (vì A B C  ) Đẳng thức

xãy ra khi và chỉ khi A B C 3



  

Vậy là ta có bài toán sau:

Bài 16 Chứng minh: tan A tan B tan C 3 3   với mọi tam giác ABCnhọn.

** Áp dụng BĐT(5) cho các góc

A B C

; ;

2 2 2 (với A; B; C là số đo các góc của

tam giác ABC) và x0 6

2   2;

C 4 C tan

Bài 17 a) Chứng minh:

2  2 2  với mọi tam giác ABC

b) Chứng minh:

tan tan tan 2

2  2  2  với mọi tam giác nhọn ABC.

Vậy là ta có bài toán sau:

Bài 18 a) Chứng minh: tanA tanB tanC 3 2 3

4  4 4   với mọi tam giác ABC

b) Chứng minh: tanA tanB tanC 2 2 1

4  4  4   với mọi tam giác nhọn ABC.

  Tiếp tuyến của đồ thị

hàm số tại điểm có hoành độ x0 0;2

cotx cot x< x

x (8)

Tương tự như hàm số y = tanx, ta vận dụng BĐT(7) và BĐT(8) sẽ tạo ra được một số bài toán sau:

Bài 20 Chứng minh: cot A cot B cot C   3 với mọi tam giác ABCnhọn

Bài 21 a) Chứng minh:

cot cot cot 3 3

2  2  2  với mọi tam giác ABC

b) Chứng minh:

cot cot cot 2

2  2  2  với mọi tam giác nhọn ABC.

Bài 22 a) Chứng minh: cotA cotB cotC 3 2 3

4  4  4   với mọi tam giác ABC

b) Chứng minh: cotA cotB cotC 2 2 1

4  4  4   với mọi tam giác nhọn ABC.

** Áp dụng BĐT(7) cho các góc AB; BC; CA với A; B; C là các góc

của tam giác nhọn ABC và x0 3

A B C

3



  

Vậy là ta có bài toán sau:

Bài 24 Chứng minh: cot AB cot BC cot CA   3với mọi tam giác ABC nhọn.

Vậy là ta có bài toán sau:

Bài 25 Chứng minh: cot A B cot B C cot C A3 2  3 2  3 2  3 với mọi tam giác nhọn ABC.

Vậy là ta có bài toán tổng quát sau:

Bài 26 Chứng minh rằng: cot A Bn n k k cot B Cn n k k cot C An n k k  3 với mọi tam giác ABC nhọn (n, k N;n 2;1 k n    ).

A B   B C   C A   Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

A B   B C   C A   với mọi tam giác ABC nhọn.

cot AB cot BC cot CA 3 3

cot A B cot B C cot C A 3 3

cot A B cot B C cot C A 3 3

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a 1;b 1;c 2   và

các hoán vị của ba số a;b;c Vậy là ta thu được bài toán:

Bài 31 Cho các số thực a;b;c 1;2 thoả mãn đẳng thức a b c 4   Chứng minh rằng: a2+b2+c2≤ 6 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

** Áp dụng BĐT(9) cho các số thực a;b;c 1;2 thoả mãn a b c 5   ta có

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a 1;b 2;c 2   và

các hoán vị của ba số a;b;c Vậy là ta thu được bài toán:

Bài 32 Cho các số thực a;b;c 1;2 thoả mãn đẳng thức a b c 5   Chứng minh rằng: a2

b+

1

c)≤25

2 Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

a=1 ;b=1 ;c=2và các hoán vị của ba số a; b; c Vậy là ta thu được bài toán

Bài 33 Cho các số thực a;b;c 1;2.Chứng minh: (a+b+c +1)(1a+

c)≤ 8 Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a=1 ;b=2 ;c=2

và các hoán vị của ba số a; b; c Vậy là ta thu được bài toán

Bài 34 Cho các số thực a;b;c 1;2.Chứng minh: (a+b+c −1)(1a+

Xét hàm số f (x) x 3 trên đoạn 1;2 ; ta có f (x) 6x 0"   với mọi x 1;2 suy

ra đồ thị hàm số lõm trên đoạn 1;2 Cát tuyến AB đi qua hai điểm thuộc đồ thị

là A(1; 1) và B(2; 8) có phương trình y = 7x – 6 Theo tính chất 2 ta có BĐT:

a 1;b 1;c 2    và các hoán vị của ba số a;b;c Vậy là ta thu được bài toán:

Bài 35 Cho các số thực a;b;c 1;2 thoả mãn đẳng thức a b c 4   Chứng minh rằng: a3b3c3 10 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

**Áp dụng BĐT(10) cho các số thực a;b;c 1;2 thoả mãn a b c 5   ta có

a 1;b 2;c 2    và các hoán vị của ba số a;b;c Vậy là ta thu được bài toán:

Bài 36 Cho các số thực a;b;c 1;2 thoả mãn đẳng thức a b c 5   Chứng

minh rằng: a3b3c3 17 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

**Áp dụng BĐT(10) cho các số thực a;b;c 1;2 ta có

2 3

**Áp dụng BĐT(11) cho các số thực a;b;c 1;2 thoả mãn a+b+c=4 ta có:

Bài 39 Cho các số thực a;b;c 1;2 thoả mãn đẳng thức a+b+c=4 Chứng minh rằng: a4 b4 c4 18 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

**Áp dụng BĐT(11) cho các số thực a;b;c 1;2 thoả mãn a+b+c=5 ta có:

+c4≤33 Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

a 1;b 2;c 2    và các hoán vị của ba số a;b;c Vậy là ta thu được bài toán:

Bài 40 Cho các số thực a;b;c 1;2 thoả mãn đẳng thức a+b+c=5 Chứng minh rằng: a4 b4 c4 33 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

** Áp dụng BĐT(11) cho các số thực a;b;c;d 1;2 ta có

2 2

2 2

4 Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

a=1 ;b=1 ;c=1 ;d=2 và các hoán vị của ba số a;b;c;d Vậy là ta thu được bài toán:

Bài 41 Cho các số thực a;b;c;d 1;2 Chứng minh bất đẳng thức sau:

(a2+b2+c2+d2+ 6)(a12 + 1

b2 + 1

c2 + 1

d2)≤169

4 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

Mặt khác ta thấy BĐT(e) tương đương với BĐT

d2)≤ 25 Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

a=1 ;b=1 ;c=2 ;d=2 và các hoán vị của ba số a;b;c;d Vậy là ta thu được bài toán:

Bài 42 Cho các số thực a;b;c;d 1;2 Chứng minh bất đẳng thức sau:

d2)≤ 25 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

3 Vận dụng cho hàm số luỷ thừa

a Xét hàm số

3 2

Đẳng thức xãy ra khi nào ?

**Áp dụng BĐT(12) cho các số thực a;b;c 1;4 thoả mãn điều kiện

x  1;8 suy ra đồ thị hàm số lồi trên đoạn [1; 8] Cát tuyến AB đi qua hai điểm

thuộc đồ thị là A(1; 1) và B 8;4  có phương trình

a  b  c  6 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

**Áp dụng BĐT(13) cho các số thực a;b;c 1;8 thoả mãn điều kiện

**Áp dụng BĐT(14) cho các số thực a;b;c 1;4 thoả mãn điều kiện

Vậy là ta có thể tạo ra bài toán sau

Bài 49 Giải các phương trình sau

mọi x R  suy ra đồ thị hàm số lõm trên R Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

A(1; 1) có phương trình yx 2 ; tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm B(2; 1)

  Các đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x 1  và x 2  Vậy là ta có

thể tạo ra bài toán sau

Bài 50 Giải các phương trình sau

suy ra đồ thị hàm số lồi trên khoảng (0 ;+ ∞ ) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

điểm A(1 ;0) có phương trình y = x – 1 theo tính chất 1 ta có BĐT: ln x ≤ x − 1

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x = 1 Vậy là ta có thể tạo ra bài toán sau:

Bài 51 Giải các phương trình sau

A(0; ln2) có phương trình y=−3

2x+ln 2; tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểmB(3; ln2) có phương trình y=3

chỉ khi x = 0 và x = 3 Vậy là ta có thể tạo ra bài toán sau

Bài 52 Giải các phương trình sau

a) 2 ln(x2− 3 x+2)+3 x − ln 4=0 b) 2 ln(x2− 3 x+2)−3 x+9 −ln 4=0

5 Vận dụng hai tính chất trên để giải một số bài toán khó

Bài 1 (USA MO 2003) Chứng minh bất đẳng thức

( a+b −c )2( a+b)2+c2≥

(3 −2 c )2(3− c )2+c2≥

chỉ khi x=1 Áp dụng BĐT(**) cho các số thực không âm a; b; c ta có:

Bài 3 Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện 4(a + b +c) – 9 = 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

4 Vậy giá trị lớn nhất của S là 4√42.

Bài 4 Cho tam giác ABC Chứng minh: 1+cos

2) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

điểm O(0; 0) có PT là y = 2x Theo tính chất 2 ta có BĐT: tan x +sin x ≥ 2 x

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x = 0 Áp dụng BĐT này cho góc A2 ∈(0 ; π