Chøng minh r»ng: ab.[r]
Trang 1Bài tập bất đẳng thức
Bài 1:
Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có:
a
¿
a2
+b2
+c2≥ ab+bc+ca¿b¿(a+b )2(b+ c )2≥ 4 abc (a+b+c )¿
Bài 2:
Chứng minh rằng với mọi số d ong a, b, c ta luôn có:
(a+b) (b+c ) (c +a) ≥ 8 abc
Bài 3:
Dãy số u1,u2, , u n Đ ợc xác dịnh nh sau:
n (n+1) (n+2) (n+3) với n = 1; 2; 3; k
Đặt S = u1+u2+u3+ +uk Chứng minh rằng: 18<1
S ≤24
Bài 4:
Chứng minh với mọi số d ong a, b, c ta luôn có:
a2
+b2
a+b +
b2
+c2
b+c +
c2
+a2
c +a ≤
3(a2+b2+c2)
a+b+c
Bài 5:
Cho a+b=2 Chứng minh rằng:
a
¿
a2+b2≥2 b¿ a4+b4≥2 c¿ a8+b8≥ 2¿
Bài 6:
Cho a+b+c+d=2 Chứng minh rằng:
a2
+b2
+c2
+d2≥1
Bài 7:
Cho hai số d ong a, b thoả mãn a+b=1 Chứng minh rằng:
(a+1
a)2+(b+1
b)2≥25
2
Bài 8:
Cho ba số d o ng a, b, c thoả mãn: a+b+c=1 Chứng minh rằng:
a+b ≥ 16 abc
Bài 9:
Cho ba số d o ng a, b, c thoả mãn: a+ b+c=4 Chứng minh rằng:
a+b ≥ abc
Bài 10:
Chứng minh bất dẳng thức:
a+b
ab+c2+ b+c
bc+a2+ c+a
ca+b2 ≤1
a+
1
b+
1
c
Bài 11:
Cho ba số a, b, c thoả mãn:
a+b +c=2
a2
+b2
+c2=2
¿
Chứng minh rằng: 0 ≤ a , b , c ≤4
3
¿
{
¿
¿
¿
¿
Bài 12:
Trang 2Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c∈[0;1] ta lu«n cã:
(1+a+ b+c )2≥ 4(a2+b2+c2)
Bµi 13:
Chøng minh r»ng víi mäi a,b,c>0
√a+b c +√b +c a +√c+a b ≥ 2( √a+b c +√b+c a +√a+c b )
Bµi 14:
Cho c¸c sè d o ng a, b, c tho¶ m·n: abc=1 Chøng minh r»ng:
a3
(1+b )(1+c )+
b3
(1+ a)(1+ c)+
c3
(1+ a) (1+ b) ≥3
4
Bµi 15:
Cho ba sè thùc d ong a, b, c tho¶ m·n: a +b+c=6
Chøng minh r»ng: (1+ 1
a3)(1+1
b3)(1+1
c3)≥729
512 .
Bµi 16:
Cho a, b,c lµ c¸c sè d ong Chøng minh bÊt d¼ng thøc:
a2 b+ c+
b2 a+c+
c2 a+b ≥
a+b+ c
2 .
Bµi 17:
Cho a, b, c >0 tho¶ m·n: a+b+c=1 Chøng minh r»ng:
a
¿
√a+1+√b+1+√c +1<3,5¿b¿√a+b+√b+c+√c+a<√6¿
Bµi 18:
Cho x>y, x y=1 CHøng minh r»ng:
x2
+y2
x − y ≥ 2√2
Bµi 19:
Cho c¸c sè a, b, c tho¶ m·n:
a2
+b2
+c2
=2 ab+bc+ca=1
¿
Chøng minh r»ng: |a|, |b|, |c|≤4
3
¿
{
¿
¿
¿
¿
Bµi 20:
Cho a, b ≥0 Chøng minh r»ng:
(a+b )2
a+b
4 ≥ a√b+b√a
Bµi 21:
Cho a, b, c >0 Chøng minh r»ng:
√b+c a +√c +a b +√a+b c >2
Bµi 22:
a
¿ Cho x>1 Chøng minh r»ng: x
√x-1≥ 2.¿b¿ Cho a>1; b>1 Chøng minh r»ng:
a2
b −1+
b2
a− 1 ≥ 8¿
B i 22: ài 22:
Chøng minh r»ng: NÕu x, y, z >0 tho¶ m·n 1
x+
1
y+
1
z=4 thi
1
2x+ y +z+
1
x+2 y +z+
1
x + y +2 z ≤
3 4
Trang 3Bµi 23:
Cho ba sè d o ng x, y, z tho¶ m·n x + y + z=1 Chøng minh r»ng:
3 xy+yz+ zx+
2
x2
+y2
+z2>14
Bµi 24:
Cho hai sè thùc x, y tho¶ m·n x2+4 y2=1 Chøng minh r»ng: | x+y |≤√5
2
Bµi 25:
Cho x, y lµ hai sè thùc kh¸c kh«ng Chøng minh r»ng:
x2
y2+
y2
x2+4 ≥ 3(x y+
y
x)
Bµi 26:
Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc thuéc d o¹n [-1; 2] tho¶ m·n: a+ b+c =0
Chøng minh r»ng: a2+b2+c2≤ 6
Bµi 27:
Cho a, b, c lµ ba sè d o ng Chøng minh r»ng:
a b+ c+
b
c +a+
c a+b ≥
3 2
Bµi 28:
Cho c¸c sè x, y, z>0 vµ x + y +z=1 Chøng minh r»ng:
x+2y+z ≥ 4 (1-x) (1− y )(1 − z )
Bµi 29:
Cho a, b, c >0 vµ a+b+c ≤ 1 Chøng minh r»ng:
1
a2+2 bc+
1
b2+2 ca+
1
c2+2ab≥ 9
Bµi 30:
Chøng minh r»ng víi mäi a, b>0 tho¶ m·n a+b = 1 ta cã:
1
ab+
1
a2+b2≥ 6
Bµi 31:
Chøng minh r»ng víi mäi a, b >0 tho¶ m·n: a b = 1, ta cã:
1
a+
1
b+
2
a+b ≥ 3
Bµi 32:
Cho a, b lµ hai sè d o ng tho¶ m·n: a2+b2=4 Chøng minh r»ng:
a+b
√a2
+4≤√32
Bµi 33:
Cho a, b >0 tho¶ m·n: a+b = 1 Chøng minh r»ng:
1
1+a+
1
1+b ≥
3 4
Bµi 35:
Cho x∈ R tho¶ m·n: x>1 Chøng minh r»ng: x4+1
x3− x ≥ 2√2
Bµi 36:
Gi ¶ sö x, y ≥ 0 tho¶ m·n: x2+y2=1
a
¿
Chøng minh r»ng 1≤ x + y ≤√2¿b¿ TÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc: P =√1+2x+√1+2 y¿
Bµi 37:
Chøng minh r»ng víi mäi x tho¶ m·n 1≤ x ≤ 5 , ta cã:
√5-x+√x − 1≥ 2
Bµi 38:
Trang 4Víi c¸c sè a, b, c>0 tho¶ m·n diÒu kiÖn abc=1 Chøng minh r»ng:
a
(ab+a+1)2+
b
(bc+b+1)2+
c
(ca +c +1)2≥
1
a+b+c.
Bµi 39:
Cho a, b tho¶ m·n: √a+√b=1 Chøng minh r»ng: ab (a+b)2≤ 1
64
Bµi 40:
Cho a>0; b>0 vµ a3+b3=a − b Chøng minh r»ng: a2+b2+ab<1
Bµi 41:
Cho a, b, c lµ ba sè d ong Chøng minh r»ng:
a
b+
b
c+
c
a ≥
a+b+c
3
√abc
Bµi 42:
Chøng minh r»ng, víi mäi sè thùc d ong a, b, c ta cã:
ab
a+3b+2c+
bc
b+3 c +2 a+
ca
c +3 a+ 2b ≤
a+b+c
6
Bµi 43:
Chøng minh r»ng:
1
a2
+2b2+3+
1
b2+2 c2
+3+
1
c2+2 a2+3≤
1 2 trong dã a, b, c lµ c¸c sè thùc d ong tho¶ m·n: abc=1
Bµi 44:
Cho c¸c sè d ong a, b, c Chøng minh r»ng :
(a+b )2
c +
(b+c )2
a +
(c +a )2
b ≥ 4 (a+b+c )
Bµi 45:
Cho x, y lµ c¸c sè thùc d ong tho¶ m·n: x+ y=1
Chøng minh r»ng: 1
x3+y3+
1
xy ≥ 4+2√3
Mydocument/BAI TAP TOAN/ BAI TAP LOP 10/HOC KI II/bat dang thuc-coppy
1 Cho :x,y 0 vµ x3+y3=x+y
c/m : x2+y2 1
2 Cho :a,b,c lµ 3 c¹nh tam gi¸c
c/m: a4+b4+c4 < 2(a2b2+b2c2+c2a2)
3 Cho :a , b , c ∈[0 ;1]∧ a+b+c=2 c /m: abc ≥(1− a)(1 −b)(1 −c )
4 Cho :a , b , c ≥0 ; c/m :a3+b3+c3≥ 3 abc
5 Cho :a,b,c>0 c/m:
a) (1+a/b)(1+b/c)(1+c/a) 8
b) (1+1/a)(1+1/b)(1+1/c) 64
6 Cho :a,b,c > 0 c/m:
¿
7 Cho : 0 ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ 2 c/m :(1 − x )(2− y)(4 x + y)≤ 2
8 Cho : x + y +z=1 c /m :−1
2≤ xy+ yz+zx ≤ 1
9 Cho : x : y ≥ 0 ∧ x3
+y3=2 c /m : x2
+y2≤2
Trang 510 Cho :x;y [0 ;1]∧ x2
+y2
=x√1 − y2
+y√1− x2 c/m :(3 x +4 y)≤5
11 Cho : a>b>0 C/m :a+ 1
(a −b)b ≥ 3
12 Cho a;b;c;d>0 &1+ a a + b
1+b+
c
1+c+
d
1+d ≤ 1 C /m:abcd ≤
1 81
13 Cho x;y;z0∧ x (x −1)+ y ( y − 1)+z(z− 1)≤4
3 C /m: x+ y +z ≤ 4
14 Cho:a;b;c>0 C/m:
a) a (b2
+bc+c2
)+b(c2+ca +a2
)+c (a2
+ab+b2
)≤1
3¿
b) a3
b2+bc+c2+
b3
c2+ca +a2+
c3
a2+ab+b2≥
a+ b+c
3
15 Cho a;b;c>0 t/m: ab+bc+ca=1
C/m: a3
b+c+
b3
c+ a+
c3
a+ b ≥
1 2
16 Cho:a;b>0 C/m: (a+b)2+(1/a+1/b)2 8
17 Cho : a;b;c>0 vµ a+b+c=1 C/m
a) a2+4 b2+9 c2≥36
49
b)ab2c3≤ 1
432
18 Cho a;b;c>0 t/m: a+b+c=1
C/m: (2+1
a)(2+
1
b)(2+
1
c)≥ 125
19 Cho:a;b;c>0 C/m:
a) (2
a+b+ c)(
2
b+c+ a)(
2
c+a+ b)≥ 64
b) (1
a+b+ c)(
1
b+c+ a)(
1
c+b+ a)≥ 27 víi abc=1
20 Cho:a;b;c>0 vµ abc=1 C/m:
a) a+ b
2
2 +
c3
3 ≥
11 6
b) ab1 + 1
bc +
1
ca+
3
a+b+c ≥ 4
21 Cho a;b;c>0 C/m:
C/m: b+c a +b +c
a +
b
c +a+
c+a
b +
c a+b+
a+b
c ≥
15 2
22 §H NNI 2000: Cho:a;b;c>0 , abc=1 t×m P min:
P=bc
a2b+a2c+
ca
b2a+b2c+
ab
c2b+ c2a
23 §HQGHN 2000: Cho víi mäi a;b;c t/m a+b+c=0 C/m
Trang 68a
+8b
+8c ≥2 a
+2b
+2c
24 SPVinh 98: Cho x;y;z: (x-1)2+(y-2)2+(z-1)2=1 tìm x;y;z sao cho P max P=(x+2y+3z-8 ) Tìm gtrị max đó
25 SPVinh 01: Cho a;b;c là độ dài 3 cạnh tam giác và a+b+c=3 C/m:
3 a2
+3 b2+3 c2+4 abc ≥ 13
26 Cho a;b;c t/m:
a2+b2+c2=2 ab+bc+ca=1
¿{
¿
¿
c/m:−4
3≤ a ;b ;c ≤
4 3
27 HVNH HCM 01D:Cho a;b;c>0 C/m:
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)9
28 với mọi a;b;cC/m:
a) a2+b2+c2≥ ab+bc+ca
b)(ab+bc+ca)❑2≥ 3 abc(a+b+c) (SP TP HCM 2000)
29 ĐHĐà Nẵng96:Cho a;b;c là 3 cạnh tam giác c/m:
1)a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)
2)a2
+b2
+c2=1 ;c /m:1
2≤ ab+ bc+ca ≤1
Cõu 1 Cho a, b, c là 3 số thực dương thoả món: a + b + c = 1 CMR:
2 3
b c c a a b
Cõu 2: Cho 2 số thực dương x, y thoả món: x + y = 4 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2
4
P
Cõu 4: Cho x, y > 0, CMR:
2
9
Cõu 5: Cho a, b, c > 0 và:
1 1 1
1
a b c
CMR:
4
a bc b ca c ab
Cõu 8: Cho x, y, z là 3 số dương thoả món: x + y + z = 1 Tỡm GTLN của biểu thức:
P
Cõu 9: Cho 3 số dương x, y, z thoả món: xy yz zx 1.
Tỡm GTNN:
P
x y y z z x
Mydocument/BAI TAP TOAN/ BAI TAP LOP 10/HOC KI I/bat dang thuc