Dưới đây tôi trình bày bất đẳng thức Holder cho 3 dãy số mỗi dãy gồm 3 số dương1. Lời giải.[r]
Trang 1CHỦ ĐỀ 7: BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER VÀ ỨNG DỤNG
A N ỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
Dưới đây tôi trình bày bất đẳng thức Holder cho 3 dãy số mỗi dãy gồm 3 số dương
Cho a, b, c, x, y, z, m, n, p là các số thực dương ta có
a +b +c x +y +z m +n +p ≥ axm+byn+czp
Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
3
3
axm
≥
Tương tự ta có
3
3
3
3
byn
czp
≥
≥
Cộng lại theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh
Hệ quả 1 Cho a,b,c là các số thực dương ta có
( )( )( ) ( 3 )3
1+a 1+b 1+c ≥ +1 abc
B BÀI TẬP MẪU
Bài 1 Chứng minh với mọi a,b,c là các số thực dương ta có
2 a +1 b +1 c + ≥1 a+1 b+1 c+1 abc+ 1
Lời giải
Nhận xét Với a b c= = bất đẳng thức trở thành
( 2 ) (3 3 ) ( )3 ( )4( 2 )
2 a +1 ≥ a +1 a+1 ⇔ a−1 a + + ≥a 1 0(luôn đúng)
Vậy ta có
Trang 2( ) ( ) ( )
Nhân theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được
( 2 ) (3 2 ) (3 2 )3 ( ) (3 ) (3 )3( 3 )( 3 )( 3 )
8 a +1 b +1 c +1 ≥ a+1 b+1 c+1 a +1 b +1 c + 1 Vậy ta chỉ cần chứng minh ( 3 )( 3 )( 3 ) ( )3
Đây chính là bất đẳng thức Holder Bất đẳng thức được chứng minh đẳng thức
xảy ra khi và chỉ khi a= = = b c 1
Bài 2 Chứng minh với mọi a,b,c là các số thực dương ta có
Lời giải
Gọi P là biểu thức vế trái và đặt
(2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2)
S =a b + c −a +b c + a −b +c a + b −c
S
+ +
Vậy ta chứng minh
3
3
+ +
≥
a b c S
⇔ a +b +c + abc≥ ab a+b +bc b+ +c ca c+ a
Chú ý a3+b3+c3+3abc≥ab a( +b)+bc b( + +c) ca c( +a )
3
Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =
Bài 3 Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác thoả mãn điều kiện
a +b +c =
Trang 3L ời giải
Gọi P là biểu thức vế trái và đặt S=a b( + −c a) (+b c+ −a b) (+c a+ − b c)
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có ( )3
P P S≥ a+ +b c
Vậy ta cần chứng minh ( )3
9
a+ +b c ≥ S
⇔ a+ +b c ≥ ab+bc+ca −
Đặt x= + +a b c x,( ∈ 3;3 ta có ) ( ) 2
2 ab+bc+ca =x − ta c3 ần chứng minh
x3≥9(x2−6)⇔(x−3) (x2−6x−18)≥ ∀ ∈ 0, x 3;3
Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = = b c 1
Bài 4 Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1
Lời giải
Gọi P là biểu thức vế trái và đặt S=a b( + +c 7) (+b c+ +a 7) (+c a+ +b 7)
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có ( )3
P P S≥ a+ +b c
Vậy ta cần chứng minh ( )3
a+ +b c ≥ S
3
2
2
7 3
Bất đẳng thức cuối luôn đúng do a+ + ≥b c 33abc= 3
Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = = b c 1
Bài 5 Cho x,y,z là độ dài 3 cạnh một tam giác
+ +
Lời giải
Gọi P là biểu thức vế trái và đặt S=x3(y+ − +z x) y3(z+ − +x y) z3(x+ − y z)
Trang 4Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có ( )3
P P S≥ x+ +y z
≥
Bất đẳng thức cuối luôn đúng(xem thêm chủ đề biến đổi tương đương)
Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z= =
Bài 6 Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn ab+bc+ca> 0
b c + c a + a b ≥
Lời giải
Nhận xét Bất đẳng thức trên đã được chứng minh đơn giản bằng bất đẳng thức
AM – GM dưới đây ta tiếp cận bài toán theo bất đẳng thức Holder
Gọi P là biểu thức vế trái và đặt S=a2(b+ +c) b2(c+a)+c2(a+ b)
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có ( )3
P P S≥ a+ +b c
Vậy ta cần chứng minh ( )3
4
a+ +b c ≥ S
6
Bất đẳng thức cuối luôn đúng do
3
abc
≥ Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có 1 số bằng 0
và 2 số còn lại bằng nhau
Bài 7 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2+b2+c2= + + a b c
Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2
a b +b c +c a ≤ab+bc+ca
Lời giải
Ta có
2
a +b +c ≥a +b +c
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
Trang 5( )2( 4 4 4) ( 2 2 2)3 4 4 4 2 2 2
a+ +b c a +b +c ≥ a +b +c ⇒a +b +c ≥a +b + c
Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = = b c 1
Bài 8 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2+b2+c2= 3
L ời giải
Gọi P là biểu thức vế trái và đặt ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
S=a a + bc +b b + ca +c c + ab
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có 2 ( 2 2 2)3
27
P S≥ a +b +c = Vậy ta chỉ cần chứng minh
2
6 3
Bất đẳng thức cuối đúng bởi vì theo AM – GM ta có
a b +b c +c a ≥ a b c a +b +c = abc
Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = = b c 1
C BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1 Chứng minh với mọi a,b,c là các số thực dương ta có
( 3 3 3) (2 2 2 2)2
3 a +b +c ≥ a +b +c
Bài 2 Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1
2
b c + c a + a b ≥
Bài 3 Chứng minh với mọi a,b,c là các số thực dương ta có
Bài 4 Cho a,b,c là các số thực dương có tích bằng 1
Chứng minh rằng
Bài 5 Cho a,b,c là các số thực không âm có tổng bằng 3
Trang 6Chứng minh rằng 3
Bài 6 Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng
a −a + b −b + c −c + ≥ a+ +b c
Bài 7 Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x y z xy yz zx+ + = + +
27
x+ +y z x+ y+ z ≥
Bài 8 Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 3
Chứng minh rằng a+ b+ c≥ab+bc+ca
Bài 9 Cho x,y,z là các số thực dương
Chứng minh rằng 2 2 2 34 4 4 4
3
Bài 10 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng
(1+a3)(1+b3)(1+c3) (≥ +1 ab2)(1+bc2)(1+ca2)
Bài 11 Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương Chứng minh
3
3
+ +
+ +
Bài 12 Cho a,b,c là các số thực dương
Chứng minh rằng
( ) (3 ) (3 )3 ( )
4 1
+
Bài 13 Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1 Chứng minh
Bài 14 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh
9 a +1 b +1 c + ≥1 8 a b c +abc+1
Bài 15 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh
4
3
Bài 16 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh
27
Trang 7Bài 17 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh
( )
1
Bài 18 Cho a,b,c là các số thực không âm Chứng minh
( )2 2 ( )2 2 ( )2 2 1
Bài 19 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện ab+bc+ca= 1
Bài 20 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện
a +b +c =a +b + c
Chứng minh rằng 2 a3 3 3 b2 3 3 c3 2 1
Bài 21 Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện
Chứng minh rằng 37a b2 + +1 37b c2 + +1 37c a2 + ≤1 2(a+ + b c)
Bài 22 Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1 Chứng minh
13
4
D HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
Bài 1 Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
( 3 3 3)2 ( ) ( 3 3 3) (2 2 2 2)3
3 a +b +c = + +1 1 1 a +b +c ≥ a +b +c
Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =
Bài 2 Gọi P là biểu thức vế trái và đặt S=a b( + +c) (b c+a) (+c a+b)
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có ( )3
P P S≥ a+ +b c =
2
S = ab+bc+ca ≤ a+ +b c = ⇒ ≥P
Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = = b c 1
Trang 8Bài 3 Gọi P là biểu thức vế trái và đặt
( 2 8 ) ( 2 8 ) ( 2 8 )
S =a a + bc +b b + ca +c c + ab
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có ( )3
P P S≥ a+ +b c
Vậy ta cần chứng minh ( )3
a+ +b c ≥ S
8
Bất đẳng thức hiển nhiên đúng theo AM – GM Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a= = b c
Bài 4 Gọi P là biểu thức vế trái và đặt
( 2 2 7) ( 2 2 7) ( 2 2 7)
S=a b +c + +b c +a + +c a +b +
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có ( )3
P P S≥ a+ +b c
Vậy ta cần chứng minh ( )3
a+ +b c ≥ S
3
3
3
7
Luôn đúng Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
a= = = b c
Bài 5 Gọi P là biểu thức vế trái và đặt
S=a + +b bc +b + +c ca +c + +a ab
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
3
3
3
Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có a b23 23 a23 b23 2(ab bc ca)
Trang 9Vậy ta cần chứng minh ab+bc+ca+6(abc)23 ≥9abc
Bất đẳng thức cuối luôn đúng do
( )23 ( )23
ab+bc+ca+ abc ≥ abc ≥ abcvì
3
1 3
abc≤ + + =
Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
a= = = hob c ặc a=3,b= = và các hoán vc 0 ị
Bài 6 Chú ý 5 2 ( 3 ) ( ) (2 ) ( 2 )
a −a + − a + = a− a+ a + + ≥ a
Thiết lập tương tự và ta chứng minh
a + + +b + + +c ≥ a+ +b c Đây chính là bất đẳng thức Holder
Bài 7 Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
x +y +z x+ y + z ≥ x+ +y z
Vậy ta cần chứng minh ( )4
+ +
≥
4 3 2
54 27
Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= = = y z 1
Bài 8 Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
27
a +b +c a+ b+ c ≥ a+ +b c =
Vậy ta cần chứng minh ( )2( 2 2 2)
27≥ ab+bc+ca a +b +c
Bất đẳng thức cuối đúng theo AM – GM
27 3
Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = = b c 1
Bài 9 Gọi P là biểu thức vế trái và đặt S=x y2 2+y z2 2+z x2 2
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có ( 2 2 2)3
P P S≥ x +y +z
Ta cần chứng minh
Trang 10( )
3
3
9
3
≥
Đặt a=x2+y2+z b2, =x y2 2+y z2 2+z x2 2⇒x4+y4+z4=a2−2b
Bất đẳng thức trở thànha3≥3b 3(a2−2b)
Luôn đúng Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x= = y z
Bài t ập tương tự
Chứng minh x,y,z là các số thực dương thoả mãn x4+y4+z4 = ta có 3
3
y + z + x ≥
Bài 10 Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
3
3
3
Nhân theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh
Bài 11 Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
3
3
1 1 1
3
+ +
+ +
Bất đẳng thức được chứng minh
Bài 12 B ất đẳng thức tương đương với:
( ) (3 ) (3 )3
4
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta được:
Trang 11( ) ( )
3
3
1
1
+
Tương tự:
( ) (3 )( ) ( ) (3 )( )
;
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên và cần chứng minh
( )( ) ( )( ) ( )( ) 34
4
Bất đẳng thức cuối theo AM-GM
Bài toán được chứng minh đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =
Bài 13 Gọi P là biểu thức vế trái và đặt
S=a a+ b +b b+ c +c c+ a = a+ +b c =
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có ( )4 3
P P P S≥ a+ +b c ⇔P ≥ ⇔ ≥ P
Bất đẳng thức được chứng minh đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
3
a= = = b c
Bài 14 Với a b c= = bất đẳng thức trở thành
( 4 ) (3 6 3 )2
a
= + ≥ bất đẳng thức trở thành
( 2 ) (3 3 )2 ( )2( ( 3 ) ( 3 ) 2)
9 x −2 ≥8 x −3x+1 ⇔ x−2 x x − +8 4 x − +5 6x ≥ 0 Bất đẳng thức luôn đúng với x≥ 2
Nhân theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được
Trang 12( ) (3 ) (3 )3 ( ) (2 ) (2 )2
9 a +1 b +1 c +1 ≥8 a +a +1 b +b +1 c +c +1 Mặt khác theo bất đẳng thức Holder ta có
a +a + b +b + c +c + ≥ a b c +abc+
Từ đó ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = = b c 1
Bài 15 Gọi P là biểu thức vế trái và đặt ( )2 ( )2 ( )2
S=c a+b +b c+a +a b+c
P P S≥ + + + + +a b b c c a = a b c+ +
Vậy ta cần chứng minh
3
≥
9
Luôn đúng theo AM – GM
Bài 16 Gọi P là biểu thức vế trái và đặt S a b c= + +
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
2
Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =
Bài 17 Gọi P là biểu thức vế trái và đặt
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
P P S≥ a+ + + + +b b c c a = a+ +b c
Vậy ta chứng minh ( )3
8 a+ +b c ≥ S
3 3
Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3 Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng
thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =
Bài 18 Gọi P là biểu thức vế trái và đặt
Trang 13( )2 2 ( )2 2 ( )2 2
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có 2 ( )3
P S≥ a+ +b c
Vậy ta cần chứng minh
0
Bất đẳng thức cuối luôn đúng ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a= = b c
Bài 19 Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
3
3
Vì theo AM – GM ta có
3
1
ab bc ca
Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
3
a= = =b c
Bài 20 S ử dụng bất đẳng thức C –S ta có
2
2
2
+ +
≥
+ +
=
Ta chứng minh
Đúng theo bất đẳng thức Holder
Trang 14Bài 21 ọi P là biểu thức vế trái sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
3
3 2
Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = = b c 1
Bài 22 Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có
3
1
+ +
t=a +b +c ≥ a+ +b c =
p= + + =a b c q=ab+bc+ca= − = − r=abc
Mặt khác theo bất đẳng thức Schur bậc ba ta có
Vậy ta chỉ cần chứng minh
2
t
t
Bất đẳng thức cuối đúng ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
3
a= = = b c
CHỦ ĐỀ 8: KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV
A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
1 Bất đẳng thức Chebyshev với hai dãy đơn điệu cùng chiều
Nếu có 1 2
n n
≥ ≥ ≥
n n
≤ ≤ ≤
( 1 1 2 2 n n) ( 1 2 n)( 1 2 n)
n a b +a b + +a b ≥ a +a + +a b +b + +b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2
n n
= = =
Chứng minh Ta có đẳng thức