Một cát tuyến quay quanh trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.. 1.Gọi độ dài đoạn thẳng AM = x..[r]
Trang 1Trường THPT ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN
Thành Phố Cao Lãnh KỲ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA 2009-2010 Tỉnh Đồng Tháp
-Câu 1: (5 điểm) (Phương trình, hệ phương trình)
Giải hệ phương trình
{ (4x+ 1
2− 1)(4y+ 12− 1)
4x+4y+2x + y − 7 2 x − 6 2 y+14=0
=7 2x+ y −1
Câu 2: (4 điểm)(Giải tích)
Cho dãy số (an) thỏa a1 = 1 và n 1 n n
1
a
với n ≥2 , n∈ N Chứng minh dãy số (an) có giới hạn và tìm giới hạn đó
Câu 3: (5 điểm) (Hình học)
Cho tam giác ABC có góc A nhọn Một cát tuyến quay quanh trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N
1.Gọi độ dài đoạn thẳng AM = x Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác BMNC
2.Hãy dựng tam giác cân AMN sao cho M thuộc AB, N thuộc AC, AM = AN và MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
Câu 4: (3 điểm)(Số học)
Xác định các số nguyên a, b, c, d, e sao cho
(x2+ax+b).(x3+cx2+dx+e )=x5− 9 x −27
Câu 5: (3 điểm)(Tổ hợp)
Cho tập hợp X ={1, 2 , 3 , 4 , 5 ,6 ,7 , 8} Lập một số N gồm 2010 chữ số thỏa mãn N chia
hết 99.999 và các chữ số của N được lấy từ các số thuộc tập X Tính trung bình cộng tất cả các số
N tìm được
-Hết -
Trang 2Trường THPT ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN
Thành Phố Cao Lãnh KỲ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA 2009-2010 Tỉnh Đồng Tháp
Câu 1
5 điểm Giải hệ phương trình
{ (4x+ 12−1)(4y+ 12−1)
4x+4y+2x + y − 7 2 x −6 2 y+14=0(2)
=7 2x + y −1(1)
.Đặt {u=2 x
v=2 y điều kiện u>0 ; v>0
.Khi đó (2)⇔u2
+(v −7)u+v2− 6 v +14=0
.Để phương trình có nghiệm thì
v −7¿2− 4 v2+24 v − 56 ≥ 0
Δ=¿ ⇔− 3 v2
+10 v − 7 ≥ 0
⇔1 ≤ v≤ 7
3 (2)⇔ v2
+(u − 6)v+u2−7 u+14=0
u −6¿2− 4 u2+28 u− 56 ≥ 0
Δ=¿ ⇔− 3u2+16 u − 20≥ 0
⇔2 ≤u ≤10
3 (1)⇔(2 u−1
u)(2 v −1
v)=7 2
Xét hàm số z t t
1
2
với t1
z❑
t>0 với t1
z
đồng biến khi t1
.Khi đó u ≥2 ⇒2 u −1
u ≥
7 2
v ≥1 ⇒2 v −1
v ≥1
.Suy ra (2 u− 1
u)(2 v −1
v)≥7
2
.Vậy (1)⇔{u=2 v=1 ⇔{x=1 y =0 là nghiệm duy nhất của hệ
0,5
0,5
0,5 0,5
1,0
0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 3Câu 2
4 điểm
n 1 2
j 1 j
1
a
2
k
Suy ra:
Suy ra:
Vậy:
2 n
5(n 1)
2
Suy ra:
n n
n →∞
a n
√n=√2
Câu 3
5 điểm 1.Tìm GTLN của diện tích tứ giác BMNC:.Dựng BE, CF song song MN (hình vẽ)
AB
AE AG AC
AF
AC
AE+AF
2 AD
3 x − c
.Ta có SBMNC=SABC− SAMN=1
2sin A(bc −bx2
3 x − c)
.Khảo sát SBMNCmax= 5
3
2.Dựng tam giác cân AMN:
Ta có ABAM+AC
b
Với AM=AN ta có AM=b+c
3
.Cách dựng :
+Dựng trên AB đoạn AM=b+c
3 , suy ra M +MG cắt AC tại N
+suy ra tam giác AMN cần dựng
.Biện luận : bài toán có nghiệm khi b+c3 ≤ c và b+c3 ≤ b
⇒b ≤ 2 c và c ≤ 2 b
Trang 4Câu 4
3 điểm
.Đồng nhất hai đa thức ta được
{ac +b+d =0 a+c=0
ad + bc+e=0
ae+ bd=− 9
be=−27
vì a, b, c, d, e các số nguyên
Nên các khả năng của cặp (b, e) là (±1, ∓27) ;(± 3,∓9 );
Thay a= -c vào (2) , (3), (4) ta có
c2− b= bc+e
ce − 9
b
.Đưa về phương trình bậc hai theo c, buộc Δ là số chính phương
.Kết quả a=3 , b=3 , c=− 3 , d=6 , e=− 9
Câu 5
3 điểm Cho tập hợp
X ={1, 2 , 3 , 4 , 5 ,6 ,7 , 8} Lập một số N gồm 2010 chữ
số thỏa mãn N chia hết 99.999 và các chữ số của N được lấy từ các
số thuộc tập X Tính trung bình cộng tất cả các số N tìm được.
.Gọi M là tập hợp các số N thỏa điều kiện đề bài
.Ta xây dựng ánh xạ f như sau :
Nếu N=a1a2 a2010 thì f (N)=b1b2 b2010 với
b i=9 −a i (i:1 2010)
.Với cách xây dựng như vậy, ta có :
N +f (N)=99 9⏟
2010 chia hết cho 99.999 Suy ra f là song ánh từ M → M
.Từ đó ta có
N ∈ M
N ∈ M
(N +f (N ))=|M|(⏟9 9 9)
2010
=99 9⏟
2010
=102010− 1
.Suy ra trung bình cộng tất cả các số N tìm được là :
102010−1
0,5
1,5 1,0 0,5
Hết