ĐỀ CƯƠNG MÔN TOÁN 10, 11, 12

+) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) (trên[r]

TOÁN 10 Đại số: Bất phương trình, hệ bất phương trình 1 ẩn

I Khái niệm bất phương trình một ẩn

Tập hợp nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x) là tập hợp tất cả các giá trị x0D: f(x0)g(x0)

3 Điều kiện của bất phương trình

Là điều kiện của ẩn x sao cho f(x) và g(x) có nghĩa

Ví dụ: Điều kiện của bất phương trình 3 x x 1 x2 là

3x0 và x+10

4 Bất phương trình chứa tham số

Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngoài ẩn

III Bất phương trình tương đương

1 Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

2 Định lý

2.1 Định lý 1 (phép cộng, trừ):

Cho f(x) > g(x) xácđịnh trên D Nếu h(x) xác định trên D thì:

f(x) > g(x)  f(x) + h(x) > g(x) + h(x)

* Hệ quả: Nếu chuyển một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi dấu thì ta được một bất

phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

2.2 Định lý 2 (phép nhân, chia): Cho f(x) > g(x) xác định trên D

+ Nếu h(x) xác định trên D và h(x)>0 với mọi xD thì bất phương trình:

* Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau

+ Đặt điều kiện (nếu có) trước khi biến đổi bất phương trình

+ Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay dương, hoặc biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương

+ Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì không đổi dấu

+ Nếu f(x)<0, g(x)<0 thì f(x) <g(x)  f(x) > g(x) Khi đó ta có thể bình phương 2 vế

* Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau



m m

Nếu m-1 < 0  m < 1 => bpt có nghiệm x < 1

3 2

m =1 bpt VN

m > 1 bpt có nghiệm x > 1

3 2





m m

m < 1 bpt có nghiệm x < 1

3 2

x 



f) (x 2)2 (x 2)2 2g) x(7x)+6(x1)<x(2x) h)

1 5(3 1)

x x

x x

a

51

8/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm:

2 4(1 ) 4

Hình học: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

Cho ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c

– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: m a , m b , m c

– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: h a , h b , h c

– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p

– diện tích tam giác: S

sin sin sin 

3 Độ dài trung tuyến

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.

Dạng 1: Tính toán các yếu tố trong tam giác

Phương pháp: Tùy theo các giả thiết của bài toán, để tìm các yếu tố trong tam giác ta có thể:

- Áp dụng trực tiếp các định lý cosin, định lý sin, công thức trung tuyến, công thức diện tích

- Chọn một hệ thức thích hợp cho phép tìm được một số yếu tố trung gian cần thiết, từ đó ta tìm được yếu tố cầntìm

Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A=1200, cạnh AB =1 và cạnh AC=2

a) Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC có:

1

1 4 2.1.2.( ) 7

27

1) Tam giác ABC có a=12, b=13, c=15 Tính góc A và độ dài trung tuyến AM

2) Tam giác ABC có a=5; b=4, c=3 Lấy điểm D đối xứng B qua C Tính độ dài AD

3) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi 5m a2 m b2m c2

Bài 4: Cho tam giác ABC có các cạnh a=7, b=24, c=23

a) Tính góc A của tam giác ABC ( làm tròn đến phút)

b) Tính diện tích S, bán kính đường tròn ngoiaj tiếp, nội tiếp tam giác, độ dài đường cao AH và đường trungtuyến AM của tam giác ABC

Bài 5: Cho tam giác ABC có góc B45 ,0 C750 Đường phân giác trong AD=4 Tính độ dài AC, BC, AB và bán

kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC (biết

2sinC sin sin

.sin 4.sin 75

2(1 3)sin sin 45

AC C AB

B

0 0

22

Bài 7: Cho tam giác ABC có a=12, b=13; c=15 Tính cos A và góc A

Bài 8 Cho tam giác ABC có a=8; b=10; c=13

a) Tính góc lớn nhất của tam giác, tam giác này có tù không?

b) Tính độ dài đường trung tuyến MA, diện tích, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 9: Cho tam giác ABC có góc A60 ,0 B45 ,0 b2 Tính 2 cạnh a, c diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếptam giác

Bài 10: Cho tam giác ABC có góc A120 ;0 b8,c5 Tính cạnh a, góc B, C , bán kính đường tròn nội tiếp, ngoạitiếp tam giác và đường cao hạ từ đỉnh B

Chứng minh một vài hệ thức liên quan đến các yếu tố của một tam giác

PP: Sử dụng các công thức có sẵn để biến đổi vè này thành vế kia

Bài 1: Cho tam giác ABC

a) Chứng minh

tantan B

S  bc A

ta có

Công thức này rất hữu hiệu trong việc tính tỉ số diện tích của 2 tam giác có chung nhau 1 góc.

Bài 2: Cho tam giác ABC thỏa mãn bccosA ac cosB ab cosC a 2 Tam giác này là tam giác gì?

Do đó tam giác ABC vuông tại A

Chú ý: Nếu VP thay bằng b c2( )2 thì tam giác sẽ vuông tại B ( C).

Bài 3: Cho tam giác ABC, có trọng tâm G Chứng minh:

sinA 2sinB.cosC thì tam giác ABC cân.

HD: dùng bài 4

Bài 6: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) Góc A nhọn khi và chỉ khi sin2Asin2Bsin2C

b) Góc A tù khi và cỉ khi 2 2 2

h  h h

HD: Dùng định lý sin và công thức diện tích

Giải tam giác và ứng dụng thực tế

PP: thường dùng định lý sin và cosin

Ví dụ 1: Biết 2 lực cùng tác dụng vào 1 vật, hợp với nhau góc 400 và có cường độ lần lượt 3N và 4N Tính cường độ hợplực

Ví dụ 2:Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua 1 đầm lầy người ta xác định 1 điểm C mà từ

đó có thể nhìn được A, B AC= 200m, BC= 160m, ACB=52016’ Tính AB

Giải:Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC ta có:

Bài 1: Khoảng cách từ A đến C không thể đo trực tiếp vì phải qua một hố sâu nên người ta làm như sau: Xác định 1

điểm B có khoảng cách AB=120m, BC= 50m và đo được góc ACB 370 Hãy tính khoảng cách AC.(156m)

Bài 2: Người ta cần đo chiều cao CD của một tháp vói C là chân tháp, D là đỉnh tháp Vì không thể đền chân tháp được

nên từ 2 điểm A và B có khoảng cách AB=30m sao cho A, B, C thẳng hàng, ta đo được các góc

 43 ,0  670

CAD CBD hãy tính chiều cao CD của tháp.(46,3m)

Bài 3: Một người quan sát đứng cách một cái tháp 10m nhìn thấy cái tháp dưới góc 55 độ và được phân tích như

H

0

45A

100

TOÁN 11 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa:

a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn

một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi Kí hiệu:n lim  un   0 hay u n  0 khi n  + 

3 Một số định lý về giới hạn của dãy số

q





5 Dãy số dần tới vô cực:

a) Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực  u  n 

khi n dần tới vơ cực  n   

nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi Kí hiệu: lim(un)= hay un   khi n  .

b) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là   khi n   nếu lim  un 

.Ký hiệu: lim(un)=  hay un

   khi n  .

c) Định lý:

C

o Nếu :    *

nlim u  n 0 u 0 , n  

thì

1 lim

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

1 Giới hạn của dãy số (u n ) với

 

 

n

P n u

Q n



với P,Q là các đa thức:

o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số và mẫu số

cho nk để đi đến kết quả :   0

o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0

o Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=

2 Giới hạn của dãy số dạng:

 

 

n

f n u

g n



, f và g là các biển thức chứa căn.

o Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp

o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp

2 2

3 2

2 lim

n n

3

2 lim

n n

1 Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần

tới a nếu với mọi dãy số (xn), xnK và xn a ,   n * mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:

a) Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.

b) Định lý 2:Nếu các giới hạn:lim   , lim  

3 Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:

a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có lim[f(xn)]= thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: lim  

     

b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) =  đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới

vô cực, kí hiệu:lim  

     

.c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a    n *, thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :lim  



  

Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a    n * thì

ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: lim  

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:

o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2

o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp

o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp Chú ý rằng nếu x   thì coi như x>0, nếu x    thì

coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn

3 Giới hạn của hàm số dạng: lim     0  

x x x

2 2

3 3

x

x x x

1

x

x x x x

3 2

x

x x

HÌNH HỌC

2.1 Các định nghĩa

+) Định nghĩa 1: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng

bằng 900 a b   ( , ) 90 a b  0

+) Định nghĩa 2: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc

với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó a  ( )     b ( ) :  a b 

+) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng

900 ( ) ( )     (( ),( )) 90    0

+) Định nghĩa 4: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng

đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b

+) Định nghĩa 5:

Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a vàmặt phẳng (α) bằng 900

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của

nó trên mặt phẳng (α) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α)

+) Định nghĩa 6: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc

với hai mặt phẳng đó

+) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là

khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆)

+) Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là

khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α)

+) Định nghĩa 9: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm

bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

+) Định nghĩa 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc

chung của hai đường thẳng đó

B N I DUNG Ộ

I Ch ng minh đ ứ ườ ng th ng vuông góc v i m t ph ng, đ ẳ ớ ặ ẳ ườ ng th ng vuông góc ẳ

v i đ ớ ườ ng th ng, m t ph ng vuông góc v i m t ph ng ẳ ặ ẳ ớ ặ ẳ

1.1 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1.1.1 Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý 1 để chứng minh Hoặc sử dụng định lý 3,

định lý 5, định lý 6 trong một số trường hợp đặc biệt

1.1.2 Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giácvvuông tại C, SA  ( ABC )

a) Chứng minh rằng: BC  ( SAC )

b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC Chứng minh rằng: AE  ( SBC )

c) Gọi mp(P) đi qua AE và vuông góc với (SAB), cắt SB tại D Chứng minh rằng:

Theo c) SB  ( ADE )  AF  SB (8) Từ (7) và (8) suy ra: AF  ( SAB )

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều,

( SAB ) (  ABCD ) Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD Chứng minh rằng:

Từ (1) và (2) suy ra: FC  ( SID )

1.2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

1.2.1 Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý 2 hoặc là các cách chứng minh vuông góc

có trong hình học phẳng

1.2.2 Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,

+ Gọi I là trung điểm của AD Tứ

giác ABCI là hình vuông Do đó,

Từ (1) và (2) suy ra: CD  ( SAC )  CD  SC hay ∆SCD vuông tại C

Ví dụ 2: (B-2007) Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối

xứng của D qua trung điểm SA Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC CMR:

MN  BD

Giải: Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB

và SA, O là giao điểm của AC và BD

Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 2:

+ Chọn mp(IMN) với I là trung điểm của AB ( vì BD  AC nên chọn mp chứa MN và vuông góc với BD là mp(IMN))

+ Sử dụng các giả thiết trung điểm để chứng minh song song

Ví dụ 3: (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều,

( SAD ) (  ABCD ) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD Chứng minh rằng: AM  BP

Giải: Gọi I là giao diểm của AN và BP, H

là trung điểm của AD, K là giao điểm của

AN và BH

Xét hai tam giác vuông ABN và BCP có:

AB=BC, BN=CP Suy ra,  ABN  BCP

Từ (1), (2) suy ra: BP  ( AMN )  BP  AM

1.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

1.3.1 Phương pháp: Sử dụng định lý 3

1.3.2.Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD

là hình thoi , SA=SC Chứng minh rằng:

( SBD ) (  ABCD )

Giải:+ Ta có: AC  BD(1) (giả thiết)

+ Mặt khác, SO  AC(2) (SAC là tam giác

cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO

là đường cao của tam giác)

+ Từ (1) và (2) suy ra: AC  ( SBD )mà AC  ( ABCD ) nên ( SBD ) (  ABCD )

Ví dụ 2: (B-2006) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,

Bài tập 1: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a Gọi I là trung điểm

của BC, D là điểm đối xứng với A qua I,

b) ( SAB ) (  SAC )

Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O SA  (ABCD) Gọi H, I,

K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD

a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC)

b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AKcùng nằm trong một mặt phẳng

c) CMR: HK  (SAC) Từ đó suy ra HK  AI

Bài tập 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA  (ABC)

a) Chứng minh: BC  (SAB).

b) Gọi AH là đường cao của SAB Chứng minh: AH  SC

Bài tập 4: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB

= SD

a) Chứng minh: SO  (ABCD)

b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC CMR: IJ  (SBD)

Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều Gọi I là trung điểmcủa BC

a) Chứng minh: BC  (AID)

b) Vẽ đường cao AH của AID Chứng minh: AH  (BCD)

Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H làhình chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC) Chứng minh rằng:

d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn

Bài tập 7: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tamgiác đều; SAD là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB vàCD

a) Tính các cạnh của SIJ và chứng minh rằng SI  (SCD), SJ  (SAB)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ CMR: SH  AC

c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM  SA Tính AM theo a

Bài tập 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giácđều và SC = a 2 Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD

a) CMR: SH  (ABCD)

b) Chứng minh: AC  SK và CK  SD

Bài tập 9: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3, mặtbên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có SD = a 5.

a) Chứng minh: SA  (ABCD) và tính SA

b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượttại I, J Gọi H là hình chiếu của A trên SC Hãy xác định các giao điểm K, L của SB,

SD với mp(HIJ) CMR: AK  (SBC), AL  (SCD)

c) Tính diện tích tứ giác AKHL

Bài tập 10: Gọi I là 1 điểm bất kì ở trong đường tròn (O;R) CD là dây cung của (O) qua

I Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I ta lấy điểm Svới OS = R Gọi E là điểm đối tâm của D trên đường tròn (O) Chứng minh rằng:

a) Tam giác SDE vuông tại S

b) SD  CE

c) Tam giác SCD vuông

Bài tập 11: Cho MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông gócvới (P) tại A ta lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A Gọi C¢ là hình chiếu của C trên MD,

H là giao điểm của AM và CC¢

a) Chứng minh: CC¢  (MBD)

b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB CMR: K là trực tâm của BCD

Bài tập 12: Cho tam giác đều ABC, cạnh a Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC Trênđường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a 6 Chứng minhhai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau

Bài tập 13: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và (ABD) cùng vuông góc vớiđáy (DBC) Vẽ các đường cao BE, DF của  BCD, đường cao DK của ACD

a) Chứng minh: AB ^ (BCD)

b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC)

c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC CMR: OH ^(ADC)

Bài tập 14: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ^ (ABCD)

a) Chứng minh (SAC) ^ (SBD)