TAM THỨC bậc HAI PHẦN 1

Xét dấu các biểu thức sau: 1... Lập bảng xét dấu các biểu thức sau: 1... Giải các bất phương trình 1... Tìm giá trị tham số để 1 nghiệm đúng với mọi x.. Tìm giá trị tham số để 1 nghiệm đ

ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI - ỨNG DỤNG

A KIẾN THỨC CẦN NHƠ:

1/ Định nghĩa tam thức bậc hai:

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax 2 +bx+c trong đó a, b, c là những số cho trước với a � 0.

2/ Định lí về dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x)=ax 2 +bx+c (a �0) Với  b24ac ' ( )b' 2ac

-Nếu  <0   thì f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc �.' 0

-Nếu  = 0  thì f(x) cùng dấu với a với mọi x ' 0

2

b a



-Nếu  >0   thì f(x) có hai nghiệm x' 0 1 và x 2 (x 1 <x 2 ) Khi đó f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x nằm

trong khoảng(x1;x2) ( tức là x 1 < x < x 2 ) và f(x) cùng dấu với a với mọi x nằm ngoài đoạn x x ( tức là x <1; 2

x 1 hoặc x < x 2)

x � x 1 x � 2

f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

(Trong trái , ngoài cùng)

+ Dựa vào BXD kết luận.

B BÀI TẬP CƠ BẢN:

DẠNG I : Xét dấu của tam thức bậc hai

Ví dụ 1: f(x)= x 2 -x+1>0  ��x vì tam thức f(x) có  = - 3 < 0 và a = 1 > 0

Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau:

x - � + �

x 2 -x+1 +

Ví dụ 2: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= -x 2 -2x+3

Giải

Vì a=-1<0 và tam thức f(x) có hai nghiệm x 1 =-3 ; x 2 = 1 ( dễ thấy x 1 < x 2) nên

f(x) < 0 (cùng dấu với a) khi x � � ; 3 �1;� và f(x) > 0 (trái dấu với a) khi 

x �3;1.

Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau:

x - � -3 1 + �

-x 2 -2x+3 0 + 0

-Ví dụ 3: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= x 2 -2x+1

Giải

f(x)= x 2 -2x+1 > 0  � vì tam thức f(x) có  =0 và nghiệm kép x = 1, a = 1 > 0 x 1

Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau:

x - � 1 + �

x 2 -2x+1 + 0 +

Bài 1 Xét dấu các biểu thức sau:

1 f(x)= x2  3x4 2 f(x)=x2  4x4

3 f(x)=x2  2x3 4 f(x)=x2  4

5 f(x)=x2 2 6 f(x)= x2 2x

7 f x( )x2 x 1 8 f(x)x22x 1

Bài 2 Lập bảng xét dấu các biểu thức sau:

1 f(x)= (x - 4)(5x -4x-1) 2 2 2 f x( ) (3 x210x3)(4x5)

3 f(x)= x (2-x-x )(x+2) 2 2 4

2 2

( )

f x



5 ( ) 2 2 1

x

f x

 



4 3 2 2

( )

30

f x

x x



 

DẠNG II : Bất phương trình tích, chứa ẩn ở mẫu

Cách giải:

- Đối với bất phương trình bậc hai ta xét dấu vế trái và dựa vào dấu bất phương trình kết luận nghiệm

- Đối với bất phương trình tích xét dấu các nhân tử rồi nhân các dấu đó lại với nhau, dựa vào dấu của bất phương trình rồi kết luận nghiệm

- Đối với bất phương trình chứa ẩn dưới mẫu ta phải đưa về dạng

 

� � , rồi mới xét dấu vế trái và dựa vào dấu bất phương trình kết luận nghiệm

1/ - x2 + 2x + 3 < 0

Ta có: - x2 + 2x + 3 = 0 có hai nghiệm x1=-1, x2=3, a=-1<0

Bảng xét dấu:

X - � -1 3 + �

vt - 0 + 0 -

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S= �; 1 �3;�

2/ x 2 + 2x + 1 > 0

Ta có: x 2 + 2x + 1 =0 có nghiệm kép x = -1, a=1>0

Bảng xét dấu:

X - � -1 + �

vt + 0 +

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S= �\{-1}

3/ - x 2 + 2x – 6 > 0

Ta có: - x 2 + 2x – 6 = 0 vô nghiệm, a=-1<0

Bảng xét dấu:

X - � + �

vt -

Vậy: bất phương trình vô nghiệm S= �

4/ 2 22 16 27 2

7 10

Bất phương trình trở thành:

 

2



�

Bảng xét dấu

X

- � 2 7

2 5 + �

-2x+7 + | + 0 |

-x 2 -7x+10 + 0 - | - 0 +

vt + || - 0 + || -

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S= 2;7 5;  2 � �� � � � � � 5/ (4 - 2x)(x 2 + 7x + 12) < 0 Bảng xét dấu X - � -4 -3 2 + �

4-2x + | + | + 0

-x 2 +7x+12 + 0 - 0 + | +

vt + 0 - 0 + 0 -

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S= 4; 3 �2;� Bài 1 Giải các bất phương trình 1 (2x + 1)(x2 + x - 30) � 0 2 (x - 3)(x2 + x - 6) > (x - 2)(x2 + 5x + 4) 3 2 2 9 14 0 5 4 x x x   x   4. 2 2 2 7 7 1 3 10 x x x x       5 2 2 5 3 4 x x x x   �   6 2 3 1 2 x x x x      7 3 47 4 47 3 1 2 1 x x x x      8 9 4 2 x x  �  9           3 4 3 2 1 2 6 0 7 2 x x x x x    �   10 4  2 2 4 2 x �x  x 11  2   2  3 2 5 6 0 x x x x      � 12

2 3 0 1 2 x x x     13 1 2 x + 2 2 3 2 1 4 3 3 x x x x x x        14 2 2 2 3 4 15 1 1 1 x x x x x x x    �      15 2 1 2 4 2 2 2 x x x   �   16 2 3 1 2 2 3 1 1 1 x x x x x   �     17 4 3 2 2 3 2 0 30 x x x x x      18   3 2 3 3 0 2 x x x x x      19 4 2 2 4 3 0 8 15 x x x x   �   20           3 4 5 2 1 2 3 6 0 7 x x x x x x     �  21   2 42 1 1 x x x x     22 2  2 2 15 1 1 x x x x   �   23   3 2 3 3 0 2 x x x x x      24 2 2 2 0 4 5 x x x   x  

25 22 1 0 4 7 3 x x x  �   26

2 2 5 3 4 x x x x   �  

27

2 3 1

2

x x

   

 

2

x

x

3 4

3 2

0

�

DẠNG III : Hệ bất phương trình

Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình sau

2 2

�

�

�

Giải

Bất phương trình thứ nhất có tập nghiệm là S1= ;1 2; 

3

�� �� �

Bất phương trình thứ hai có tập nghiệm là S2= 3

1;

2

Tập nghiệm của hệ là 1 2 1

1;

3

S S �S  �� ��

1

2

2

12 0

1 0

x x

x

�

�

 

2 2

6 16 0

�

�

3

2

2

x x

�

�

2 2

5 0

x x

�

�

�

5

2

2

�

�

2

12 0

x x x

�  

7

2

2

�

�

2 2 2

x x

�

  �

�

�   

�

9

2

2

2

0 3

2 0

x

x x

�

�   

�

1 1

0 1

x x

x



� 

�

�

11

2

2

1

x

 12

2 2

1

 

13

2

2

 

1 1

0 1

x x

x



� 

�

�

15

2 12 0

x x

x

�  

2 2

6 16 0

�

�

�

17

2

2

x x

�

�

2 2

5 0

x x

�

�

�

19

2

2

�

�

2 2 2

x x

�

  �

�

�   

�

21

2

2

1

x

 22

2 2

1

23

2

2

 

2 2 2

0 3

2 0

x

x x

�

�   

�

25

2

2

4 2

2

3

0 1

2 0

2 0

x

x

x x

� 

�

�  

�

�   �

�

�

DẠNG IV : Tập xác định của hàm số

2 1

x x y

 



  

y

    4 y x25x  14 x 3

2 15

x y



x y





DẠNG V : Tìm tham số m để f(x) luôn dương, âm, không âm, không dương

Đề bài: Cho BPT: ax2  bx c 0 (1) Tìm giá trị

tham số để (1) nghiệm đúng với mọi x

Phương pháp:

● Xét a �0 m? (nếu a chứa tham số)

� xét cụ thể

● Xét a� �0 m?

Khi đó, (1) nghiệm đúng với mọi x

0

? 0

a

m



�

�� � �

Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm

Đề bài: Cho BPT: ax2  �bx c 0 (1) Tìm giá trị tham số để (1) nghiệm đúng với mọi x

Phương pháp:

● Xét a �0 m? (nếu a chứa tham số)

� xét cụ thể

● Xét a� �0 m? Khi đó, (1) nghiệm đúng với mọi x

0

? 0

a

m



�

�� �� � Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm

Đề bài:Cho BPT: ax2  bx c 0 (1) Tìm giá trị

tham số để (1) nghiệm đúng với mọi x

Phương pháp:

● Xét a �0 m? (nếu a chứa tham số)

� xét cụ thể

● Xét a� �0 m?

Khi đó, (1) nghiệm đúng với mọi x

0

? 0

a

m



�

�� � �

Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm

Đề bài:Cho BPT: ax2  �bx c 0 (1) Tìm giá trị tham số để (1) nghiệm đúng với mọi x

Phương pháp:

● Xét a �0 m? (nếu a chứa tham số)

� xét cụ thể

● Xét a� �0 m? Khi đó, (1) nghiệm đúng với mọi x

0

? 0

a

m



�

�� �� � Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm

Ví dụ 1: Với những giá trị nào của m thì đa thức f(x) = (2-m)x 2 - 2x + 1 luôn dương với mọi x thuộc �

Giải

Với m = 2 thì f(x)= -2x+1 lấy cả những giá trị âm Do đó m = 2 không thỏa mãn điều kiện đề bài.

Với m �2, f(x) là tam thức bậc hai với    Do đó:' m 1

0

�

Vậy với m < 1 thì tam thức luôn dương

Bài 1: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương với mọi x

1 x24x m 5 2 x2m2x8m1

x  x m 4 3m1x23m1x m 4

5 m1x22m1x3m 2 6 3x22(m1)x m 4

7 x2(m1)x2m7 8 2x2(m2)x m 4

9 (m2 + 2)x2 – 2(m + 1)x + 1 10 (m + 2)x2 + 2(m + 2)x + m + 3

Bài 2: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm với mọi x

1   2  

m x  m x m 2   2

m x  x

3 2

12 5

5  x2 2m 2x2m2 1 6   2  

m x  m x m 

(2m x) 2(m3)x 1 m

9 - x2 + 2m 2 x – 2m2 – 1 10 (m - 2)x2 - 2(m - 3)x + m – 1

Bài 3 : Tìm các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị x:

1   2  

m  m x  m x �

2

2

8 20

0

2 2

0

5

2

2

1

1

x mx

2 2

1

x mx

x x

  

7

2

2

5

2

x  m x m 

9 2

1 0

mx mx �

11 (2m2 – 3m - 2)x2 + 2(m - 2)x – 1 � 0 12 (m + 4)x2 < 2(mx - m + 3)

13 x22m1x m   ; 5 0 14 m1x22m1x3m � ; 3 0

15 m24m5x22m1x 2 0 16  

2 2

8 20

0

2 2

0

2 2

4 2 4

x x

x

x mx

CHÚ Ý:

◦ ax2  bx c 0 vô nghiệm � ax2  �bx c 0 nghiệm đúng với mọi x

◦ ax2  �bx c 0 vô nghiệm � ax2  bx c 0 nghiệm đúng với mọi x

◦ 2

0

ax   bx c vô nghiệm � 2

0

ax   �bx c nghiệm đúng với mọi x

◦ ax2  �bx c 0 vô nghiệm � ax2  bx c 0 nghiệm đúng với mọi x

Ví dụ: Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau vô nghiệm (m-2)x2+2(m+1)x+2m > 0

Giải

Đặt f(x)=(m-2)x2+2(m+1)x+2m

Để bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi f(x) �0 x ��

Với m = 2 ta có f(x)=6x+4 Khi đó f(x) nhận cả các giá trị dương

Giá trị m=2 không thỏa mãn điều kiện đòi hỏi

Với m�2 ta có:

2

m



� ����

Vậy bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m�3 10

Bài 4: Tìm các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau vô nghiệm

1.x22m2x m  � ; 2 0 2.m1x22m1x3m  2 0

3 (2m2 + m - 6)x2 + 2(m - 3)x – 1 > 0 4 (m + 2)x2 – 2(m-1)x + 4� 0

Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm

1 f x( ) ( m2)x22mx3m>0 2   2  

m x  m x m 

Bài 6: Cho bất phương trình: 2

x  x  � Định m để:m

a Bất phương trình vô nghiệm (m>2)

b Bất phương trình có đúng một nghiệm (m=2)

c Bất phương trình có miền nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1 (m=7

4)

Bài 7 Tìm m hàm số xác định với mọi x

1 y = 1 - m m( 2)x22mx2

2 y = 24 3

x



Bài 8 Cho a1x2 + 2b1x + c1 � 0 với mọi x và a2x2 + 2b2x + c2 � 0 với mọi x Chứng minh:

a1a2x2 + 2b1b2 x + c1c2 � 0 với mọi x

Bài 9 Gọi a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC Chứng minh: x(1 – x)c2 – xa2 + (x – 1)b2 < 0 với mọi x

Bài 9: Định m sao cho: 4x2y22y mx   3 0, x y R, �

Bài 10: Định m sao cho:9x220y24z212xy6xz myz  Với mọi x, y, z không đồng thời bằng 0 không (ĐS: 4 8 3     m 4 8 3)

DẠNG VI : Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình bậc hai có nghiệm đúng với mọi giá trị thuộc khoảng ( đoạn ) cho trước

Ví dụ 1 : Tìm m để bất phương trình: x22m1x m 22m�0 (2) nghiệm đúng với  �x  0;1

Lời giải :

Bất phương trình (2) có tập nghiệm là x x , với 1; 2 x x là hai nghiệm của tam thức1, 2

f x x  m x m  m (vì tam thức luôn có hai nghiệm là m và m+2)

Theo Vi – ét ta có: 1 2  

2

1 2

�

�

Do đó, để bất phương trình (2) nghiệm đúng với  �x  0;1

2

0 1

m

m m

ۣ����

 � �

Vậy, với  � �1 m 0 thì bất phương trình nghiệm đúng  �x  0;1

Ví dụ 2 : Cho bất phương trình:m2x22 4 3  m x 10m � (1).11 0

Tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với x <- 4

Lời giải :

+, Với m – 2 = 0  m = 2, ta được: 4 9 0 9

4

�۳ BPT không nghiệm đúng với x <- 4

+, Với m ≠ 2 , để bất phương trình nghiệm đúng với x <- 4, ta có các trường hợp sau:

- Nếu 2

2

2 0

1(*) 1

6

m m

m m

m



�

 

�

�  �   � �

x R Do đó BPT (1) nghiệm đúng với x <- 4

m

�

�

�  �   � �� �

1, 2 1 2

x x x x Để BPT (1) nghiệm đúng với x <- 4 thì:

 

1 2

3 2

8 4 3

8

2

2 3

2 2

2

m m

m

m m

m m

m

m m

m

�





�

� 

�

�

�



�

Từ (1) và (2) ta có: 1 3

2

m

� (**)

Từ (*) và (**), ta có giá trị m cần tìm là: 3

2

m

Bài tập vận dụng

1 Cho phương trình: m2 x22 1 m x 3m 2 0 (1)

a) Với giá trị nào của m thì PT (1) có đúng một nghiệm thuộc khoảng (-1; 1);

b) Nghiệm lớn của PT(1) thuộc khoảng (-2; 1)

2 Cho phương trình:  m  2  x2     3 x m 1 0 (1)

a) Xác định m để PT(1) có đúng một nghiệm thuộc khoảng (0; 1);

b) Xác định m để PT(1) có nghiệm thuộc khoảng (0; 1);

c) Xác định m để PT(1) có hai nghiệm thuộc khoảng (0; 3);

3 Cho phương trình: x2  m  2  x  5 m   1 0

a) Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm thỏa mãn x � ;4

b) Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1 )

4 Cho tam thức   2

f x x  mx m a) Tìm điều kiện của m để BPT f(x) > 0 nghiệm đúng với x  (1; 2);

b) Tìm điều kiện của m để BPT f(x) > 0 nghiệm đúng với x  [0; 2]

5 Tìm m để BPT 3m2 x22m1 x m  1 0 nghiệm đúng với x  (-1; 3)