TAM THỨC bậc HAI PHẦN 1

ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI - ỨNG DỤNGA.. Xét dấu các biểu thức sau: 1... Lập bảng xét dấu các biểu thức sau: 1... Giải các bất phương trình 1... Tìm giá trị tham số để 1 nghiệm

ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI - ỨNG DỤNG

A KIẾN THỨC CẦN NHƠ:

1/ Định nghĩa tam thức bậc hai:

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax 2 +bx+c trong đó a, b, c là những số cho trước với a ≠ 0

2/ Định lí về dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x)=ax 2 +bx+c (a≠0) Với ∆ =b2−4ac(∆ =' ( )b' 2−ac)

-Nếu ∆<0 (∆ <' 0)thì f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc ¡

-Nếu ∆= 0(∆ =' 0) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x

2

b a

-Nếu ∆>0 (∆ >' 0)thì f(x) có hai nghiệm x1 và x2 (x1<x2) Khi đó f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x nằm

trong khoảng(x1;x2) ( tức là x1 < x < x2) và f(x) cùng dấu với a với mọi x nằm ngoài đoạn [x x ( tức là x <1; 2]

x1 hoặc x < x2).

x −∞ x 1 x 2 −∞

f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

(Trong trái , ngoài cùng)

+ Dựa vào BXD kết luận.

B BÀI TẬP CƠ BẢN:

DẠNG I : Xét dấu của tam thức bậc hai

Ví dụ 1: f(x)= x 2 -x+1>0 ∀ ∈x ¡ vì tam thức f(x) có ∆= - 3 < 0 và a = 1 > 0

Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau:

x -∞ +∞

x 2 -x+1 +

Ví dụ 2: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= -x 2 -2x+3

Giải

Vì a=-1<0 và tam thức f(x) có hai nghiệm x1=-3 ; x2= 1 ( dễ thấy x1 < x2) nên

f(x) < 0 (cùng dấu với a) khi x ∈ −∞ − ∪ +∞( ; 3) (1; ) và f(x) > 0 (trái dấu với a) khi

x ∈ −( 3;1)

Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau:

x -∞ -3 1 +∞

-x 2 -2x+3 0 + 0

-Ví dụ 3: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= x 2 -2x+1

Giải

f(x)= x 2 -2x+1 > 0 ∀ ≠x 1 vì tam thức f(x) có ∆=0 và nghiệm kép x = 1, a = 1 > 0

Có thể ghi kết quả trong bảng xét dấu sau:

x -∞ 1 +∞

x 2 -2x+1 + 0 +

Bài 1 Xét dấu các biểu thức sau:

1 f(x)=−x2 −3x+4 2 f(x)=x2 −4x+4

3 f(x)=x2 −2x+3 4 f(x)=x2 −4

5 f(x)=x2 +2 6 f(x)=−x2 +2x

7 f x( )=x2+ +x 1 8 f(x)=x2−2x−1

Bài 2 Lập bảng xét dấu các biểu thức sau:

1 f(x)= (x - 4)(5x -4x-1) 2 2 2 f x( ) (3= x2−10x+3)(4x−5)

3 f(x)= x (2-x-x )(x+2) 2 2 4

2 2

( )

4 12 9

f x

=

5 ( ) 2 2 1

x

f x

− +

=

2

( )

30

f x

=

DẠNG II : Bất phương trình tích, chứa ẩn ở mẫu

Cách giải:

- Đối với bất phương trình bậc hai ta xét dấu vế trái và dựa vào dấu bất phương trình kết luận nghiệm

- Đối với bất phương trình tích xét dấu các nhân tử rồi nhân các dấu đó lại với nhau, dựa vào dấu của bất phương trình rồi kết luận nghiệm

- Đối với bất phương trình chứa ẩn dưới mẫu ta phải đưa về dạng

( )

( ) 0; ( ) ( ) 0; ( ) ( ) 0; ( ) ( ) 0

  , rồi mới xét dấu vế trái và dựa vào dấu bất phương trình kết

luận nghiệm

1/ - x2 + 2x + 3 < 0

Ta có: - x2 + 2x + 3 = 0 có hai nghiệm x1=-1, x2=3, a=-1<0

Bảng xét dấu:

X - ∞ -1 3 +∞

vt - 0 + 0 -

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S=(−∞ − ∪; 1) (3;+∞)

2/ x 2 + 2x + 1 > 0

Ta có: x 2 + 2x + 1 =0 có nghiệm kép x = -1, a=1>0

Bảng xét dấu:

X - ∞ -1 +∞

vt + 0 +

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S= ¡ \{-1}

3/ - x 2 + 2x – 6 > 0

Ta có: - x 2 + 2x – 6 = 0 vô nghiệm, a=-1<0

Bảng xét dấu:

X - ∞ +∞

vt -

Vậy: bất phương trình vô nghiệm S=∅

4/ 2 22 16 27 2

7 10

Bất phương trình trở thành:

( )

2

Bảng xét dấu

X

-∞ 2 7

2 5 +∞

-2x+7 + | + 0 |

-x 2 -7x+10 + 0 - | - 0 +

vt + || - 0 + || -

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S= 2;7 (5; ) 2   ∪ +∞     5/ (4 - 2x)(x 2 + 7x + 12) < 0 Bảng xét dấu X -∞ -4 -3 2 +∞

4-2x + | + | + 0

-x 2 +7x+12 + 0 - 0 + | +

vt + 0 - 0 + 0 -

Vậy nghiệm của bất phương trình là: S=(− − ∪4; 3) (2;+∞) Bài 1 Giải các bất phương trình 1 (2x + 1)(x2 + x - 30) ≤ 0 2 (x - 3)(x2 + x - 6) > (x - 2)(x2 + 5x + 4) 3 2 2 9 14 0 5 4 x x x − + >x − + 4. 2 2 2 7 7 1 3 10 x x x x − + + <− − − 5 2 2 5 3 4 x x x x + + ≥ − + 6 2 3 1 2 x x x x + − > − − 7 3 47 4 47 3 1 2 1 x x x x − > − − − 8 9 4 2 x x + ≥ + 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 2 1 2 6 0 7 2 x x x x x − + + ≤ − − 10 4 ( 2 )2 4 2 x ≥ x + x+ 11 (− +x2 3x−2) (x2−5x+ ≥6) 0 12

2 3 0 1 2 x x x + + < − 13 1 2 x+ + 2 2 3 2 1 4 3 3 x x x x x x − + > + − + − 14 2 2 2 3 4 15 1 1 1 x x x x x x x − + − ≥ + + − + − 15 2 1 2 4 2 2 2 x x x − + ≤ + + 16 2 3 1 2 2 3 1 1 1 x x x x x + + ≤ + − + + 17 4 3 2 2 3 2 0 30 x x x x x − + > − − 18 ( ) 3 3 2 3 0 2 x x x x x − − + > − 19 4 2 2 4 3 0 8 15 x x x x − + ≥ − + 20 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 5 2 1 2 3 6 0 7 x x x x x x − + − + ≤ − 21 ( ) 2 42 1 1 x x x x + < + + 22 2 ( )2 2 15 1 1 x x x x + + ≤ + + 23 ( ) 3 3 2 3 0 2 x x x x x − − + > − 24 2 2 2 0 4 5 x x x + + <x − −

25 22 1 0 4 7 3 x x x − ≥ − + 26

2 2 5 3 4 x x x x + + ≥ − +

27

2 3 1

2

x x

+ − > −

3 47 4 47

− −

29 9 4

2

x

x

+ 30

0

≤

− −

DẠNG III : Hệ bất phương trình

Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình sau

2 2







Giải

Bất phương trình thứ nhất có tập nghiệm là S1= ;1 (2; )

3

Bất phương trình thứ hai có tập nghiệm là S2= 3

1;

2

Tập nghiệm của hệ là 1 2 1

1;

3

1

2

2

12 0

1 0

x

 − − <





− >

2 2

3 10 3 0

6 16 0





3

2

2

2 1 0

x x

 − − <





2 2

5 0

6 1 0

 + + <







5

2

2





2

12 0

2 1 0

x

 − − <

 − >

7

2

2





2 2 2

4 3 0



− − ≤





9

2

2

2

3 4

0 3

2 0

x



 + − <



2 3

1 1

2 2 4

0 1

x x

x

+

 −





11

2

2

2 7

1

x

+ 12

2 2

1

− +

13

2

2

3 2

− −

2 3

1 1

2 2 4

0 1

x x

x

+

 −





15

2 12 0

2 1 0

x

 − − <

 − >

2 2

3 10 3 0

6 16 0







17

2

2

2 1 0

x x

 − − <





2 2

5 0

6 1 0

 + + <







19

2

2



2 2 2

4 3 0





21

2

2

2 7

1

x

+ 22

2 2

1

23

2

2

3 2

− −

2 2 2

3 4

0 3

2 0

x



 + − <



25

2

2

4 2

2

3

0 1

2 0

2 0

4 5 0

x

x

 + <



 + − ≥





DẠNG IV : Tập xác định của hàm số

y

+ +

=

− − −

y

2 15

x y

−

2 3

x y

−

=

DẠNG V : Tìm tham số m để f(x) luôn dương, âm, không âm, không dương

Đề bài: Cho BPT: ax2+ + >bx c 0 (1) Tìm giá trị

tham số để (1) nghiệm đúng với mọi x

Phương pháp:

● Xét a= ⇔0 m? (nếu a chứa tham số)

⇒xét cụ thể

● Xét a≠ ⇔0 m?

Khi đó, (1) nghiệm đúng với mọi x

0

? 0

a

m

>



⇔∆ < ⇔

Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm

Đề bài: Cho BPT: ax2+ + ≥bx c 0 (1) Tìm giá trị tham số để (1) nghiệm đúng với mọi x

Phương pháp:

● Xét a= ⇔0 m? (nếu a chứa tham số)

⇒xét cụ thể

● Xét a≠ ⇔0 m? Khi đó, (1) nghiệm đúng với mọi x

0

? 0

a

m

>



Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm

Đề bài:Cho BPT: ax2+ + <bx c 0 (1) Tìm giá trị

tham số để (1) nghiệm đúng với mọi x

Phương pháp:

● Xét a= ⇔0 m? (nếu a chứa tham số)

⇒xét cụ thể.

● Xét a≠ ⇔0 m?

Khi đó, (1) nghiệm đúng với mọi x

0

? 0

a

m

<



⇔∆ < ⇔

Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm

Đề bài:Cho BPT: ax2+ + ≤bx c 0 (1) Tìm giá trị tham số để (1) nghiệm đúng với mọi x

Phương pháp:

● Xét a= ⇔0 m? (nếu a chứa tham số)

⇒xét cụ thể.

● Xét a≠ ⇔0 m? Khi đó, (1) nghiệm đúng với mọi x

0

? 0

a

m

<



Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm

Ví dụ 1: Với những giá trị nào của m thì đa thức f(x) = (2-m)x 2 - 2x + 1 luôn dương với mọi x thuộc ¡

Giải

Với m = 2 thì f(x)= -2x+1 lấy cả những giá trị âm Do đó m = 2 không thỏa mãn điều kiện đề bài.

Với m≠2, f(x) là tam thức bậc hai với ∆ = −' m 1 Do đó:

0



Vậy với m < 1 thì tam thức luôn dương

Bài 1: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương với mọi x

1 x2−4x m+ −5 2 x2−(m+2)x+8m+1

3 2 ( )2

x + x+ m− 4 (3m+1)x2−(3m+1)x m+ +4

5 (m−1)x2−2(m+1)x+3(m−2) 6 3x2+2(m−1)x m+ +4

7 x2+(m+1)x+2m+7 8 2x2+(m−2)x m− +4

9 (m2 + 2)x2 – 2(m + 1)x + 1 10 (m + 2)x2 + 2(m + 2)x + m + 3

Bài 2: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm với mọi x

1 ( ) 2 ( )

m− x + m+ x+ m− 2 ( ) 2

m+ x + x−

3 2

12 5

5 − +x2 2m 2x−2m2−1 6 ( ) 2 ( )

m− x − m− x m+ −

(2−m x) +2(m−3)x+ −1 m

9 - x2 + 2m 2 x – 2m2 – 1 10 (m - 2)x2 - 2(m - 3)x + m – 1

Bài 3 : Tìm các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị x:

1 ( ) 2 ( )

m + m− x − m− x+ ≤

2

2

8 20

0

2 2

0

5

2

2

1

1

x mx

2 2

1

x mx

− + −

7

2

2

5

2

x − m+ x m+ >

9 2

1 0

mx −mx− ≤

11 (2m2 – 3m - 2)x2 + 2(m - 2)x – 1 ≤ 0 12 (m + 4)x2 < 2(mx - m + 3)

13 x2+2(m−1)x m+ + >5 0; 14 (m+1)x2−2(m−1)x+3m− ≥3 0;

15 (m2+4m−5)x2−2(m−1)x+ <2 0 16 ( )

2 2

8 20

0

17

2 2

0

2 2

4 2 4

x

x mx

CHÚ Ý:

◦ ax2+ + >bx c 0 vô nghiệm ⇔ ax2+ + ≤bx c 0 nghiệm đúng với mọi x

◦ ax2+ + ≥bx c 0 vô nghiệm ⇔ ax2+ + <bx c 0 nghiệm đúng với mọi x

◦ 2

0

0

◦ ax2+ + ≤bx c 0 vô nghiệm ⇔ ax2+ + >bx c 0 nghiệm đúng với mọi x

Ví dụ: Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau vô nghiệm (m-2)x2+2(m+1)x+2m > 0

Giải

Đặt f(x)=(m-2)x2+2(m+1)x+2m

Để bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi f(x) ≤0 x∀ ∈¡

Với m = 2 ta có f(x)=6x+4 Khi đó f(x) nhận cả các giá trị dương

Giá trị m=2 không thỏa mãn điều kiện đòi hỏi

Với m≠2 ta có:

2

m

<

Vậy bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m≤ −3 10

Bài 4: Tìm các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau vô nghiệm

1.x2+2(m+2)x m− − ≤2 0; 2.(m−1)x2+2(m−1)x+3m− >2 0

3 (2m2 + m - 6)x2 + 2(m - 3)x – 1 > 0 4 (m + 2)x2 – 2(m-1)x + 4≤ 0

Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm

1 f x( ) (= m+2)x2−2mx+3m>0 2 ( ) 2 ( )

Bài 6: Cho bất phương trình: 2

a Bất phương trình vô nghiệm (m>2)

b Bất phương trình có đúng một nghiệm (m=2)

c Bất phương trình có miền nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1 (m=7

4)

Bài 7 Tìm m hàm số xác định với mọi x

1 y = 1 - m m( +2)x2+2mx+2

2 y = 24 3

x

−

Bài 8 Cho a1x2 + 2b1x + c1 ≥ 0 với mọi x và a2x2 + 2b2x + c2 ≥ 0 với mọi x Chứng minh:

a1a2x2 + 2b1b2 x + c1c2 ≥ 0 với mọi x

Bài 9 Gọi a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC Chứng minh: x(1 – x)c2 – xa2 + (x – 1)b2 < 0 với mọi x

Bài 9: Định m sao cho: 4x2+y2+2y mx+ + > ∀3 0, x y R, ∈

Bài 10: Định m sao cho:9x2+20y2+4z2−12xy+6xz myz+ >0 Với mọi x, y, z không đồng thời bằng không (ĐS: 4 8 3− − < < − +m 4 8 3)

DẠNG VI : Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình bậc hai có nghiệm đúng với mọi giá trị thuộc khoảng ( đoạn ) cho trước

Ví dụ 1 : Tìm m để bất phương trình: x2−2(m+1)x m+ 2+2m≤0 (2) nghiệm đúng với ∀ ∈x [ ]0;1

Lời giải :

Bất phương trình (2) có tập nghiệm là [x x , với 1; 2] x x là hai nghiệm của tam thức1, 2

f x =x − m+ x m+ + m (vì tam thức luôn có hai nghiệm là m và m+2)

Theo Vi – ét ta có: 1 2 ( )

2

1 2





Do đó, để bất phương trình (2) nghiệm đúng với ∀ ∈x [ ]0;1

2

0 1

m

m m



− ≤ ≤



Vậy, với − ≤ ≤1 m 0 thì bất phương trình nghiệm đúng ∀ ∈x [ ]0;1

Ví dụ 2 : Cho bất phương trình:(m−2)x2+2 4 3( − m x) +10m− ≤11 0 (1)

Tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với ∀x <- 4

Lời giải :

+, Với m – 2 = 0 ⇔ m = 2, ta được: 4 9 0 9

4

+, Với m ≠ 2 , để bất phương trình nghiệm đúng với ∀x <- 4, ta có các trường hợp sau:

- Nếu 2

2

2 0

1(*) 1

7 6 0

6

m m

m m

m

<



− <

≤







BPT nghiệm đúng với

∀x∈ R Do đó BPT (1) nghiệm đúng với ∀x <- 4

m

  thì tam thức có hai nghiệm giả sử là

1, 2 1 2

x x x <x Để BPT (1) nghiệm đúng với ∀x <- 4 thì:

( )

3 2

8 4 3

8

2

2 3

2 2

2

m m

m

m m

m m

m

m m

m





−

−



>







 <



>



Từ (1) và (2) ta có: 1 3

2

m

≤ < (**)

Từ (*) và (**), ta có giá trị m cần tìm là: 3

2

m<

Bài tập vận dụng

1 Cho phương trình: (m−2) x2−2 1( +m x) +3(m− =2) 0 (1)

a) Với giá trị nào của m thì PT (1) có đúng một nghiệm thuộc khoảng (-1; 1);

b) Nghiệm lớn của PT(1) thuộc khoảng (-2; 1)

2 Cho phương trình: ( m + 2 ) x2 − + − = 3 x m 1 0 (1)

a) Xác định m để PT(1) có đúng một nghiệm thuộc khoảng (0; 1);

b) Xác định m để PT(1) có nghiệm thuộc khoảng (0; 1);

c) Xác định m để PT(1) có hai nghiệm thuộc khoảng (0; 3);

3 Cho phương trình: x2− ( m + 2 ) x + 5 m + = 1 0

a) Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm thỏa mãn x ≥4;

b) Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1 )

4 Cho tam thức f x( ) = x2−2mx+3m−2

a) Tìm điều kiện của m để BPT f(x) > 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ (1; 2);

b) Tìm điều kiện của m để BPT f(x) > 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 2]

5 Tìm m để BPT 3(m−2) x2−2(m+1) x m+ − <1 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ (-1; 3)