SKKN áp dụng quy tắc đếm để giải bài toán tính tổng trong đại số tổ hợp image marked

Để giúp học sinh chủ động và tự tin hơn trong quá trình học và làm bài tâp về dạng toán này, tôi xin đề xuất một phương pháp tính tổng thông qua bài viết : “Áp dụng quy tắc đếm để giải

Mục lục

Mục Trang

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1 Ap dụng quy tắc đếm chứng minh

công thức Van- Đec- Mon 3

2.2 Ap dụng quy tắc đếm để tính tổng 3

2.3 Kết hợp cấp số cộng và công thức Van-Đec-Mon

1 MỞ ĐẦU

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình Đại số và giải tích lớp 11 Đại số tổ hợp là phần kiến thức

cơ sở hết sức quan trọng Phần này không những có tác dụng rèn luyện tư duy trừu tượng cho học sinh mà còn là kiến thức cơ sở cho việc hình thành phẩm chất tư duy trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật và kinh tế sau này

Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: Học sinh gặp nhiều khó khăn, chưa chủ động và thiếu tự tin trong quá trình học Đại số tổ hợp Đặc biệt học sinh gặp khó khăn nhất khi gặp những bài toán tính tổng Loại toán này lại thường xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi và thi đại học Để giúp học sinh chủ động và tự tin hơn trong quá trình học và làm bài tâp về dạng toán này, tôi xin

đề xuất một phương pháp tính tổng thông qua bài viết : “Áp dụng quy tắc đếm

để giải bài toán tính tổng trong đại số tổ hợp ”

MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nhằm giúp học sinh chủ động tự tin hơn trong khi giải bài toán tính tổng trong

các kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi các cấp

Đây là phần kiến thức khó trong khi học sinh kỹ năng tư duy logic chưa tốt, nên cần phải có một phương pháp tính tổng để chuyển một bài toán khó thành một bài toán quen biết và dễ hơn Và thông qua phương pháp này học sinh có thể tự ra đề toán và giải bài toán đó một cách chủ động

ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh lớp 11qua các khóa trực tiếp giảng dạy

Thông qua việc tìm mối quan hệ giữa một tổng cần tính với một bài toán Đếm

và giải bài toán đó bằng hai cách mà trong đó có một cách làm xuất hiện tổng cần tính

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp nghiên cứu là xây dựng cơ sở lý thuyết, thống kê, tổng hợp ,khái quát hóa và đưa ra bài toán tổng quát

2.1 ÁP DỤNG QUY TẮC ĐẾM ĐỂ

CHỨNG MINH CÔNG THỨC VAN-ĐEC-MON

Bài toán : Một lớp học có n nam và m nữ Có bao nhiêu cách chọn k học sinh vào đội cờ đỏ (k n;k m)

Giải bài toán này bằng hai cách

Cách 1: Ta có k cách chọn

n m

C 

Cách 2:

TH1 : Chọn 0 bạn nam và k ban nữ ta có k cách chọn

m

n C

C0

TH2 : Chọn 1 bạn nam và k-1 ban nữ ta có 1 k 1 cách chọn

m

n C C

TH3: Chọn 2 bạn nam và k-2 ban nữ ta có 2 k 2 cách chọn

m

n C C

………

THk: Chọn k bạn nam và 0 ban nữ ta có 0 cách chọn

m

k

n C C

n

k m n

k m n

k m

Từ hai cách giải trên ta có công thức Van Đéc Mon sau

n m m

k n

k m n

k m n

k m

Áp dụng công thức Van- Đec-Mon cho trường hợp n = m = k ta có:

        n

n

n n n

n

C0 2  1 2  2 2  2  2

2.2 ÁP DỤNG QUY TẮC ĐẾM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH TỔNG

Tính tổng sau

n

k m n

k m n

k m

C

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:

Bài toán 1: Một lớp học có n nam và m nữ Có bao nhiêu cách chọn k học

trưởng

Cách 1: Ta có 1 cách chọn

1







k n m

nC

Cách 2:

TH1 : Chọn 1 bạn nam và có 1 cách chọn 1 nam để làm tổ trưởng và k-1 ban nữ

ta có 1 k 1 cách chọn

m

n C

C

TH2: Chọn 2 bạn nam và có 2 cách chọn 1 trong 2 nam để làm tổ trưởng và k-2 ban nữ ta có 2 2 k2cách chọn

m

n C C

………

THk-1: Chọn k bạn nam và có k cách chọn 1 trong k nam để làm tổ trưởng và 0 ban nữ ta có 0 cách chọn

m

k

n C kC

n

k m n

k m

Từ hai cách giải trên ta có 1

1 1







n m

nC S

Tính tổng sau

) (

;

2 2

2 1

1 1

n

i k i

k m

i n

i i i

k m

i n

i i i k m

i

n

i













Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách

Bài toán 2 : Một lớp học có n nam và m nữ Có bao nhiêu cách chọn k học

)

(ik

Cách 1: Ta có k i cách chọn

i n m

i

n C

C  

Cách 2:

TH1 : Chọn i bạn nam và có cách chọn i nam để làm quản lý và k-i bạn nữ i

i

C

trong m bạn nữ , vậy ta có k i cách chọn

m

i n

i

i C C

TH2: Chọn i+1 bạn nam và có i cách chọn i nam để làm quản lý và k-i-1

i

C1

bạn nữ trong m bạn nữ , vậy ta có 1 1 cách chọn

1





 n i m k i

i

i C C C

………

THk-i-1: Chọn k bạn nam và có icách chọn i nam để làm quản lý vậy ta có

k

C

cách chọn

0

m

k

n

i

k C C

C

Theo quy tắc cộng ta có

cách

) (

;

2 2

2 1

1

C C

C

n

i k i

k m

i n

i i i

k m

i n

i i i

k

m

i

n

i













chọn

Từ hai cách giải trên ta có k i

i n m

i

n C C

S2   

Tính tổng sau

) (

;

2 2

2 1

1 1 1

m j k n

j j

i j k i

k m

i n

j i k

i i i

k m

i n

j i k

i i i k m

i n

j

i

k

i





























Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách

Bài toán 3: Một lớp học có n nam và m nữ Có bao nhiêu cách chọn k học

sinh vào đội cờ đỏ (k n;k m)sao cho trong đó có i bạn nam và j bạn nữ

làm quản lý (i jk)

Cách 1: Ta có m k i n j i j cách chọn

j m

i

n C C

C 

Cách 2:

TH1: CóC n i cách chọn i bạn nam trong n bạn nam và có i cách chọn i bạn

i C

nam làm nhiệm vụ quản lý và cóC m ki cách chọn ban nữ trong m bạn nữ và có

cách chọn j bạn nữ làm nhiệm

j

i

k

C 

TH2: CóC n i1 cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có i cách chọn i

i

C1

bạn nam làm nhiệm vụ quản lý và cóC m k i1 cách chọn ban nữ trong m bạn nữ

và có C k ji1 cách chọn j bạn nữ làm nhiệm vụ quản lý Vậy ta có

cách chọn

1 1

1

1   



 k j i n i m k i

i

i C C C

C

………

TH k-i-j+1: CóC n kj cách chọn k-j bạn nam trong n bạn nam và có i

j k

C 

cách chọn i bạn nam làm nhiệm vụ quản lý và cóC m j cách chọn ban nữ trong m bạn nữ và có C j j cách chọn j bạn nữ làm nhiệm vụ quản lý Vậy ta có

cách chọn

j m

j

k

n

j

j

i

j

k C C C



Theo quy tắc cộng ta có

) (

;

2 2

2 1

1 1

C C

C

C

m j k n

j j

i j k i

k m

i n

j i k

i i i

k m

i n

j i k

i i i k

m

i

n

j

i

k

i





























cách chọn

Từ hai cách giải trên ta có: m k i n j i j

j m

i

n C C C

S3  

Tính tổng sau

3 2 2 2 2

n k

k m n

k m

C A

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:

Bài toán 4: Một lớp học có n nam và m nữ Có bao nhiêu cách chọn k học

trưởng và có một bạn nam làm đội phó.

Cách 1: Ta có A n2C m k2n2 cách chọn

Cách 2:

TH1: CóC n2 cách chọn 2 bạn nam trong n bạn nam và có 2 cách chọn một

2

A

nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có C m k2 cách chọn ban nữ vậy ta có 2 2 2 cách chọn

2



k m

n C C A

TH2: CóC n3 cách chọn 3 bạn nam trong n bạn nam và có 2 cách chọn một

3

A

nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có C m k3 cách chọn ban nữ vậy ta có 2 3 3 cách chọn

3



k m

n C C A

………

TH k-1: CóC n k cách chọn k bạn nam trong n bạn nam và có 2cách chọn một

k A

nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó vậy ta có 2 0 cách chọn

m

k n

k C C A

3 2 2 2

n k

k m n

k m

C

Từ hai cách giải trên ta có : 4  2 k22

n m

n C A S

Tính tổng sau

0 2

2 2 1

1 1

n

i k i

k m

i n

i i i

k m

i n

i i i k m

i

n

i

A













Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:

Bài toán 5: Một lớp học có n nam và m nữ Có bao nhiêu cách chọn n học

Cách 1: Ta có A n i C m ki ni cách chọn

Cách 2:

TH1: CóC n i cách chọn i bạn nam trong n bạn nam và có i cách chọn mỗi

i A

bạn nam để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau và có cách chọn ban nữ trong m bạn nữ

i

k

m

C 

m

i n

i

i C C

TH2: CóC n i1 cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có i cách chọn

i

A1

mỗi bạn nam để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau

và cóC m k i1 cách chọn ban nữ trong m bạn nữ vậy ta có 1 1cách chọn

1  

 n i m k i

i

i C C A

………

TH k-j+1: CóC n k cách chọn k bạn nam trong n bạn nam và có i cách chọn

k A

mỗi bạn nam để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau

và cóC m0 cách chọn ban nữ trong m bạn nữ vậy ta có 0 cách chọn

m

k n

i

k C C A

Theo quy tắc cộng ta có

cách chọn 0

2 2

2 1

1

n

i k i

k m

i n

i i i

k m

i n

i i i

k

m

i

n

i













Từ hai cách giải trên ta có : m k i n i

i

n C A

S5   

Tính tổng sau

j m j k n

j j

i j k i

k m

i n

j i k

i i i

k m

i n

j i k

i i i k m

i n

j

i k

i

A

2 2

1 1

1 1 6

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:

Bài toán 6: Một lớp học có n nam và m nữ Có bao nhiêu cách chọn k học

sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có i bạn nam, mỗi bạn nam nhận một

nhiệm vụ trong i nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nam và có j bạn

nữ , mỗi bạn nữ nhận một nhiệm vụ trong j nhiệm vụ khác nhau để quản

lý các bạn nữ (i j k;k  n;k m)

Cách 1: Ta có m k i n j i j cách chọn

j n

i

n A C

A  

Cách 2:

TH1: CóC n i cách chọn i bạn nam trong n bạn nam và có i cách chọn mỗi

i A

bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác nhau quản lý các

bạn nam và cóC m ki cách chọn ban nữ trong m bạn nữ và có j cách chọn

i k

A 

mỗi bạn nữ để làm một nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác nhau quản lý

m

i n

j i k

i

i A C C



TH2: : CóC n i1 cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có i cách chọn

i

A1

mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác nhau quản lý

các bạn nam và cóC m k i1 cách chọn ban nữ trong m bạn nữ và có j cách

i k

A 1

chọn mỗi bạn nữ để làm một nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác nhau

1

1  



 k j i n i m k i

i

i A C C A

TH k-i-j+1: CóC n kj cách chọn k-j bạn nam trong n bạn nam và có i

j k

A 

cách chọn mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác

nhau để quản lý các bạn nam và cóC m j cách chọn ban nữ trong m bạn nữ và có cách chọn mỗi bạn nữ để làm một nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác

j

j

A

nhau để quản lý các bạn nữ Vậy ta có j cách chọn

m j k n

j j

i j

k A C C



Theo quy tắc cộng ta có

j m j k n

j j

i j k i

k m

i n

j i k

i i i

k m

i n

j i k

i i i k m

i

n

j

i

k

i

2 2

1 1 1 1 cách chọn

Từ hai cách giải trên ta có : m k i n j i j

j m

i

n A C A

S6  

n n

C

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:

Bài toán 7: Một lớp học có n nam và n nữ Có bao nhiêu cách chọn n học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có 1 bạn nam làm đội trưởng

Cách 1: Ta có 1 cách chọn

1 2





n n

nC

Cách 2:

TH 1 : Chọn 1 bạn nam và có 1 cách chọn 1 nam để làm tổ trưởng và n 1 cách

n

C

chọn n-1 ban nữ, vậy ta có 1 1  1 2 cách chọn

n

n n

n C C

TH 2: Chọn 2 bạn nam và có 2 cách chọn 1 trong 2 nam để làm tổ trưởng và có

1



n

n

2

n

n C C

………

TH n: Chọn n bạn nam và có n cách chọn 1 trong n nam để làm tổ trưởng và 0 ban nữ ta có 0  n 2cách chọn

n n

n

n C n C

Theo quy tắc cộng ta có    1 2 2 2  2 cách chọn

n n

Từ hai cách giải trên ta có: 1

1 2 7





n

nC S

Tính tổng sau    1 2  2

1

2

n

k n

k n

k k

k n

k

C



Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:

Bài toán 8: Một lớp học có n nam và n nữ Có bao nhiêu cách chọn n học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có k bạn nam làm nhiệm vụ quản lý đội (k  n)

Cách 1: Ta có n k cách chọn

k n

k

n C

 2

Cách 2:

TH 1 : Chọn k bạn nam và có k cách chọn k nam để làm quản lý và cách

k

n

C 

chọn n-k ban nữ, vậy ta có  k 2 cách chọn

n

k k k n n

k n

k

k C C C C

TH 2: Chọn k+1 bạn nam và có k cách chọn k nam để làm quản lý và

k

n

C

1 1 1 1











n

k k k n n

k n

k

k C C C C C

………

TH n-k+1: Chọn n bạn nam và có k cách chọn k trong n nam để làm quản lý

n

C

và 0 ban nữ ta có 0  n 2cách chọn

n

k n n

n n

k

n C C C C

Theo quy tắc cộng ta có    1 2  2 cách chọn

1

2

n

n

k n

k n

k k

k n

k



Từ hai cách giải trên ta có: S8  n k

k n

k

n C

 2

1 1

2

n

j j

i j n

i n

j i n

i i

i n

j i n

i

C

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:

Bài toán 9: Một lớp học có n nam và n nữ Có bao nhiêu cách chọn n học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có i bạn nam và j bạn nữ làm nhiệm vụ quản lý đội (i j  n)

Cách 1: Ta có n i j cách chọn

j i n

J n

i

n C C

Cách 2:

TH 1 : Chọn i bạn nam và có cách chọn i nam để làm quản lý vài cách

i

n

C 

chọn n-i ban nữ và có j cách chọn j nữ để làm quản lý vậy ta có

i n

C 

cách chọn

 i 2

n

j j

i j n i

n

n

i

n

j

i

n

i

i C C C C C C

TH 2 : Chọn i+1bạn nam và có i cách chọn i nam để làm quản lý và

i

n

C

cách chọn n-i-1 ban nữ và có j cách chọn j nữ để làm quản lý vậy ta có

i n

C 1

cách chọn

 1 2 1 1 1 1

1

1



















n

j i n

i i i n n

i

n

j

i

n

i

i C C C C C C

C

………

TH n-k-j +1: Chọn n-j bạn nam và có i cách chọn i nam để làm quản lý và có

j n

C 

cách chọn j ban nữ và có cách chọn j nữ để làm quản lý vậy ta có

j

n

j

C

cách chọn

 n j 2

n

j j

i j n

j n j

n

n

j

j

i

j

n C C C C C C

1 1

2

n j

n

j j

i j n

i n

j i n

i i

i n

j j

i j

chọn

Từ hai cách giải trên ta có: n i j

j i n

J n

i

n C C C





9

Tính tổng sau

  2 3 2 2 2

3

2 2 2 2

n n n

C A

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:

Bài toán 10: Một lớp học có n nam và n nữ Có bao nhiêu cách chọn n học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có một bạn nam làm đội trưởng và có một bạn nam làm đội phó.

Cách 1: Ta có A n2C2n n22 cách chọn

Cách 2:

TH1: CóC n2 cách chọn 2 bạn nam trong n bạn nam và có 2 cách chọn một

2

A

nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có C n n2 cách chọn ban nữ vậy ta có 2 2 2cách chọn

2 C n

A

TH2: CóC n3 cách chọn 3 bạn nam trong n bạn nam và có 2 cách chọn một

3

A

nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có C n n3 cách chọn ban nữ vậy ta có 2 3 2cách chọn

3 C n

A

………

TH k-1: CóC n n cách chọn n bạn nam trong n bạn nam và có 2cách chọn một

n A

nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có C n0 cách chọn ban nữ vậy ta có 2 n 2cách chọn

n

n C

A

Theo quy tắc cộng ta có   2 3 2 2 2cách chọn

3 2 2 2

n n n

C

Từ hai cách giải trên ta có : 10  2 2n22

n

n C A S

Tính tổng sau

   1 2  2

1

2

n

i n

i n

i i

i n

i

A



Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:

Bài toán 11: Một lớp học có n nam và n nữ Có bao nhiêu cách chọn n học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có i bạn nam mỗi bạn nhận một nhiệm

Cách 1: Ta có A n i C2n ni i cách chọn

Cách 2:

TH1: CóC n i cách chọn i bạn nam trong n bạn nam và có i cách chọn mỗi bạn

i A

nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau và có cách chọn ban nữ trong n bạn nữ

i

n

n

C 

Vậy ta có  i 2cách chọn

n

i

i C A

TH1: CóC n i1 cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có i cách chọn

i

A1

mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau

và cóC n n i1 cách chọn ban nữ trong n bạn nữ Vậy ta có  1 2cách chọn

1



 n i

i

i C A

TH n-i+1: CóC n n cách chọn n bạn nam trong n bạn nam và có i cách chọn

n A

mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau

và cóC n0 cách chọn ban nữ trong n bạn nữ Vậy ta có  n 2cách chọn

n

i

n C A

Theo quy tắc cộng ta có    1 2  2cách chọn

1

2

n

n

i n

i n

i i

i n

i



Từ hai cách giải trên ta có : S11  A n i C2n ni i

Tính tổng sau

1 1

2

n

j j

i j n

i n

j i n

i i

i n

j i n

i

A













Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:

Bài toán 12: Một lớp học có n nam và n nữ Có bao nhiêu cách chọn n học sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có i bạn nam, mỗi bạn nam nhận một nhiệm vụ trong i nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nam và có j bạn

nữ , mỗi bạn nữ nhận một nhiệm vụ trong j nhiệm vụ khác nhau để quản

lý các bạn nữ (i j n)

Cách 1: Ta có n n i i j j cách chọn

j n

i

n A C

A 2

Cách 2:

TH1: CóC n i cách chọn i bạn nam trong n bạn nam và có i cách chọn mỗi

i A

bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nam và cóC n ni cách chọn ban nữ trong n bạn nữ và có j cách chọn

i n

A 

mỗi bạn nữ để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nữ Vậy ta có  i 2

n

j i n

i

i A C

TH2: : CóC n i1 cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có i cách chọn

i

A1

mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác nhau để quản

lý các bạn nam và cóC n n i1 cách chọn ban nữ trong n bạn nữ và có j

i n

A 1

cách chọn mỗi bạn nữ để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác nhau

để quản lý các bạn nữ Vậy ta có  1 2 cách chọn

1 1







 n j i n i

i

i A C A