Tính tổng dãy số viết theo quy luật PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN THƯỜNG TÍN TRƯỜNG THCS VĂN TỰ ĐỀ TÀI Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2008-2009 Tác giả :Doãn Thị Thanh Bình Chức vụ :Giáo v
Trang 1Tính tổng dãy số viết theo quy luật
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN THƯỜNG TÍN
TRƯỜNG THCS VĂN TỰ
ĐỀ TÀI
Sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2008-2009
Tác giả :Doãn Thị Thanh Bình
Chức vụ :Giáo viên Môn đào tạo:Toán tin Đơn vị công tác :Trường THCS Văn Tự
Thuộc :Phòng giáo dục Thường Tín-TP Hà nội
ĐỀ TÀI THUỘC LĨNH VỰC :MÔN TOÁN
Trang 2Phần I:Sơ yếu lý lịch
Họ tên:Doãn Thị Thanh Bình
Ngày,tháng ,năm, sinh: 26-06-1975
Năm vào ngành: 1997
Trình độ chuyên môn : Đại học
Hệ đào tạo :Tại chức
Bộ môn giảng dạy: Toán
Trang 3
Tớnh tổng dóy số viết theo quy luật
Phần II:Nội dung của đề tài
A.Tờn đề tài
Tớnh tổng dóy số viết theo quy luật
B Lý do chọn đề tài
Theo nghị quuyết của Đảng mục tiờu giỏo dục là :Nõng cao dõn trớ đào tạo nhõn lực bồi dưỡng nhõn tài vấn đề bồi dưỡng nhõn lực là vấn đề thiết thực đặt ra trong hoàn cảnh cỏch mạng của đỏt nước ta hiện nay
Là một giỏo viờn khi được phõn cụng dạy toỏn lớp 6 Trong chơng trình Toán lớp 6 sau khi học các phép tính về luỹ thừa với số mũ tự nhiên các em đợc làm quen với nhiều bài toán tính tổng của các dãy số theo quy luật mà nếu tính toán trực tiếp là không đơn giản Khi gặp những loại bài tập này học sinh thờng lúng túng cha xác
định đợc phơng pháp giải.
Đợc phân công dạy bồi dỡng Toán 6 khi dạy về các bài toán dạng này tôi đã hớng dẫn học sinh đi từ các bài toán cụ thể để nêu thành các bài toán tổng quát và phân tích cách định hớng cho học sinh giải các bài tập dạng này.
với đối tượng học sinh,vừa phỏt huy được khả năng tư duy, trớ tuệ của học sinh vựa đỏp ứng được yờu cầu bồi dưỡng học sinh giỏi
Đú là lý do tụi chọn đề tài này
Phạm vi của đề tài
Đề tài này tụi thực hiện với học sinh lớp 6a trường THCS Văn tự,năm học 2008-2009
C Qỳa trỡnh thực hiện
1.Khảo sỏt thực tiễn
Khi chưa thực hiện đề tài này ,thỡ hầu hết cỏc em làm bài tập rất lỳng tỳng,thời gian lam mất nhiều,qua nhiều bước mới dẫn đến kết quả nhiều em cũn sử dụng biện phỏp quy đồng mấuố hoặc nhúm cỏc số hạng với nhau để giải…Để thực hiện đề tài này tụi
đó tiến hành khảo sỏt năng lực của học sinh thụng qua một số bài kiểm tra kết quả như sau
Lớp cú 36 em trong đú
Giỏi 5 em
Khỏ 10 em
Trang 4Trung bình 13 em
Yếu 8 em
Thông qua kết quả khảo sát tôi đã suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những yêu cầu trong quá trình giải những bài toán về tính tổng dãy số viết theo quy luật.Tôi mạnh dạn nêu ra một số biện pháp để được cùng các đồng nghiệp trao đổi và đóng góp ý kiến, để áp dụng vào thực tế giảng dạy
2.Một số biện pháp
Cho học sinh tiếp cận và chứng minh công thức tổng quát từ những bài toán đơn giản
Bài toán 1
Chứng tỏ rằng:
) 1 (
1 1
1
1
3
.
2
1
3
1
2
1
;
2
.
1
1
2
1
1
n n
n
n
Biến đổi vế trái =vế phải Qúa trình dạy học như sau
Giải ; Quy đồng mẫu số các phân số ở vế trái
) 1 (
1 1
1
1
3 2
1 3
.
2
2
3
3
1
2
1
2 1
1 2
.
1
1
2
2
1
1
n n
n n
n
n
Từ bài toán trên ta có dạng tổng quát sau
Nếu n+1-n=1 Thì
1
1 1 ) 1 (
1
n
Nhận xét:
Phương pháp giải loại toán này là viết mỗi số hạng thành một hiệu của hai phân số
Số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau rồi khử liên tiếp còn lại số hạng đầu tiên trừ đi số hạng cuối cùng.Lúc đó ta thực hiện dễ dàng
Ví dụ1:Tính tổng sau
Trang 5Tính tổng dãy số viết theo quy luật
4 3
1
23
1
2
.
1
1
n
) 2 (
2
7 5
2 5
.
3
2
3
.
1
2
n n
B
với n=1,3,5,7…
C=
) 3 (
3
10 7
3 7
.
4
3
4
.
1
3
n
11 9
4 9
.
5
4
5
.
1
4
n
Bài giải: Cả bốn câu trên ta đều vận dụng công thức của bài toán ta giải như sau A=
1
1 1
4
1 3
1 3
1 2
1
2
1
1
1
n n
1 1
1 1 1
1
1
n
n n
n n
A
B=1-2
1 1
7
1 5
1 5
1
3
1
3
1
n n
B=1-2
1 2
1 2 2
1
n n
n
n
C=1-3
1 1
10
1 7
1 7
1
4
1
4
1
n n
C=1-3
2 3
1 3 3
1
n n
n
n
D=1-4
1 1
13
1 9
1 9
1
5
1
5
1
n n
4
1
3 4
1 4
n
n n
n
Ví dụ 2 Tính tổng
7 5
1 5
.
3
1
3
.
1
1
n n
Ta nhận thấy với ví dụ này hai thừa số ở mẫu mỗi phân số hơn kém nhau hai đơn vị
mà tử là 1 đơn vị vậy giải quyết như thế nào?Trong quá trình giảng dạy cho học sinh được thực hiện như sau
Ta nhân cả hai vế của Evới 2 ta được
2E=
) 2 (
2
7 5
2 5
.
3
2
3
.
1
2
n n
Trang 6Theo câu A ở ví dụ 1 ta có
2E=
2
1
n
n
E=
)
2
.(
2
1
n
n
F=
162 158
7
102 98
7 98 94
7 94
.
90
7
Bài toán cho ta thấy các phân số đều có tử là 7 và mẫu số là tích của các thừa số hơn kém nhau là 4 đơn vị.Thừa số thứ hai ở mẫu phân số trước chính là thừa số thứ nhất của phân số sau liền kề với nóVậy ta giải quyết bài này như thế nào để đưa về dạng tổng quát
Ta lần lượt giải quyết như sau
Ta nhân cả tử và mẫu của các phân số với
7
4
rồi sau đó đưa phân số
4
7
ra ngoài ngoặc ta được
162 158
4
102 98
4 98
94
4 94
.
90
4
.(
4
7
810
7 810
4 4
7 ) 162
1 90
1
.(
4
7
) 162 158
1
102
1 98
1 98
1 94
1 94
1 90
1
.(
4
7
F
F
F=
810
7
Bµi to¸n 2:
TÝnh tæng: G= 3 + 32 + 33 + 34……… +32008
Lêi gi¶i:
3G = 32 + 33 + 34 +35……… +32009
2G = 3G – G = (32 + 33 + 34 +35……… +32009) – (3 + 32 + 33 + 34……… +32008) = 32009 – 3
G=
2
3
3 2009
Ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n 1 thµnh bµi to¸n sau:
TÝnh tæng:
G= a + a2 + a3 + a4…… +an (víi mäi a vµ n lµ sè nguyªn d¬ng a 1)
Lêi gi¶i:
aG = a2 + a3 + a4 +a5……… +an
Trang 7Tớnh tổng dóy số viết theo quy luật
(a-1)G = aG – G = (a2 + a3 + a4 +a5……… +an+1) –( a + a2 + a3 + a4……… +an) = an+1 – a
G=
1
1
a
a
a n
Bài toán 3:
Tính tổng
H = 2 3 2008
5
1
5
1 5
1 5
1
Ta có thể tính tổng H theo bài toán 2 bằng cách đặt a
5
1 thì
H = a + a2 + a3 + a4…… +a2008
Tuy vậy ta còn có cách khác phù hợp hơn:
5
1
5
1 5
1 5
1
1
5
1
5
1 5
1 5
1
1 ) –( 2 3 2008
5
1
5
1 5
1 5
1
= 1- 2008
5
1
= 20082008
5
1
5
H = 2008
2008
5 4
1
5
Ta có thể tổng quát bài toán 3 thành bài toán sau:
Tính tổng
a a
a a
1
1 1 1
3
Bài giải:
a.H= 1 1 12 13 1a1
a a
a a
(a-1)H = aH – H = (1 1 12 13 1a1
a a
a
1
1 1 1
3
=1- n
a
1
n
a
H = n
n
a a
a
) 1 (
1
Từ kết quả của bài toán 3 ta có thể khai thác dới một dạng khác nh sau:
Bài toán 4:
a Chứng minh rằng:
Trang 8I = 2 3 2008
5
1
5
1 5
1 5
1
4 1
Từ bài toán 3 ta có:
4.I = 1- 2008
5
1
< 1 I <
4 1
b Chứng minh rằng:
3
2008
3
3 3
2 3
1
4 3
Đây là một bài toán khó hơn với lời giải nh sau:
3
2008
3
3 3
2
1
3
2008
3
3 3
2
3
2008
3
3 3
2 3
1
3
2008 3
1
3
1 3
1 3
1
1
3
1
3
1 3
1 3
1
3
1
3
1 3
1 3
1
3
1
3
1 3
1
1
3
1
3
1 3
1
3
1
3
1 3
1 3
1
= 2007
3
1
L <
2 1
Từ (*) ta có: 2K< 1+L < 1+
2
1 = 2 3
I <
4 3
Ta có thể dễ dàng chứng minh đợc các bài toán tổng quát sau:
Chứng minh: Với mọi a, n là các số nguyên dơng a 1 thì:
a a
a a
1
1 1 1
3
1
1
a
a
n a
a
a
3 2 1
3
1
a
Trang 9Tớnh tổng dóy số viết theo quy luật
Bài toán 5:
Tính tổng: M= 1.2 +2.3 + 3.4 + ……… + 99.100.
3M = 1.2 (3-0) + 2.3(4-1) + 3.4(5-2) + ……… + 99.100( 101 -98)
= 1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + …… + 99.100.101 – 98.99.100
= 99.100.101.
3
101 100
.
99
Hớng dẫn: 3n(n+1) = n(n+1) (n 2 ) (n 1 ) =n(n+1)(n+2) – (n-1) n (n+1)
Ta tổng quát thành bài toán sau:
Tính tổng:
M,= 1.2 +2.3 + 3.4 + ……… + n(n+1) Với n là số nguyên d ơng Với cách làm tơng tự ta có:
3M,=1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + ………… + n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1)
=n(n+1)(n+2).
M,=
3
) 2 )(
1 (n n
n
Từ bài toán tổng quát này ta có thể đề xuất thêm 2 bài toán tính tổng sau:
a 12 + 22 + 32 + ………… + n2
Lời giải:
Câu a:
Nhận xét: n2 = n(n+1) – n
12+ 22 + 32 + ………… +n2 =
=1.2 – 1 + 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + ……… + n(n+1) – n
= 1.2 +2.3 + 3.4 + ……… + n(n+1) – ( 1 +2 +3 + ……… +n)
=
2
) 1 ( 3
) 2 )(
1
n n n
n
n
=
6
) 1 2 )(
1
(n n
n
Câu b:
Nhận xét: n(n+3) = n(n+1) + 2n
=1.2 +2.1 +2.3 +2.2 + 3.4 +2.3+ ……… n(n+1) +2n
Trang 103
) 2 )(
1
(n n
n
+
2
) 1 (
2n n
=
3
) 5 )(
1
(n n
n
Bài toán 6
a.Tính tổng N=1.99+2.98+3.97+…+97.3+98.2+99.1
Giải:
Để giải bài toán này nhanh gọn ta biến đổi về dạng bài toán 5
N=1.99+2.(99-1)+3.(99-2)+…+98.(99-97)+99.(99-98)
N=(1.99+2.99+3.99+…+98.99+99.99)-(1.2+2.3+…+97.98+98.99)
N=99.(1+2+3+…+98+99) - M (Bài toán 5)
N=99
2
100 99
-6
101 100 99 3
100 99 98
b.Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị bằng 1
P=
1 98 2 97
96 3 97 2 98 1
) 98 97
3 2 1 (
) 3 2 1 ( ) 2 1
(
1
Ta thấy số bị chia gồm 98 tổng và số 1 có mặt ở 98 tổng ,số 2 có mặt ở 97 tổng ,,,,số
97 có mặt ở 2 tổng ,số 98 có mặt ở 1 tổng
Giải:
P=
1 98 2 97
96 3 97 2 98
.
1
1 98 2 97
96 3 97 2 98
.
1
=1 Vậy P=1
Ta rút ra dạng tổng quát
1.n+2.(n-1)+3.(n-2)+…+(n-1).2+n.1=
6
) 2 )(
1 (n n
n
Bµi to¸n 7
a,Tính tổng
Q=
39 38 37
1
5 4 3
1 4 3 2
1 3
.
2
.
1
1
Qua bài toán trên ta thấy mẫu số của các phân số là tích của nhiều số tự nhiên liên tiếp thì bài toán được giải quyết như thế nào?Trong quá trình giảng dạy cho học sinh được giải như sau
Cách 1
Trang 11Tính tổng dãy số viết theo quy luật
Ta xét:
3 2 1
2 3 2 1
1 3 3 2
1 2
1
1
4 3 2
2 4
3
1 3
.
2
1
……
39 38 37
2 39
38
1 38
.
37
1
Tổng quát
1 )
2 )(
1 (
2
n n n
n
1
n n
Vậy nhân cả hai vế của Q với 2 ta có
2Q=
39 38 37
2
5 4 3
2 4 3 2
2 3
.
2
.
1
2
2Q=
39 38
1 38 37
1
4 3
1 3 2
1 3 2
1 2
.
1
1
2Q=
741
370 39
38
740 39
38
1 2
.
1
1
Q=
741
185
Cách 2
3 2
1 2
1 (
2
1 3 2 1
1
) 39 38
1 38 37
1
5 4
1 4 3
1 4 3
1 3 2
1 3 2
1 2
1
.(
2
1
Q
741
185
741
185 2964
740 1482
740
.
2
1
) 1482
1 2
1 ( 2
1 ) 39 38
1 2
1
.(
2
1
Q
Q
Q
b,TÝnh tæng
R=
30 29 28 27
1
6 5 4 3
1 5
4 3 2
1 4
3
.
2
.
1
1
30 29 28
1 29
28 27
1
5 4 3
1 4 3 2
1 4 3 2
1 3 2 1
1 (
3
1
Trang 1224360
4059 3
1 ) 30 29 28
1 3
2
.
1
1
.(
3
1
R=
8120
451 24360
1353
Ta có thể tổng quát bài toán 7 nh sau
) 2 ).(
1 (
1 2
1 ) 1 ).(
1 (
1
4 3
2
1 3
.
2
.
1
1
n n
n n
n
3.Một số kết quả
Khi chưa thực hiện đề tài này tụi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp phảy bài toỏn về tớnh tổng dóy số viết theo quy luật thụng thường chỉ cỏc em chỉ biết biến đổi ở dạng quy đồng hoặc bằng phương phỏp thụng thường để giải bài tập
Cú nhiều bài toỏn khi thực hiện biến đổi cũn dài cú khi cũn khụng đạt được mục đớch.Nhiều khi bài giảng cũn khụng sỏng sủa và khụng đa dạng phong phỳ vỡ vậy kết quả thu được chưa cao
Qua thời gian thực hiện đề tài bằng cách hệ thống, phân loại và nêu dạng tổng quát từ những ví dụ cụ thể học sinh đã dễ dàng tiếp thu một cách tích cực sáng tạo, gây đợc sự hứng thú cho học sinh
Với các định hớng trên trong khi giải các bài tập thì trong các buổi luyện tập,
ôn tập các vấn đề nêu trên hoặc làm các bài thi tơng tự tôi thấy học sinh định dạng
và giải các bài tập tốt hơn.
Lớp cú 36 học sinh
Trong đú 22 em đạt điểm 8 trở lờn
9 em đạt điểm khỏ
5 em đạt điểm trung bỡnh
Khụng cú điểm dưới 5
Sau khi thực hiện song đề tài tụi nhận thấy cỏc em giải bài toỏn tớnh tổng dóy số viết theo quy luật nhanh hơn chủ động hơn và tự tin hơn Do cú cỏc phương phỏp hợp lý tạo cho cỏc em giải được cỏc bài tập dễ dàng hơn cho nờn cỏc em rất hứng thỳ trong học tập tỡm thấy ở đú những con số kớ hiệu mà cỏc em muốn tỡm tũi hiểu biết
D.Bài học kinh nghiệm
Trang 13Tớnh tổng dóy số viết theo quy luật
1.Phải nghiờn cứu kĩ bài dạy để hiểu sõu nội dung và trọng tõm của vấn đề cần
truyền thụ cho học sinh.Cần cố gắng tỡm tũi cỏc phương phỏp phự hợp với từng bài dạy,với từng bài toỏn
2.Trong quỏ trỡnh dạy toỏn cho hoc sinh phải đặc biệt coi trọng phần củng cố ,khắc
sõu lý thuyết cơ bản.Trong quỏ trỡnh bồi dưỡng học sinh giỏi, người giỏo viờn phải biết kết hơp Cỏc dạng toỏn để cú những bài toỏn hay hơn,phong phỳ hơn.Co như vậy thỡ học sinh mới giải quyết được cỏc bài toỏn cơ bản,tạo nền múng để giải quyết cỏc bài toỏn nõng cao,từ đú phỏt huy trớ lực của học sinh
3.Điều quan trọng nhất là người dạy phải thường xuyờn học hỏi ,sưu tầm tớch lũy qua
sỏch vở,tài liệu,ở đồng chớ ,đồng nghiệp để khụng ngừng vươn lờn,tư Nõng cao trớ thức,tự hoàn thiện mỡnh.Cú như vậy mới đỏp ứng được yờu cầu của sự nghiệp giỏo dục đào tạo
bài toán tính tổng dóy số viết theo quy luật.
Rất mong đợc sự trao đổi, góp ý của đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn!
Văn Tự, ngày 28 tháng 4 năm 2009
Tỏc giả
Doón Thị Thanh Bỡnh
Trang 14Ý kiến đánh giá của hội đồng khoa học cơ sở
………
………
………
………
Ý kiến đánh giá của hội đồng khoa học huyện ………
………
………
………
………