Cơ sở GRoBNER trong vành đa thức

Định nghĩa 1.1.1: Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức nêu trên có thể kiểm tra tập tất cả đa thức lập thành vành giao hoán có phần tử đơn vị là đa thức 1.. Sau khi định nghĩa

Đỗ Thị Phương Thanh

CƠ SỞ GRöBNER TRONG VÀNH ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014

Đỗ Thị Phương Thanh

CƠ SỞ GRöBNER TRONG VÀNH ĐA THỨC

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRẦN HUYÊN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014

Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự giúp đỡ của nhiều thầy

cô giáo, gia đình và bạn bè.

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Huyên, người thầy đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt cho tôi những kiến thức và kinh nghiệm quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền thụ kiến thức cho tôi trong quá trình học tập tại trường.

Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè, những người đã luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.

TP Hồ Chí Minh – Tháng 9 năm 2014

Đỗ Thị Phương Thanh.

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Bảng kí hiệu

Lời nói đầu 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

§1: VÀNH ĐA THỨC 3

§2: MODULE 10

Chương 2 CƠ SỞ GRöBNER 13

§1: IDEAL ĐƠN THỨC 13

§2: IDEAL KHỞI ĐẦU 23

§3: CƠ SỞ GRöBNER 30

§4: VAI TRÒ CỦA CƠ SỞ GRöBNER TRONG VIỆC XÁC ĐỊNH PHẦN TỬ CỦA IDEAL 34

§5: THUẬT TOÁN BUCHBERGER 39

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 49

K (x) Vành đa thức nhiều biến

Lời nói đầu

Một trong các bài toán quan trọng trong vành đa thức R = K [ x1 , , xn] là: Cho

f ∈ R và I = f1, , f s R, xác định xem f có thuộc I hay không? Điều đó

đòi hỏi f phải biểu diễn được dưới dạng f=q f+ +q f. Để có biểu diễn

này, một cách tự nhiên, ta lấy f chia cho f1, , f s Đối với vành một biến thì R là

vành chính nên ideal I sẽ là ideal chính, theo định lí chia đa thức một biến thì đa

thức dư là duy nhất Tuy nhiên, khi mở rộng lên vành đa thức nhiều biến, khi

chia theo những cách khác nhau thì đa thức dư cũng khác nhau, hơn nữa một đa

Vấn đề đặt ra là liệu có một hệ sinh g1, , g t của I mà khi chia f cho g1, , g t theo bất kỳ thuật toán nào thì đa thức dư cũng là duy nhất và do đó

nếu f ∈ I thì đa thức dư luôn bằng 0 Điều đó dẫn tới khái niệm cơ sở Gröbner và

thuật toán Buchberger giúp ta tìm cơ sở Gröbner từ một hệ sinh Nội dung của

luận văn gồm:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này gồm 2 tiết: Vành đa thức và module Chương này cung cấp

những kiến thức cơ bản của vành đa thức một biến và nhiều biến Đồng thời đưa

r = x 2 − y2 ≠ 0.

ra một số tính chất của một số module đặc biệt: module tự do, module hữu hạn sinh, module Noether.

Chương 2 Cơ sở Gröbner

Chương này là phần chính của luận văn Chương này chia làm 5 tiết.

Tiết 1: Ideal đơn thức

Trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của ideal đơn thức và một vài lớp ideal đặc biệt trong ideal đơn thức.

Tiết 2: Ideal khởi đầu

Trình bày định nghĩa ideal khởi đầu và các tính chất cơ bản của ideal khởi đầu.

Tiết 3: Cơ sở Gröbner

Trình bày định nghĩa cơ sở Gröbner và các loại cơ sở Gröbner.

Tiết 4: Vai trò của cơ sở Gröbner trong việc xác định phần tử của ideal

Trình bày định lí thuật toán chia và vai trò của cơ sở Gröbner trong việc ổn đinh

đa thức dư trong phép chia đa thức.

Tiết 5: Thuật toán Buchberger

Trình bày khái niệm S − đa thức và thuật toán Buchberger để tìm một cơ sở

Gröbner.

Luận văn chỉ xét đến vành đa thức trên một trường Cho nên khi nói đến vành đa thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là vành đa thức trên một trường.

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số tính chất cơ bản nhất của vành đa thức để làm tiền đề nghiên cứu chương sau.

Định nghĩa 1.1.1: Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức nêu trên có thể

kiểm tra tập tất cả đa thức lập thành vành giao hoán có phần tử đơn vị là đa thức 1. Tậpnày được kí hiệu là vành K [ x ]

Sau khi định nghĩa được đa thức một biến, việc sắp thứ tự các số hạng trong đơn thức

là cần thiết nên liền xuất hiện khái niệm bậc đa thức:

Định nghĩa 1.1.2: Bậc của đa thức khác 0

f ( x ) = a0 x 0 + + a n−1x n−1 + a n xn

Như vậy ta chỉ định nghĩa bậc của đa thức khác 0 Đối với đa thức không ta bảo nó không có bậc

Định lí 1.1.3: Giả sử f(x) và g(x) là hai đa thức khác 0.

(i) Nếu bậc của f(x) khác bậc g(x) , thì ta có:

Hệ quả 1.1.5: Nếu K là miền nguyên, thì K [ x ] cũng là miền nguyên.

của phép chia f(x) cho g(x) bằng 0.

Định nghĩa 1.1.7: Ước chung lớn nhất của các đa thức f1, , f n∈K[x] là đa thức h

sao cho:

(i) h chia hết f1, ,f n , nghĩa là f1= q1 h, , f n=q n h;q1, ,q n∈K

[x] (ii) Nếu p là đa thức khác chia hết f1, ,f n , thì p chia hết h

Trong trường hợp đó ta viết h = UCLN ( f1, , fn)

Mệnh đề 1.1.8:Cho f1, ,f n∈K[x],n≥2. Khi đó:

(i) UCLN ( f 1, , fn) tồn tại và duy nhất với sai khác một hằng số khác 0 củaK

(ii) ( f 1 , , f n ) = (UCLN ( f 1, , f n ) )

Thuật toán 1.1.9: (Thuật toán Euclide) để tìm UCLN(f,g) ta thực hiện lần lượt các

phép chia đa thức một biến:

s m = p m+1 s m+1(ở đây s m+2 = 0 ) và thuật toán dừng vớiUCLN(f,g)= s m+1

Cho R là một vành và x1, , x n(n≥1) là các biến Ta gọi đơn thức là một biểu thức códạng x1 a1 xn a n ,trong đó ( a1, ,an )∈ n được gọi là bộ số mũ của đơn thức Nếu a1 = = a n = 0 ,thì đơn thức được kí hiệu là1 Phép nhân trên tập các đơn thức được

định nghĩa như sau:

( x1 1 x n n)(x1 1 x n n) = x1 1+b

1 x n n +b

n

Từ là biểu thức có dạng a x1 a1 xn a n ,trong đó α ∈ R được gọi là hệ số của từ Thông

thường các phần tử của R gọi là phần tử vô hướng Hai từ khác không a x1 a1 xn a n và

β x1 a1 x n a n là đồng dạng với nhau Như vậy có thể xem đơn thức là từ với hệ số là 1, và

phần tử vô hướng α là từ α.1.

Để cho tiện ta kí hiệu x = ( x1, , xn) , a = ( a1, ,an)∈n và x a = x1 a1 xn a n Đa thức

n biến x1, ,x n trên vành K là một tổng hình thức của các từ:

Định nghĩa 1.1.10: Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức nêu trên có thể

kiểm tra tập tất cả đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị là đơn thức 1

K [x1 , , x n] K [x]

Định nghĩa 1.1.11: Bậc tổng thể của đa thức deg f ( x ) = max { a1+ + an| aa≠ 0}.Đối với đa thức một biến, bậc tổng thể chính là bậc thông thường Đôi khi bậc tổng thểcủa đa thức nhiều biến cũng được gọi tắt là bậc, nếu như không có sự hiểu nhầm nàoxảy ra.

của các từ được gọi là thứ tự từ:

Định nghĩa 1.1.12: Thứ tự từ ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập M tất cả các đơn thức

của K[x] thỏa mãn các tính chất sau:

(i) Với mọi m∈M,1≤m.

(ii) Nếu m1 m2,m∈M mà m1≤m2 thì mm1≤mm2

Từ định nghĩa trên ta thấy ngay trên vành đa thức một biến chỉ có một thứ tự từ Đó là thứ tự xác định bởi bậc đơn thức Dưới đây ta sẽ thấy có nhiều cách định nghĩa thứ tự

từ khi số biến từ hai trở lên Trước hết ta thiết lập một số tính chất chung của thứ tự từ.

Mệnh đề 1.1.13: Một thứ tự toàn phần ≤ trên M là thứ tự tốt khi và chỉ khi mọi dãy

đơn thức thực sự giảm:

m1 > m2 > m3 >

sẽ dừng (sau hữu hạn phần tử)

Mệnh đề 1.1.14: Mọi thứ tự từ là thứ tự tốt Ngược lại mọi thứ tự tốt trên M thỏa điều

kiện (ii) của định nghĩa 1.1.12 là thứ tự từ

Một số thứ tự từ

Cho ≤ là một thứ tự từ Sau khi đổi chỉ số các biến luôn có thể giả thiết:

x1 > x 2 > > x n

Sau đây là một số thứ tự từ quan trọng:

Định nghĩa 1.1.15:Thứ tự từ điển là thứ tự ≤lex xác định như sau: x1α

một số âm (Nói cách khác, nếu tồn tại 0≤i<n sao cho α1=β1, ,α i=β i, nhưng

α i +1 <β

i+1.)Thứ tự từ điển tương tự như cách sắp xếp các từ trong từ điển, và do đó có tên gọi như vậy

Định nghĩa 1.1.16: Thứ tự từ điển phân bậc là thứ tự ≤glex xác định như sau:

deg (x1α1 x n α n) = deg (x1β1 x n β n) và thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của

vector (α1−β1 , ,αn−β n) là một số âm (Nói cách khác, x1 α1 x n α n<glexx1 β1 xn β n nếu a1 + + an < β1 + + β nhoặc a1 + + a n = β1 + + β nvàx1α1 x n α n<lex x1β1 x n β n.)

Định nghĩa 1.1.17: Thứ tự từ điển ngược là thứ tự ≤rlex xác định như sau:

deg (x1α1 x n α n) = deg (x1β1 x n β n) và thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của

vector ( α1 − β1, ,αn− βn ) là một số dương (Nói cách khác, x1 α1 x n α

n<rlexx1 β1

xn β n nếu a1+ +a n<β1+ +β n hoặc a1+ +a n=β1+ +β n và tồn tại 0 ≤

i < n sao cho α1=β1, ,α i=β i nhưng α i+1>β i+1.)

Mệnh đề 1.1.18: Ba thứ tự kể trên là các thứ tự từ.

Sau khi sắp xếp được các hạng tử của đa thức, ta sẽ mở rộng phép chia đa thức nhiều biến sẽ xét ở chương sau Trước tiên, ta thấy vành đa thức nhiều biến cũng có một số tính chất được mở rộng trực tiếp từ vành đa thức một biến.

Mệnh đề 1.1.19: Nếu K là miền nguyên thì vành đa thức K[x] cũng là miền nguyên Mệnh đề 1.1.20: Nếu K là miền nguyên, thì với mọi đa thức f (x ), g (x )∈ R [x] đều

có:

deg( f (x )g (x ) ) = deg f (x ) + deg g (x)

và

deg( f (x ) + g (x) ) ≤ max {deg f (x ),deg g (x) }

Hơn nữa, ta có bất đẳng thức chặt khi và chỉ khi deg f (x ) = deg g (x) và

f

deg f (x)= −g

deg g (x).

lập thành module con của M gọi là module con sinh bởi S và kí hiệu là S

Tập con ∅ ≠S⊆M được gọi là tập sinh hay hệ sinh của M nếu M= S

Tập được gọi là tập sinh tối tiểu (hay hệ sinh tối tiểu) nếu nó không thực sự chứa một

hệ sinh khác của M

Ta gọi M là module hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn

Định nghĩa 1.2.2: Họ phần tử S = {e i}i ∈I được gọi là cơ sở của R − module M nếu nó

là tập sinh của M và mỗi phần tử m ∈ M có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

m = ∑r i e i

i ∈I

trong đó r i∈R và r i=0 trừ một số hữu hạn chỉ số i ∈ I.

Khác với không gian vector, không phải module nào cũng có cơ sở Một module có cơ

Mệnh đề 1.2.3: F là R− module tự do với cơ sở {

e i

}

i I khi và chỉ khi F đẳng cấu

∈

với tổng trực tiếp ⊕i ∈I R i ,trong đó R i=R với mọi i ∈ I

Module tự do có cơ sở hữu hạn thì số phần tử của một cơ sở là không thay đổi:

Mệnh đề 1.2.4: Cho R là vành không tầm thường và F là mdule tự do với cơ sở hữu

hạn Khi đó mọi cơ sở của F cũng hữu hạn và hai cơ sở tùy ý của F có số phần tử nhưnhau

Hệ quả 1.2.5: Mọi module hữu hạn sinh đều đẳng cấu với module thương của module

R n ,n ≥ 0 nào đó.

Định lí 1.2.6: Giả sử R là vành chỉ có một ideal cực đại duy nhất M và M là R −

module hữu hạn sinh Khi đó x1, , x n là tập sinh của M khi và chỉ khi ảnh

x1 , , xn là tập sinh của không gian vector M = M / MM trên R / M Do vậy mọi tậpsinh tối tiểu của M có số phần tử như nhau

đều dừng sau hữu hạn bước, tức là tồn tại k để M k=M k+1=

Module thỏa mãn một trong ba điều kiện trên được gọi là module Noether

trên chính nó.

Mệnh đề 1.2.8: Cho M là module trên vành R và

Noether khi và chỉ khi cả hai module N và M / N là R − module Noether

Định lí 1.2.9: R − module M là Noether khi và

R / Ann (M ) là Noether.

Noether.

Định lí Hilbert về cơ sở: Cho K là vành Noether và x là tập n biến Khi đó vành K [x]

ideal Q1, ,Q n của R sao cho:

i) Q1 , ,Q n là các idealnguyên sơ

ii) I = Q1 ∩ ∩ Q n `

Định lý 1.2.11 (Lasker-Noether):

Trong một vành Noether mọi ideal thực sự đều có sự phân tích nguyên sơ

Định nghĩa 1.2.12:

Một ideal thực sự của một vành R được gọi là bất khả quy nếu nó không phải là giao

của 2 ideal chứa nó thực sự

Nói cách khác ideal I

M , N nếu I = M ∩ N

củathì

R là bất khảquy khi và chỉkhi

(i) Nếu ideal 0 trong vành Noether là bất khả quy thì nó là ideal nguyên sơ

(ii) Mỗi ideal bất khả quy trong vành Noether là nguyên sơ

R được gọi làcó sự phân tích nguyên sơnếu có hữu hạn

Chương 2 CƠ SỞ GRöBNER

Chương này chủ yếu giải quyết bài toán đặt ra trên vành đa thức nhiều biến

Để có khái niệm cơ sở Gröbner, ta cần nghiên cứu ideal đơn thức, ideal khởi đầu Sau khi có khái niệm cơ sở Gröbner, ta sẽ tìm hiểu vai trò của nó trong việc xác định phần

tử của một ideal Từ đó, ta có thuật toán tìm cơ sở Gröbner để giải quyết hoàn toàn bài toán đặt ra.

§1: IDEAL ĐƠN THỨC

Trong các lớp ideal của vành đa thức nhiều biến, có một lớp ideal rất quan trọng là ideal đơn thức, là cơ sở giúp ta đưa ra các khái niệm ideal khởi đầu hay cơ sở Gröbner được trình bày trong các mục sau.

Định nghĩa 2.1.1: Ideal I được gọi là ideal đơn thức nếu nó sinh bởi các đơn thức Như

ta các thông tin chính xác hơn về số phần tử của tập sinh của nó.

1 Tập sinh của ideal đơn thức

Nghiên cứu một đơn thức thì dễ dàng và đơn giản hơn đa thức Chẳng hạn, xét quan

hệ chia hết của hai đa thức ta cần làm phép chia đa thức, đối với đơn thức ta chỉ cần xét số mũ của các biến và giữa hai đa thức có thể không tồn tại ướcchung lớn nhất nhưng đối với đơn thức thì luôn có ước chung lớn nhất Cụ thể ta có:

(i) Đơn thức xb chia hết cho đơn thức xa khi và chỉ khi tồn tại đơn thức xc sao

(iii) Tương tự (ii) ta có điều phải chứng minh ■

Mệnh đề 2.1.3: Cho I = x a;a ∈ A là ideal đơn thức Đơn thức x b∈ I

mỗi từ của nó phải chia hết cho x a(i) nào đó Sau khi giản ước, một trong số đó còn lại

và phải bằng x b Vậy x b phải có tính chất của những từ đó, tức là chia hết cho x a(i) nào

đó ■

Mệnh đề 2.1.4: Cho I là ideal đơn thức và f∈K[x]. Các điều kiện sau là tương đương:

(b) Mọi từ của f thuộc I

(c) f là tổhợp tuyến tính trênK của các đơn thức thuộcI

Chứng minh: Hiển nhiên có (c )⇒(b) ⇒(a). Đối với (a )⇒(c) nhận xét rằng tương

tự như chứng minh mệnh đề trên ta có mỗi từ của

nào đó Mà mọi đơn thức chia hết cho x a lại thuộc

một đơn thức I và một phần tử từ K , tức là có (c).

f I.

■

phải chia hết cho x a với a∈A

Do đó mỗi từ của f là tích của

Hệ quả 2.1.5: Hai ideal đơn thức trong một vành đơn thức bằng nhau nếu chúng chứa

cùng một tập đơn thức

Mệnh đề 2.1.6: Ideal I là ideal đơn thức khi và chỉ khi với mọi f ∈ I , các từ của f

đều thuộc I

Chứng minh: Điều kiện cần suy ra từ mệnh đề 2.1.4 Từ giả thiết suy tập các đơn thức

của các đa thức trong I sẽ sinh ra I Do đó điều kiện đủ được chứng minh ■

Theo định nghĩa, ideal đơn thức được sinh bởi các đơn thức, nhưng tập này có thể không hữu hạn Nhưng định lí Hibert về cơ sở đã cho ta một kết quả đẹp là mọi ideal

của vành đa thức với K là trường đều hữu hạn sinh Vậy một ideal đơn thức là

hữu hạn sinh Điều đó được phát biểu dưới dạng một bổ đề sau:

Mệnh đề 2.1.7: (Bổ đề Dickson) Mọi ideal đơn thức I= x a ;a ∈ A bao giờ cũng viết

được dưới dạng I = x a( 1 ) , , x a(s) , trong đó a(1), ,a(s)∈A. Nói riêng I là hữu hạn

sinh

Chứng minh: (ta sẽ chứng minh trực tiếp bổ đề Dickson) Chứng minh bằng quy nạp

theo số biến n Khi n = 1 ta có A ⊆ Chọn b ∈ A là số nhỏ nhất Khi đó x1b chia hếtcho mọi đơn thức x1 với a∈ A Từ đó có ngay I = x b

Giả sử bổ đề đã được chứng minh đối với ≤n−1 biến Kí hiệu

Như vậy mỗi đơn thức trong K[x] có thể viết dưới dạng x 'α x n ,

q ∈ GọiJlà ideal của vànhK[x']sinh ra bởi các đơn thức

x n m x 'α ∈ I Theo giả thiết qui nap, J sinh ra bởi hữu hạn đơn thức như vậy, tức là

J = x 'α ( 1 ) , , x 'α (s)

K [x]

Mệnh đề 2.1.8: Các đơn thức sinh trong tập G(I) không có ước thực sự trong I

Chứng minh: Giả sử đơn thức sinh u trong G(I) có ước thực sự v trong I Khi đó

v thuộc G(I) (mâu thuẫn tính sinh tối tiểu của u ) Vậy các đơn thức sinh trong tập G

(I )không có ước thực sự trong I ■

Mệnh đề 2.1.9: Mỗi ideal đơn thức I có một tập sinh đơn thức tối tiểu duy nhất.

Chứng minh: gọi G1 ={u1, ,u r} và G2 ={v1 , ,v s} là hai tập sinh tối tiểu của ideal I.

Vì u i

u k , w2

và w1 w2=1 Vậy w1=1,

G2 ⊂G1 ■

Chú ý: Để mô tả ideal đơn thức I chỉ cần chỉ rõ tập tất cả các đơn thức thuộc I hoặc

chỉ ra tập sinh đơn thức tối tiểu của I. Mỗi đơn thức xa có thể biểu diễn bởi điểm có tọa

độ ( a1, ,an) trong không gian n. Khi đó đơn thức xb chia hết cho đơn thức xa

khi và chỉ khi b1 ≥ a1 , ,b n ≥ a n hay tương đương điểm ( b1 , ,bn ) nằm trong khốivuông đầu tiên của hệ tọa độ Đề Các thông thường với gốc tọa độ là điểm ( a1 , , an)

Như vậy nếu I = (x a( 1 ) , , x a(s) ) với a (1), , a (s)∈ A ,thì tất cả các đơn thức của I là

những điểm nguyên nằm trong các khối vuông có đỉnh là các điểm thuộc A, và tập cácđỉnh này là tập sinh đơn thức tối tiểu của I.

Chứng minh: Ta có I: J= ∩s j =1(I: n j). Do đó chỉ cần chứng minh I ∩J là ideal đơn

thức, và các công thức tính ở (a) và (b) đúng Cho f∈I∩J và m là một từ của f Vì I , J

là các ideal đơn thức nên theo mệnh đề2.1.6m∈Ivàm∈J.Do đóm∈I∩J.

Lại theo mệnh đề 2.1.6, I∩J là ideal đơn thức

Để chứng minh nhận xét rằng bao hàm thức ⊇ là hiển nhiên Cho đơn thức

m ∈ I ∩ J Theo mệnh đề 2.1.3, m chia hết cho m i và n j nào đó Do đó m chia hết cho BCNN

(m i , n j) Suy ram ∈ BCNN (m i , n j |1 ≤ i ≤ r ;1 ≤ i ≤ j ) , và ta có(a) Chứng minh

( b)tương tự nếu để ý rằng UCLN (m i , n j)BCNN (m i , n j)= m i n j ■

Mệnh đề 2.1.11: Căn của một ideal đơn thức là một ideal đơn thức.

Chứng minh: Lấy

nên mọi từ của f k

của tập {a1 , , a r}⊂ n là một đa giác lồi Ta có thể giả sử a1 là một đỉnh của đa giác

Vì vậy a1 không là một đỉnh của đa giác lồi (mâu thuẫn) Vậy đơn thức (x a1)k

thể biểu diễn qua các từ khác trong

Căn của một ideal đơn thức có

Chứng minh:

để chứng tỏ mỗi đơn thức u ∈

Thật vậy, nếu v ∈

ta có điều phải chứng minh.■

3 Ideal đơn thức nguyên tố, ideal bất khả quy và sự phân tích nguyên sơ

A Ideal đơn thức nguyên tố

x i với x i∈{x1 , , x s}. Mà mỗi từ của f(x )g(x) là tích của một từ của f(x) và một từ của g

(x) nên từ của f(x) chia hết cho xi hoặc từ của g(x) chia hết cho xi Vậy

f (x )∈ I hoặc g (x )∈ I Vậy I là một ideal nguyên tố.■

Như vậy mỗi ideal đơn thức nguyên tố đều hữu hạn sinh, đặc biệt đối với vành đa thức

Mệnh đề 2.1.14: Cho vành R = K [ x1, , xn] , số ideal đơn thức nguyên tố trong vành

• Nếu I sinh bởi 2 biến thì có C n2 ideal I.

• Nếu I sinh bởi n biến thì có C n n ideal I.

Vậy ta có C n1 + C n2 + + C n n = (1 + 1)n − Cn0 = 2 n −1 ideal đơn thức nguyên tố ■

Trong số các ideal đơn thức nguyên tố trên vành đa thức n biến thì ideal nào là ideal tối đại Ta có mệnh đề:

Mệnh đề 2.1.15: Cho vành R = K [ x1, , xn] , ideal I= x1 , , x n là ideal tối đại đơn thức duy nhất

Chứng minh: Ta có I là ideal đơn thức nguyên tố (theo mệnh đề) Ta lại có

R

I

= K [x1 , , x n]thức tối đại ■

B Ideal bất khả quy và sự phân tích nguyên sơ

ideal trên vành Noether đều có phân tích nguyên sơ Cho nên ta xét sự phân tích nguyên sơ của các ideal đơn thức.

Định lí 2.1.16: Cho I⊂S=K[x] là một ideal đơn thức Khi đó I = i m=1Q i vớiQ i được

sinh bởi lũy thừa của các biến nghĩa là Q i= x i a1 1 , , x i a k k Hơn nữa sự phân tích nguyên

sơ này là duy nhất

Chứng minh: Để chứng mịnh định lí này trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 2.1.17: Giả sử m ,n là hai đơn thức có UCLN (m, n) = 1 (không chứa biến chung) và

m1, ,m r là các đơn thức Khi đó m1 , , m r , mn = m1 , , m r , m ∩ m1 , , m r , n

Chứng minh bổ đề:

u ∈ m1 , , m r , m ∩ m1 , , m r , n

Trong trường hợp ngược lại, vì u∈m1 , , m r,m,

Vì m, n không chứa biến chung nên mn|u. Do đó u∈m1 , ,m r,mn.

Chứng minh định lí: Lấy G (I ) = {u1 , ,u r } và giả sử u1 không là một lũy thừa của các

biến Khi đó ta có thể viết u1 = vw với v,w là những đơn thức nguyên tố cùng nhau Áp

dụng bổ đề ta có I = I1 ∩ I2 với I1= v , u 2 , ,u r và I 2= w, u 2 , , u r

Nếu G (I1 ) hoặc G (I2 ) chứa phần tử không là lũy thừa của các biến thì tiếp tục làm

như trên Sau hữu hạn bước ta sẽ được một phân tích của I bằng giao của cái ideal đơn

thức sinh bởi lũy thừa của các biến Loại bỏ các ideal chứa giao của các ideal khác, ta

được một phân tích nguyên sơ tối giản của I.

Bây giờ ta đi chứng minh sự phân tích nguyên sơ tối giản này là duy nhất

ta có điều phải chứng minh ■

Một ideal được gọi là bất khả quy nếu nó không thể viết được như hai giao thật sự của

hai ideal đơn thức Nó được gọi là khả quy nếu nó không bất khả quy.

Hệ quả 2.1.18: Một ideal đơn thức là bất khả quy nếu và chỉ nếu nó được sinh bởi lũy

thừa của các biến

Chứng minh: Lấy Q=x a1

1

thật sự chứa Q. Theo định lí trên ta có I = i r=1Q i

thừa của các biến Vì thế ta có biểu diễn: Q= Q i Q'j Bởi việc loại bỏ những ideal

có sẵn trong giao ở vế phải, ta sẽ có sự phân tích nguyên sơ tối giản của Q.

duy nhất của sự phân tích nguyên sơ tối giản ta có Q=Q hoặc

Mện đề 2.1.19: Giả sử I1, ,I r I là các ideal đơn thức chỉ sinh bởi lũy thừa của các

biến Giả sử rằng I1⊆/I, ,I r⊆/I. Khi đó:

I

Chứng minh :

được đơn thức sinh

BCNN (x a j1 1 , , x a j r r)∈ I1 Ir nên BCNN (x a j1 1 , , x a j r r) chia hết cho một đơn thức sinh x k a

nào đó của I. Không mất tính tổng quát có thể giả thiết j1=k và a1 là số lớn nhất trong

tất cả các số a i mà j i=k. Khi đó a1 là lũy thừa của biến x k trong BCNN(x a j1 1, ,x a j r r).

Từ đó phải có a1≥a. Suy ra x a j1 1 ∈ I. Vô lí Vậy I1 I r⊆/I.■

Ví Dụ: Ta có x12 , x2 , x33 = x12 , x23 x12 , x22 , x33 Ta có x12 , x23 ⊆/ x12 , x22 , x3

và x12 , x22 , x33 ⊆/ x12 , x22 , x3 nên x12 , x2 , x33 ⊆/ x12 , x22 , x3

§2: IDEAL KHỞI ĐẦU

Trong tiết mở đầu, khi đề cập đến vành đa thức nhiều biến, ta đã đưa ra một số thứ tự

từ để sắp xếp thứ tự các từ của đa thức Điều đó giúp ta có được khái niệm sau:

Định nghĩa 2.2.1: Cho ≤ là một thứ tự từ và f ,

kí hiệu làin≤ (f ),là từlớn nhất của đa thức

f ∈ R = K [x1 , , x n] Từ khởi đầu của

f đối với thứtự từ ≤

Nếu in≤( f ) = a xa,0 ≠ a ∈ K, thì lc≤(f)=α được gọi là hệ số đầu và lm≤( f ) = xa

là đơn thức đầu của f đối với thứ tự từ ≤

Nếu thứ tự từ ≤ đã được ngầm định, ta sẽ viết in( f ) (tương ứng lc (f ),lm (f )) thaycho in≤(f) (tương ứng lc≤(f),lm≤(f))

Từ khởi đầu của đa thức 0 được xem là không xác định (có thể nhận giá trị tùy ý)

Từ khởi đầu còn được gọi là từ đầu hay từ đầu tiên Như vậy nếu trong biểu diễn của

đa thức f ta viết các từ theo thứ tự giảm dần, thì in ( f ) sẽ xuất hiện đầu tiên Đươngnhiên cách viết này cũng như từ khởi đầu của f phụ thuộc vào thứ tự từ đã chọn