SKKN hướng dẫn học sinh cách giải một số dạng toán về đa thức bằng cách cài thêm đa thức phụ

Vì vậy để giúp học sinh tự tin và yêu thích bộ môn toán, có kỹ năng thực hành giải toán tốt thì mỗi giáo viên phải thường xuyên tìm tòi, nghiên cứu.. Bên cạnh việc hướng dẫn để các em tì

A.ĐẶT VẤN ĐỀ:

Giải toán là một nghệ thuật thực hành, vì vậy để có kỹ năng giải toán phải trải qua quá trình rèn luyện Nhưng không phải là cứ giải bài tập là có kỹ năng Việc luyện tập sẽ có hiệu quả nếu như khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập tương tự, biết quy lạ về quen, phải hiểu bản chất vấn đề và định hướng kiến thức vận dụng Học giải toán là tư duy sáng tạo về toán đồng thời là vấn đề trừu tượng đối với học sinh Vì vậy để giúp học sinh tự tin và yêu thích bộ môn toán, có kỹ năng thực hành giải toán tốt thì mỗi giáo viên phải thường xuyên tìm tòi, nghiên cứu Bên cạnh việc hướng dẫn để các em tìm hiểu, lĩnh hội các kiến thức cơ bản, cần phải xây dựng các dạng toán thành chuyên đề để học sinh được

mở rộng và phát triển năng lực học tập Qua thực tế giảng dạy và đặc biệt qua quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 tôi thấy dạng toán về đa thức thường có trong các đề thi học sinh giỏi các cấp Có những bài toán về đa thức chẳng hạn: dạng toán tìm đa thức, tính giá trị của biểu thức liên quan đến giá trị của đa thức nhưng các hệ số của đa thức còn là ẩn số,… nếu dùng phương pháp thông thường như phương pháp lập hệ phương trình rồi giải sẽ gặp khó khăn hoặc không thực hiện được nếu số ẩn nhiều hay số ẩn nhiều hơn số phương trình lập được,… hơn nữa dùng cách giải này sẽ hạn chế phát huy tư duy sáng tạo của học sinh Bởi vậy

bản thân tôi đã cố gắng tìm tòi, đúc rút và xin trình bày đề tài: “Hướng dẫn học

sinh cách giải một số dạng toán về đa thức bằng cách cài thêm đa thức phụ”

B NỘI DUNG:

I Một số vấn đ ề về lý thuyết:

1.1) Một số kiến thức về đa thức:

a) x = a là một nghiệm của đa thức P(x) <=> P(a)=0

b) Đa thức bậc n :

P(x)=an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a2 x2 + a1 x + a0 (với an 0)

Có : an là hệ số cao nhất; a0 là hệ số tự do

c) Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt quá bậc của đa thức đó

d) Nếu đa thức bậc n: P(x)=an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a2 x2 + a1 x + a0

(với an 0)

Có n nghiệm x1, x2, x3,…,xn thì P(x)= an(x – x1)(x – x2)(x – x3) … (x – xn)

P(x) tại x= b

a



1.2) Vài vấn đề về sai phân:

N Một cách tương tự ∆k xn = ∆k-1 xn+1 −∆k-1 xn là sai phân cấp k của dãy số

* Tính chất : Sai phân cấp k của đa thức bậc m là hằng số nếu m = k

2 Cách giải một số dạng toán về đa thức bằng cách cài đa thức phụ.

Ví dụ 1: Cho đa thức: P(x)=x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1)= 1; P(2)= 4;

P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P(7); P(8)

* Nhận xét: Đa số học sinh bước đầu tiếp cận bài này đều có ngay kết luận:

P(6) = 62 = 36; P(7)= 72 = 49; P(8)= 82 = 64; P(9)= 92 = 81; Nhưng đó là kết quả sai !

*Hướng dẫn học sinh giải bằng cách cài đa thức phụ:

Ta thấy: P(1) = 1 = 12

P(2) = 4 = 22

P(3) = 9 = 32

P(4) = 16 = 42

P(5) = 25 = 52

{1;2;3;4;5} thì Q(x)= P(x) - R(x) = 0

Tức là chọn R(x) sao cho: R(1) = 12; R(2) = 22; R(3) = 32; R(4) = 42; R(5) = 52

Như vậy ta chọn R(x)= x2 Từ đó: Q(1)= Q(2)= Q(3)= Q(4)= Q(5)= 0 ; Suy ra: 1; 2;

Vì Q(x)= P(x)- x2 mà P(x) có bậc 5, hệ số cao nhất bằng 1 nên Q(x) cũng có bậc

5, hệ số cao nhất bằng 1, do đó:

Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)

=> P(x)= Q(x) + R(x)= (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2

Bài giải: Đặt Q(x)=P(x)- x2 Từ giả thiết ta có Q(1)= Q(2)=Q(3)=Q(4)=Q(5)=0 => 1; 2; 3;

Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)

=> P(x)= Q(x) + x2 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2

Do đó: P(6)= (6 - 1)(6 - 2)(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5) + 62 = 156

P(7)= (7 - 1)(7 - 2)(7 - 3)(7 - 4)(7 - 5) + 72 = 769

P(8)= (8 - 1)(8 - 2)(8 - 3)(8 - 4)(8 - 5) + 82 = 2584

Ghi chú: Có thể dùng dãy sai phân để tìm đa thức phụ R(x) như sau:

Xét dãy số: 1 4 9 16 25

3 5 7 9

2 2 2

Với dãy số trên, sau 2 lần thực hiện tìm dãy số tiếp theo bằng cách tìm hiệu 2 giá

R(x) có bậc 2 => R(x)= ax2+ bx + c

=> R(2) = 4 = 4a + 2b + c => b = 0 => R(x)= x2

Ví dụ2: Cho đa thức: Q(x)= x4 + mx3 + nx2 +px + q Biết Q(1)= 5; Q(2)= 7; Q(3)= 9;

Q(4)= 11 a) Tìm các hệ số m, n, p, q; b) Tính Q(10)

*Hướng dẫn HS cách tìm đa thức phụ R (x) :

Để có P(x)= Q(x) - R(x) = 0 tại x = 1; 2; 3; 4 ta cần có:

R(1)= 5 = 2.1 + 3

R(2)= 7 = 2.2 + 3

R(3)= 9 = 2.3 + 3

R(4)= 11 = 2.4 + 3

=>R(x)= 2x + 3

2 2 2

Sau 1 lần thực hiện tìm dãy số tiếp theo bằng cách tìm hiệu 2 giá trị ak+1 và

bậc 1 => R(x)= ax + b

R(1) = 5 = a + b a = 2

R(2) = 7 = 2a + b b = 3

Bài giải: Đặt P(x) = Q(x)- (2x + 3) Từ giả thiết ta có P(1)= P(2)= P(3)= P(4)= 0

P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)

=> Q(x)= P(x) +(2x + 3) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3)

= x4 - 10x3 + 35x2 - 48x + 27

Vậy: m = -10; n = 35; p = -48; q = 27

Q(10) = (10 - 1)(10 - 2)(10 - 3)(10 - 4) + 2.10 + 3 = 3047

Ví dụ 3: (Đề thi HS giỏi giải toán lớp 9 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009-2010)

Đa thức: P(x)= x6 + ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f Có giá trị là 3; 0; 3; 12; 27;

48 khi x lần lượt nhận các giá trị là: 1; 2; 3; 4; 5; 6

*Hướng dẫn học sinh tìm đa thức phụ R (x) :

-3 3 9 15 21

R(1) = 3 = a + b + c a = 3

=> R(2) = 0 = 4a + 2b + c <=> b = -12 => R(x) = 3x2 - 12x + 12

R(3) = 3 = 9a + 3b + c c = 12

Bài giải: Đặt Q(x)= P(x) - (3x2 - 12x + 12)

Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = Q(6) = 0

số cao nhất là 1

=> Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6)

=> P(x) = Q(x) + 3x2 - 12x + 12

= (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6) +3x2 - 12x + 12

Ví dụ 4: Đa thức P(x) bậc 6 có hệ số cao nhất là 2, biết P(1) = 0; P(3) = 24;

P(5) = 120; P(7) = 336; P(9) = 720; P(11) = 1320 Tính P(2); P(4); P(6); P(8);

*Hướng dẫn học sinh tìm đa thức phụ R (x) :

Xét dãy sai phân:

24 96 216 384 600

82 120 168 216

48 48 48 Tương tự như các ví dụ trước ta có: R(x) có bậc 3 => R(x) = ax3 + bx2 + cx + d

R(1) = a + b + c + d = 0 a = 1

Bài giải:

Đặt Q(x) = P(x)- (x3 - x)

Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(3) = Q(5) = Q(7) = Q(9) = Q(11) = 0

nhất là 2 => Q(x) = 2(x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - 7)(x - 9)(x - 11)

=> P(x) = Q(x) + x3 - x = 2(x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - 7)(x - 9)(x-11) + x3 - x

Do đó: P(2) = 2.1.(-1)(-3).(-5).(-7).(-9) + 23 - 2 = -1884

P(4 )= 2.3.1.(-1)(-3).(-5).(-7) + 43 - 4 = 690

P(6) = 2.5.3.1.(-1)(-3).(-5) + 63 - 6 = -240

P(8) = 2.7.5.3.1.(-1)(-3) + 83 - 8 = 1134

Ví dụ 5:Đề thi HS giỏi toán lớp 9 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2018-2019)

Cho đa thức: P(x)= x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 3; P(2) = 6; P(3) = 11 Tính giá trị của biểu thức: Q = 4P(4) + P(-1)

*Nhận xét: Với bài toán này không thể dùng hệ phương trình để tìm các hệ số của

hiện giải bằng phương pháp cài đa thức phụ

*Hướng dẫn học sinh tìm đa thức phụ R (x) :

Với bài này ta dễ dàng xác định đa thức phụ bằng cách nhẩm tính

(x) = x3 - x

R(1) = 3 = 12 + 2

Ta có: R(2) = 6 = 22 + 2 => R(x) = x2 + 2

R(3) = 11 = 32 + 2

Bài giải:

Đặt H(x)= P(x) – (x2 + 2)

Từ giả thiết ta có: H(1) = H(2) = H(3) = 0

1 mà H(x)= P(x) – (x2 + 2) nên đa thức H(x) cũng có bậc 4, hệ số cao nhất là 1

=> H(x) có dạng: H(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m)

=> P(x)= H(x) + (x2 + 2) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m) + (x2 + 2)

= 96 – 24m + 72 + 24 + 24m + 3 = 195

Ví dụ 6:(Đề thi GV giỏi cấp THCS huyện Kỳ Anh năm học 2015-2016)

Cho đa thức: f(x)= x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết f(1)= 10; f(2)= 20;

10



*Nhận xét: Tương tự bài 5 bài toán này cũng không thể dùng hệ phương

Bài giải:

Đặt Q(x)= f(x) – 10x

Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(2) = Q(3) = 0

=> 1; 2; 3 là 3 nghiệm của đa thức Q(x) Vì đa thức f(x) có bậc 4, hệ số cao nhất là 1

10



 12  8  

32

32 10

10











=11.9.(12-m)+12+9.11.(8+m)- 8+32

=9.11.(12-m+8+m)+36 = 9.11.20+36 = 2016

Ví dụ 7:(Đề thi HS giỏi Giải toán lớp 9 tỉnh Hà tĩnh năm học 2007-2008)

Xác định các hệ số a, b, c, d của đa thức P(x)=x5 + ax4 - bx3 + cx2 + dx -2007

là 9; 21; 33; 45 ( lấy kết quả một chữ số ở phần thập phân)

*Hướng dẫn học sinh tìm đa thức phụ R (x) :

Để có Q(x)= P(x) - R(x) = 0 tại x= 1; 2; 3; 4 ta cần có:

R(1)= 9 = 12.1 - 3; R(2)= 21 = 12.2 - 3; R(3)= 33 = 12.3 - 3; R(4)= 45 = 12.4 - 3

=>R(x)= 12x - 3

Bài giải:

Đặt Q(x)= P(x) - (12x- 3)

Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = 0

= (x5 + ax4 - bx3 + cx2 + dx -2007) - (12x- 3)

=>(-1)(-2)(-3) (-4)(-m) = -2007 + 3 <=> -24m = -2004 => m = 83,5

=> Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 83,5)

=> P(x) = Q(x) + 12x- 3 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 83,5) + 12x- 3

Do đó: a = -93,5; b = -870; c = -2972,5; d = 4211

Ví dụ 8:(Đề thi HS giỏi Giải toán lớp 9 tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2009-2010)

Cho đa thức: P(x)= x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Có giá trị lần lượt là -14; -9; 0; 13; 30 Khi x lần lượt nhận các giá trị là: 1; 2; 3; 4; 5

b)Tính giá trị chính xác của P(17); P(25)

Bài giải:

a) Đặt Q(x) = P(x)- (2x2 - x - 15)

Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0

số cao nhất là 1

=> Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)

=> P(x) = Q(x) + (2x2 - x - 15) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + (2x2 - x - 15)

Ví dụ 9:Cho đa thức P(x) bậc 4, biết: P(1) = 2; P(2) = 8; P(3) = 18, hệ số cao nhất bằng

(32) (-28)

*Nhận xét: Với bài toán trên không thể dùng hệ phương trình để tìm các hệ

Bài giải: Đặt Q(x) = P(x)- 2x2

Từ giả thiết ta có: Q(1) = Q(2) = Q(3) = 0

2 => Q(x) = 2(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m)

=> P(x) = Q(x) + 2x2 = 2(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m) + 2x2

= 3240016

3 Một số bài tập tương tự để học sinh luyện tập:

Bài 1: Cho đa thức: P(x)= x6 + ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f Biết P(1)= 27;

P(2)= 125; P(3)= 343; P(4)= 729; P(5) = 1331; P(6)=2197

a)Tính P(-1); P(15);

Bài 2: Cho đa thức: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +dx + 132005 Biết rằng khi x lần

Bài 3: Đa thức: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +dx + e Có giá trị lần lượt là: 11; 14; 19; 26; 35 khi x theo thứ tự nhận các giá trị tương ứng: 1; 2; 3; 4; 5

Bài 4: Đa thức bậc 5: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Có P(1)= 1; P(2)= 13; P(3)= 33; P(4)= 61; P(5) = 97 Tính P(5); P(6)

Bài 5: cho đa thức: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +dx + e Biết P(1)= 2; P(2)= 6; P(3)= 12; P(4)= 20; P(5) = 30

b) Tính; P(6); P(7); P(10)

Bài 6: Đề thi HS giỏi giải toán lớp 9 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2012-2013)

kiện: f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị của biểu thức: A = 7f(6) + f(-2)

Bài 7: ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình năm học 2006-2007)

Cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30

10



Bài 8: ( Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Sóc Trăng năm học 2008-2009)

Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11

2

P

Bài 9: Cho đa thức f(x) = 2x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e Biết f(1) = 1; f(2) = 3;

f(3) = 7, f(4)= 13; f(5) = 21 Tính f(34,5)

Bài 10: Cho đa thức f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết f(1) = -1 ; f(2) = -1 ; f(3) = 1 ; f(4) = 5 ; f(5) = 11 Hãy tính f(15), f(16)

C KẾT LUẬN:

- Nội dung kiến thức về đa thức là nội dung rộng Các bài toán về đa thức gặp rất nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp Với đề tài trên đây bản thân tôi đã tìm tòi, nghiên cứu, đúc rút được qua quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 8, 9

Tôi tin tưởng rằng nếu đề tài “Hướng dẫn học sinh cách giải một số dạng toán về đa thức bằng cách cài thêm đa thức phụ” được áp dụng chắc chắn góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 8 và lớp 9