Iđêan trong vành đa thức (2018)

I¶an ìn thùc... Mët lîp i¶an r§t quan trång l i¶an húu h¤n sinh... Giao cõa c¡c âng nguy¶n l âng nguy¶n.

H  Nëi  2018

Líi c£m ìn

Sau mët thíi gian nghi¶n cùu nghi¶m tóc, mi»t m i còng vîi sügióp ï tªn t¼nh cõa c¡c th¦y cæ v  c¡c b¤n, ¸n nay khâa luªn tètnghi»p cõa em ¢ ÷ñc ho n th nh, em xin b y tä láng c£m ìn s¥us­c ¸n c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n tr÷íng ¤i håc S÷ Ph¤m H  Nëi

2 ¢ ëng vi¶n, gióp ï trong qu¡ tr¼nh em l m khâa luªn

°c bi»t, em xin ch¥n th nh c£m ìn th¦y gi¡o - Th.s é V«nKi¶n, ng÷íi ¢ trüc ti¸p h÷îng d¨n em ho n th nh khâa luªn n y

Do cán h¤n ch¸ v· ki¸n thùc v  thíi gian cõa b£n th¥n n¶n nhúngv§n · tr¼nh b y trong khâa luªn khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât.V¼ vªy, em r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp tø th¦y cæ v c¡c b¤n

Líi cam oan

Khâa luªn tèt nghi»p I¶an trong v nh a thùc ÷ñc ho n th nh

l  k¸t qu£ cõa b£n th¥n em trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu.B¶n c¤nh â, em nhªn ÷ñc sü quan t¥m gióp ï cõa c¡c th¦y cægi¡o trong khoa To¡n, °c bi»t l  sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa th¦y gi¡o-Th.s é V«n Ki¶n

Em xin cam oan k¸t qu£ nghi¶n cùu trong khâa luªn n y l  trungthüc v  khæng tròng vîi k¸t qu£ cõa c¡c t¡c gi£ kh¡c

H  Nëi, th¡ng 5 n«m 2018

Sinh vi¶n

Nguy¹n Thà Thòy Linh

Möc löc

1.1 V nh, v nh con 7

1.2 Mi·n nguy¶n v  tr÷íng 9

1.3 I¶an v  çng c§u v nh 11

1.3.1 I¶an 11

1.3.2 çng c§u v nh 13

1.4 V nh a thùc 14

1.4.1 X¥y düng v nh a thùc mët bi¸n 14

1.4.2 T½nh ch§t cõa v nh a thùc 16

1.5 V nh Noether 17

1.6 àa ph÷ìng hâa cõa v nh v  mæun 18

2 BAO ÂNG NGUY–N CÕA I–AN 22 2.1 T½nh ch§t cì b£n 22

2.2 Bao âng nguy¶n qua reduction 27

3 I–AN ÌN THÙC 33 3.1 T½nh ch§t cì b£n cõa i¶an ìn thùc 33

3.1.1 K−cì sð cõa i¶an ìn thùc 33

3.1.2 Tªp sinh cõa i¶an ìn thùc 36

3.2 C¡c ph²p to¡n tr¶n i¶an ìn thùc 373.2.1 C¡c ph²p to¡n ¤i sè cì b£n 373.2.2 B¢o háa v  c«n 393.3 Sü ph¥n t½ch nguy¶n sì v  i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t 413.3.1 I¶an ìn thùc b§t kh£ quy 413.3.2 Sü ph¥n t½ch nguy¶n sì 45

Líi nâi ¦u

1 Lþ do chån · t i

Chóng ta bi¸t r¬ng h¦u h¸t måi ng nh to¡n håc hi»n ¤i ng y naytrong qu¡ tr¼nh ph¡t triºn ·u c¦n tîi c¡c c§u tróc ¤i sè V¼ ¤i sèbiºu hi»n rã nh§t hai °c tr÷ng cì b£n cõa to¡n håc â l  t½nh trøut÷ñng v  t½nh têng qu¡t B¶n c¤nh c¡c c§u tróc ¤i sè nh÷ nhâm,v¡nh, tr÷íng i¶an l  mët trong nhúng kh¡i ni»m cì b£n cõa ¤i sè.V¼ vªy vîi ni·m say m¶ To¡n håc v  mong muèn t¼m hiºu s¥u hìnv· bë mæn n y, d÷îi gâc ë mët sinh vi¶n s÷ ph¤m to¡n v  trong ph¤m

vi cõa mët khâa luªn tèt nghi»p còng vîi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõaThs é V«n Ki¶n em ¢ tr¼nh b y nhúng hiºu bi¸t cõa m¼nh v· ·

t i "I¶an trong v nh a thùc"

2 Möc ½ch nghi¶n cùu v  nhi»m vö nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu v· i¶an trong v nh a thùc, cö thº l  t¼m hiºu c¡c

ành ngh¾a, t½nh ch§t cì b£n, ành l½ cõa bao âng nguy¶n cõa i¶an

v  i¶an ìn thùc

3 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

Lþ thuy¸t v· bao âng nguy¶n v  i¶an ìn thùc

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

+) Ph¥n t½ch t i li»u câ li¶n quan

+) Têng hñp kinh nghi»m cõa b£n th¥n.

5 C§u tróc cõa khâa luªn

Khâa luªn ÷ñc chia l m 3 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc cì sð

Ch÷ìng 2 Bao âng nguy¶n cõa i¶an

Ch÷ìng 3 I¶an ìn thùc

Ch֓ng 1

KI˜N THÙC CÌ SÐ

Trong ch÷ìng n y em ÷a ra mët sè ki¸n thùc cì b£n cõa ¤i sè ºphöc vö cho vi»c x¥y düng kh¡i ni»m v  chùng minh c¡c t½nh ch§tcõa c¡c ch÷ìng sau â l  c¡c kh¡i ni»m cì b£n, t½nh ch§t, ành l½ cõa

v nh, v nh a thùc, i¶an, mæun

1.1 V nh, v nh con

ành ngh¾a 1.1.1 Cho tªp X 6= ∅, X còng vîi hai ph²p to¡n haingæi gåi l  ph²p cëng v  ph²p nh¥n, k½ hi»u theo thù tü l  ” + ”, ”.”

÷ñc gåi l  v nh n¸u nâ thäa m¢n:

• X còng vîi ph²p cëng l  nhâm aben

• X còng vîi ph²p nh¥n l  nûa nhâm

• Ph²p nh¥n ph¥n phèi èi vîi ph²p cëng, tùc l  ∀x, y, z ∈ X :

x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz

Chó þ 1.1.2 - Ph¦n tû trung lªp cõa ph²p cëng k½ hi»u l  0, gåi l 

ph¦n tû khæng cõa v nh.

- Ph¦n tû ìn và cõa ph²p nh¥n (n¸u câ) k½ hi»u l  1 ho°c e

- N¸u ph²p nh¥n câ ìn và th¼ X gåi l  v nh câ ìn và

- N¸u ph²p nh¥n giao ho¡n th¼ X l  v nh giao ho¡n

V½ dö 1.1.3 • C¡c tªp Z, Q, R, C l  c¡c v nh giao ho¡n câ ìn

• N¸u v nh X câ ½t nh§t hai ph¦n tû th¼ 0 6= 1

• (nx)y = nxy = x(ny) , ∀x, y ∈ X, ∀n ∈ Z

• (x − y)z = xz − yz, ∀x, y, z ∈ X

ành ngh¾a 1.1.5 Cho X l  mët v nh, tªp con S cõa X ÷ñc gåi l tªp con nh¥n âng n¸u thäa m¢n:

i) 1 ∈ S

ii) Vîi måi x, y ∈ S th¼ xy ∈ S

ành ngh¾a 1.1.6 Cho X l  mët v nh, A l  mët bë phªn cõa X ên

ành vîi hai ph²p to¡n trong X, tùc l 

∀x, y ∈ A : x + y ∈ A, x.y ∈ A

Khi â, n¸u A còng hai ph²p to¡n c£m sinh tr¶n A l  mët v nh th¼ A

l  mët v nh con cõa X

V½ dö 1.1.7 • Mët v nh X luæn câ hai v nh con t¦m th÷íng l {0} v  X.

• V nh giao ho¡n câ ìn và A l  v nh con cõa v nh a thùc A[x],A[x] l  v nh con cõa v nh a thùc hai bi¸n A[x, y]

M»nh · 1.1.8 Cho X l  mët v nh, ∅ 6= A ⊆ X Khi â A l  mët

v nh con cõa X khi v  ch¿ khi

∀x, y ∈ A : x − y ∈ A, x.y ∈ A

ành lþ sau d¹ d ng ÷ñc suy ra tø ành ngh¾a

ành lþ 1.1.9 Giao cõa mët hå b§t ký kh¡c réng nhúng v nh concõa mët v nh X l  mët v nh con cõa X

ii) a 6= 0 ÷ñc gåi l  ÷îc cõa 0 n¸u ∃d ∈ X, d 6= 0 : ad = 0

iii) a ÷ñc gåi l  kh£ nghàch n¸u ∃c ∈ X : ac = 1

iv) Ta nâi a, b li¶n k¸t vîi nhau n¸u tçn t¤i ph¦n tû kh£ nghàch u :

a = ub ho°c b = ua

v) N¸u a l  ÷îc cõa b, a khæng kh£ nghàch v  a khæng li¶n k¸t vîi

b th¼ a ÷ñc gåi l  ÷îc thüc sü cõa b

vi) N¸u a 6= 0, a khæng kh£ nghàch, a khæng câ ÷îc thüc sü th¼ agåi l  ph¦n tû b§t kh£ quy.

ành ngh¾a 1.2.2 V nh giao ho¡n X gåi l  mi·n nguy¶n n¸u X câ

ìn và, câ nhi·u hìn 1 ph¦n tû v  khæng câ ÷îc cõa 0

V½ dö 1.2.3 C¡c vnh sè nguy¶n Z, Q, R, C l  c¡c mi·n nguy¶n

ành ngh¾a 1.2.4 X l  tr÷íng n¸u X l  mi·n nguy¶n m  trong âmåi ph¦n tû kh¡c khæng ·u câ mët nghàch £o trong và nhâm nh¥n

X

V½ dö 1.2.5 Tr÷íng sè húu t¿ Q, tr÷íng sè thüc R, tr÷íng sè phùcC

ành ngh¾a 1.2.6 Gi£ sû X l  mët tr÷íng, A l  mët bë phªn cõa

X ên ành vîi hai ph²p to¡n trong X A ÷ñc gåi l  mët tr÷íng concõa tr÷íng X n¸u A còng vîi hai ph²p to¡n c£m sinh tr¶n A l  mëttr÷íng

ành lþ 1.2.7 Gi£ sû A l  mët bë phªn câ nhi·u hìn mët ph¦n tûcõa mët tr÷íng X C¡c i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng:

1.3 I¶an v  çng c§u v nh

1.3.1 I¶an

ành ngh¾a 1.3.1 Cho X l  mët v nh, I l  v nh con cõa X Khi â

I ÷ñc gåi l  i¶an tr¡i (ph£i) n¸u ∀x ∈ X, a ∈ I th¼ xa ∈ I (ax ∈ I)

I vøa l  i¶an tr¡i vøa l  i¶an ph£i th¼ I ÷ñc gåi l  i¶an cõa X.V½ dö 1.3.2 - Mët v nh X ·u chùa hai i¶an t¦m th÷íng {0} v 

X

- Tªp hñp mZ gçm c¡c sè nguy¶n l  bëi cõa mët sè nguy¶n m chotr÷îc l  mët i¶an trong v nh Z

°c tr÷ng cõa i¶an ÷ñc cho bði m»n · sau

M»nh · 1.3.3 Cho X l  mët v nh, I l  mët tªp con kh¡c réng cõa

X Khi â I l  i¶an cõa X n¸u v  ch¿ n¸u ∀a, b ∈ I, ∀x ∈ X th¼

iv) I ÷ñc gåi l  i¶an b§t kh£ quy n¸u I = I1 ∩ I2 trong â I1, I2

l  c¡c i¶an cõa X th¼ I = I1 ho°c I = I2

V½ dö 1.3.5 + pZ vøa l  i¶an cüc ¤i vøa l  i¶an nguy¶n sì v công l  i¶an nguy¶n tè cõa Z (vîi p l  sè nguy¶n tè)

+ I = 7Z l  i¶an b§t kh£ quy cõa v nh Z

ành ngh¾a 1.3.6 Cho X, Y l  c¡c v nh v  f : X → Y l  mët çngc§u v nh Cho I l  i¶an cõa X, i¶an f(I)Y cõa Y sinh bði f(I)

÷ñc gåi l  mð rëng cõa I trong Y

ành ngh¾a 1.3.7 Cho X, Y l  c¡c v nh v  f : X → Y l  mët çngc§u v nh Cho J l  i¶an cõa Y th¼ f−1(J ) = {x ∈ X|f (x) ∈ J } l i¶an cõa X ÷ñc gåi l  i¶an co rót cõa J trong X

Mët lîp i¶an r§t quan trång l  i¶an húu h¤n sinh

ành ngh¾a 1.3.8 Cho X l  mët v nh, A l  mët tªp con cõa X.Giao cõa t§t c£ c¡c i¶an cõa X chùa A l  i¶an nhä nh§t chùa A v 

÷ñc gåi l  i¶an sinh bði A K½ hi»u hAi Khi â A ÷ñc gåi l  tªpsinh cõa hAi

N¸u tªp sinh A câ húu h¤n ph¦n tû th¼ ÷ñc gåi l  i¶an húu h¤nsinh

ành lþ 1.3.9 Cho X l  v nh giao ho¡n câ ìn và 1, A l  mët tªpcon cõa X Khi â

Gåi a = a1x1 + + anxn, b = a1y1 + + anyn ∈ B v  x ∈ X.D¹ th§y a − b ∈ B v  xa = ax ∈ B Suy ra B l  i¶an cõa X V¼

∀x ∈ A : x = 1.x n¶n ta câ A ⊆ B

Hìn núa, vîi måi x1, , xn ∈ A måi i¶an cõa X chùa A th¼ ·uchùa a1x1, , anxn n¶n công chùa x1a1 + + xnan Vªy B l  i¶annhä nh§t chùa A Ta nhªn ÷ñc kh¯ng ành cõa m»nh ·

ii) f(ab) = f(a)f(b) vîi ∀a, b ∈ X

N¸u çng c§u v nh f l  ìn ¡nh (to n ¡nh, song ¡nh) th¼ f ÷ñcgåi l  ìn c§u (to n c§u, ¯ng c§u)

V½ dö 1.3.12 + nh x¤ f : X → Y , x 7→ 0 l  çng c§u

+ Cho S l  mët v nh con cõa X th¼ ¡nh x¤ i : a 7→ a, ∀a ∈ S l 

ìn c§u (ph²p nhóng)

ành ngh¾a 1.3.13 Cho X l  mët v nh, I l  i¶an cõa X

Tªp X/I = {x + I|x ∈ X} còng vîi ph²p to¡n cëng v  nh¥n x¡c ànhnh÷ sau:

(x + I) + (y + I) = (x + y) + I,

(x + I).(y + I) = xy + Ivîi ∀x, y ∈ X l  mët v nh v  gåi l  v nh th÷ìng cõa X theo I.

V½ dö 1.3.14 Cho v nh X l  mët v nh tòy þ Khi â:

X/{0} = {x + {0}|x ∈ X} w X,

X/X = {x + X|x ∈ X} = {X} w {0}

T½nh ch§t 1.3.15 Cho v nh giao ho¡n X, I l  i¶an cõa X

• N¸u J l  i¶an cõa X sao cho J ⊇ I th¼ J/I l  i¶an cõa v nhth÷ìng X/I v  vîi r ∈ R ta câ r + I ∈ J/I khi v  ch¿ khi r ∈ J

• Méi i¶an B cõa R/I ·u câ d¤ng K/I vîi K l  i¶an cõa Xthäa m¢n K ⊇ I

• J1, J2 l  c¡c i¶an cõa X sao cho J1, J2 ⊇ I Ta câ J1/I ⊇ J2/Ikhi v  ch¿ khi J1 ⊇ J2

1.4 V nh a thùc

1.4.1 X¥y düng v nh a thùc mët bi¸n

Cho A v nh giao ho¡n câ ìn và 1, ta °t

P = {(a0, a1, , an, )|ai ∈ A, i = 0, 1, v  ai = 0 h¦u kh­p nìi}X²t 2 ph²p to¡n tr¶n P nh÷ sau:

(a0, a1, , an, ) + (b0, b1, , bn, ) := (a0 + b0, a1 + b1, , an + bn, )

(a0, a1, , an, ).(b0, b1, , bn, ) := (c0, c1, , cn, )

vîi ck = P

i+j=kaibj, k = 0, 1, 2,

Khi â, (P, +, ) l  v nh giao ho¡n câ ìn và

X²t quy t­c f : A → P , a 7→ f(a) = (a, 0, )

D¹ th§y

f (a + b) = f (a) + f (b),

f (a.b) = f (a).f (b)

f (a) = f (b) ⇔ a = b

vîi måi a, b ∈ A Vªy f l  ìn c§u

Do f l  ìn c§u n¶n ta câ thº coi A l  v nh con cõa P , v  ta câthº çng nh§t méi ph¦n tû a ∈ A vîi £nh f(a) cõa nâ trong P Trong

P, ta k½ hi»u

x0 : = (1, 0, )

x1 : = (0, 1, )

x2 : = (0, 0, 1, )

V¼ c¡c ph¦n tû cõa P l  c¡c d¢y (a0, a1, , an, ) trong â ai ∈ A

v  b¬ng 0 h¦u kh­p nìi n¶n ta câ thº gi£ sûa n l  sè lîn nh§t º

an 6= 0 ( tùc l  an+1 = an+2 = = 0) Khi â, c¡c ph¦n tû trong P

câ thº vi¸t:

(a0, a1, , an, ) = (a0, 0, ) + + (0, , 0, an, 0, )

= (a0, 0, )(1, 0, ) + + (an, 0, )(0, , 0, 1, 0, )

= a0x0 + a1x1 + + anxn

Khi â, v nh P câ thº vi¸t

V nh An = An−1[xn], k½ hi»u A[x1, , xn], gåi l  v nh a thùc cõa n

©n x1, x2, , xn l§y h» tû trong v nh A Méi ph¦n tû cõa An gåi l  mët

a thùc cõa n ©n x1, , xn vîi h» tû trong v nh A, th÷íng k½ hi»u l 

1.4.2 T½nh ch§t cõa v nh a thùc

ành lþ 1.4.2 N¸u A l  mi·n nguy¶n th¼ v nh a thùc A[x] công l mi·n nguy¶n

ành lþ 1.4.3 Cho K l  mët tr÷íng v  g(x) l  a thùc kh¡c 0 cõaK[x] Khi â måi a thùc f ∈ K[x] câ thº vi¸t d÷îi d¤ng

V½ dö 1.5.2 + V¼ måi i¶an cõa v nh sè nguy¶n Z câ d¤ng nZ ·uhúu h¤n sinh n¶n nâ l  v nh Noether

+ Tr÷íng sè Q, R, C ·u l  v nh Noether, bði måi tr÷íng ch¿ câ haii¶an l  (0) v  (1)

ành lþ 1.5.3 A l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và, khi â c¡c kh¯ng

ành sau t÷ìng ÷ìng:

i) A l  v nh Noether

ii) Méi tªp kh¡c réng c¡c i¶an cõa A luæn tçn t¤i mët ph¦n tû cüc

¤i

iii) Vîi I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ Ik ⊆ Ik+1 l  mët d¢y t«ng c¡c i¶an cõa

A luæn tçn t¤i n º In = In+1 = tùc måi d¢y t«ng c¡c i¶an cõa A

·u døng

ành lþ 1.5.4 N¸u A l  mët v nh Noether th¼ v nh a thùc A[x] l 

v nh Noether

H» qu£ 1.5.5 • N¸u A l  v nh Noether th¼ v nh a thùc n bi¸nA[x1, , xn] công l  v nh Noether

• N¸u K l  mët tr÷íng th¼ v nh K[x1, , xn] l  v nh Noether

1.6 àa ph÷ìng hâa cõa v nh v  mæun

Ta x²t v nh ð ¥y l  v nh giao ho¡n, câ ìn và n¶n ta ch¿ ành ngh¾amæun tr¡i, â công ch½nh l  ành ngh¾a mæun

ành ngh¾a 1.6.1 Cho R l  v nh câ ìn và, mët nhâm Aben cëng

M ÷ñc gåi l  R-mæun n¸u tçn t¤i mët ¡nh x¤ gåi l  ph²p nh¥n væh÷îng R × M → M, (α, x) 7→ αx sao cho c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n:i) (α + β)x = αx + βx

ii) α(x + y) = αx + αy

iii) (αβ)x = α(βx)

iv) 1x = x vîi måi α, β ∈ R, x, y ∈ M

Nhªn x²t 1.6.2 N¸u R l  mët tr÷íng th¼ R-mæun l  mët khænggian vectì tr¶n R

ành ngh¾a 1.6.3 Cho M l  R-mæun v  hå X = {xi}i∈I ÷ñc gåi

l  h» sinh cõa M n¸u måi ph¦n tû cõa M ·u câ thº vi¸t d÷îi d¤ng

tê hñp tuy¸n t½nh cõa c¡c ph¦n tû mi ngh¾a l  vîi måi m ∈ M tçn t¤imët hå c¡c ph¦n tû ai ∈ R, i ∈ I sao cho m = Pi∈Iaimi Mæun M

÷ñc gåi l  mët mæun húu h¤n sinh n¸u M câ h» sinh l  húu h¤n

ành ngh¾a 1.6.4 M ÷ñc gåi l  mët R-mæun trung th nh n¸ulinh hâa tû cõa nâ b¬ng 0, tùc l  AnnM(x) = {a ∈ M |ax = 0} b¬ng

0

ành ngh¾a 1.6.5 Cho M l  R-mæun, S l  tªp con nh¥n âng cõa

R Tr¶n M × S = {(m, s)|m ∈ M, s ∈ S} ta ành ngh¾a quan h» ∼nh÷ sau: vîi måi (m, s), (m0

, s0) ∈ M × S(m, s) ∼ (m0, s0) ⇔ ∃t ∈ S : t(ms0 − sm0) = 0

Khi â d¹ d ng chùng minh ÷ñc ∼ l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n

M × S Suy ra M × S ÷ñc chia th nh c¡c lîp t÷ìng ÷ìng, k½ hi»u(m, s) l  lîp t÷ìng ÷ìng chùa (m, s) tùc l 

(m, s) = {(m0, s0) ∈ M × S|(m, s) ∼ (m0, s0)}

º thuªn ti»n ta k½ hi»u m

s thay cho (m, s), k½ hi»u S−1M l  tªp th÷ìngcõa M × S theo quan h» t÷ìng ÷ìng ∼, tùc l 

Tr¶n S−1R ta trang bà hai ph²p to¡n (+), (.) nh÷ sau:

T÷ìng tü nh÷ vªy tr¶n S−1M ta trang bà hai ph²p to¡n (+), (.)nh÷ sau:

t.

m

s =

rmts

iii) S−1M câ c§u tróc mët R-mæun bði ph²p nh¥n væ h÷îng x¡c ành

°c bi»t S−1R công l  mët R-mæun

iv) Cho R l  mët v nh v  P l  mët i¶an nguy¶n tè cõa R th¼ S =R\P = {x|x ∈ R, x /∈ P } l  tªp con nh¥n âng cõa R K½ hi»u

S−1R = RP v  RP = {r

s|r ∈ R, s ∈ S} Nâ l  v nh àa ph÷ìng ÷ñcgåi l  àa ph÷ìng hâa cõa R t¤i P vîi i¶an cüc ¤i duy nh§t l 

P RP = {s

r|r ∈ P, s ∈ S} Qu¡ tr¼nh R ¸n RP gåi l  àa ph÷ìng hâa

ành lþ 1.6.7 Cho çng c§u tü nhi¶n f : R → S−1R, I l  i¶an cõa

R °t S−1I = Ie = f (I)S−1R Khi â S−1I = {a

s|a ∈ I, s ∈ S} l i¶an cõa S−1R

Chùng minh V¼ S−1I l  i¶an sinh bði f(I) trong S−1Rn¶n måi ph¦n

ành lþ 1.6.8 Cho çng c§u tü nhi¶n f : R → S−1R, måi i¶an cõa

S−1R câ d¤ng S−1I vîi I l  i¶an cõa R Hìn núa l  i¶an thüc sün¸u v  ch¿ n¸u I ∩ S = ∅

BAO ÂNG NGUY–N CÕA

I–AN

Trong ch÷ìng n y e muèn giîi thi»u v· bao âng nguy¶n, ¦u ti¶n

em tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m cì b£n, möc ti¸p theo l  mæ t£ bao ângnguy¶n vîi reduction v  cuèi còng l  ph¦n nëi dung bao âng nguy¶ncõa mët i¶an

T§t c£ c¡c v nh nghi¶n cùu trong ch÷ìng 2 v  ch÷ìng 3 ·u l  v nhgiao ho¡n, câ ìn và

2.1 T½nh ch§t cì b£n

ành ngh¾a 2.1.1 Cho I l  mët i¶an cõa v nh R Ph¦n tû r ∈ R

÷ñc gåi l  nguy¶n tr¶n I n¸u tçn t¤i mët sè nguy¶n n v  c¡c ph¦n

tû ai ∈ Ii , i = 1, , n sao cho

rn + a1rn−1 + a2rn−2 + + an−1r + an = 0.Ph÷ìng tr¼nh tr¶n ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh phö thuëc nguy¶ncõa r tr¶n I (bªc n)

Tªp t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa R nguy¶n tr¶n I ÷ñc gåi l  bao ângnguy¶n cõa I v  k½ hi»u I °c bi»t:

• N¸u I = I th¼ I ÷ñc gåi l  âng nguy¶n

• N¸u I ⊆ J l  c¡c i¶an ta nâi J l  nguy¶n I n¸u J ⊆ I

• N¸u I l  mët i¶an sao cho vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n m  In l 

âng nguy¶n th¼ I l  i¶an chu©n t­c

V½ dö 2.1.2 a) Cho R l  mët v nh, hai ph¦n tû b§t k¼ x, y ∈ R Khi

â xy l  ph¦n tû nguy¶n cõa i¶an I = (x2, y2), tùc l  xy ∈ (x2, y2).Bði v¼ ta câ

4 C¡c i¶an c«n, i¶an nguy¶n tè l  âng nguy¶n

5 √0 ⊆ I vîi måi i¶an I, ð â √0 = {r ∈ R|∃n > 0 sao cho

rn = 0}-c«n lôy linh cõa v nh

6 Giao cõa c¡c âng nguy¶n l  âng nguy¶n

7 N¸u ϕ : R → S l  çng c§u v nh th¼ ϕ(I) ⊆ ϕ(I)S