Quạt groebner của iđean trong vành đa thức

Ta quy ÷îc a thøc khæng câ b“c... Grobner cıa mºt i ¶anCì sð Grobner cho còng i ¶an nh÷ng Łi vîi thø tü ìn thøc kh¡c nhau câ nhœng t‰nh ch§t kh¡c nhau v câ th” træng r§t kh¡c nhau... i P

B¸GI ODÖCV OT OTR×˝NG I H¯C QUY NHÌN

B“c cıa a thøc f 6= 0l b“c lîn nh§t cıa c¡c ìn thøc vîi h» sŁ kh¡c

khæng cıa f Ta quy ÷îc a thøc khæng câ b“c

Chó þ 1.2 ([1]) Chó þ r‹ng K[x1; : : : ; xn] cÆn l mºt K-khæng gian vectì.V… v“y t“p t§t c£ c¡c ìn thøc l mºt cì sð cıa K-khæng gian vectì n y n¶nK[x1; : : : ; xn] câ chi•u væ h⁄n khi x†t nh÷ K[x1; : : : ; xn]

1.1 V nh a thøc v thø tü ìn thøc trong K [x 1 ; : : : ; x n ]

ành ngh¾a 1.3 ([1]) Mºt t“p con I K[x1; : : : ; xn] ÷æc gåi l mºt i ¶ann‚u I thäa m¢n c¡c t‰nh ch§t sau

V‰ dö 1.1 I ¶an khæng ÷æc sinh bði a thøc 0 V nh K[x1; : : : ; xn]

÷æc sinh bði a thøc 1 ¥y l hai v‰ dö ìn gi£n nh§t v• c¡c i ¶an trong v

ành ngh¾a 1.7 ([1]) MŁi quan h» thø tü tr¶n t“p M c¡c ìn thøc cıa K[x1; : : : ; xn] ÷æc gåi l mºt thø tü ìn thøc n‚u thäa m¢n c¡c i•u ki»n sau

(i) > l mºt quan h» thø tü to n phƒn,

(ii) x > x ) x + > x + vîi måi 2 Nn,

(iii) > l mºt quan h» tŁt tr¶n t“p M, tøc l måi t“p con kh¡c rØng cıa M •u

câ phƒn tß b† nh§t

1.1 V nh a thøc v thø tü ìn thøc trong K [x 1 ; : : : ; x n ]

BŒ • 1.8 ([1]) Mºt quan h» thø tü > tr¶n M l mºt thø tü tŁt khi v

ch¿ khi måi d¢y gi£m thüc sü trong M •u dłng

M»nh • 1.9 ([1]) Ch¿ câ mºt thø tü ìn thøc duy nh§t trong v nh a thøcmºt bi‚n K[x], â l thø tü b“c

: : : > xn+1 > xn > : : : > x2 > x > 1:

ành ngh¾a 1.10 (Thø tü tł i”n) ([1]) Cho c¡c ìn thøc x ; x 2 M: Ta nâi

x >lex x n‚u phƒn tß kh¡c khæng ƒu ti¶n b¶n tr¡i cıa vectì l d÷ìng

ành ngh¾a 1.11 (Thø tü tł i”n ph¥n b“c) ([1]) Ta nâi x >grlex x n‚u j j >

j j ho°c j j = j j v x >lex x , trong â j j = 1 + : : : + n:

ành ngh¾a 1.12 (Thø tü tł i”n ng÷æc ph¥n b“c) ([1]) Ta nâi x >grevlex

x n‚u j j > j j ho°c j j = j j v phƒn tß kh¡c khæng ƒu ti¶n b¶n tr¡i cıa vectì l

x b‹ng c¡ch tr÷îc ti¶n so s¡nh trång cıa chóng theo w1, tøc l :w1 v :w1.N‚u :w1 > :w1 ho°c :w1 > :w1 th… ta s›p x‚p c¡c ìn thøc t÷ìng øng vîi thø

tü cıa trång w1 N‚u :w1 = :w1 th… ta ti‚p töc tîi c¡c h ng ph‰a sau Qu¡tr…nh n y x¡c ành mºt thø tü >M

1.1 V nh a thøc v thø tü ìn thøc trong K [x 1 ; : : : ; x n ]

M»nh • 1.14 ([1])

(i) N‚u Ker(M) \ Zn = f0g th… thø tü >M l to n phƒn.

(ii) N‚u M câ t§t c£ c¡c h» sŁ •u khæng ¥m th… >M lthø tü tŁt

M»nh • 1.15 ([1])

(i) Cho >M l mºt thø tü ma tr“n vîi h ng ƒu ti¶n l w Khi â

w 2 (Rn)+ = f(a1; ; an) : ai 0; vîi måi ig:

Ta gåi (Rn)+ l gâc phƒn d÷ìng trong (Rn)+

(ii) Måi vectì kh¡c khæng w 2 (Rn)+ l h ng ƒu ti¶n cıa mºt ma tr“n M sao cho >M l mºt thø tü ìn thøc

(iii) °t M v M0 l c¡c ma tr“n sao cho c¡c thø tü ma tr“n >M v >0M b‹ngnhau Khi â h ng ƒu ti¶n cıa chóng thäa m¢n w = w0 vîi > 0; n o â

M»nh • tr¶n suy ra r‹ng mØi thø tü ìn thøc x¡c ành mºt tia trong gâcphƒn d÷ìng (Rn)+, m°c dò c¡c thø tü ìn thøc kh¡c nhau câ th” còng tia

v t÷ìng tü trong K[x1; :::; xn] vîi måi n 1

(ii) Thø tü grevlex vîi x > y > z ÷æc x¡c ành bði ma tr“n

M=B0 0 1C

v t÷ìng tü trong K[x1; :::; xn] vîi måi n 1

(iii) Thø tü grlex so s¡nh c¡c ìn thøc ƒu ti¶n theo tŒng b“c (vectì trång

sŁ w1 = (1; 1; 1)), v ph¥n ành ti‚p theo thø tü lex Theo â, còng vîi(i), ta câ >grlex= >M vîi ma tr“n

1.2 Thu“t to¡n chia trong K [x 1 ; : : : ; x n ]

1.2 Thu“t to¡n chia trong K [x 1 ; : : : ; x n ]

(ii) H» sŁ d¤n ƒu cıa f l h» sŁ cıa ìn thøc d¤n ƒu cıa f, kþ hi»u l

LC>(f),

(iii) Tł d¤n ƒu cıa f l

LT>(f) = LC>(f)LM>(f):

Chó þ r‹ng thø tü > cıa c¡c ìn thøc M c£m sinh mºt thø tü tr¶n t“p c¡c

tł cıa v nh K [x1; : : : ; xn], â l

m1 > m2 ) c1m1 > c2m2vîi måi c1; c2 2 K; m1; m2 2 M Tuy nhi¶n, n‚u c1 6=c2 th… c1m1 v c2m2

l khæng so s¡nh ÷æc vîi nhau theo thø tü n y Do â thø tü vła x¥ydüng khæng ph£i l mºt thø tü to n phƒn tr¶n t“p c¡c tł cıa v nh a thøc K [x1; : : : ; xn]

BŒ • 1.18 ([1]) Cho f; g 2 K [x1; : : : ; xn] l c¡c a thøc kh¡c khæng Khi â

(i) LT (f g) = LT (f)LT (g):

(ii) N‚u f + g 6= 0th…

LM(f + g) maxfLM(f); LM(g)g:

D§u b‹ng x£y ra khi LT (f) 6=LT (g):

ành lþ 1.19 (Thu“t to¡n chia) ([1]) Cho > l mºt thø tü ìn thøc tr¶n M.Cho F = (f1; : : : ; fn) l mºt bº câ thø tü gçm s a thøc trong K [x1; : : : ;

xn] Khi â vîi mØi f 2 K [x1; : : : ; xn] ta câ bi”u di„n

f = q1f1 + : : : + qsfs + r;

trong â qi; r 2 K [x1; : : : ; xn] vîi måi i, v ho°c l r = 0 ho°c khæng câ tł

n o cıa r chia h‚t cho mºt trong c¡c tł LT>(f1); : : : ; LT>(fn)

Hìn nœa, n‚u qifi 6= 0th… LM>(f) LM>(qifi)

1.3 I ¶an ìn thøc

ành ngh¾a 1.20 ([1])

ành ngh¾a 1.21 ([1]) Måi i ¶an I K [x1; : : : ; xn] ÷æc gåi l mºt i ¶an

ìn thøc n‚u I ÷æc sinh bði mºt t“p c¡c ìn thøc, tøc l tçn t⁄i mºt t“p A Msao cho vîi måi f 2 I ta câ

M»nh • 1.22 ([1]) Cho I = hAi l â ìn

thøc x 2 I khi v ch¿ khi tçn x

mºt i ¶an ìn thøc, A M Khi t⁄i x 2

A sao cho x chia h‚t cho

BŒ• 1.23 ([1]) Cho I l mºt i ¶an ìn thøc v f 2 K[X] Khi â c¡c i•u sau l t÷ìng ÷ìng:

(i) f 2 I,

(ii) MØi tł cıa f n‹m trong I,

(iii) f l mºt tŒ hæp k-tuy‚n t‰nh cıa c¡c ìn thøc trong I

I = hx j 2 Ai.

ành ngh¾a 1.25 ([1]) Cho I l mºt i ¶an kh¡c khæng Kþ hi»u LT (I) lt“p c¡c phƒn tß cıa i ¶an I I ¶an d¤n ƒu cıa I, kþ hi»u hLT (I)i, l i ¶ansinh bði c¡c phƒn tß cıa LT (I)

Nh“n x†t r‹ng n‚u I = hf1; : : : ; fni th… rª r ng

hLT (f1); : : : ; LT (fn)i hLT (I)i :Tuy nhi¶n, nâi chung d§u b‹ng khæng x£y ra

ành lþ 1.26 ( ành lþ cì sð Hilbert) ([1]) Måi i ¶an I K [x1; : : : ; xn] •u

câ mºt t“p sinh hœu h⁄n Nâi c¡ch kh¡c, cho mºt i ¶an I, th… tçn t⁄i mºtt“p hœu h⁄n c¡c a thøc ff1; : : : ; fng 2 K [x1; : : : ; xn] sao cho I =

BŒ • 1.28 (BŒ • Shape) ([1]) °t I l i ¶an c«n chi•u khæng sao cho tåa

º xn cıa c¡c i”m trong V (I) l kh¡c nhau °t G l cì sð Grobner rót gån cıa I

Łi vîi thø tü ìn thøc lex v xn l bi‚n cuŁi còng

(i) N‚u V (I) câ m i”m, c¡c lîp 1; [xn]; : : : ; [xmn 1

BŒ • 1.29 ([1]) Cho G l cì sð Grobner cıa i ¶an I Gi£ sß p 2 G l mºt

a thøc sao cho

LT (p) 2 hLT (G n fpg)i :Khi â G n fpg công l mºt cì sð Grobner cıa I

ành ngh¾a 1.30 ([1]) Mºt cì sð Grobner cüc ti”u cıa i ¶an I l mºt cì

sð Grobner G cıa I sao cho

(i) LP (p) = 1 vîi måi p 2 G,

(ii) vîi måi p 2 G, LT (p) 2= hLT (G n fpg)i :

ành ngh¾a 1.31 ([1]) Mºt cì sð Grobner rót gån cıa i ¶an I

l sð Grobner G cıa I sao cho

mºt cì

(i) LP (p) = 1 vîi måi p 2 G,

(ii) vîi måi p 2 G, khæng câ ìn thøc n o cıa p n‹m trong hLT (G n fpg)i:

H» qu£ 1.32 ([1]) Måi i ¶an kh¡c khæng trong K [x1; : : : ; xn] •u câ mºt cì sð Grobner Hìn nœa, b§t k… cì sð Grobner n o cıa I công

sinh ra I

M»nh • 1.33 ([1]) Cì sð Grobner rót gån cıa mºt i ¶an I K[x1; : : : ; xn] l duy nh§t

Grobner cıa mºt i ¶an

Cì sð Grobner cho còng i ¶an nh÷ng Łi vîi thø tü ìn thøc kh¡c nhau

câ nhœng t‰nh ch§t kh¡c nhau v câ th” træng r§t kh¡c nhau V‰ dönh÷, i ¶an

I = z2 x + y 1; x2 yz + x; y3 xz + 2 Q[x; y; z]

câ ba cì sð Grobner nh÷ sau

1. X†t theo thø tü grevlex vîi x > y > z V… tł d¤n ƒu cıa c¡c phƒn tß trong I l æi mºt nguy¶n tŁ còng nhau n¶n

2. X†t theo thø tü trång >w;grevlex tr¶n Q[x; y; z] vîi w = (2; 1; 5).Tr÷îc ti¶n so s¡nh c¡c ìn thøc theo vectì w v ti‚p töc ph¥n ànhvîi thø tü grevlex Cì sð Grobner thu gån cho I Łi vîi thø tü ìnthøc n y câ d⁄ng

fxy3+y2 xy y+2x+y3+2; yz x2 x; y6+4y3+yx2+4 y4 2y; x2y2+

2z + xy x2 x + xy2; x3 y4 2y + x2; xz y3 2; z2 + y x 1g Cì sð n y

câ b£y phƒn tß thay v… ba phƒn tß

3. X†t theo thø tü lex vîi x > y > z Cì sð Grobner thu gån cho I Łi vîi thø tü ìn thøc n y câ d⁄ng

fz12 3z10 2z8+4z7+6z6+14z5 15z4 17z3+z2+9z+6; y+38977 1(1055z11+515z10+42z9 3674z8 12955z7+5285z6 1250z5+36881z4+7905z3+

Ta kþ hi»u

M on(I) = fhLT>(I)i : > l mºt thø tü ìn thøcg:

ành lþ 2.1 Vîi mØi i ¶an I K[x1; ; xn], t“p hæp M on(I) l hœu h⁄n

2.1 T‰nh hœu h⁄n cıa t“p hæp c¡c cì sð Grobner cıa mºt i ¶an

Chøng minh Gi£ sß M on(I) l t“p væ h⁄n Vîi mØi i ¶an ìn thøc Ntrong M on(I), °t >N l mºt thø tü ìn thøc cö th” sao cho N = hLT> N i °t

l t“p hæp c¡c thø tü ìn thøc f>N : N 2 M on(I)g Tł gi£ thi‚t ta

The o P

lsuy ra

ành lþ cì sð Hilbert ta câ I =MØi fi ch¿ chøa hœu h⁄n c¡c sŁ h⁄ng, theo nguy¶n lþ Dirichlet do â tçn

F l cì sð Grobner cıa I vîi t÷ìng øng >1, tł â suy ra r = 0 V… (2.1)

÷æc nh“n b‹ng thu“t to¡n chia n¶n LT>(f) = LT>(aifi) vîi mºt gi¡ trà i

n o â, v… v“y LT>(f) chia h‚t cho LT>(fi) i•u n y chøng minh r‹ng F

Tuy nhi¶n, i•u n y khæng th” x£y ra v… t“p c¡c thø tü ìn thøc

¢ ÷æc chån sao cho c¡c i ¶an ìn thøc

kh¡c nhau V… v“y, l§y

LT>1 (fs+1) 2= hLT>1 (f1); : : : ; LT>1 (fs)i = N1:Thay th‚ fs+1 bði phƒn d÷ trong ph†p chia cho f1; : : : ; fs , ta câ th” gi£

sß

khæng h⁄ng tß n o trong fs+1 chia h‚t cho måi ìn thøc sinh cıa N1

P PB¥y gií ta ¡p döng nguy¶n lþ Dirichlet lƒn nœa ” t…m t“p væ h⁄n 2

1

P

2 °t

N2 = hLT>1 (f1); : : : ; LT>1 (fs+1)i

2.1 T‰nh hœu h⁄n cıa t“p hæp c¡c cì sð Grobner cıa mºt i ¶an

Pvîi t§t c£ > trong 2, v chó þ r‹ng N1 N2 L“p lu“n ¢ ÷æc ÷a ra ð o⁄n tr÷îc

chøng minh r‹ng ff1; : : : ; fs+1g khæng th” l cì sð Grobner

t÷ìng øng vîi b§t ký thø tü ìn thøc trong 2, v… v“y cŁ ành >22

ta t…m ÷æc

måi ìn thøc sinh cıa N2 = hLT>1 (f1); : : : ; LT>1 (fs+1)i

Ti‚p töc qu¡ tr…nh n y, ta ÷æc mºt d¥y chuy•n gi£m væ h⁄n c¡c t“p con

P i 1

¶an ìn thøc N

ki»n d¥y chuy•n t«ng dƒn trong K[x1; : : : ; xn] V“y ta câ i•u ph£i chøng

minh

Vîi hai thø tü ìn thøc kh¡c nhau câ th” cho c¡c cì sð Grobner thu gån

giŁng nhau, trong khi tł d¤n ƒu cıa mºt v i a thøc cì sð l kh¡c nhau tòy

Di„n ⁄t mºt c¡ch næm na l cì sð Grobner ÷æc ¡nh d§u cıa I l mºt t“p G

cıa a thøc trong I, còng vîi mºt tł d¤n ƒu ÷æc x¡c ành trong mØi g 2 G

sao cho G l cì sð Grobner thu gån t÷ìng øng vîi mºt thø tü ìn thøc n o â

tł d¤n ƒu

Þ t÷ðng ð¥y ch‰nh l ta khæng x¥y düng mºt thø tü ìn thøc ri¶ng bi»t ”

ành ngh¾a G M tł ành lþ 2.1 ta th§y r‹ng mØi i ¶an K[x1; : : : ; xn]

ch¿ câ hœu h⁄n cì sð Grobner÷æc ¡nh d§u

H» qu£ 2.3 T“p hæp cıa c¡c cì sð Grobner ÷æc ¡nh d§u cıa I l t÷ìng

øng mºt mºt vîi t“p M on(I):

Chøng minh i”m m§u chŁt cıa v§n • â l n‚u c¡c tł d¤n ƒu cıa hai

cì sð Grobner ÷æc ¡nh d§u sinh còng i ¶an ìn thøc th… cì sð Grobner

ph£i b‹ng nhau.

2.2 Nân cıa mºt cì sð Grobner ÷æc ¡nh d§u 15

Chó þ 2.4 H» qu£ 2.3 cho chóng ta nhœng k‚t qu£ thó và sau Vîi måi

i ¶an I K[x1; ; xn], tçn t⁄i mºt t“p hœu h⁄n U I sao cho U l mºt cì sðGrobner çng thíi cho t§t c£ thø tü ìn thøc tr¶n K[x1; ; xn]

Mºt t“p U nh÷ v“y ÷æc gåi l cì sð Grobner phŒ döng Łi vîi I

X

gi = x (i) + ci; x

trong â x (i) > x vîi b§t ký ci; 6= 0Trong Ch÷ìng 1, mØi thø tü > ‚n tł mºt

ma tr“n M, v… v“y nâi ri¶ng, ” t…m c¡c tł d¤n ƒu ta so s¡nh tr÷îc ti¶n ìnthøc theo h ng ƒu ti¶n cıa w cıa ma tr“n N‚u (i):w > :w vîi måi v ci; 6= ,0th… vectì w chån ÷æc tł d¤n ƒu trong gi Tuy nhi¶n, ta câ th” câ mºt

sü ngang b‹ng trong lƒn so s¡nh ƒu ti¶n, khi â ta ph£i so s¡nh ti‚p b‹ngc¡ch sß döng c¡c h ng kh¡c cıa M i•u n y gæi þ r‹ng ta n¶n xem x†t c¡ct“p hæp sau ¥y:

CG = w 2

= w 2 (R )D„ d ng th§y ÷æc CG l giao cıa c¡c nßa khæng gian âng trong Rn, do

â nâ l h…nh nânâng a di»n lçi âng trong gâc phƒn d÷ìng Nân CG

câ t‰nh ch§t l n‚u >M l mºt thø tü ma tr“n sao cho G l cì sð Grobner

÷æc ¡nh d§u cıa I Łi vîi >M , th… h ng ƒu ti¶n w cıa M n‹m trong

CG Tuy nhi¶n, ta câ th” th§y b¶n d÷îi r‹ng ng÷æc l⁄i khæng óng, v… v“y

2.2 Nân cıa mºt cì sð Grobner ÷æc ¡nh d§u 16

mŁi quan h» giœa CG v c¡c thø tü ìn thøc m G l cì sð Grobner ÷æc ¡nhd§u th… khâ th§y hìn Trong v‰ dö sau chóng ta x¡c ành h…nh nânt÷ìng øng vîi mºt cì sð Grobner ÷æc ¡nh d§u ¢ cho cıa mºt i ¶an ¢ cho

(2; 0; 0):(a; b; c) (0; 1; 0):(a; b; c) ho°c 2a b

(0; 2; 0):(a; b; c) (1; 0; 1):(a; b; c) ho°c 2b a + c(0; 2; 0):(a; b; c) (0; 1; 1):(a; b; c) ho°c 2b b + c:

” h…nh dung CG(1) , c›t gâc phƒn d÷ìng b‹ng m°t phflng a + b + c = 1.C¡c b§t flng thøc ð tr¶n ÷æc v‡ ð h…nh 2.1, khi â c¡c tröc a, tröc b,tröc c ÷æc mæ t£ b‹ng c¡c n†t g⁄ch v ta ang nh…n v• ph‰a gŁc tåa º tłmºt i”m n‹m tr¶n tia i qua i”m (1; 1; 1):

Trong h…nh n y, b§tflng thøc 2a b cho vòng trong l¡t c›t b¶n tr¡i ( ÷æcch¿ ành bði môi t¶n) o⁄n thflng nŁi (0; 0; 1) t⁄i ¿nh cıa tam gi¡c ‚n (13 ;

2

3 ; 0) tr¶n ¡y Hai b§t flng thøc cÆn l⁄i ÷æc bi”u di„n t÷ìng tü,

v giao i”m cıa chóng trong gâc phƒn d÷ìng cho tø gi¡c trong phƒn l¡tc›t Khi â CG (1) bao gçm t§t c£ c¡c tia b›t nguçn tł gŁc i qua c¡c i”m cıa

tø gi¡c

B§t ký w t÷ìng øng vîi mºt i”m trong phƒn trong cıa CG (1) (b§t flng thøc tr¶n l nghi¶m ng°t) s‡ chån tł d¤n ƒu cıa c¡c phƒn tß cıa

2.2 Nân cıa mºt cì sð Grobner ÷æc ¡nh d§u 17

V‰ dö (2.1) sß döng thø tü grevlex vîi x > y > z, l ma tr“n câ h ng

ƒu ti¶n (1; 1; 1) Nh÷ng chóng câ kh¡c cì sð Grobner ÷æc ¡nh d§u.Nh÷ chóng ta s‡ th§y ð ành lþ (2.5) b¶n d÷îi, i•u n y ÷æc cho ph†p bðiv… vectì (1; 1; 1) n‹m tr¶n bi¶n cıa nân D÷îi ¥y l mºt sŁ t‰nh ch§t cıa

CG

2.2 Nân cıa mºt cì sð Grobner

ành lþ 2.5 Cho I l mºt i ¶an trong K[x1; ; xn], v gi£ sß G l

sð ÷æc ¡nh d§u cıa I

(i) Phƒn trong Int(CG) cıa nân CG l t“p con mð kh¡c rØng cıa Rn

(ii) Gi£ sß >M l thø tü ma tr“n b§t ký sao cho h ng ƒu ti¶n cıa M n‹mtrong Int(CG) Khi â, G l cì sð Grobner ÷æc ¡nh d§u cıa I t÷ìngøng vîi > M

(iii) Gi£ sß G0 l cì sð ÷æc ¡nh d§u kh¡c cıa I Khi â giao cıa CG \CG0

÷æc chøa trong mºt si¶u phflng cıa CG, v t÷ìng tü vîi CG 0

(iv) Hæp t§t c£ c¡c nân CG, vîi G l cì sð Grobner ÷æc ¡nh d§u cıa I, l gâc phƒn d÷ìng (Rn)+

Chøng minh (i) ” chøng minh phƒn (i), cŁ ành mºt thø tü ma tr“n

>M sao cho G l mºt cì sð Grobner ÷æc ¡nh d§u cıa I vîi t÷ìng øngtr¶n >M v l§y w1; w2; ; wm l mºt h ng cıa M Ta cƒn chøng minhr‹ng Int(CG) l t“p kh¡c rØng Th“t v“y

w = w1 + "w2 + + "m 1

wm 2 Int(CG)vîi " > 0 ı nhä Ta chøng minh r‹ng vîi sŁ mô ; ¢ cho, ta câ

x >M x ) :w > :w vîi " > 0 ı nhä,trong â " t‰nh ı nhä" phö thuºc v o ; v M Tł â ta câ th” s›p x‚p c¡ct“p hœu h⁄n v• còng mºt lo⁄i câ còng sŁ mô Tł

0 (trong â ei l vectì cì sð thø i) Theo â w l phƒn trong cıa gâcphƒn d÷ìng Tł â, w 2 Int(CG) theo mºt c¡ch trüc ti‚p

2.3 Qu⁄t Grobner cıa mºt i ¶an 19

(ii) °t >M l thø tü ma tr“n sao cho h ng ƒu ti¶n cıa M n‹m trong Int(CG).Mºt c¡ch d„ d ng, d¤n ‚n vîi mØi g 2 G; LT>M (g) l sŁ h⁄ng ÷æc ¡nhd§u cıa g Tł â, d„ d ng ” chøng minh G l cì sð Grobner ÷æc ¡nhd§u cıa I t÷ìng øng vîi >M

(iii) ” chøng minh (iii), trong V‰ dö 7, ta ¢ chøng minh r‹ng n‚u CG\CG0

chøa giao i”m cıa c¡c nân, do â theo (i) nâ chøa giao i”m cıa c£hai nân N‚u w l mºt i”m, ta l§y b§t ký thø tü ìn thøc >M ành

ngh¾a bði mºt ma tr“n câ h ng ƒu ti¶n l w Khi â theo (ii), G v G0 l hai cì sð Grobner ÷æc ¡nh d§u cıa I vîi t÷ìng øng ‚n >M i•u n y m¥u thu¤n vîi gi£ thi‚t G 6=G0:

(iv) T÷ìng tü nh÷ phƒn (ii) cıa V‰ dö 2.1

Trong phƒn n y ta s‡ tr£ líi cho c¥u häi " Câ hay khæng mºt c§u tróch…nh håc vîi n•n l t“p hæp c¡c sì sð Grobner cıa I ?"

Trong phƒn (ii) cıa ành lþ 2.5 chøng minh r‹ng CG \ CG0 l mºt m°t cıanân Theo â, ph⁄m vi cıa G tr¶n cì sð Grobner ÷æc ¡nh d§u cıa I, t“phæp gçm nân CG v c¡c m°t cıa nân l mºt qu⁄t â gåi l "qu⁄t Grobner" cıa

i ¶an I

Sß döng V‰ dö 2.3, ta câ th” x¡c ành qu⁄t Grobner cıa I tł (2.3) ” t…mki‚m cì sð Grobner thu gån cıa I Łi vîi thø tü "ti¶u chu'n" n o â (v‰ döthø tü grevlex v lex vîi c¡c thø tü kh¡c nhau) ƒu ti¶n ta x¡c ành h…nhnân t÷ìng øng Khi â n‚u hæp t§t c£ c¡c h…nh nân ¢ cho l x¡c

ành d÷ìng, chån mºt v i w trong phƒn bò, t‰nh to¡n cì sð Grobner thugån vîi >w;grevlex, t…m h…nh nân t÷ìng øng, v l°p l⁄i qu¡ tr…nh n y cho

‚n khi nân l x¡c ành d÷ìng

Vîi i ¶an cıa (2.3), c£ b£y h…nh nân, t÷ìng øng vîi cì sð Grobner ÷æc 2.3 Qu⁄t Grobner

¡nh d§u: