Số Bernoulli, Đa Thức Bernoulli Và Ứng Dụng

MỞ ĐẦU Các số Bernoulli được nhà toán học người Thụy sĩ Jacob Bernoulli 1654 – 1704 phát minh và nghiên cứu khi ông tìm một công thức tổng quát để tính tổng lũy thừa bậc m của n -1 số n

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS Mỵ Vinh Quang Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số kết quả từ nguồn sách, tạp chí, bài báo được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về luận văn của mình

LỜI CÁM ƠN

Lời cám ơn đầu tiên, tôi xin gởi tới PGS TS Mỵ Vinh Quang, người thầy mẫu mực

và nghiêm khắc, người tận tình giảng dạy, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học cao học

và đặc biệt là khi thực hiện luận văn Nhờ thầy, tôi đã hoàn thành tốt luận văn của mình và qua đó tôi học được từ thầy cách làm việc khoa học

Tiếp đến tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô trong khoa Toán – Tin Trường

Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh: PGS.TS Trần Tuấn Nam, TS Trần Huyên,

TS Phạm Thị Thu Thủy Quý thầy cô đã trực tiếp giảng dạy để trang bị cho tôi những

kiến thức cơ bản trong bước đường nghiên cứu toán học

Tôi cũng không quên bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô trong Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là quý thầy cô phòng Sau Đại Học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi học tập trong suốt quá trình học cao học

Xin gởi lời cám ơn chân thành đến TS Phan Thế Hải, người thầy truyền cho tôi

ngọn lửa đam mê toán học từ khi tôi còn là một sinh viên sư phạm Thầy luôn theo sát mọi bước đi của tôi từ lúc tôi ra trường đến nay

Xin khắc sâu công ơn ba, mẹ tôi Những người luôn ủng hộ mọi quyết định của tôi trong cuộc đời Nhờ họ tôi mới có thêm nghị lực để vượt qua những khó khăn trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng, lời cám ơn đặc biệt nhất, tôi xin gởi đến vợ và con gái yêu của tôi Chính

họ là chỗ dựa tinh thần vững chắc cho tôi trong suốt quá trình học cao học và hoàn thành luận văn

TP Hồ Chí Minh, tháng 03 – 2018

Đỗ Cao Trí

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CÁM ƠN

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1.Một số định nghĩa và tính chất của chuẩn trên trường 2

1.2 Chuẩn phi Archimede 3

1.3 Trường số p – adic p 5

1.4 Phân phối p – adic 10

1.5 Độ đo và tích phân p – adic 13

CHƯƠNG 2 SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI 15

2.1 Số Bernoulli và đa thức Bernoulli 15

2.2 Tính chất của số Bernoulli và đa thức Bernoulli 17

2.3 Các đồng dư thức liên quan đến số Bernoulli và đa thức Bernoulli 21

CHƯƠNG 3 : ỨNG DỤNG CỦA SỐ BERNOULLI VÀ ĐA THỨC BERNOULLI 30 3.1 Ứng dụng của số Bernoulli để tính khai triển Laurent của tan và cot 30

3.2 Khai triển Fourier của đa thức Bernoulli 31

3.3 Zeta – hàm số học 36

3.4 Độ đo và tích phân Bernoulli 38

KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

MỞ ĐẦU

Các số Bernoulli được nhà toán học người Thụy sĩ Jacob Bernoulli (1654 – 1704 ) phát minh và nghiên cứu khi ông tìm một công thức tổng quát để tính tổng lũy thừa bậc m của n -1 số nguyên dương đầu tiên Bằng số Bernoulli và đa thức Bernoulli, ông đã giải quyết được trọn vẹn bài toán và ông tự hào viết lại (trong cuốn Ars Conjectandi) rằng ông mất không quá 15 phút để có thể tính tổng lũy thừa bậc 10 của 1000 số nguyên dương đầu tiên

Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và toán học, số Bernoulli và đa thức Bernoulli đã đóng một vai trò quan trọng trong nhiều ngành khác nhau của toán học Đặc biệt là trong lý thuyết số hiện đại và giải tích p – adic, chẳng hạn, ta có công thức tính zeta – hàm hàm số học   s tại s2k qua các số Bernoulli như sau

Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị

Chương này sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về chuẩn trên một trường, khái niệm về chuẩn phi Archimede và một số kiến thức cần cho các chương sau

Chương 2 : Số Bernoulli và đa thức Bernoulli

Chương này trình một số tính chất của số Bernoulli và đa thức Bernoulli Đặc biệt trong chương này chúng tôi chứng minh một số đồng dư thức liên quan đến số Bernoulli và đa thức Bernoulli như đồng dư thức của Von Staud – Clausen, đồng dư thức của Kummer Chương 3 : Ứng dụng của số Bernoulli và đa thức Bernoulli

Chương này sẽ trình bày ứng dụng của số Bernoulli và đa thức Bernoulli để tính zeta – hàm số học và xây dựng độ đo p – adic, đặc biệt là độ đo và tích phân Bernoulli

CHƯƠNG 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p – adic p vá các tính chất cơ bản của nó Đặc biệt chương này cũng trình bày tóm tắt một số kết quả về độ đo

và tích phân p – adic cần cho các ứng dụng sau này Các kết quả của chương này được trình bày theo tài liệu tham khảo [2] và [3]

1.1 Một số định nghĩa và tính chất của chuẩn trên trường

Định nghĩa 1.1.1 Cho F là một trường, ánh xạ  : F  được gọi là một chuẩn trên F nếu thỏa các điều kiện sau

Định nghĩa 1.1.4 (Hai chuẩn tương đương)

Cho  1; 2 là hai chuẩn trên trường F Ta nói rằng hai chuẩn này tương đương nếu  x n

là dãy Cauchy theo chuẩn 1 khi và chỉ khi  x n là dãy Cauchy theo chuẩn 2

Chú ý rằng  x n là dãy Cauchy theo chuẩn  nghĩa là x m x n m n,  0 Hay

0, n : m n, n , x m x n

Định lý 1.1.5 (Các điều kiện tương đương của chuẩn)

Cho  1, 2 là hai chuẩn trên một trường F Khi đó, các điều sau là tương đương

1)  x F , x1 1 khi và chỉ khi x2 1

2)  x F , x1 1 khi và chỉ khi x2 1

3) Tồn tại hằng số C > 0 sao cho  x F x, 2  x1C

4) Các tôpô sinh bởi 1 và 2 là trùng nhau

5) 1 tương đương với

1.2 Chuẩn phi Archimede

Định nghĩa 1.2.1 (Chuẩn phi Archimede)

Cho  là một chuẩn trên trường F Khi đó chuẩn  được gọi là chuẩn phi Archimede trên F nếu nó thỏa thêm điều kiện

iii’) x y maxx; y với mọi x y, F

Chuẩn thỏa iii) nhưng không thỏa iii’) được gọi là chuẩn Archimede

Ví dụ 1.2.2

Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Archimede Thật vậy, nếu x y 0 thì

Mệnh đề 1.2.3 Cho F là một trường với chuẩn phi Archimede  , khi đó ta có

i) x y, F x,  y thì xy  maxx; y Nghĩa là mọi tam giác đều cân trong

không gian mêtric sinh bởi chuẩn 

iii) Mọi điểm thuộc hình cầu đều là tâm cuả nó

iv) Dãy  x n  F là dãy Cauchy lim n 1 n 0

Định lý 1.2.4 (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimede)

Cho F là một trường,  là một chuẩn trên F Các điều sau là tương đương

i)  là chuẩn phi Archimede

ii) 2 1

iii) n    1 n N nn.1 /n , trong đó 1 là đơn vị của F

là một chuẩn trên Chuẩn p được gọi là chuẩn p – adic hay chuẩn p Rõ ràng chuẩn p

là chuẩn phi Archimede trên

Định lý 1.2.8 (Ostrowski) Mọi chuẩn không tầm thường trên hoặc tương đương với

chuẩn p (p là số nguyên tố) hoặc tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường trên

1.3 Trường số p – adic p

1.3.1 Xây dựng trường số p – adic p

Từ định lý Oxtropxki ta thấy mọi chuẩn không tầm thường trên đều tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường  hoặc chuẩn phi Archimede p (p là số nguyên

tố) Mặt khác, ta đã biết làm đầy đủ theo  ta được trường số thực Làm đầy đủ

theo pta sẽ được trường mới mà ta gọi là trường số p – adic p Cụ thể cách xây dựng như sau

Xét p là chuẩn p – adic trên xác định bởi

n N y

Tiếp theo x p không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện Giả sử x   x n  y n thế

Định nghĩa 1.3.2 Với a b,  p , ta định nghĩa abmodp n a b p n

Ta nhận xét rằng với a b,  p thì a bmodp n a b p  pn Thật vậy, giả sử

Định lý 1.3.4 Cho x p và x p  1 Khi đó, x có một đại diện là  a n n 1; thỏa hai điều kiện sau

i) a n  , 0 a n  p n (n = 1; 2; …)

a a p (n = 1; 2; …)

Với x p,x p  1 thì theo định lý 1.3.4, tồn tại dãy Cauchy  a n  thỏa a n  ,

a a  p , n = 1; 2; 3;… để x a n Khi đó với mỗi

n ta có các khai triển p – phân

' ' ' 1 '

1 0 1

, 0; 1 , 0; 1

khai triển p – adic của x trong p

Nhận xét

i) Nếu

0

n n n

p được định nghĩa như trên là một vành và được gọi là vành các số nguyên p – adic

Mệnh đề 1.3.6 p là vành chính và tất cả các iđêan của nó lập thành một dây chuyền

Cụ thể p  p p  p2 p   p n p 

Mệnh đề 1.3.7 p là tập compact, do đó p là compact địa phương

Mệnh đề 1.3.8.(Một số tính chất tôpô khác của p )

i) Mọi hình cầu, mặt cầu trong p đều là những tập vừa mở, vừa đóng

ii) Hai hình cầu bất kỳ trong p hoặc lồng nhau hoặc rời nhau

iii) Mọi hình cầu, mặt cầu trong p đều có vô số tâm Mọi hình cầu trong p

đều có vô số bán kính

iv) p chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu

Định nghĩa 1.3.9 Khoảng trong p là hình cầu đóng tâm a p bán kính 1N ,N

ii) Mọi tập mở trong p là compact nếu và chỉ nếu nó được viết dưới dạng hợp

hữu hạn rời nhau của các khoảng trong p

Đặc biệt, từ khẳng định i) ta dễ dàng suy ra được    0 1  

00;1 0

p p

a

a p





  , với mọi số tự nhiên N

1.4 Phân phối p – adic

Định nghĩa 1.4.1 Cho X và Y là các không gian tôpô Ánh xạ f : X  Y được gọi là hàm hằng địa phương nếu với mỗi xX thì tồn tại một lân cận U của x sao cho f U  là một điểm của Y

Ví dụ 1.4.2 Cho U là tập mở compact của p và f : p  p là hàm đặc trưng được xác định như sau



Mệnh đề 1.4.5 Cho  là một phân phối p – adic trên X, với mọi tập mở compact U trong

X, ta có U là hàm đặc trưng của U Nếu ta đặt   U  U thì  là một p - phiếm

hàm tuyến tính từ p - không gian vectơ các hàm hằng địa phương trên X đến p Ngược lại, cho  là một p - phiếm hàm tuyến tính từ p - không gian vectơ các hàm hằng địa phương trên X đến p Khi đó với mọi tập mở compact U trong X, nếu ta đặt

Ánh xạ Haar được gọi là phân phối Haar

Định nghĩa 1.4.8 Cho  p cố định, ta định nghĩa ánh xạ  trên tập mở compact

Do đó Mazur là một phân phối và được gọi là phân phối Mazur

1.5 Độ đo và tích phân p – adic

Định nghĩa 1.5.1 Một phân phối  trên X  p là một độ đo nếu giá trị của nó trên

mọi tập mở compact U X bị chặn bởi hằng số B nào đó Nghĩa là  U p B với

mọi tập mở compact U X

Mệnh đề 1.5.2 Một phân phối p – adic  là một độ đo nếu và chỉ nếu tồn tại

, 0

p

a a sao cho a lấy giá trị trong p

Định nghĩa 1.5.3 Cho hàm f và  là một phân phối trên p Với mọi N , ta chia p

a p





 , giả sử x a N, là một điểm tùy ý thuộc khoảng a p N , ta định nghĩa

tổng Riemann thứ N của hàm f tương ứng với  x a N, là

1 , ,

Định lý 1.5.4 Giả sử  là một độ đo p – adic trên X  p và f :X  p là một hàm

liên tục Khi đó tổng Riemann

hội tụ đến một giới hạn trong p khi N  mà nó không phụ thuộc vào việc chọn điểm

CHƯƠNG 2 : SỐ BERNOULLI, ĐA THỨC BERNOULLI

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu về số Bernoulli, đa thức Bernoulli và chứng minh một số tính chất của chúng Đặc biệt, chúng tôi chứng minh một số đồng dư thức liên quan đến số Bernoulli và đa thức Bernoulli như đồng dư thức của Von Staudt – Clausen, đồng dư thức của Kummer Các kết quả trong chương này được trình bày theo tài liệu tham khảo [2] và [4]

2.1 Số Bernoulli và đa thức Bernoulli

Định nghĩa 2.1.1 Số Bernoulli thứ m, ký hiệu B m , được định nghĩa bằng quy nạp như

m B k

Thật vậy, nhân hai vế với e t  1 ta được

m

k k

m b k

Từ đó ta có B m b m với mọi giá trị của m ∎

Định lý 2.1.3 Cho m1 , khi đó tổng S m( )n  1m 2m 3m  n 1m thỏa

6

B x x  x , 3 2

3

3 1 ( )

2 2

B x x  x  x ,…

Theo đó, kết quả của Định lý 2.1.3 còn có thể viết như sau

 1  1

1 ( )

k k t

2 2 0

( )

(2 )!

k k k

B   Giả sử Mệnh đề đúng với mọi số nguyên lớn

hơn 1 và bé hơn k , khi đó ta nhân vào hai vế của đẳng thức trong Mệnh đề 2.2.2 với

Hệ quả 2.2.4 Với k ,k 1 thì B 2k và B2k2 trái dấu

Thật vậy, theo Hệ quả 2.2.3 thì   1

1 1

Các tính chất i, ii, iv là các tính chất đặc trưng của đa thức Bernoulli, vì thế một số tác giả xây dựng đa thức Bernoulli như là các đa thức thỏa i, ii, iv và cũng có được kết quả tương

tự

Định lý 2.2.7 ( Raabe)

Cho m và n là các số nguyên dương và số thực x, khi đó

1 1 0 ( )

m n

t ở hai vế, ta có kết quả của Định lý.∎

2 1 2

Theo Định lý 2.2.7 thì 1 1

0

m n

2.3 Các đồng dư thức liên quan đến số Bernoulli và đa thức Bernoulli

Trước khi đi vào mục này, ta nhắc lại vài khái niệm số học hay sử dụng Cho p là số

nguyên tố và số hữu tỷ r a

b

 , ta nói r là p – nguyên nếu ord p r 0 Nói cách khác, r là

p – nguyên nếu r a, ,a b

b

  và p ∤ b, tức p không là ước của mẫu của r Cho a b, là p –

nguyên ta định nghĩa a bmodp n a n b

( )

1

m k m

Ngoài đẳng thức (1), ta cần những bổ đề đơn giản sau

Bổ đề 2.3.2 Cho p là số nguyên tố và k1 là một số nguyên, khi đó

i) Trước hết ta chứng minh k 1 p k với k1 Thật vậy, nếu k1 thì khẳng định là hiển



  

  iii)Tương tự như trên, bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được rằng 2

1 k

k  p  với 3

k và p 5 , do đó k 2 a cho nên

2 21

Theo bổ đề 2.3.2 thì khẳng định này là đúng với k2, do đó ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp k = 1, tức là ta cần chứng tỏ  1 1

2

m ord  pB  p 

m chẵn và m4 thì B m1 0 nên ta chỉ cần kiểm ta với m =2 và điều này là dễ thấy ∎

Bổ đề 2.3.4 Cho p là số nguyên tố, khi đó

   thì A m là p – nguyên với mọi

số nguyên tố p nên A m và Định lý được chứng minh ∎

Hệ quả 2.3.5 Nếu p1|2m thì B 2m là p - nguyên, còn nếu p 1 | 2m thì pB2m 1 là p - nguyên Hơn nữa nếu p – 1| 2m thì  2  2  2 

Tiếp theo, ta chứng minh một số mệnh đề bổ trợ để chứng minh đồng dư thức của

Voronoi và đặc biệt là đồng dư thức của Kummer Viết số Bernoulli thứ m m

m m

U B V

 , trong đó U V m, m1 và V m0 Ta luôn giả sử m chẵn

( ) mod

V S n U n n Chứng minh

Xét phương trình (1) với k1 và cố định n ta có

1

2 2 1

BV và chú ý 6 |V m theo Hệ quả 2.3.5 ta có ngay kết quả

Để ước tính các ord p, chúng ta sử dụng hệ quả của Định lý 2.3.1 là ord pB m k  1 với mọi m k 0 và với mọi p Giả sử trước hết là p 2, 3,p n| Trường hợp k = 1, 2 thì dễ dàng kiểm tra với chú ý là B t 0 với mọi t1 và t lẻ, 1 1

m

A    n  và

do đó ord2 A m m1   1

Cuối cùng ta xét trường hợp p = 3 và 3|n thì ord3 A2m   1 và ord3 A3m  1 là dễ kiểm tra Với k 4 thì theo bổ đề 2.3.2 ta có

2 3

3

0 1

k

ord k

Một minh họa đơn giản cho mệnh đề 2.3.6 là trường hợp 2 1

Chứng minh Theo Định lý 2.3.1 thì p ∤ V m , trong kết quả của mệnh đề 2.3.7, ta đặt np

và chia hai vế của đồng dư thức cho V m ta được điều cần chứng minh ∎

Mệnh đề 2.3.8 (Voronoi) Cho m2 là số chẵn và định nghĩa U V m, m như phần trên Gỉa

sử a và n là hai số nguyên dương sao cho (a, n) =1, khi đó

Cho j 1; 2;3; ;n 1 rồi cộng lại ta được     1  

sử dụng đồng dư thức của mệnh đề 2.3.7 ta có điều phải chứng minh ∎

Hệ quả 2.3.9 Cho p là số nguyên tố sao cho p3 mod 4 , đặt 1

j p

p thì từ p – 1 ∤m ta có p ∤ a m 1 Từ đó U m  0 mod p tvà do đó m m

m

B U

m  mV là p –nguyên ∎

Định lý 2.3.11 (Đồng dư thức Kummer) Cho m2 là số chẵn, p là số nguyên tố sao

cho p – 1 ∤ m Khi đó nếu '  

Vẫn như trên, ta viết m

m m

U B V

 Đặt tord m p , mệnh đề 2.3.10 chỉ ra rằng p U t| m Trong đồng dư thức của Voronoi đặt 1 t

n p thì từ p t là ước của cả m và U m ta có thể chia hai

vế của đồng dư thức cho p t , ta được đồng dư thức sau

1 1