Số bernoulli và ứng dụng

Luận văn gồm 3 chương:Chương 1: Lận văn trình bày lịch sử nghiên cứu và hình thành số Bernoulli của một số nhà toán học trên thế giới, Trình bày công thứctruy hồi tính số Bernoulli kèm c

B GIÁOăD CăVÀă ÀOăT O

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Thăng Longdưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Vũ Thế Khôi Nhân dịp này,tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn

Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong trườngĐại Học Thăng Long đã giúp đỡ, giảng dạy và tạo điều kiện cho tôitrong quá trình học tập tại lớp Cao học Toán khóa III Tác giả xin bày tỏlời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa đào tạo Sau đại học, Khoa Toán đãtạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập

Tác giả xin cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp trong lớp cao họctoán KIII Hà nội đã có nhiều sự động viên giúp đỡ trong quá trình họctập vừa qua

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi mong nhận được

sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp

Hà nội, ngày tháng năm 2016

Tác giả

Nguyễn Quốc Thái

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Lận văn trình bày lịch sử nghiên cứu và hình thành

số Bernoulli của một số nhà toán học trên thế giới, Trình bày công thứctruy hồi tính số Bernoulli kèm chứng minh chi tiết cho công thức đó

Cũng như chứng minh một số tính chất của sô Bernoulli và Từ đó cho

ra công thức tổng quát của nhà toán học Bernoulli

Chương 2: Trong chương 2 luận văn tiếp cận cách thức khác đểtính số Bernoulli thông qua một hàm sinh Trình bày lý thuyết về chuỗilũy thừa hình thức và đa thức Bernoulli cùng khai triển Fourier của đathức Bernoulli

Chương 3: Luận trình bày lại lý thuyết về số Stirling, hàm Zeta

và các mối liên hệ của số Bernoulli với số Stirling và hàm Zeta

Mục lục

1.1 Giới thiệu lịch sử hình thành số Bernoulli 1

1.2 Công thức tổng lũy thừa 5

1.2.1 Tổng lũy thừa các số nguyên liên tiếp 5

1.2.2 Số Bernoulli 6

1.2.3 Công thức Bernoulli 7

1.2.4 Định lý Faulhaber 10

2 HÀM SINH SỐ BERNOULLI 12 2.1 Chuỗi lũy thừa hình thức 12

2.2 Hàm sinh số Bernoulli 19

2.3 Đa thức Bernoulli 23

2.3.1 Khai triển Fourier của đa thức Bernoulli 25

2.3.2 Công thức tổng Euler-Maclaurin 29

2.4 Sử dụng đa thức Bernoulli để tính tổng 32

2.4.1 Dùng khai triển Fourier tính tổng 32

2.4.2 Lũy thừa các số tự nhiên 33

2.4.3 Tổng đan dấu lũy thừa các số tự nhiên 34

2.4.4 Tổng của dãy lượng giác 36

3 MỐI LIÊN HỆ CỦA SỐ BERNOULLI VỚI SỐ STIRLING VÀ HÀM ZETA 38 3.1 Số Stirling và số Bernoulli 38

3.1.1 Số Stirling loại 1 38

3.1.2 Số Stirling loại 2 39

3.1.3 Công thức số Bernoulli với số Stirling 45

MỤC LỤC

3.2 Hàm Euler zeta và số Bernoulli 49

3.2.1 Định nghĩa hàm Euler zeta 49

3.2.2 Công thức tích Euler 50

3.2.3 Đẳng thức Euler 51

3.3 Áp dụng của hàm zeta tính tổng vô hạn 53

Trang: v

CHƯƠNG 1

SỐ BERNOULLI

Trong chương này đầu tiên luận văn xin giới thiệu lược sử hình thành số Bernoullicủa một số nhà toán học trên thế giới, dựa theo tài liệu [1], [2], [3]

1.1 GIỚI THIỆU LỊCH SỬ HÌNH THÀNH SỐ BERNOULLI

Jakob Bernoulli1đã để lại cuốn sách Ars Conjectandi (1713), ông nghiên cứu

tổng lũy thừa của các số nguyên liên tiếp1k+ 2k+ 3k+ , ông đã giới thiệu các sốđặc biệt có liên quan đến tổng này và đưa ra các công thức cho tổng các lũy thừa :

Ông khẳng định rằng không mất đến 10 phút để tính tổng trên với lũy thừa 10vớin = 1000, và kết quả chính xác Bernoulli đã đưa ra là:

91409924241424243424241924242500.

Bernoulli đưa ra một công thức chung liên quan đến những số đó, giải thíchchúng được tính qua một công thức truy hồi và nhấn mạnh cách thức của mình

nó rất hữu ích cho việc tính toán tổng các lũy thừa Bernoulli không dùng ký hiệu

B0, B1, B2, mà ông dùng các ký tự A, B,C thay cho B 2n và cũng không dùngcông thức nhị thức, trong tài liệu của ông công thức được viết là:

1 Jakob Bernoulli (còn được biết đến với tên James hoặc Jacques) (27 tháng 12, 1654 – 16 tháng 8 năm 1705)

là nhà toán học người Thụy Sĩ Cống hiến chủ yếu của ông là vào hình học giải tích, lý thuyết xác suất, phép tính biến phân Bất đẳng thức Bernoulli thường được dạy trong thường phổ thông mang tên này để vinh danh ông Bernoulli cùng với Newton và Leibniz là một trong những người đầu tiên phát triển phép tính vi phân và tích phân nhưng ông đã có những tìm hiểu cao hơn Ông còn có một người em trai kém 12 tuổi và cũng là một nhà toán học nổi tiếng Johann Bernoulli, gia đình nhà Bernoulli về sau còn sản sinh ra nhiều nhà toán học tài năng.

Giới thiệu lịch sử hình thành số Bernoulli

Dưới đây B j gọi là số Bernoulli2

Và không chỉ có Bernoulli đưa ra công thức này, công thức trong tài liệu Katsuyo

1712, trước Bernoulli 1 năm công thức định nghĩa quy nạp của các số Bernoulliđược đưa ra Công thức và định nghĩa của ông là hoàn toàn giống như của Bernoulli.Seki đề cập đến các số B0, B1, B2, gọi là Shusuu (có nghĩa là: số được chọn)

với thứ tự đầu tiên, thứ tự thứ hai vv., cũng như đánh chỉ số lẻB 2n +1 Hầu hết người

ta không biết rằng Seki độc lập tìm thấy những số Bernoulli, nhưng các công trìnhthu thập được của Seki đã được xuất bản đều có chứa một bản dịch tiếng Anh củamỗi bài viết Một bảng biểu của Seki thể hiện công thức tính tổng các lũy thừa thểhiện qua công thức tổ hợp và "số Seki-Bernoulli", cùng với một bản dịch sang ký

2 Abraham , sinh ngày 26 tháng năm năm 1667 tại Vitry - le - Francois, Champagne, Pháp - qua đời vào ngày

27 tháng 11 năm 1754 tại London, Anh ), người đầu tiên gọi số này là số Bernoulli trong tài liệu Miscellanea

analytica de seriebus et quadraturis( London , 1730)

3 Seki Takakazu, 1642 - mất ngày 05 tháng 12 năm 1708), còn được gọi là Seki Kowa là một nhà toán học Nhật Bản trong thời kỳ Edo Seki đặt nền móng cho sự phát triển tiếp theo cho toán học của người Nhật và ông

đã được mô tả là "Newton của Nhật Bản".

Trang: 2

Giới thiệu lịch sử hình thành số Bernoulli

Hình 1.1: Seki, trình bày bảng công thức tính tổng trong tài liệu Katsuyou Sanpou, viết bằng chữ Trung Quốc đồng thời sử dụng các ký hiệu đếm que thể hiện các thành phần của công thức ( 1.1 ).

Giới thiệu lịch sử hình thành số Bernoulli

Hình 1.2: Katsuyou Sanpou (Bản dịch nguyên gốc): Các số trong hàng "lũy thừa" chính là

sốk của công thức ( 1.1 ), "tam giác Pascal" ở phần bên phải của bảng, các số BernoulliB j

ở bên trái, hệ số nhị thức bị khuyết (k +1 k +1) trong ( 1.1 ) tương ứng với các số "1" bị gạch ở đầu của mỗi cột của "tam giác Pascal", và cuối cùng là hàng "mẫu số" là sốk + 1của công thức ( 1.1 ).

Trang: 4

Công thức tổng lũy thừa

hiệu hiện đại, thể hiện trong hình (1.1) và (1.2)

Cả Seki, Bernoulli cũng không giải thích chi tiết làm thế nào để suy ra các côngthức (1.1)

Trước đó, công thức tính tổng lũy thừa đã được thảo luận tại Viện số học bởi

Faulhaber4 Ông đã thu được kết quả nói rằng, khi k là số lẻ, tổng Pn i =1 i k là một

đa thức của n (n +1)

2 =Pn i =1 i, (ví dụ đầu tiên Pn i =1 i3 = (Pn i =1 i )2 ), trong khi đó khi

k là chẵn, Pn i =1 i k chia hết cho đa thức n (n +1)(2n +1)

6 =Pn i =1 i2 như là một đa thứccủa n, và thương thu được lại là một đa thức của Pn i =1 i Nhưng dường như ôngcũng đã không tìm được những số Bernoulli Những phát hiện này của Faulhaber

đã được khám phá bởi Jacobi5, người đã đưa ra một chứng minh chặt chẽ

Dưới đây là định nghĩa của các số Bernoulli, làm theo Seki và Bernoulli và xácđịnh chúng bằng cách sử dụng một công thức truy hồi Các số Bernoulli cũng đượcxác định bằng cách sử dụng một hàm sinh (trong chương sau) mà các định nghĩa làhoàn toàn tương đương

1.2 CÔNG THỨC TỔNG LŨY THỪA

1.2.1 Tổng lũy thừa các số nguyên liên tiếp

Thật vậy, đầu tiên dễ thấy:σ0(n ) = n

Vớik ≥ 1 Từ công thức hệ số nhị thức suy ra:

4 Johann Faulhaber (Sinh ngày 5 tháng 5 , 1580 tại Ulm, Đức mất năm 1635 tại Ulm, Đức)

5 Carl Gustav Jacob Jacobi (Sinh ngày 10 Tháng 12 , 1804 ở Potsdam, Prussia (giờ là Đức) mất ngày 18 tháng 2, 1851 tại Berlin, Đức)

Công thức tổng lũy thừa

Công thức tổng lũy thừa

Dưới đây là cách tính các số Bernoulli đầu:

Vớin = 0, B0= 1, Chon = 1từ công thức: B0+ 2B1= 2

Thật vậy, trong công thức (1.2) dễ nhận raσ(k ) là một đa thức bậck + 1với ẩn là

n, trong đó số hạng đầu tiên là: 1

Công thức tổng lũy thừa

Lấy đạo hàm từ công thức sau :

σ k (x + 1) − σ k (x ) = (x + 1) k

Thu được công thức sau:

σ′k (x + 1) − σ′k (x ) = k (x + 1) k−1 (1.4)Chox = 0, 1, 2, , n− 1, và cộng tất cả lại thu được:

Công thức tổng lũy thừa

và cho tương ứngb j = B j kết quả thu được công thức (1.3)

Chú ý: Trong phần này, nếu đặtσ′k (x − 1) = B k (x ), B k (x ) = x k+

Làm tương tự như: (1.4) và (1.5) khi đó B k (x )được gọi là đa thức Bernoulli thứk

(Được trình bày trong mục2.3của chương sau)

Mệnh đề 1.2.2 Nếu n là số nguyên lẻ lớn hơn hoặc bằng 3, thì B n = 0 Và viết là

Chứng minh: Giả sử k ≥ 1 cho x = −1 trong công thức σ k (x + 1) − σ k (x ) = (x + 1) k và sử dụngσ k(0) = 0suy raσ k( −1) = 0 Chox =−1trong công thức sau:

mặt khác theo công thức định nghĩa số Bernoulli:

Công thức tổng lũy thừa

Khi đó lấy hiệu hai công thức trên thì chỉ có số hạng ở vị trí lẻ xuất hiện và khi đó:



B 2j +1 = k + 1

Với ⌊x ⌋ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằngx Vì B1= 12 số hạng vớij = 0 ở

vế trái giản ước với vế phải và được kết quả:

⌊k−12 ⌋

X

j =1

 k + 1 2j + 1



B 2j +1= 0 k ≥ 3

Cho k = 3, 5, 7, khi đó B k = 0 với mọi số lẻk ≥ 3

(ii) k = 2, 4, , Khi đó tồn tại đa thức F k có bậc 1

2(k− 2), sao cho σ k =σ2F k(σ1).

Trang: 10

Công thức tổng lũy thừa

σ3=σ21) Mặt khác F (0) = 0đến đây đã chứng minh xong (i)

Để chứng minh (ii) hoàn toàn tương tự, giả sửk là số chẵn:

(2n + 1)σ k1 là tổ hợp tuyến tính củaσ2, σ4, σ 2k Vậy đã chứng minh (ii)

Một vài ví dụ cho định lý Faulhaber:

CHƯƠNG 2

HÀM SINH SỐ BERNOULLI

Trong chương này, có cách khác để tính số Bernoulli thông qua một hàm sinh

Vì trong chương này có liên quan đến tổng chuỗi vô hạn nên để chặt chẽ trongchứng minh, đầu tiên là phần trình bày lại kiến thức chuỗi lũy thừa hình thức dựatheo theo tài liệu [1]

2.1 CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC

Cho R là một miền nguyên giao hoán với đơn vị (bằng 1) khi đó tổng:

∞

X

n =0

a n t n = a0+ a1t + a2t2+ a3t3+

với ẩnt và hệ số trong R được gọi là một chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số trong

R, và tập hợp của tất cả các chuỗi lũy thừa hình thức như vậy được ký hiệu làR[[t ]].Hai chuỗi lũy thừa hình thức được xác định là bằng nhau khi và chỉ khi tất cả các

Chuỗi lũy thừa hình thức

phải là chuỗi lũy thừa hình thức và không coi chúng như các hàm ẩn t

Phép toán tổng và tích hai chuỗi lũy thừa hình thức:

Và cũng được ký hiệu đơn giản lần lượt là 0 và 1

Có thể đồng nhất R với tập các chuỗi lũy thừa hình thức có tất cả số hạng kháchằng bằng 0

Hơn nữa, Xét một đa thứcP(t )với hệ số trongR như là một chuỗi lũy thừa hìnhthức trong đó có hệ sốa n bằng 0 khin lớn hơn bậc củaP(t ), khi đó có thể xem xét

R[t ]như một vành con củaR[[t ]] Các định nghĩa phép toán trongR[[t ]]là nhữngkhái quát tự nhiên của đa thức

Mệnh đề 2.1.1 Vành R[[t ]] không có ước của không:

Chứng minh: ChoA = a0+a1t +a2t2+a3t3 + vàB = b0+b1t +b2t2+b3t3 +

là các phần tử khác không gọia k ,b l là hệ số khác không đầu tiên

Chuỗi lũy thừa hình thức

Khi đó hệ sốc k +l củat k +l trong A B:c0+ c1t + c2t2+ c3t3 + là:

c k +l = a0b k +l + a1b k +l−1+ + a k b l + a k +l−1b1+ a k +l b0= a k b l

VìR là miền nguyên nênc k +l = a k b l khác không suy raA B6= 0

NếuA B = AC suy raA(B − C ) = 0 ⇔



 A = 0

B = C do vậy nếuA6= 0thì B = C

Nghịch đảo của một chuỗi:

Mệnh đề 2.1.2 Một chuỗi lũy thừa hình thức P∞

n =0

Chứng minh: Chứng minh hai chiều:

i) Giả sử chuỗi f (t ) khả nghịch, khi đó có chuỗi g (t ) = P∞

Trang: 14

Chuỗi lũy thừa hình thức

Trong trường hợp đặc biệt, có thể đặt được chuỗi lũy thừa hình thức khuyết hệ

Với 1 + B (t ) là một chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số hằng bằng 1 Khi đó B (t )

là một chuỗi lũy thừa hình thức khuyết hệ số hằng (B (0) = 0), và nghịch đảo của

1 + B (t )được tính như sau:

Chuỗi lũy thừa hình thức

Chuỗi lũy thừa hình thức

Mệnh đề 2.1.3 Cho một chuỗi lỹ thừa hình thức A(t ) = a0+ a1t + a2t2 + khi đó

B (0) = 0, A(B (t )) = t nếu và chỉ nếu a0 = 0và a1khả nghịch.

là chuỗi ngược lẫn nhau.

Chứng minh: Nếu tồn tạiB (t ) = b0+b1t +b2t2 + và thỏa mãnA((B t )) = t bằngcách so sánh số hạng hằng và số hạng bậc 1, thu đượca0= 0 vàa1b1= 1điều nàycho thấy điều kiện được thỏa mãn

Ngược lại, giả sửA(t )thỏa mãna0= 0và a1 khả nghịch Cần chứng minh tồntại các hệ số của B (t ) = b0+ b1t + b2t2 + thỏa mãnA(B (t )) = t Đầu tiên hệ sốcủat làa1b1= 1 vìa1 là khả nghịch, đặtb1= a−11 , hay đã xác định đượcb1

Cho n≥ 2, thì cho hệ số củat n trongA(B (t )) bằng hệ số củat n trong:

Hiển nhiên B (t ) thu được thỏa mãn B (0) = 0, và b1 là khả nghịch Do vậy cómột C (t ) (C (0) = 0) sao cho B (C (t )) = t khi đó thay C (t ) vào t trong biểu thức

t = A(B (t )), và từ B (C (t )) = t suy ra:

C (t ) = A(B (C (t ))) = A(t )

Do vậy: B (A(t )) = t

Công thức được đề cập trước đó là:

e log(1+t ) − 1 = t

Chuỗi lũy thừa hình thức

và

log(1 + (e t − 1)) = t

có thể giải thích làlog(1 + t )vàe t − 1là hàm ngược của nhau

Tổng và tích trong R((t )) cũng được định nghĩa giống như R[[t ]] và R((t )) làmột miền nguyên giao hoán chứa R[[t ]] như là một miền con Do vậy, P∞

Và dưới đây là định lý với số Bernoulli có liên quan đến hàm sinh

Định lý 2.2.1 Cho B n (n = 0, 1, 2, ) là các số Bernoulli Khi đó có công thức sau trongQ((t )) :

Điều phải chứng minh.

Nhận xét: Nếu định nghĩa B n với B1= −1

2 thì có công thức hàm sinh sau :

Ví dụ tính một vài số Bernoulli đầu: Viết chuỗi trên dưới dạng:

3 + 1 4!t

Hàm sinh số Bernoulli

Sử dụng hàm sinh dễ chứng minh được mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.2.2 Nếu n là một số nguyên lẻ lớn hơn hoặc bằng 3 thì B n = 0.

Chứng minh: Cần chỉ ra là chuỗi lũy thừa hình thức t e t

e t−1 −t2 không có số hạngbậc lẻ Thật vậy:



B 2m B 2(n −m ) (n ≥ 2)

Chứng minh: Theo mệnh đề trên, nếu trừ số hạng bậc 1 từ công thức hàm sinh số

Bernoulli, thu được hàm sinh số Bernoulli của các số hạng với chỉ số chẵn B 2n

 ( −1)m−1B 2m( −1)n −m −1 B 2(n −m )

theo giả thiết vế phải dương, do vậy( −1)n−1B 2n > 0, điều phải chứng minh

Mệnh đề 2.2.5 Khai triển Taylor của tan x và Khai triển Laurent của cot x trong

Và đây là khai triển Laurent củacot x.

Từ công thức trên, cùng với:

cot(2x ) = 1

2(cot x − tanx ) ⇒ tanx = cotx − 2cot(2x )

Điều này chỉ ra rằng khai triển Taylor củatan x có thể thu được từ khai triển Taylorcủacot x

Nhận xét: Hệ số của x 2n−1

(2n− 1)! trong khai triển Taylor củatan x,

T n= ( −1)n−1(22n− 1)22n B 2n

2n

Đôi khi số này được gọi là số tang, nó là một số nguyên dương

Tiếp theo dưới đây là lý thuyết về đa thức Bernoulli thông qua hàm sinh, dựatheo tài liệu [4], [7], [11]

j



B j x k −j

Đa thức Bernoulli

Dưới đây là định nghĩa đa thức Bernoulli thông qua hàm sinh

Định nghĩa 2.3.1 Đa thức Bernoulli B n (x ) được xác định:

2.3.1 Khai triển Fourier của đa thức Bernoulli

Giả sử hàm f (x )là hàm tuần hoàn chu kỳT và xác định trên đoạn[−T /2;T /2]khiđó:

Các hệ sốa0, a n ,b n gọi là các hệ số Fourier2 của hàm f

2 Jean Baptiste Joseph Fourier (21 tháng 3 năm 1768 – 16 tháng 5 năm 1830) là một nhà toán học và nhà vật

lý người Pháp Ông được biết đến với việc thiết lập chuỗi Fourier và những ứng dụng trong nhiệt học Sau đó, biến đổi Fourier cũng được đặt tên để tưởng nhớ tới những đóng góp của ông.