Chuyên đề chia đa thức một biến đã sắp xếp - THCS.TOANMATH.com

Bước 3: Cho các hạng tử của biểu thức ở bước 2 và số bị chia bằng nhau, giải tìm được giá trị cần tìm.. Bước 3: Giải ra ta tìm được giá trị cần tìm.[r]

Trang 1

CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP A.BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN

I Lý thuyết:

Hai đa thức tùy ý A và B của cùng một biến B0, tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A B Q R  , trong đó:

R được gọi là dư trong phép chia A cho B

R bằng 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B

Khi R0 thì phép chia A cho B là phép chia hết

II Các dạng bài tập:

Dạng 1: Chia đa thức một biến đã sắp xếp (Phép chia hết)

Phương pháp:

Bước 1: Nhân số chia với một biểu thức sao cho giá trị khi nhân bằng giá trị mũ cao nhất của số bị chia Bước 2: Lấy đa thức bị chia trừ đi tích vừa nhân được

Bước 3: Quay về bước 1 đến khi dư cuối cùng bằng 0

Bài 1: Thực hiện phép tính

a) 6x217x12 : 2  x3

b) 2x33x23x2 : 2  x1

c) x34x2 x 4 : x21

d) 3x42x311x24x10 : x22

Giải a) Thực hiện phép chia ta được:

2

6x 17x12

-

2

6x 9x

8x12

-

8x12

0

2x3

3x4

Vậy: 6x217x12 : 2  x33x4

Trang 2

b) Thực hiện phép chia ta được:

2x 3x 3x2

-

3 2

2x x

2

2x 3x2

-

2

2x x

4x 2

 

2x1

x  x

Vậy 2x33x23x2 : 2  x 1 x2 x 2

c) Thực hiện phép chia ta được:

x  x  x

-

3

x x

2

4x 4

-

2

4x 4

0

2 1

x  4

x

Vậy x34x2 x 4x2  1 x 4

d) Thực hiện phép chia ta được:

3x 2x 11x 4x10

-

4

2x 5x 4x10

-

3

2

5x 10

-

2

5x 10

0

2 2

x 

2

3x 2x5

Vậy 3x42x311x24x10 : x223x22x5

a) 3a32a23a2 : a21

b) x52x4x36 :x x22x1

c) x32x2x y2 3xy3 :x x23x

Trang 3

d) x43x2x y2 22y22 : x2y21

3a 2a 3a2

-

3

3a 3a

2

2a 2

-

2

2a 2

0

2 1

a 

3a2

Vậy 3a32a23a2 : a2 1 3a2

5 2 4 3 4 2 2

x  x x  x  x

-

5 2 4 3

x  x x

2x 4x 2x

-

2x 4x 2x

0

x  x

3 2

x  x

Vậy x52x4x34x22 :x x22x 1 x32x

x  x x y xy x

-

2 3

x  x

x y  xy x

-

x y  x y

0

2 3

x  x

x y

Vậy x32x2x y2 3xy3 :x x23x  x 1 y

Trang 4

4 3 2 2 2 2 2 2

x  x x y  y 

-

x x x y

2x 2y 2

-

2x 2y 2

0

x y 

2 2

x 

Vậy x43x2x y2 22y22 : x2y2 1 x22

Dạng 2: Chia đa thức một biến đã sắp xếp (Phép chia có dư)

Phương pháp:

Bước 3: Quay về bước 1 đến khi đa thức dư có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia

a) 3x27x9 : x1

b) 5x33x22 : x3

c) 2x34 : x21

d) x42x34x210 : 2  x3

2

3x 7x9

-

2

3x 3x

10x9

-

10x10 19

1

x

3x10

Vậy 3x27x9 : x 1 3x10 dư 19

Trang 5

5x 3x 2

-

5x 15x

2

12x 2

-

2

12x 36x

36x2

-

36x108 110



3

x

2

5x 12x36

Vậy 5x33x22 : x35x212x36 dư -110

3

2x 4

-

3

2x 2x

2x4

2 1

x  2x Vậy 2x34 : x2 1 2x dư 2x4

Trang 6

4 2 3 4 2 10

x  x  x 

-

3

4 3

2

x

x 

3 2

7

2

x x

-

2

5 10

4x 

-

2

15 10

8x 

-

8x 16 115 16



2x3

3 7 3 5 15

x  x  x

Vậy  4 3 2    3 7 2 5 15

16

 Dạng 3: Chia đa thức một biến đã sắp xếp có chứa tham số m

Phương pháp:

Bước 3: Quay về bước 1 đến khi đa thức dư cuối cùng bằng 0 hoặc đa thức dư có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia

a) mx22x m 2 : x1

b)x33mx23m1 : x1

c)mx32x2mx2 : x21

Giải

Trang 7

a) Thực hiện phép chia ta được:

mx  x m 

-

2

mx mx

2x mx m  2

2m x  2 m

-

2m x  2 m

0

1

x

mx m

Vậy mx22x m 2 : x 1 mx 2 m

x  mx  m

-

3 2

x x

2 2

3mx x 3m1

3m1x23m1

-

3m1x23m1x

3m 1x 3m 1

-

3m 1x 3m 1

0

1

x

x  m x m

Vậy x33mx23m1 : x 1 x23m1 x 3m1

mx  x mx

-

3

mx mx

2

2x 2

-

2

2x 2

0

2 1

x  2

mx

Vậy mx32x2mx2 : x2 1 mx2

Trang 8

Dạng 4: Tìm m để số bị chia chia hết cho số chia

Có 3 phương pháp giải cụ thể như sau:

Phương pháp 1: Thực hiện phép chia

Bước 1: Thực hiện chia đa thức chứa tham số ở dạng 3

Bước 2: Để số bị chia chia hết cho số chia thì phần dư bằng 0

Bước 3: Giải tìm ra m

Bài 1: Xác định giá trị a và b để đa thức x4ax3bx23 chia hết cho đa thức x21

Giải d) Thực hiện phép chia ta được:

x ax bx 

-

4 2

x x

-

3

ax ax

1b x 2ax3

-

1b x 2 1 b

4

  

2 1

x 

x ax b

Ta có: x4ax3bx23 : x2 1 x2ax 1 b dư   ax 4 b

Để là phép chia hết thì 0 0

Vậy với 0

4

a

b





  

 thì đa thức

x ax bx  chia hết cho x21 Bài 2: Tìm m để đa thức mx3x22m1 chia hết cho đa thức x2

Trang 9

Giải

Ta có:

mx x  m

-

3 2 2

mx  mx

x  mx  m

1 2 m x 22m1

-

1 2 m x 22 1 2  m x

2 4 m x 2m1

-

2 4 m x 2 2 4  m

3 10m

2

x

Vậy mx3x22m1 : x2mx2 1 2m x  2 4 m dư 3 10m

Để là phép chia hết thì 3 6 0 1

2

Bài 3: Tìm m để đa thức 5m32m23m1 chia hết cho đa thức 2m21

Giải Thực hiện phép chia ta được

5m 2m 3m1

-

3 5

5

2

m

m 

2

m

-

2

2m 1

5 3

2

2m 1

2m 

Ta có  3 2   2  5

2

m

2

m



Để là phép chia hết thì 0 0

2

Vậy với m0 thì đa thức 5m32m23m1 chia hết cho đa thức 2m21

Phương pháp 2: Hệ số bất định

Trang 10

Hai đa thức được gọi là đồng nhất khi và chỉ khi hệ số các hạng tử đồng dạng bằng nhau Ta có các bước giải như sau:

Bước 1: Dựa vào bậc cao nhất của số bị chia và số chia ta gọi dạng tổng quát của thương

Bước 2: Nhân thương với số chia và chuyển biểu thức về dạng tổng quát

Bước 3: Cho các hạng tử của biểu thức ở bước 2 và số bị chia bằng nhau, giải tìm được giá trị cần tìm Bài 1: Xác định giá trị a và b để đa thức x4ax3bx23 chia hết cho đa thức x21

Giải Cách 1: Giải theo phương pháp 1

Cách 2: Phương pháp hệ số bất định

Giả sử đa thức x4ax3bx23 chia hết cho x21, ta được thương là nhị thức bậc hai có dạng:

2

x Bx C Nhân thương với số chia rồi đồng nhất thức với đa thức x4ax3bx23, ta được:

x2Bx C x  2 1 x4ax3bx2c

3

C

 





 



Vậy với 0

4

a

b





  

 thì đa thức

x ax bx  chia hết cho x21 Chú ý: Ta có thể đặt nhị thức bậc hai dạng tổng quát là Ax2Bx C , tuy nhiên do đa thức bị chia có x4

vì vậy coi như A1

Bài 2: Xác định giá trị a để đa thức x4x33x2 x a chia hết cho đa thức x2 x 2

Giải Giả sử đa thức x4x33x2 x a chia hết cho x2 x 2, ta được thương là nhị thức bậc hai có dạng: Ax2Bx C Nhân thương với số chia rồi đồng nhất thức với đa thức x4x33x2 x a, ta được:

Ax2Bx C x  2 x 2x4x33x2 x a

Trang 11

Vậy với a 2 thì đa thức x4x33x2 x a chia hết cho đa thức x2 x 2

Bài 3: Xác định giá trị a để đa thức ax3x25 chia hết cho đa thức x2 x 1

Giải Giả sử đa thức ax3x25 chia hết cho x2 x 1, ta được thương là nhị thức bậc nhất có dạng: Bx C Nhân thương với số chia rồi đồng nhất thức với đa thức ax3x25, ta được:

Bx C x   2   x 1 ax3x25

1 0 5

B a

B C

C





   



 



không thỏa mãn

Vậy không có giá trị nào của a để đa thức ax3x25 chia hết cho x2  x 1

Phương pháp 3: Phương pháp trị số riêng

Với mọi cặp đa thức A x  và B x  , luôn tồn tại đa thức Q x  và R x  sao cho:

A x B x Q x R x , trong đó:

+) A x  là số bị chia; B x  là số chia; Q x  là thương và R x  là phần dư

+) Với bậc của R x  bé hơn bậc B x 

+) Phép chia hết là phép chia R x 0

Bước 1: Đưa phép chia về dạng A x B x Q x    (1)

Bước 2: Thay giá trị x để B x 0 vào phương trình (1)

Bước 3: Giải ra ta tìm được giá trị cần tìm

Bài 1: Xác định giá trị a và b để đa thức x4 ax3bx23 chia hết cho đa thức x21

Giải Cách 1: Giải theo phương pháp 1

Cách 2: Giải theo phương pháp 2

Cách 3: Phương pháp trị số riêng

Trang 12

Gọi thương của phép chia là Q x  khi đó ta có:

x ax bx   x  Q x với mọi x (1)

+) Với x1, thay vào (1) ta được: 1   a b 3 0 (2)

+) Với x 1, thay vào (1) ta được: 1   a b 3 0 (3)

Từ (2) và (3) ta có hệ phương trình 4 0

4 0

a b

   



   

 Cộng 2 vế của phương trình ta được: 2b    8 0 b 4 Thay vào phương trình (2)  a 0 Vậy với a 0 và b 4 thì đa thức x4ax3bx23 chia hết cho x2 1

Bài 2: Xác định giá trị a và b để đa thức ax3bx23x9 chia hết cho đa thức x2 2x3

Giải Gọi thương của phép chia là Q x  khi đó ta có:

ax bx  x  x  x Q x

+) Với x1, thay vào (1) ta được a b   3 9 0 (2)

+) Với x 3, thay vào (1) ta được: 27a9b  9 9 0 (3)

Từ (2) và (3) ta có hệ phương trình: 6 0

a b

  



   

 Trừ 2 vế của phương trình ta được: 2a    4 0 a 2 Thay vào phương trình (2)  b 8

Vậy với a  2 và b8 thì đa thức ax3bx23x9 chia hết cho đa thức x22x3

Bài 3: Tìm x Z để đa thức 2x2 x 3 chia hết cho 2x1

Giải

Ta có: 2 2 3 2 1 3 3

x x

x

 

Để 2x2 x 3 chia hết cho 2x1 thì 3 phải chia hết cho 2x1

Tức là 2x1 phải là ước của 3

Vậy để đa thức 2x2 x 3 chia hết cho 2x1 thì x   2; 1;0;1

Trang 13

B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

Dạng 1: Chia đa thức một biến đã sắp xếp:

Bài 1: Thực hiện phép chia:

Dạng 2: Sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần rồi thực hiện phép chia:

Bài 1: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần và thực hiện phép chia:

Dạng 3: Tìm x, biết:

Trang 14

2 1

2

b x  x x  x  x  

Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử rồi thực hiện phép chia:

Dạng 5: Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép chia:

Bài 1: Làm phép chia bằng cách áp dụng hằng đẳng thức:

2

3

a x  x y y x y

Dạng 6: Tìm đa thức M biết:

Dạng 7: Tìm a và b để A chia hết cho B với:

a A x  x  x  a và B x 2 2x 3

b) A x 7x 10x  a1 x b a  và B x 2 6x 5

Trang 15

HƯỚNG DẪN Dạng 1: Thực hiện phép chia:

Dạng 2: Sắp xếp các đa thức theo luỹ thừa giảm dần rồi tính:

2

3

x







2 2 2

3 3

5

x

2

6 26

4



2

15 5

5



Trang 16

2

14 7

2

5

2 5

x

 

Dạng 3: Tìm x, biết:

1 0

1

x

  

 

2

2 1

2

3

4

10

x x

 

3

6

14

x

 

2

1 2

x x

  Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử rồi thực hiện phép chia:

Trang 17

 

3

1

16

7

Dạng 5: Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép:

2

1

x

 

3

2 2

2

x

3

2

25 5 2 2

     

   

2 2

2

4

2

:

: :

2 3

2

3

2

3

x



3

2

3

x









Dạng 6: Tìm đa thức M biết:

2

2 2

1

M x

Trang 18

2

3

1

M x

2

Dạng 7: Tìm a và b để A chia hết cho B với:

a A x  x  x  a và B x 2 2x 3

Thực hiện A chia cho B ta được đa thức dư a 4 Vì Achia hết cho Bnên

a      a

b) A x 7x 10x  a1 x b a  và ?i

Thực hiện A chia cho B ta được đa thức dư a2 x    a b 5 Vì Achia hết cho Bnên

a 2 x    a b 50 với mọi giá trị x

Hay  2 05 0 23

b

a b

       

========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	660,66 KB