Bai giang XSTK chuong 2

Biến ngẫu nhiên có thể hiểu là đại lượng biến đổi mà giá trị của nó phụ thuộc vào các kết quả của phép thử ngẫu nhiên.. • Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu Ω.. • Xét phép thử ngẫ[r]

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ

TS Trần Việt Anh - Bộ môn Toán - Khoa Cơ bản 1

Chương 2 Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng của chúng

Bài 1: Biến ngẫu nhiên

Ta thấy X có thể nhận 3 giá trị là 0; 1; 2 và ứng với mỗi kết quả

ω ∈ Ω thì cho ta duy nhất một giá trị X(ω) của X Do đó

X : Ω −→ R là một hàm số Ta gọi X là một biến ngẫu nhiên

Chương 2 Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng của chúng

Bài 1: Biến ngẫu nhiên1) Định nghĩa

• Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần và gọi X là số lầnxuất hiện mặt sấp

Khi đó

Ω = {SS, SN, N S, N N }

Ta thấy X có thể nhận 3 giá trị là 0; 1; 2 và ứng với mỗi kết quả

ω ∈ Ω thì cho ta duy nhất một giá trị X(ω) của X Do đó

X : Ω −→ R là một hàm số Ta gọi X là một biến ngẫu nhiên

Chương 2 Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng của chúng

Bài 1: Biến ngẫu nhiên1) Định nghĩa

• Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần và gọi X là số lần

xuất hiện mặt sấp

Khi đó

Ω = {SS, SN, N S, N N }

Ta thấy X có thể nhận 3 giá trị là 0; 1; 2 và ứng với mỗi kết quả

ω ∈ Ω thì cho ta duy nhất một giá trị X(ω) của X Do đó

X : Ω −→ R là một hàm số Ta gọi X là một biến ngẫu nhiên

Chương 2 Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng của chúng

Bài 1: Biến ngẫu nhiên1) Định nghĩa

• Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần và gọi X là số lần

xuất hiện mặt sấp

Khi đó

Ω = {SS, SN, N S, N N }

Ta thấy X có thể nhận 3 giá trị là 0; 1; 2 và ứng với mỗi kết quả

ω ∈ Ω thì cho ta duy nhất một giá trị X(ω) của X Do đó

X : Ω −→ R là một hàm số Ta gọi X là một biến ngẫu nhiên

Chương 2 Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng của chúng

Bài 1: Biến ngẫu nhiên1) Định nghĩa

• Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần và gọi X là số lần

xuất hiện mặt sấp

Khi đó

Ω = {SS, SN, N S, N N }

Ta thấy X có thể nhận 3 giá trị là 0; 1; 2 và ứng với mỗi kết quả

ω ∈ Ω thì cho ta duy nhất một giá trị X(ω) của X

Do đó

X : Ω −→ R là một hàm số Ta gọi X là một biến ngẫu nhiên

Chương 2 Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng của chúng

Bài 1: Biến ngẫu nhiên1) Định nghĩa

• Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần và gọi X là số lầnxuất hiện mặt sấp

Khi đó

Ω = {SS, SN, N S, N N }

Ta thấy X có thể nhận 3 giá trị là 0; 1; 2 và ứng với mỗi kết quả

ω ∈ Ω thì cho ta duy nhất một giá trị X(ω) của X Do đó

X : Ω −→ R là một hàm số Ta gọi X là một biến ngẫu nhiên

• Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu Ω.

Biến ngẫu nhiên cóthể hiểu là đại lượng biến đổi mà giá trị của nó phụ thuộc vào các kếtquả của phép thử ngẫu nhiên Nói cách khác, biến ngẫu nhiên X làhàm số X : Ω −→ R

• Nếu S ⊂ R, ta ký hiệu

(X ∈ S) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ S}

Ví dụ

(X = 1) = {SN, N S},(0 < X ≤ 2) = {SN, N S, SS}

• Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu Ω Biến ngẫu nhiên có

thể hiểu là đại lượng biến đổi mà giá trị của nó phụ thuộc vào các kết

quả của phép thử ngẫu nhiên

Nói cách khác, biến ngẫu nhiên X làhàm số X : Ω −→ R

• Nếu S ⊂ R, ta ký hiệu

(X ∈ S) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ S}

Ví dụ

(X = 1) = {SN, N S},(0 < X ≤ 2) = {SN, N S, SS}

• Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu Ω Biến ngẫu nhiên có

thể hiểu là đại lượng biến đổi mà giá trị của nó phụ thuộc vào các kết

quả của phép thử ngẫu nhiên Nói cách khác, biến ngẫu nhiên X là

• Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu Ω Biến ngẫu nhiên có

thể hiểu là đại lượng biến đổi mà giá trị của nó phụ thuộc vào các kết

quả của phép thử ngẫu nhiên Nói cách khác, biến ngẫu nhiên X là

• Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu Ω Biến ngẫu nhiên cóthể hiểu là đại lượng biến đổi mà giá trị của nó phụ thuộc vào các kếtquả của phép thử ngẫu nhiên Nói cách khác, biến ngẫu nhiên X làhàm số X : Ω −→ R.

• Nếu S ⊂ R, ta ký hiệu

(X ∈ S) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ S}

Ví dụ

(X = 1) = {SN, N S},(0 < X ≤ 2) = {SN, N S, SS}

2) Phân loại biến ngẫu nhiên

• Người ta phân các biến ngẫu nhiên thành hai loại: Biến ngẫu nhiênliên tục và biến ngẫu nhiên rời rạc

• Ta dùng các chữ cái hoa như X, Y, Z, để ký hiệu biến ngẫu nhiên.3) Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên

Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số F : R −→ R xác định bởi

F (x) = P(X ≤ x) với mọi x ∈ R được gọi là hàm phân bố xác suấtcủa biến ngẫu nhiên X

2) Phân loại biến ngẫu nhiên

• Người ta phân các biến ngẫu nhiên thành hai loại: Biến ngẫu nhiên

liên tục và biến ngẫu nhiên rời rạc

• Ta dùng các chữ cái hoa như X, Y, Z, để ký hiệu biến ngẫu nhiên.3) Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên

Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số F : R −→ R xác định bởi

F (x) = P(X ≤ x) với mọi x ∈ R được gọi là hàm phân bố xác suấtcủa biến ngẫu nhiên X

2) Phân loại biến ngẫu nhiên

• Người ta phân các biến ngẫu nhiên thành hai loại: Biến ngẫu nhiên

liên tục và biến ngẫu nhiên rời rạc

• Ta dùng các chữ cái hoa như X, Y, Z, để ký hiệu biến ngẫu nhiên

3) Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiênCho biến ngẫu nhiên X, hàm số F : R −→ R xác định bởi

F (x) = P(X ≤ x) với mọi x ∈ R được gọi là hàm phân bố xác suấtcủa biến ngẫu nhiên X

2) Phân loại biến ngẫu nhiên

• Người ta phân các biến ngẫu nhiên thành hai loại: Biến ngẫu nhiên

liên tục và biến ngẫu nhiên rời rạc

• Ta dùng các chữ cái hoa như X, Y, Z, để ký hiệu biến ngẫu nhiên

3) Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên

Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số F : R −→ R xác định bởi

F (x) = P(X ≤ x) với mọi x ∈ R được gọi là hàm phân bố xác suấtcủa biến ngẫu nhiên X

2) Phân loại biến ngẫu nhiên

• Người ta phân các biến ngẫu nhiên thành hai loại: Biến ngẫu nhiênliên tục và biến ngẫu nhiên rời rạc

• Ta dùng các chữ cái hoa như X, Y, Z, để ký hiệu biến ngẫu nhiên.3) Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên

Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số F : R −→ R xác định bởi

F (x) = P(X ≤ x) với mọi x ∈ R được gọi là hàm phân bố xác suấtcủa biến ngẫu nhiên X

Bài 2: Biến ngẫu nhiên liên tục

1) Định nghĩa

• Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu hàm phân bố xác suất

F (x) của X có đạo hàm tại mọi x ∈ R

• Hàm f (x) = F 0(x) với mọi x ∈ R được gọi là hàm mật độ xác suấtcủa biến ngẫu nhiên X

Bài 2: Biến ngẫu nhiên liên tục1) Định nghĩa

• Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu hàm phân bố xác suất

F (x) của X có đạo hàm tại mọi x ∈ R

• Hàm f (x) = F 0(x) với mọi x ∈ R được gọi là hàm mật độ xác suấtcủa biến ngẫu nhiên X

Bài 2: Biến ngẫu nhiên liên tục1) Định nghĩa

• Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu hàm phân bố xác suất

F (x) của X có đạo hàm tại mọi x ∈ R

• Hàm f (x) = F 0(x) với mọi x ∈ R được gọi là hàm mật độ xác suấtcủa biến ngẫu nhiên X

Bài 2: Biến ngẫu nhiên liên tục1) Định nghĩa

• Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu hàm phân bố xác suất

F (x) của X có đạo hàm tại mọi x ∈ R

• Hàm f (x) = F 0(x) với mọi x ∈ R được gọi là hàm mật độ xác suấtcủa biến ngẫu nhiên X

• Kỳ vọng của X (còn được gọi là giá trị trung bình của X), được ký

hiệu là E(X) và được xác định bởi

• Kỳ vọng của X (còn được gọi là giá trị trung bình của X), được kýhiệu là E(X) và được xác định bởi

• Phương sai của X

D(X) = E(X2) − (E(X))2

• Ta chứng minh được phương sai của biến ngẫu nhiên X luôn không

âm, khi đó độ lệch tiêu chuẩn của X là σ(X) được xác định bởi

σ(X) = pD(X).

• Phương sai của X

D(X) = E(X2) − (E(X))2

• Ta chứng minh được phương sai của biến ngẫu nhiên X luôn không

âm, khi đó độ lệch tiêu chuẩn của X là σ(X) được xác định bởi

σ(X) = pD(X).

Theo tính chất của hàm mật độ xác suất

3 − t

3

3 nếu 0 ≤ t ≤ 1,

1 nếu t > 1

Chương 2 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên

Chương 2 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên

Đáp số

a) k = 1

9.b) Hàm phân bố xác suất

= 0 +

kx2

2



1 0

+ (kx)

4 1

Z +∞

−∞

f (x)dx = 1 Do đó7k

2 = 1 hay k =

2

7.

= 0 +

kx2

2



1 0

+ (kx)

...

2 = hay k =

2

7.