HAM SO LIEN TUC TIET 1

Kiến Thức - Học sinh biết khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn; tính liên tục của hàm số thường gặp trên tập xác định của chúng.. - Học sinh biết được đ

HÀM SỐ LIÊN TỤC

A MỤC TIÊU

1 Kiến Thức

- Học sinh biết khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn; tính liên tục của hàm số thường gặp trên tập xác định của chúng

- Học sinh biết được đặc trưng hình học của hàm số liên tục trên một khoảng

2 Kỹ năng

- Học sinh biết cách xét hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn

3 Thái độ

- Tích cực, chủ động và hợp tác trong các hoạt động nhóm

- Say mê hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn

4 Năng lực hướng tới

- Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động

- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập và các tình huống

- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học

- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình

B CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

1 Giáo viên

- Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với các nhiệm vụ cơ bản của bài học

- Tổ chức, hướng dẫn học sinh thảo luận, kết luận vấn đề

2 Học sinh

- Mỗi học sinh trả lời ý kiến riêng và phiếu học tập Mỗi nhóm có phiếu trả lời kết luận của nhóm sau khi đã thảo luận và thống nhất

- Mỗi cá nhân hiểu và trình bày được kết luận của nhóm bằng cách tự học hoặc nhờ bạn trong nhóm hướng dẫn

- Mỗi người có trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn khi bạn có nhu cầu học tập

C PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP VÀ KỸ THUẬT DẠY HỌC

1 Phương tiện dạy học

- Máy chiếu, sử dụng các phần mềm dạy học để tăng tính trực quan cho bài giảng

2 Phương pháp dạy học

- Phương pháp dạy học nêu vấn đề và dạy học hợp tác.

D TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

1 Hoạt động khởi động (3 phút)

L1 Cho học sinh quan sát các hình ảnh (máy chiếu) Yêu cầu các học sinh tìm câu trả lời cho các

câu hỏi H1, H2, H3

H1 Theo em ở bức ảnh nào xe có thể chạy thông suốt (liên tục)?

Cầu quay sông Hàn – Đà Nẵng

Hố tử thần xuất hiện ở thành phố thành phố Fukuoka – Nhật Bản

H2 Cho hai đồ thị hàm số Đồ thị nào được vẽ bằng một nét liền?

H3 Em có thể đưa ra thêm một số ví dụ về những hàm số đã học có đồ thị là một đường

liền nét trên TXĐ của nó? Đồ thị là một đường không liền nét trên TXĐ của nó?

+ Thực hiện

- Các học sinh quan sát, suy nghĩ đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3.

- Giáo viên quan sát, theo dõi các học sinh Giải thích câu hỏi nếu các học sinh không hiểu

nội dung các câu hỏi, đặc biệt câu hỏi H3.

+ Báo cáo, thảo luận

- Gọi 3 học sinh có câu trả lời trước, trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3.

- HS quan sát các phương án trả lời của các bạn

- HS đặt câu hỏi cho các bạn để hiểu hơn về câu trả lời

- GV quan sát, lắng nghe, ghi chép

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các HS, ghi nhận và tuyên dương

HS có câu trả lời tốt nhất Động viên các HS còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

- Dự kiến các câu trả lời:

TL1 Hình 2 và Hình 4 các phương tiện đường bộ có thể chạy thông suốt (liên tục); ở Hình 1 và Hình 3 vì “đường đứt đoạn” nên các phương tiện đường bộ không lưu thông được.

TL2 Đồ thị ở Hình 5 là đường không liền nét mà bị đứt quãng tại điểm có hoành độ 0

x

;

đồ thị ở Hình 6 là một đường liền nét.

TL3 Đồ thị hàm số

2

;

y x y x= =

,

sin , cos

y= x y= x

là một đường liền nét trên ¡ ; Đồ thị hàm số

tan , cot

y= x y= x

có đồ thị không liền nét trên tập xác định của nó

- Tùy vào chất lượng câu trả lời của HS, GV có thể đặt vấn đề: Đồ thị của hàm số là đường liền nét thì ta nói hàm số đó liên tục, vậy nếu chưa biết đồ thị hàm số mà chỉ biết phương trình hàm số thì để xét tính liên tục của hàm số ta làm như thế nào? Đó chính là nội dung bài học

“Hàm số liên tục”.

2 Hoạt động hình thành kiến thức.

2.1 Đơn vị kiến thức 1 (Hàm số liên tục tại một điểm)

I Hàm số liên tục tại một điểm

+ Khởi động: (5 phút)

Yêu cầu các học sinh làm 2 phiếu học tập sau (kết hợp kiểm tra bài cũ, cho điểm học sinh)

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1

Cho hàm số y= f x( ) = +x2 1

có đồ thị như hình vẽ

a) Tính f ( )−1

và

( ) 1

lim

x f x

→−

b) So sánh các kết quả trên và nhận xét đồ thị

của hàm số tại điểm 0

1

x = −

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2

Cho hàm số

( )

2 1 khi x 1 1

khi 1 2

x

y g x

x



= −



có đồ thị như hình vẽ

a) Tính g( )−1

,

( ) 1

lim

x g x

→−

b) So sánh các kết quả trên và nhận xét đồ thị

của hàm số tại điểm 0

1

x = −

+ Thực hiện

- Học sinh đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập

- Giáo viên quan sát, theo dõi các học sinh Giải thích câu hỏi nếu các học sinh không hiểu nội dung các câu hỏi

+ Báo cáo, thảo luận

- Các học sinh đứng tại chỗ trả lời cho các câu hỏi

- HS quan sát các phương án trả lời của các bạn

- HS đặt câu hỏi cho các bạn để hiểu hơn về câu trả lời

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận: Hàm số

( )

f x

liên tục tại x= −1

và đồ thị hàm số là đường liền nét tại x= −1

; hàm số g x( )

gián đoạn tại x= −1

và đồ thị không liền nét (bị đứt quãng) tại x= −1

; từ đó chính xác hóa định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

+ Hình thành kiến thức: (5 phút)

- Dựa vào ví dụ trên, em hãy cho biết hàm số

( )

y= f x

liên tục tại điểm 0

x

khi nào? Hàm số ( )

y= f x

không liên tục tại điểm 0

x

khi nào?

- GV tổng hợp, nhận xét các câu trả lời của HS và chốt định nghĩa

Định nghĩa 1:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0∈K Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu

lim ( ) ( )

x x f x f x

Nếu hàm số f(x) không liên tục tại điểm x0 thì được gọi là gián đoạn tại điểm đó

* Nhận xét: Từ định nghĩa, hàm số không liên tục tại điểm x0 khi nào? (dự đoán và bổ sung câu

trả lời)

+ Khi không tồn tại 0

( )f x

+ Khi 0

0 lim ( ) ( )

x x f x f x

+ Khi không $giới hạn hữu hạn hữa hạn 0

lim ( )

x x f x

®

+ Củng cố: (10 phút)

- Dựa vào định nghĩa hướng dẫn học sinh làm ví dụ 1 (5 phút)

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra.(vd ở phiếu học tập số 1 và 2,

các em đã có tính ở trên)

a Hàm sốy= f x( ) = +x2 1

tại 0

1

x = −

b Hàm số

( )

2 1 khi x 1 1

khi 1 2

x

y g x

x





tại 0

1

x = −

Hướng dẫn:

a

+ Theo ĐN việc đầu tiên ta phải làm gì? TL: Tìm khoảng xđ K của hàm số và xem x o =-1

có thuộc khoảng K ko?

TXĐ: D=R;

1

o

x = − ∈D

+ Tiếp theo chúng ta phải làm gì? TL: Tính f(-1) và

( ) 1

lim

x f x

→−

( 1) 2

f − =

;

( ) ( 2 )

+ Sau khi tính tính f(-1) và

( ) 1

lim

x f x

→−

giờ chúng ta làm gì? TL: so sánh f(-1) và

( ) 1

lim

x f x

→−

Ta thấy:

( ) 1

lim ( ) 1

x f x f

Vậy hàm số

( )

y= f x

liên tục tại

1

o

x = −

b Xét tương tự

TXĐ D=R;

1

o

x = − ∈D

1 ( 1)

2

g − =

;

( ) ( 2 )

Ta thấy:

( ) 1

lim ( ) 1

x g x g

Vậy hàm số y g x= ( )

không liên tục tại

1

o

x = −

- Yêu cầu học sinh hoạt động nhóm đôi (2 học sinh trong bàn 1 nhóm) làm ví dụ 2: (3 phút)

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số



x khi x

Hướng dẫn giải:

TXĐ D=R;

0

o

x = ∈D

(0) 1 cos 0 0

( )

x + f x x + x

và

( )

lim lim (1 cos ) 1 cos 0 0

x − f x x − x

Suy ra không tồn tại giới hạn hữu hạn của hàm số tại

0 0

x =

Vậy hàm số không liên tục tại 0

0

x =

- Từ định nghĩa và qua 2 ví dụ 1, 2: hãy nêu các bước xét tính liên tục của hàm số y= f x( )

tại điểm 0

?

x

(2 phút)

Để xét tính liên tục ta của hàm số y=f(x) tại 1 điểm x o làm các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số

0

x ∉D

, KL: f(x) không liên tục tại x0

x ∈D

, tiếp tục bước 2

Bước 2: Tính f(x0)

Bước 3: Tìm 0

lim ( )

x x f x

®

Giới hạn không tồn tại KL: f(x) không liên tục tại x0 Giới hạn tồn tại, tiếp tục bước 3

Bước 4: So sánh 0

lim ( )

x x f x

→

và 0

( )

f x

lim ( ) ( )

x x f x f x

, KL: f (x) không liên tục tại x0

lim ( ) ( )

x x f x f x

, KL: f (x) liên tục tại x0

2.2 Đơn vị kiến thức 2 (Hàm số liên tục trên một khoảng)

II Hàm số liên tục trên một khoảng.

+Khởi động: (2 phút)

L1 Quan sát hình vẽ (máy chiếu)

Hàm số

( )

y= f x

xác định trên khoảng ( )a b;

, x0 ∈( )a b;

, có đồ thị như hình vẽ

Hàm số

( )

y g x=

xác định trên khoảng ( )a b;

, x0 ∈( )a b;

, có đồ thị như hình vẽ

L2 Yêu cầu các học sinh trả lời các câu hỏi sau.

H1 Nêu nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị hàm số y= f x( )

và y g x= ( )

trên khoảng ( )a b;

?

H2 Từ đồ thị trên, nhận xét về tính liên tục của hàm số y= f x( )

và y g x= ( )

tại một điểm bất kì thuộc khoảng ( )a b;

H3 Với giả thiết đã cho của bài toán, theo em hàm số

( )

y= f x

có liên tục tại điểm x a=

và x b=

không? Tại sao?

+ Thực hiện

- Các học sinh suy nghĩ tìm ra các phương án trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3

- Giáo viên quan sát, theo dõi các học sinh Giải thích câu hỏi nếu các học sinh không hiểu nội dung các câu hỏi

+ Báo cáo, thảo luận

- Gọi 3 học sinh đứng tại chỗ trả lời 3 câu hỏi trên

- Dự kiến câu trả lời:

TL1 Đồ thị hàm số y= f x( )

là đường liền nét trên khoảng ( )a b;

; đồ thị hàm số y g x= ( )

là đường không liền nét trên khoảng

( )a b; , bị gián đoạn tại điểm có hoành độ 0

x

TL2 Hàm số y= f x( )

liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ( )a b;

; Hàm số y g x= ( )

bị gián đoạn tại điểm 0

x

TL3 Nếu theo định nghĩa về tính liên tục của hàm số tại điểm thì với giả thiết của bài toán

hàm số y= f x( )

không liên tục tại x a=

và x b=

vì chưa xác định được f a f b( ) ( ),

và

( )

lim

x a− f x

→

, ( )

lim

x b+ f x

→

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận tính liên tục của hàm số trên khoảng, nửa khoảng, đoạn

+Hình thành kiến thức: (3 phút)

Định nghĩa 2:

- Hàm số y= f x( )

được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

- Hàm số

( )

y= f x

được gọi là liên tục trên đoạn

[ ; ]a b

nếu nó liên tục trên khoảng

( )a b; và

( ) ( )

lim

x a f x f a

+

;

( ) ( )

lim

x b f x f b

−

- Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng, như: (a b; , ;] [a +∞),

được định nghĩa một cách tương tự

GV: Yêu cầu học sinh phát biểu khái niệm hàm số liên tục trên: (a b; , ;] [a +∞),

Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền’’ trên khoảng đó

Hàm số liên tục trên (a;b) Hàm số không liên tục trên (a;b)

+Củng cố (3 phút)

- Từ định nghĩa 2, yêu cầu học sinh làm ví dụ 3.

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số

y= f x = x−

trên tập xác định của nó

GV: Hướng dẫn giải:

TXĐ: D=[1;+∞)

Chứng minh hàm số liên tục trên tập xác định tức là chứng minh nó liên tục trên nửa khoảng

[1;+∞)

-Với mọi x o∈ +∞(1; )

, ta có:

⇒

Hàm số liên tục trên khoảng(1;+∞)

(*)

Hàm số đã liên tục trên khoảng (1;+∞)

để hàm số liên tục trên [1;+∞)

thì phải có đk gì?chứng

minh nó liên tục phải tại 1 Tức là chứng minh 1

lim ( ) (1)

x f x f

+

-Tại

1

o

x =

, ta có f(1)=0 và 1 1

lim ( ) lim 1 0 (1)

x + f x x + x f

⇒

Hàm số liên tục tại x0=1 (**)

Từ (*) và (**) suy ra hàm số liên tục trên tập xác định của nó

3 Hoạt động luyện tập (5 phút)

Yêu cầu học sinh suy nghĩa làm các câu hỏi, em nào có câu trả lời nhanh gọi trả lời, hs khác nhận xét Gv chuẩn hóa và cho điểm.

Câu 1: Cho hàm số

( ) 1

y f x

x

có đồ thị như

hình vẽ Tìm khẳng định sai trong các khẳng

định sau:

A Hàm số đã cho liên tục trên khoảng

(−∞;0)

B Hàm số đã cho liên tục tạix= −2

C Hàm số đã cho liên tục trên khoảng(0;+∞)

D Hàm số đã cho liên tục tạix=0

Câu 2: Các điểm gián đoạn của hàm số

2

3 1 ( )

4 3

x

f x

−

=

là :

A x=1

B x=3

C

1; 3

x= x=

D

1 3

x=

Câu 3: Giá trị của tham số a để hàm số:

( ) 2 khi x 222

+a khi x>2

x

f x

x



= −



liên tục tại 0

2

x =

A a= −12

4 Hoạt động vận dụng (5 phút)

- Yêu cầu làm việc theo nhóm (cứ hai bàn quay lại với nhau thành 1 nhóm), lấy nhóm nhanh nhất báo cáo

- Cho học sinh nhóm khác nhận xét bài làm nhóm báo cáo

- GV chuẩn hóa lời giải, cho điểm nhóm

* Bài toán:

Trong nhà máy sản xuất cafe bột Trung

Nguyên, giả sử dây chuyền sản xuất được

hoạt động qua hai công đoạn:

Công đoạn 1: Thời gian sản xuất và vận

chuyển lô hàng từ A đến B được cho bởi

hàm số

2 ( ) 2

f t = t

với 0≤ ≤t 2

Công đoạn 2: Thời gian sản xuất và vận

chuyển lô hàng từ B đến C được cho bởi

hàm số f t( ) = − +t2 a

với t>2

và a là độ trễ thời gian của công đoạn 2

Xác định hệ số a cần cài vào máy ở công đoạn 2 để dây chuyền sản xuất hoạt động liên tục

TL Thời gian sản xuất của dây chuyền được cho bởi hàm số

( ) 2 22 0 2

2

f t

t a khi t



= 



Để dây chuyền sản xuất hoạt động liên tục thì

( )

f t

liên tục trên

(0;+∞) ⇔ f t( )

liên tục tại 2

o

t =

khi

12

a =

(đã làm ở câu 3 luyện tập)

5 Mở rộng, tìm tòi sáng tạo: (2 phút)

Tìm hiểu thêm về lịch sử toán học

Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Cauchy Cauchy định

nghĩa liên tục của f như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập x luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của f(x) Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định

nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay

Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930, Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854

E HƯỚNG DẪN HỌC SINH TỰ HỌC (3 phút)

Các kiến thức cần nắm

1 Định nghĩa hàm số liên lục tại 1 điểm, khoảng, nửa khoảng, đoạn.

2 Các bước xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm