Kiểm tra khả năng thỏa mãn nguyên lý tách cho lớp hệ phi tuyến lipschitz

Kiểm tra khả năng thỏa mãn nguyên lý tách cho lớp hệ phi tuyến LipschitzTrình bày tổng quan về nguyên lý tách cho hệ tuyến tính. Bộ điều khiển phản hồi trạng thái phi tuyến. Thiết kế bộ quan sát Lipschitz cho một lớp hệ phi tuyến và xây dựng bộ quan sát giảm bậc cho hệ EL. Ứng dụng một số hệ Eulerlagrang.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả trong luận văn là do bản thân tôi thực hiện dựa trên sự hướng dẫn của thầy giáo hướng dẫn khoa học và các tài liệu tham khảo

đã trích dẫn

Học viên

PHẠM VĂN THIÊM

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Doãn Phước, người đã hướng dẫn tận tình tác giả đường đi nước bước trong quá trình viết luận văn và xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo của bộ môn Điều khiển Tự động trường Đại học Bách khoa Hà Nội Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo của bộ môn Đo lường & Điều khiển tự động – Khoa Điện tử trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành luận văn đúng kỳ hạn

Đồng thời, để hoàn thành được luận văn này, một phần công sức vô cùng to lớn và có ý nghĩa cả về tinh thần lẫn vật chất đã giúp tác giả hoàn thành khoá luận là

sự cảm thông sâu sắc, sự động viên giúp đỡ của gia đình đã khiến tác giả có đủ thời gian và tự tin để yên tâm nghiên cứu về đề tài được giao

Do khả năng của bản thân cũng còn nhiều hạn chế, nên mặc dù đã được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn cũng như của đồng nghiệp, gia đình,

sự cố gắng, nỗ lực của bản nhân song luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự quan tâm góp ý của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn nữa

Xin chân thành cảm ơn

MỤC LỤC

Trang phụ bìa……… i

Lời cam đoan ……….….1

Lời cảm ơn ……….…2

Mục lục ……… 3

Danh mục các chữ viết tắt ……….….6

Danh mục các hình vẽ, đồ thị ……… 7

PHẦN MỞ ĐẦU 11

1 Lý do chọn đề tài 11

2 Lịch sử nghiên cứu 12

3 Mục đích của đề tài 12

4 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi đề tài 12

5 Bố cục của luận văn 13

6 Ý nghĩa khoa học của luận văn 13

1 TỔNG QUAN 14

Nguyên lý tách cho hệ tuyến tính 15

Tính thỏa mãn nguyên lý tách ở hệ phi tuyến 16

2 BÔ ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI TRẠNG THÁI PHI TUYẾN…….…………19

2.1 Giới thiệu 19

2.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov 20

2.2.1 Lyapunov trực tiếp 20

2.2.2 Hàm điều khiển Lyapunov (CLF) 24

2.3 Tìm hàm CLF bằng phương pháp Backstepping 25

2.3.1 Hệ có cấu trúc truyền ngược 25

2.3.2 Hệ có cấu trúc affine 28

2.4 Thiết kế bộ điều khiển cho hệ Euler – Lagrang 30

2.4.1 Bộ điều khiển Li - Stoline 30

2.4.2 Bộ điều khiển thích nghi Li – Stoline 31

2.4.3 Điều khiển ổn định thích nghi ISS (điều khiển bền vững) 33

2.4.4 Điều khiển thích nghi ISS và bù sai lệch 36

2.5 Kết luận 39

3 BÔ QUAN SÁT 40

3.1 Giới thiệu 40

3.2 Bộ quan sát cho lớp hệ Lipschitz 42

3.3 Thiết kế bộ quan sát hệ phương trình EL……… 45

3.4.Thiết kế bộ quan sát mới 48

3.5.Hiện tượng tiến tới vô cùng sau một khoảng thời gian hữu hạn (FET) 62

3.6.Lớp hệ thỏa mãn nguyên lý tách 64

3.7.Kết luận 66

4 ỨNG DỤNG ĐIỀU KHIỂN MỘT SỐ HỆ EULER – LAGRANG 67

4.1.Robot ba bậc tự do Cylinder 68

4.1.1.Thiết kế bộ quan sát giảm bậc theo phần 3.3……… 68

4.1.2.Thiết kế bộ quan sát giảm bậc theo bộ quan sát mới phần 3.4………….73

4.1.3.Bộ điều khiển Listoline 75

4.1.4.Bộ điều khiển thích nghi Listoline theo mục 2.4.2 77

4.1.5 Bộ điều khiển ổn định ISS và bù nhiễu theo mục 2.4.4 79

4.1.6 Kiểm tra tính thỏa mãn nguyên lý tách khi ghép chung bộ quan sát Lipschitz với bộ điều khiển Listoline theo mục 3.6 82 4.2 Ổ đỡ từ tích cực (AMB – Active Magnetic Bearings) 84 4.2.1 Bộ điều khiển ổn định thích nghi ISS 88 4.2.2 Bộ điều khiển phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách 91

4.3 Hệ truyền động bánh răng 93

4.3.1 Xây dựng mô hình toán học của hệ truyền động bánh răng 93

4.3.2 Thiết kế bộ điều khiển thích nghi giả định rõ bằng mô hình ngược 95

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 97

1 Kết luận 97

2 Hướng phát triển của đề tài 98 Tài liệu tham khảo……… 99

PHỤ LỤC

DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Chữ viết tắt

LF Lyapunov Function Hàm Lyaponov

ISS Input-to-State Stability Ổn định vào trạng thái

PR Positive Real Số thực dương

SPR Strictly Positive Real Số thực dương chặt

EL Euler - Lagrange Euler - Lagrange

AMB Active Magnetic Bearings Ổ đỡ từ tích cực

SE Separation Principle Bộ điều khiển phản hồi đầu ra

FET Finite Escape Time Hiện tượng thoát ra vô cùng

trong khoảng thời gian hữu hạn

CLF Control Lyaponov

Function

Hàm điều khiển Lyaponov

UCO Uniformly Completely

Observable

Quan sát dược đều hoàn toàn

Danh mục bảng và hình vẽ

Bảng 3 Thông số của hệ truyền động bánh răng 95

Hình 1.1 Đáp ứng x t ( )và  ( ) t của hệ với bộ điều khiển LQG 16 Hình 1.2 Bài toán điều khiển phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách 17 Hình 2.1 Giải thích xuất phát điểm của tư tưởng phương pháp

Hình 4.3 Mô hình bộ quan sát theo High-gian Observer 71 Hình 4.4 Vận tốc quan sát của các khớp khi sử dụng BQS Lipschitz 72 Hình 4.5 Mô hình bộ quan sát mới của robot Cylinder 73 Hình 4.6a Kết quả mô phỏng với các điều kiện đầu

( )0 (1( ) ( ) ( )0 0 2 0 ) (1 4 5)

q = l  l =

74

Hình 4.6b Kết quả mô phỏng hai bộ quan sát trạng thái 74 Hình 4.7.a Mô hình bộ điều khiển theo Li - Stoline 75

Hình 4.7.c Mô hình bộ tính v và đạo hàm dv 75 Hình 4.8 Tin hiệu bám cuả các biến khớp 76 Hình 4.9 Tín hiệu điều khiển các biên khớp ( hiện tượng Chattering) 76 Hình 4.10 Mô hình hệ kín khi có bộ ĐK và có cơ cấu chỉnh định p 77

Hình 4.12 Đáp ứng đầu ra của các biến khớp và tham số ước lượng 78 Hình 4.13 Quỹ đạo tiến về không của sai lệch e(t) và đạo hàm sai lệch

de(t)

78

Hình 4.15 Mô hình hệ Robot 3 DOF khi có bộ điều khiển ISS và cơ cấu

bù nhiễu

80

Hình 4.16 Quỹ đạo bám của các biến khớp và tín hiệu bú sai lệch v(t) 80 Hình 4.17 Tín hiệu lực và Momen đặt lên các biến khớp 81 Hình 4.18 Tín hiệu đầu ra từ cơ cấu bù nhiễu s(t) cho lực và Momen 81 Hình 4.19 Quỹ đạo tiến về không của e(t) và de(t) 82 Hình 4.20 Gép chung bộ điều khiển và bộ quan sát trạng thái và bộ điều

khiển phản hồi trạng thái

Hình 4.24.b Mô hình đối tượng 88 Hình 4.25 Quỹ đạo bám của rotor theo hai phương x và y 89 Hình 4.26 Quỹ đạo tiến về gốc tọa độ của sai lệch e(t) và de(t) 89 Hình 4.27 Tín hiệu điều khiển khi có nhiễu tác động 90 Hình 4.28 Tín hiệu điều khiển i x i y của bộ điều khiển ISS khi có nhiễu và

kiện đầu 1( )0 =0.5,2( )0 =0.6,1( )0 =0.2,2( )0 =0.3

96

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong thời gian qua, cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật hiện đại thì ngành điều khiển học đã có các bước tiến bộ vượt bậc Ngành điều khiển và tự động hóa ngày càng thâm nhập sâu vào trong mọi mặt đời sống xã hội để giúp cho con người có một cuộc sống tiện nghi hơn, dễ dàng hơn Việc điều khiển từ những con robot nhỏ, tòa nhà thông minh cho đến việc điều khiển toàn bộ nhà máy lớn hoặc các công trình đồ sộ đặt ra cho điều khiển học các bài toán phức tạp Các đối tượng không chỉ mô tả dưới dạng phương trình tuyến tính mà nó còn được mô tả dưới dạng hệ phi tuyến và nhiều vào nhiều ra Điều này gây khó khăn rất lớn cho các phương pháp điều khiển kinh điển

Trước khó khăn đó, với sự phát triển của toán học, các phương pháp mới ra đời, như điều khiển thích nghi, điều khiển ổn định – ISS, ISS – bù nhiễu, , Trong 15 năm gần đây, một hướng nghiên cứu mới được mở ra, nghiên cứu khả năng thỏa mãn nguyên lý tách cho lớp hệ phi tuyến, đã có nhiều công trình nghiên cứu như của Teel và Prayl [16], hoặc công trình của Atassi và Khalil [2], hay của Murat Arcak [3]

Do vậy việc nghiên cứu khả năng thỏa mãn nguyên lý tách cho một lớp hệ phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz là vấn đề cần thiết, có ý nghĩa quan trọng, có khả năng ứng dụng vào thực tế

2 Lịch sử nghiên cứu

Đóng góp đầu tiên của hướng nghiên cứu mới này là kết quả của Teel và Praly [16] Kết quả này cho thấy nếu đối tượng là quan sát được hoàn toàn, đều (UCO) và bộ điều khiển phản hồi trạng thái đã mang đến cho hệ thống chất lượng ổn định tiệm cận toàn cục thì sẽ tồn tại bộ quan sát trạng thái để khi gép chung với bộ điều khiển

phản hồi trạng thái đã có thành bộ điều khiển phản hồi tín hiệu ra, hệ sẽ có tính ổn định bán toàn cục

Những hệ affine có bậc tương đối r = n đều là UCO Kết quả của Teel và Praly

đã chỉ ra sự tồn tại của bộ quan sát trạng thái, song lại không nêu lên được phương pháp thiết kế nó Cũng chính vì vậy, nó đã kích thích sự ra đời của một loạt các nghiên cứu điều khiển tách được mà trọng tâm là các phương pháp ghép bộ điều khiển phản hồi trạng thái với một bộ quan sát trạng thái thích hợp Điển hình có thể

kể đến là công trình của Atassi và Khalil [2] Nó chỉ rằng lớp các đối tượng quan sát đều

Tiếp tục, là các công trình của Murat Arcak [3], hay của Anders Robertsson [5], gần đây là công trình nghiên cứu của Nguyễn Văn Chí [10]

3 Mục đích của đề tài

Do vậy, với lịch sử phát triển trên, việc nghiên cứu, làm rõ tính thỏa mãn nguyên lý tách của lớp hệ phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz, và nghiên cứu làm rõ các phương pháp điều khiển cho các lớp hệ cơ điện tử mô tả dưới dạng phương trình Euler – Lagrang để triển khai ứng dụng vào thực tế sản xuất là cần thiết

4 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi đề tài

Đối tượng nghiên cứu: Lớp hệ phi tuyến thỏa mã điều kiện Lipschitz, và lớp

hệ cơ điện tử mô tả dưới dạng phương trình động học Euler – Lagrang

Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu việc thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng

thái, bộ quan sát trạng thái và kiểm tra khả năng thỏa mãn nguyên lý tách cho lớp hệ phi tuyến Tiếp theo, mô phỏng trên phần mềm Matlab – Simulink cho các hệ Robot, ổ đỡ từ tích cực – AMB, hệ truyền động bánh răng có khe hở Đánh giá chất lượng của phần lý thuyết nêu ra

5 Bố cục của luận văn

Chương 1: Tổng quan nguyên lý tách

Chương 2: Bộ điều khiển phản hồi trạng thái phi tuyến

Chương 3: Bộ quan sát

Chương 4: Ứng dụng điều khiển một số hệ Euler – Lagrang

Kết luận và kiến nghị

6 Ý nghĩa khoa học của luận văn

Các vấn đề đề cập trong luận văn cho thấy khả năng ứng dụng rất lớn cho các các

hệ cơ điện tử EL Luận văn nhằm giúp làm tường minh về tính thỏa mãn nguyên lý tách cho lớp hệ phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz

1

TỔNG QUAN

Ngày nay, cùng với sự phát triển của toán học, các phương pháp mô hình hóa, phân tích hệ thống, thiết kế hệ thống dần được hoàn thiện Các công cụ toán học như: vi phân, đạo hàm, đạo hàm riêng, ma trận, hình học vi phân,…, là tiền đề cho các công trình nghiên cứu cải tiến, nâng cao chất lượng các hệ thống kỹ thuật, cũng như mở ra các hướng nghiên cứu mới

Trong lĩnh vực điều khiển, một trong những việc quan trọng là thiết kế bộ điều khiển cho các đối tượng đã được mô hình hóa Đã có rất nhiều tác giả nêu ra các phương pháp thiết kế bộ điều khiển cho các hệ được mô tả dưới dạng hàm truyền, như trong tài liệu [7] Tuy nhiên, có nhiều hạn chế, ví dụ như hàm truyền chỉ

mô tả cho các lớp hệ tuyến tính, hay không mô tả được các biến trạng thái bên trong

hệ thống…, Do vậy, việc mô hình đối tượng trên miền không gian trạng thái là cần thiết, xong không phải là trạng thái nào ta cũng có thể sử dụng sensor để đo được, với những trạng thái không đo được ta tiến hành ước lượng bằng các bộ quan sát trạng thái, các biến trạng thái này được phục vụ cho quá trình thiết kế các bộ điều khiển phản hồi trạng thái Trong quá trình trên, ta phải quan tâm tới các chỉ tiêu chất lượng hệ thống, như ổn định, độ quá điều chỉnh, độ dự trữ biên độ…

Việc ghép chung bộ quan sát trạng thái và bộ điều khiển phản hồi trạng thái

đã được nhiều tác giả quan tâm Nguyên lý tách đã được chứng minh thỏa mãn cho lớp hệ tuyến tính trong tài liệu [7] Nó sẽ làm tiền đề cho việc nghiên cứu, áp dụng nguyên lý tách cho các lớp hệ phi tuyến

Để khảo sát, kiểm chứng và thực nghiệm lý thuyết thì các hệ Euler – Lagrang

là một ví dụ điển hình

1.1 Nguyên lý tách cho hệ tuyến tính

Bộ quan sát trạng thái của Luenberger và của Kalman không làm thay đổi vị

trí các điểm cực cũ det ( sI − + A BR ) = 0 của hệ thống Nó chỉ đưa thêm vào hệ thống các điểm cực mới là nghiệm của det ( sI − + A LC ) = 0 Điều này cho thấy ở

hệ tuyến tính, việc thiết kế bộ điều khiển phản hồi tín hiệu ra là tách được thành hai bài toán riêng biệt gồm bài toán thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái và bài toán thiết kế bộ quan sát

Lời chứng minh đầy đủ cho nguyên lý trên đã có trong rất nhiều tài liệu về lý thuyết tuyến tính, chẳng hạn như [7]

Bộ điều khiển phản hồi trạng thái thường được sử dụng cho hệ LTI là các bộ điều khiển gán điểm cực hay bộ điều khiển tối ưu LQR Bộ quan sát trạng thái thích hợp là các bộ quan sát tiệm cận của Luenberger, bộ quan sát Kalman – Bucy hay bộ quan sát FTO của Engel – Kereisselmeier Bộ điều khiển phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách trên cơ sở kết hợp bộ quan sát Kalman – Bucy và bộ điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu LQR có tên gọi là bộ điều khiển LQG

Bộ điều khiển phản hồi đầu ra LQG và tất cả các bộ điều khiển phản hồi đầu

ra khác xây dựng theo nguyên lý tách trên nền bộ quan sát tiệm cận (AO), đều có chung một đặc điểm là chúng không bao giờ làm thay đổi được bậc cũng như điểm không của hệ, tức là chúng không làm thay đổi được tính chất pha cực tiểu của đối tượng điều khiển

Ví dụ: Con lắc ngược là mô hình kinh điển mà ta có thể áp dụng bộ điều khiển

LQG để minh họa cho nguyên lý tách trên Đây là mô hình không ổn định, có nhiễu

tác động, do vậy, ta phải điều khiển sao cho quỹ đạo x t ( ) bám theo quỹ đạo đặt

( )

r

x t và góc lệch  ( ) t → 0 Theo đó, việc thiết kế bộ quan sát Kalman, và bộ điều khiển LQR phản hồi âm được thực hiện, kết quả cho thấy bộ điều khiển LQG

đạt được các yêu cầu đưa ra khi có nhiễu ồn trắng tác động (hình 1.1)

1.2 Tính thỏa mãn nguyên lý tách ở hệ phi tuyến

Do ở hệ phi tuyến, tính ổn định Lyapunov không tương đương với ổn định BIBO, nên việc ghép nối tiếp hai khâu phi tuyến ổn định Lyapunov với nhau vẫn có thể tạo ra hệ không ổn định Điều này nói rằng, khác hẳn so với hệ tuyến tính, ở hệ phi tuyến bậc n:

( ) ( )

có hàm LF (khi  = 0) với mọi trạng thái đầu x0, cũng như đã có bộ quan sát trạng

thái phi tuyến (1.3) bậc n với dạng tổng quát:

Hình 1.1 Đáp ứng

( )

x t và  ( ) t của hệ với bộ điều khiển LQG

( )

, , ,

d x

q x u y dt

hay vẫn còn thường được gọi là bài toán điều khiển phản hồi đầu ra dựa trên quan

sát trạng thái (observer – based ouput – feedback control)

Trong những năm gần đây, các hệ cơ điện tử được rất nhiều các tác giả quan tâm, vì vậy trong luận văn trình bày các phương pháp thiết kế cho lớp hệ cơ điện tử được

mô tả dưới dạng phương trình Euler – Lagrang, ví dụ như: Robot Cylinder, Ổ đỡ từ

Bộ điều khiển (1.2)

1, , n

Bộ quan sát (1.3)

x  x

Hệ phi tuyến (1.1)

Hình 1.2 Bài toán điều khiển phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách

tích cực – AMB, hay các hệ truyền động khe hở…., mà trong đó sẽ khảo sát các trường hợp:

- Hệ EL với các thông số biết trước

- Hệ EL có tồn tại một vector hằng bất định

- Hệ EL khi có nhiễu tác động

- Hệ EL có tồn tại một vector hằng bất định và có nhiễu tác động

Tiếp theo, tiến hành ước lượng các trạng thái không đo được như vận tốc gia tốc…, thông qua các bộ quan sát trạng thái để phục vụ cho việc thiết kế bộ điều khiển ở trên Qua đó, kiểm tra khả năng thỏa mãn nguyên lý tách của lớp hệ phi tuyến đó

Cuối cùng, luận văn sẽ mô phỏng cho một số hệ thống như robot, ổ đỡ từ, hệ truyền động bánh răng để kiểm chứng lý thuyết đưa ra

2

BÔ ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI TRẠNG THÁI PHI TUYẾN

2.1 Giới thiệu

Có nhiều hiện tượng trong tự nhiên và xã hội được mô tả hoặc xấp xỉ bởi các

mô hình toán học Chúng ta thường sử dụng các công thức đạo hàm, vi phân như một cách để mô tả các quá trình động học mà trong đó các biến phụ thuộc vào thời gian Việc mô tả này là một phần rất quan trọng trong việc áp dụng các phương pháp điều khiển thích hợp cho các lớp mô hình cụ thể

Đối với lớp hệ được xây dựng dưới dạng các phương trình vi phân thỏa mãn nguyên lý xếp chồng, mục tiêu của bài toán là xây dựng một bộ điều khiển để làm cho hệ ổn định, hay làm cho sai lệch và đạo hàm của sai lệch giữa tín hiệu đặt

( ) t

 và tín hiệu bám y t ( ) tiến về không trong một khoảng thời gian hữu hạn Trong tài liệu [7] rất nhiều các phương pháp để áp dụng cho lớp hệ này như Arkerman, Roppenecker, Modal….đã được đưa ra Tư tưởng chung của chúng là

kéo các điểm cực của hệ về phía trái trục ảo, hay đa thức đặc trưng của hệ kín khi

có bộ điều khiển là Hurwitz

Tuy nhiên, mục tiêu của bài toán là nâng cao chất lượng của hệ thống khi lớp

hệ được mô tả dưới dạng phi tuyến Trong các tài liệu [6],[5],[4],[10], các tác giả đưa ra rất nhiều các phương pháp thiết kế cho lớp hệ Lipchitz Việc nghiên cứu và

áp dụng các phương pháp trên rất cần thiết, vì sẽ cải thiện được chất lượng động học của hệ

Chương 2 nêu ra lý thuyết Lyapunov và hàm CLF, đây là hai phần có tính

chất nền tảng để chúng ta có thể đi tìm hiểu các phương pháp điều khiển phi tuyến

Tiếp theo, dựa trên việc mô hình hóa cho các robot công nghiệp [12], ổ đỡ từ

tích cực – AMB [8], hệ truyền động bánh răng [11] dưới dạng phương trình động

lực học Euler – Lagrang Luận văn áp dụng các phương pháp điều khiển bằng phản hồi trạng thái để nâng cao chất lượng cho lớp hệ trên khi có nhiễu tác động, và mô hình có tham số bất định

Giả sử hệ cân bằng tại gốc tọa độ, tức là có f ( ) 0,0 = 0, thì bị nhiễu tức thời đánh

bật ra khỏi điểm cân bằng 0 và đưa tới một điểm cân bằng nào đó x 0 0 Nếu sau đó:

a) Hệ tự quay trở về một lân cận nào đó của 0 thì nó được gọi là ổn định tại

0 (ổn định Lyapunov)

b) Hệ tự quay về 0 thì nó được gọi là ổn định tiệm cận tại 0

Như vậy, theo định nghĩa trên thì để xét tính ổn định Lyapunov tại 0của hệ ta phải xét xem nghiệm x t ( ) của phương trình vi phân tương ứng với u = 0:

( , 0 ) ( )

d x

dt = = = với x ( ) 0 = x0 (2.2)

Có đi về lân cận gốc ( hoặc thậm chí kết thúc tại điểm 0) hay không

Tiêu chuẩn Lyapunov là một phương pháp kiểm tra tính ổn định của hệ (2.1)

mà không cần phải đi tìm nghiệm x t ( )của (2.2) Nó được giả thích như sau: Giả sử rằng bao quanh gốc tọa độ 0 có họ đường cong khép kín v(hình 2.1) Các đường

cong này có thể được xem như biên của các lân cận của điểm gốc 0 Để kiểm tra xem quỹ đạo trạng thái x t ( ) (đi từ điểm trạng thái đầu x0 cho trước nhưng tùy ý)

mô tả quá trình tự do của hệ, có tiến về gốc tọa độ 0 hay không, ta chỉ cần xét xem quỹ đạo trạng thái x t ( ) có cắt tất cả các đường cong thuộc họ v từ ngoài vào bên trong hay không và nếu điều đó xảy ra thì chắc chắn x t ( )phải có quỹ đạo hướng tiến về gốc tọa độ và kết thúc tại đó

Như vậy phương pháp Lyapunov sẽ gồm hai bước:

- Xây dựng họ các đường cong v khép kín chứa các điểm gốc tọa độ 0

bên trong

- Hệ sẽ ổn định nếu quỹ đạo trạng thái x t ( )mô tả quá trình tự do của hệ cắt mọi đường cong thuộc họ v theo chiều từ ngoài vào trong Điều kiện cần và đủ để x t ( )cắt một đường cong thuộc họ vtheo chiều từ ngoài vào trong là tại điểm cắt đó, tiếp tuyến của quỹ đạo tự do x t ( ) phải tạo với

hình 2.1 Giải thích xuất phát điểm của tư

tưởng phương pháp Lyapunov

x

vector gradV vuông góc với đường cong đó theo hướng từ trong ra ngoài một góc lớn hơn 0

dt

x d

Vậy, nếu tồn tại hàm Lyapunov V x ( ), thỏa mãn:

a) Xác định dương, tức là V x  ( ) 0 với x  0 và V x ( ) =  = 0 x 0

b) L Vf dV 0

dt

=  (đạo hàm của nó bán xác định âm)

Với x t ( ) là nghiệm tự do của hệ thống thì hệ ổn định tại điểm gốc tọa độ 0 Khi đó

= xác định âm, thì hệ là ổn định tiệm cận tại 0

Để minh họa , ta xét ổn định đối với hệ Euler – Lagarang có dạng:

2.2.2 Hàm điều khiển Lyapunov (CLF)

Theo tài liệu [6], mặc dù có xuất xứ ban đầu là để kiểm tra tính ổn định của

hệ phi tuyến (2.1), song người ta lại biết đến lý thuyết Lyapunov nhiều nhờ ý nghĩa ứng dụng của nó trong việc thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái làm ổn định

đối tượng phi tuyến, gọi là phương pháp thiết kế Lyapunov Có thể nói, cho tới nay

phương pháp thiết kế Lyapunov này không những là một công cụ đơn giản nhưng toàn năng để thiết kế bộ điều khiển, mà còn là một gợi ý tiền đề cho nhiều các phương pháp điều khiển khác như điều khiển ổn định ISS trong điều khiển thích

nghi điều khiển thụ động (passive), thiết kế bộ quan sát trạng thái…

Để minh họa phương pháp thiết kế Lyapunov, trước tiên ta xét cho đối tượng

Và giả sử nó được điều khiển bằng bộ điều khiển phản hồi trạng thái u x ( ) Khi đó

hệ kín trong trường hợp không bị kích thích ( = 0) sẽ có mô hình:

Gọi V x ( ) là hàm trơn, xác định dương thích hợp Như vậy, theo 2.2.1, để hệ

kín ổn định tiệm cận với miền ổn định , tức là phải tìm một quan hệ u x ( ) để có

Một hàm trơn, xác định dương V x ( ) nào đó mà với nó tồn tại ít nhất một quan hệ u x ( ) thỏa mãn (2.8), được gọi là hàm điều khiển Lyapunov (CLF –

Control Lyapunov Fuction) Nói cách khác, một hàm trơn, xác định dương V x ( )

bất kỳ sẽ được gọi là hàm CLF của đối tượng (2.7 ) nếu như nó thỏa mãn:

Định nghĩa này cũng cho thấy cần và đủ để một đối tượng điều khiển ổn định

tiệm cận được tại gốc tọa độ bằng bộ điều khiển phản hồi trạng thái là với nó tồn tại

2.3.1 Hệ có cấu trúc truyền ngược

Thứ nhất, xét hệ truyền ngược một đầu vào có dạng:

( ) ( ) ( ) ,

d x

dt dz

2

Ta đạo hàm (2.11) dọc theo quỹ đạo trạng thái

Tiếp theo, xét hệ truyền ngược nhiều đầu vào

2 2

2.4 Thiết kế bộ điều khiển cho hệ Euler – Lagrang

2.4.1 Bộ điều khiển Li - Stoline

Mô hình của hệ Euler- Lagrang trong (2.3) và tính chất (2.4) và thêm tính chất:

Tuy nhiên, nếu đối tượng chưa biết rõ ví dụ nó tồn tại hằng số bất định, thì

việc thực thi bộ điều khiển này là không thể vì bộ điều khiển bao gồm cả vector

hằng bất định Do vậy, cần phải có một cơ cấu để ước lượng hằng số bất định đằng

sau bộ điều khiển

Hình 2.4 Mô hình hệ kín Euler - Lagrang

Bộ điều khiển (2.32) Hệ EL (2.11)

d

2.4.2 Bộ điều khiển thích nghi Li – Stoline

Bài toán đặt ra, mô hình của đối tượng có tồn tại một vector hằng bất định

Theo tài liệu [6] chúng ta có thể sử dụng các phương pháp như:

- Giả định rõ

- Bù bất định

- Thích nghi theo mô hình mẫu

Đều làm cho hệ ổn định tiệm cận toàn cục (GAS), và tư tưởng của các phương pháp này đều dựa trên định lý Lyapunov gián tiếp để tìm bộ điều khiển

Nội dung của bộ điều khiển thích nghi Li – Stoline dựa trên phương pháp giả

định rõ được diễn giải như sau:

Cho hệ Euler – Lagrang có mô hình:

( ) , ( , , ) ( ) ( , , , )

u = D q  q C q q +  q g q +  = F q q q  (2.36) Trong đó  là vector các tham số hằng bất định Với tham số hằng bất định,

bộ điều khiển có dạng:

( ) , ( , , ) ( ) , 3( )

Và do đó hiển nhiên là không sử dụng được Áp dụng nguyên tắc chỉnh định thích

nghi giả định rõ (certainty equivalence) đã được đề cập đến trong tài liệu [6], ta sẽ

thay các thành phần bất định trong bộ điều khiển trên bằng các tham số ước lượng

Trong đó, ta đơn giản hóa các kí hiệu:

1 2

cơ cấu chỉnh định tham số (2.43) chỉ đảm bảo được tính bám ổn định chứ không có

p →  Cơ cấu

chỉnh định

(2.43)

Bộ điều khiển (2.38)

2.4.3 Điều khiển ổn định thích nghi ISS (điều khiển bền vững)

Xét hệ Euler – Lagrang bậc n, đủ cơ cấu chấp hành và có nhiễu ( )t tác động:

q  (2.44) Giả thiết rằng các tham số của mô hình (2.44) là đã biết Khi đó, với bộ điều khiển phản hồi trạng thái:

ổn định theo quỹ đạo đặt qd ( ) t cùng các đạo hàm bậc nhất của chúng Vấn đề đặt

ra tiếp theo ở đây là khi p  0 thì ta phải chọn hai ma trận xác định dương

1, 2

K K cũng như tín hiệu bù nhiễu v t ( ) như thế nào cho bộ điều khiển (2.45) để vẫn có được tính bám ổn định của hệ kín, hoặc ít nhất thì cũng có được sai lệch

( )

e t bị chặn và tiến về một lân cận mong muốn đủ nhỏ của gốc 0

Định lý 2.1.Xét hệ sai lệch (2.46) có K1=diag k( )1i và K2 =diag k( )2i ,i=1,2, ,n là

hai ma trận đường chéo với các phần tử thỏa mãn 2

1 2 2

Sử dụng tiếp các giả thiết ax( 1i, 2i)

Ví dụ: Minh họa ở chương 4 phần 4.2.1

2.4.4 Điều khiển thích nghi ISS và bù sai lệch

Theo tài liệu [10] Ta xét hệ Euler – Lagrang bất định tham số và bị tác động bởi nhiễu ( )t mô tả bởi:

( ) , ( , , ) ( ) , ( )

Trong đó, là vector các tham số hằng bất định Đây là lớp hệ EL vừa bất định tham số,vừa bị nhiễu ( )t không mong muốn tác động ở đầu vào Nhiệm vụ điều khiển được đặt ra ở đây là phải thiết kế được bộ điều khiển thích nghi vừa có khả năng bù được sai lệch bám e t ( ),e t ( ), trong đó qd ( ) t là quỹ đạo mong muốn đặt trước, sinh ra bởi thành phần tham số bất định  của mô hình, vừa có khả năng kháng được sự ảnh hưởng của nhiễu ( )t vào hệ thống

 và s t ( )là tín hiệu được bổ sung thêm để bù thành phần sai lệch tham số  − p

cũng như sự ảnh hưởng của nhiễu ( )t sau này Với bộ điều khiển đó, và với các ký hiệu (2.54) đã sử dụng trước đây, hệ kín sẽ có dạng:

x t = Ax x t =e x luôn bị chặn khi t 0 và tiến tiệm cận về

0 theo hàm mũ với mọi giá trị đầu x m( )0 tùy chọn Bởi vậy nhiệm vụ điều khiển thích nghi tiếp theo là phải xác định tín hiệu bù s t ( ) sao cho nghiệm x t ( ) của (2.55) bám được theo xm( ) t

Đặt s = Fv và sử dụng hàm xác định dương của sai lệch x − xm:

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ

2

T T

i n j

ˆ 2

Tổng kết lại, ta có các bước xây dựng bộ điều khiển (2.54) và cơ cấu bù nhiễu

(2.58) với cơ cấu điện tử EL thỏa mãn (2.36) của hệ thống điều khiển bám ổn định

ISS với cấu trúc hình 2.6, như sau:

1 Chọn hai ma trận đường chéo K K1, 2 có các phần tử thỏa mãn (2.57)

i n j

4 Xây dựng bộ điều khiển (2.54)

5 Xây dựng bộ bù sai lệch theo (2.58)

Ví dụ: Minh họa ở chương 4 ví dụ 4.5

2.5 Kết luận

Trong chương hai, luận văn nêu ra lý thuyết Lyapunov, và hàm CLF đây là

hai phần rất quan trọng, có tính chất nền tảng để chúng ta có thể đi tìm hiểu các phương pháp điều khiển phi tuyến Các ý tưởng tìm bộ điều khiển trong chương này

đều xuất phát đi tìm một hàm CLF hợp lý để hệ đạt được tính chất ổn định tiệm cận

toàn cục

Luận văn trình bày thứ tự các phương pháp điều khiển cho hệ có cấu trúc EL

khi có không có nhiễu, có tham số bất định, có nhiễu và cả tham số bất định Ví dụ được đưa ra là robot 3 DOF Cylinder, và ổ đỡ từ - AMB, mà trong đó đặc biệt là ổ

đỡ từ - AMB được điều khiển với hệ là phi tuyến và có nhiễu tác động

Việc xây dựng bộ điều khiển phản hồi trạng thái ổn định hóa hệ thống Nếu

sau khi đã biết là công việc xây dựng bộ điều khiển có thể có kết quả (hệ điều khiển

được tại x0) thì công việc tiếp theo là phải xác định được x0để từ đó bộ điều khiển

có thể tạo ra được tín hiệu điều khiển thích hợp đưa hệ từ x0 về điểm cân bằng

e

x ban đầu Công việc xác định điểm trạng thái x0 có thể tiến hành bằng cách đo

trực tiếp (nhờ các bộ cảm biến, sensor) hoặc quan sát khi không thể đo trực tiếp x0, chẳng hạn như gia tốc không thể đo được trực tiếp mà phải được suy ra từ việc đo tốc độ trong một khoảng thời gian Nói cách khác khái niệm quan sát được hiểu là

thông qua các tín hiệu đo được khác ( thường là các tín hiệu vào/ ra) mà suy ra x0

Điểm trạng thái x0 của hệ phi tuyến sẽ được nói là quan sát được nếu ta có thể xác định được nó thông qua việc đo các tín hiệu vào/ra trong một khoảng thời gian hữu hạn Khoảng thời gian quan sát càng ngắn càng tốt cho việc điều khiển sau này Nếu thời gian quan sát quá lớn, điểm trạng thái x0 vừa được xác định sẽ mất ý nghĩa ứng dụng cho bài toán điều khiển

Hình 3.1 mô tả nguyên tắc xác định các biến trạng thái x t ( ) Hệ thống giao tiếp với môi trường xung quanh thông qua các tín hiệu vào u t ( ), ra y t ( ) Trạng thái x t ( ) có thể không được thể hiện ra bên ngoài, nhưng có mối liên hệ với u t ( ),

( )

y t Bộ quan sát trạng thái có nhiệm vụ sử dụng mối quan hệ đó để xác định x t ( )

từ tín hiệu đo được u t ( ), y t ( ) Một bộ quan sát có khoảng thời gian quan sát

Tcàng nhỏ sẽ được đánh giá là có chất lượng tốt

d x

f x u t dt

1, , n

Bộ quan sát trạng thái

x  x