Nghiên cứu tính thoả mãn nguyên lý tách của bộ quan sát tuyến tính với thời gian quan sát hữu hạn

Với phương pháp mô tả đối tượng bằng hệ phương trình trạng thái, quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của đối tượng được thể hiện thông qua các biến trung gian là các biến trạng thái

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGHIÊN CỨU TÍNH THOẢ MÃN NGUYÊN LÝ TÁCH CỦA BỘ QUAN SÁT TUYẾN TÍNH VỚI THỜI

GIAN QUAN SÁT HỮU HẠN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu thực sự của tôi Các số

liệu, kết quả nêu trong bản luận văn là trung thực và chưa được công bố trong

bất kỳ công trình khoa học nào

ĐẶNG HÀ DŨNG

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 1

MỤC LỤC 2

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN 3

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG I MÔ HÌNH TOÁN CỦA HỆ THỐNG 6

I.1 Mở đầu 6

I.2 Mô hình hàm truyền đạt 9

I.3 Mô hình hệ phương trình trạng thái 14

I.4 Mối liên hệ giữa hàm truyền đạt và hệ phương trình trạng thái 18

I.5 Giải hệ phương trình trạng thái 23

a Ma trận hàm mũ 24

b Một số phương pháp xác định ma trận hàm mũ 25

CHƯƠNG II CÁC BỘ QUAN SÁT TRẠNG THÁI VÀ TÍNH THOẢ MÃN NGUYÊN LÝ TÁCH (SEPARATED PRINCIPLE) 27

II.1 Vai trò và các cơ sở toán học của các bộ quan sát trạng thái 27

a Tính điều khiển được 28

b Tính quan sát được 29

II.2 Một số phương pháp tổng hợp bộ điều khiển phản hồi trạng thái dựa trên nguyên lý đặt điểm cực 31

a Đặt vấn đề 31

b Phương pháp Ackermann 34

c Phương pháp Roppenecker 37

d Phương pháp modal phản hồi trạng thái 38

II.3 Bộ quan sát trạng thái Luenberger 40

a Thuật toán quan sát trạng thái Luenberger 40

b Tính thoả mãn nguyên lý tách của khâu quan sát Luenberger 44

c Ví dụ mô phỏng 46

II.4 Tính thoả mãn nguyên lý tách của bộ quan sát trạng thái Kalman 54

CHƯƠNG III CHỨNG MINH TÍNH THOẢ MÃN NGUYÊN LÝ TÁCH CỦA BỘ QUAN SÁT TUYẾN TÍNH VỚI THỜI GIAN HỮU HẠN 58

III.1 Khâu quan sát thời gian hữu hạn thoã mãn nguyên lý tách trong khoảng thời gian [t0+D,∝ ) 61

III.2 Khâu quan sát trạng thái trong khoảng thời gian hữu hạn thoả mãn nguyên lý tách trong khoảng thời gian [t0,t0+D) 64

III.3 Mô phỏng kết quả 68

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 73

TÀI LIỆU THAM KHẢO 74

PHỤ LỤC 75

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN

MỞ ĐẦU

Trên nguyên tắc, để điều khiển được một biến nào đó của đối tượng điều khiển, người ta phải đo được biến đó Tức là phải cung cấp cho thuật toán điều khiển được cài đặt trong bộ điều khiển thông tin về đáp ứng của mục tiêu điều khiển dưới tác động của tín hiệu điều khiển Chất lượng điều khiển của hệ thống phụ thuộc vào chất lượng của thuật toán điều khiển, thuật toán điều khiển lại phụ thuộc vào độ chính xác của kết quả đo các biến điều khiển Để có được kết quả đo chính xác, người ta thường phải sử dụng những dụng cụ đo có độ chính xác cao, đẩy giá thành của hệ thống điều khiển lên cao Không những thế, có những biến điều khiển chúng ta không đo được một cách trực tiếp bằng những dụng cụ đo Vấn đề được đặt ra là giảm thiểu số lượng các thiết bị đo trong hệ thống điều khiển để làm giảm thiểu chi phí, thông thường các thiết bị đo lường chiếm phần lớn trong giá thành của hệ thống, đồng thời vẫn đảm bảo chất lượng của kết quả đo, kể cả trường hợp các biến cần đo là không thể đo được trực tiếp Vì lý do này, những bộ quan sát trạng thái của hệ thống đã được nghiên cứu và đạt được nhiều kết quả ứng dụng

Những bộ quan sát kinh điển thường được nói tới là: Luenberger, Kalman Mỗi bộ quan sát dựa trên một cơ sở lý thuyết khác nhau, tuy nhiên chúng đều có một điểm chung là thoả mãn nguyên lý tách Tức là động học của bộ quan sát hoàn toàn không ảnh hưởng tới động học của hệ thống cần điều khiển Do tính độc lập về động học của hai khâu mà việc tổng hợp bộ quan sát nhằm đạt được đến độ chính xác mong muốn có thể được thực hiện tương đối đơn giản Tuy nhiên, về mặt lý thuyết, kết quả đo của những bộ quan sát này chỉ tiệm cận đến giá trị cần đo, và tốc độ tiệm cận phụ thuộc vào

đặc điểm động học của bộ quan sát Đây cũng chính là những giới hạn của những bộ quan sát này

Luận văn này nghiên cứu về ảnh hưởng của một kỹ thuật thiết kế hệ

thống quan sát trạng thái mới được sử dụng trong thời gian gần đây: bộ quan sát tuyến tính với thời gian hữu hạn Đây là bộ quan sát được tổng hợp dựa

trên các bộ quan sát kinh điển, nhưng lại cho phép đạt được kết quả đo chính xác sau một khoảng thời gian gần như là bất kỳ Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là tính thoả mãn nguyên lý tách của bộ quan sát này, điều mà các bộ quan sát kinh điển đều thoả mãn Luận văn đồng thời thực hiện kiểm nghiệm kết quả chứng minh bằng những kết quả mô phỏng trong môi trường MatLab®-Simulink™ Cơ sở của phương pháp có thể được phát triển cho hệ tuyến tính với thời gian không dừng hoặc hệ phi tuyến

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới giáo viên hướng dẫn là

PGS-TS Nguyễn Doãn Phước Chỉ với những sự định hướng, chỉ bảo tận tình của thầy, luận văn mới có thể được hoàn thành

CHƯƠNG I MÔ HÌNH TOÁN CỦA HỆ THỐNG

y = y , , y

Hình I-1 Sơ đồ tổng quát một hệ điều khiển tự động.

Nhiệm vụ điều khiển là tổng hợp các thuật toán điều khiển của bộ điều khiển để có thể có những tác động điều khiển lên hệ thống sao cho đáp ứng đầu ra của hệ thống luôn bám được theo dạng của tác động đầu vào Bài toán

cơ bản trong điều khiển tự động đó là tổng hợp bộ điều khiển để tác động lên đối tượng điều khiển sao cho đáp ứng đầu ra của toàn hệ thống luôn bám được theo tín hiệu đặt ở đầu vào Chúng ta lại chia thành hai trường hợp: điều khiển khi tín hiệu đầu vào là một tín hiệu cố định, chúng ta gọi là điều khiển

theo điểm đặt, setpoint control; và thứ hai là điều khiển khi tín hiệu đầu vào

có dạng hàm biến thiên theo thời gian, chúng ta còn gọi là điều khiển theo

bám, tracking control Tất nhiên đối với lý thuyết điều khiển tự động chúng ta

còn có nhiều bài toán khác nữa như điều khiển tối ưu, nhận dạng đối tượng, nhận dạng bộ điều khiển

Để có thể tổng hợp bộ điều khiển, chúng ta cần phải biết các thông tin với độ chính xác có thể chấp nhận được về đối tượng được điều khiển, các thông tin về đối tượng được điều khiển được thể hiện qua mô hình toán học của đối tượng

Một đối tượng có thể được mô hình tổng quát dưới dạng

• Tương ứng với tín hiệu vào điều khiển là các tín hiệu đầu

ra (tín hiệu đáp ứng) y=(y y1 , , , 2 y q)T, các tín hiệu ra là các tín hiệu ta

có thể đo được thông qua các thiết bị đo như vị trí, vận tốc, nhiệt độ…

• Đối tượng còn được đặc trưng bởi một tập hợp các biến trung gian, hay còn được gọi là các biến trạng thái x=(x x1 , , , 2 x n)T Các biến trạng thái là thành phần đặc trưng cho khả năng tích lũy năng lượng của hệ thống 1 Các biến trạng thái có thể đo được trực tiếp hoặc không, ví dụ ta có thể gặp trường hợp biến trạng thái của chúng ta là đạo hàm của gia tốc (độ giật) Tính chất có thể đo được của các biến trạng thái có ảnh hưởng đến các phương pháp điều khiển liên quan đến phản hồi biến trạng thái như phương pháp điều khiển đặt điểm cực

1 Thông thường các biến trạng thái được gắn với các phần tử có khả năng tích lũy năng lượng như cuộn dây,

tụ điện hoặc lò xo, vận tốc… tất cả các trạng thái này đều đặc trưng cho khả năng tích lũy năng lượng của hệ thống, như sau đây chúng ta sẽ thấy các biến trạng thái luôn luôn gắn với hệ phương trình vi phân bậc nhất

• n=(n n1 , , , 2 n m)T là nhiễu tác động lên hệ thống, đây là loại tín hiệu mang tính khách quan tác động ngẫu nhiên làm giảm độ tin cậy của hệ thống, ví dụ như các loại ma sát, sóng điện từ… Khi xét sự có mặt của nhiễu làm cho hệ thống trở lên hết sức phức tạp, vì vậy với mục đích đơn giản hóa chúng ta sẽ bỏ qua ảnh hưởng của nhiễu

Hệ điều khiển tự động phải thoả mãn đáp ứng đầu ra của đối tượng bám được theo giá trị đặt tại đầu vào của bộ điều khiển, về mặt toán học là phải đảm bảo:

Trường hợp các thành phần của vectơ giá trị đặt là các hằng số,

, ta có bộ điều khiển được tổng hợp theo nguyên tắc điểm đặt

Cuối cùng, một điều đã được khẳng định là trong thực tế không bao giờ chúng ta gặp hệ tuyến tính, nhưng khi tổng hợp bộ điều khiển thì chúng ta thường làm việc với các mô hình tuyến tính! Nguyên nhân là do tính quá phức tạp của hệ phi tuyến nên người ta thường tìm cách xấp xỉ hóa chúng về một

mô hình hệ tuyến tính bằng các phương pháp tuyến tính hoá Để thực hiện các thuật toán điều khiển phi tuyến, người ta cần phải có những hệ thống điều khiển mạnh, xử lý nhanh, để có thể đảm bảo thực hiện được các thuật toán điều khiển phi tuyến theo thời gian thực

I.2 Mô hình hàm truyền đạt

Một hệ thống điều khiển tự động là sự kết hợp giữa các dạng tín hiệu

và các hệ thống Đối với tín hiệu, người ta có thể khảo sát chúng trong miền thời gian hoặc miền tần số thông qua biến đổi Laplace hoặc biến đổi Fourier Đối với hệ thống điều khiển, người ta chia thành hai trường hợp, hệ tuyến tính

và hệ phi tuyến

Hệ tuyến tính khi tất cả các phương trình của hệ phương trình trạng

thái đều thỏa mãn nguyên lý xếp chồng, tức là

với kích thích là u1 có đáp ứng y1;

với kích thích là u2 có đáp ứng y2;

thì với kích thích u3=αu1+βu ; ,2 α β =const có đáp ứng là y3 =αy1+βy2

Hệ phi tuyến là hệ không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng như trên

Khi hệ thống chỉ có một tín hiệu vào và một tín hiệu ra tương ứng thì chúng ta gọi hệ là hệ SiSo Cũng với cách suy diễn tương tự mà chúng ta có khái niệm các hệ MiMo, SiMo, MiSo

Trong nội dung của luận văn, chúng ta chỉ đề cập đến hệ tuyến tính, do mục tiêu giải quyết của luận văn là bộ quan sát tuyến tính, trong thời gian hữu

hạn Về khả năng xây dựng bộ quan sát cho hệ phi tuyến sẽ là hướng phát triển tiếp sau của luận văn

Xét hệ tuyến tính với tác động đầu vào u t( ) và đáp ứng đầu ra y t( ):

Hình I-3 Sơ đồ hệ thống tổng quát với đầu vào và đáp ứng đầu ra

Phương trình vi phân mô tả hệ có dạng:

đề cập đến tính ổn định chúng ta sẽ chỉ cần xét với hệ một vào một vào một

( )

u t

này, chúng ta sử dụng một số phép biến đổi; có hai phép biến đổi thường được sử dụng trong phân tích hệ thống và tín hiệu là phép biến đổi Laplace và Fourier Trong lý thuyết điều khiển, chúng ta sử dụng chủ yếu phép biến đổi Laplace Ở đây chúng ta cũng không đề cập chi tiết về phép biến đổi này, ta chỉ dùng những phần liên quan đến vấn đề mô hình hệ thống Ta có biến đổi Laplace cho vi phân:

được gọi là các điểm không ( ) của hệ thống

2 Điều kiện đầu bằng không là đúng với hầu hết các hệ thống trong thực tế, bởi vì trước khi vận hành hệ

tương ứng với kích thích đầu vào là xung bước nhảy đơn vị , quan hệ giữa hàm trọng lượng và hàm quá độ là

= , với điều kiện h( )0 = 0

Hàm trọng lượng của hệ thống có ảnh Laplace chính là hàm truyền , giả sử hệ thống có các điểm cực tương ứng với bậc của điểm cực , với Khi đó hàm trọng lượng trong miền thời gian được tính theo phương pháp thặng dư của lý thuyết hàm biến phức được tính theo công thức:

i

i i

Một đặc điểm của hàm truyền đạt G s( ) của các hệ vật lý là bậc của tử

số luôn không nhỏ hơn bậc của mẫu số, Nguyên nhân này được chứng minh như sau:

n m≥

Ta có

vi phân và bằng , ta có với bậc hai: ∆

2 1

( )

n m≥

Trường hơp hệ thống gồm nhiều tín hiệu vào và/hoặc nhiều tín hiệu ra

thì quan hệ vào ra này được biểu diễn dưới dạng ma trận hàm truyền đạt:

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

q q

Trong đó G s ik( ) là hàm truyền đạt giữa đầu vào thứ và đầu ra thứ , khi các tín hiệu đầu vào khác bằng không Nó có dạng tổng quát tương tự như phương trình hàm truyền đạt (1.1):

ik ik j

I.3 Mô hình hệ phương trình trạng thái

Nếu hệ thống và các tín hiệu của nó được biểu diễn trong miền thời

gian, chúng ta có biểu diễn hệ thống tổng quát trong không gian trạng thái 3 Với phương pháp mô tả đối tượng bằng hệ phương trình trạng thái, quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của đối tượng được thể hiện thông qua các biến trung gian là các biến trạng thái, mô hình toán tổng quát của hệ thống có dạng:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, ,

, ,

Vì hệ thống được xét tới trong luận văn là hệ tuyến tính, nên mô tả toán học của nó có dạng:

hệ trực tiếp giữa đầu vào và đầu ra của hệ phi tuyến cũng thường được bỏ qua, tức là W x( )= 0

Trên thực tế, tất cả các hệ thống điều khiển đều là các hệ phi tuyến Tức

là mô hình toán học của chúng sẽ được biểu diễn dưới dạng hệ phương trình trạng thái (1.4) Để tổng hợp bộ điều khiển cũng như thực hiện khảo sát các đặc tính động học của đối tượng, người ta có thể sử dụng các phương pháp phi tuyến áp dụng trực tiếp lên mô hình đối tượng hoặc thực hiện tuyến tính hoá đối tượng xung quanh một điểm làm việc nào đó Đối với phương pháp thứ hai, giả sử đối tượng có điểm cân bằng (x ,u ,y Q Q Q), nghĩa là theo phương trình (1.5), ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Trường hợp điểm làm việc của hệ là bất kỳ: (x ,u , y W W W), để đưa về dạng tổng quát như trên, người ta đổi biến:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Như vậy, các tính chất cũng như phương pháp phân tích, tổng hợp của

hệ tuyến tính hoàn toàn có thể ứng dụng cho các hệ phi tuyến, vốn là các hệ thống trong thực tế.Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ đề cập đến hệ tuyến tính với mô hình toán học được mô tả trong không gian trạng thái, và các khái niệm toán học liên qua đến việc xây dựng bộ quan sát trạng thái cho đối tượng, cũng như những khái niệm toán học phục vụ việc xây dựng bộ quan sát trạng thái tuyến tính trong thời gian hữu hạn

I.4 Mối liên hệ giữa hàm truyền đạt và hệ phương trình trạng thái

Trong những mục trước, chúng ta đã nói về những khả năng mô tả động học của hệ thống tuyến tính dưới hai dạng khác nhau: hàm truyền đạt và

hệ phương trình trạng thái cũng như phương pháp tuyến tính hoá một hệ phi tuyến quanh điểm làm việc của nó Từ đó có thể dẫn đến kết luận về khả năng ứng dụng lý thuyết của hệ tuyến tính cho tất cả những hệ thống thực tế, vốn

mang bản chất phi tuyến Trong mục này, chúng ta sẽ đề cập đến mối liên hệ giữa hai phương pháp biểu diễn động học hệ thống ở trên

Với phương pháp hệ phương trình trạng thái, căn cứ theo định nghĩa về biến trạng thái:

“Tập các biến trạng thái của một hệ thống là tập của các biến nội tại của hệ thống sao cho mọ biến của hệ có thể được tính toán như một hàm của các biến trạng thái hiện tại và các giá trị đầu vào tại thời điểm hiện tại và tương lai.”

Như vậy, một hệ thống sẽ có vô số các tập biến trạng thái khác nhau thoã mãn định nghĩa trên Giả sử ta có hai tập biến trạng thái x t( ) và x t%( ), tương ứng với hai bộ ma trận biểu diễn: (A,B,C,D) và (A,B,C,D% % % %) Tức là

λλ

Nghĩa là dù biểu diễn động học của hệ thống theo tập biến trạng thái nào thì cũng không làm thay đổi các trị riêng của hệ thống Trị riêng λ của hệ

là giá trị vô hướng thoả mãn:

Như vậy, chúng ta có nhiều phương pháp khác nhau để biểu diễn một

hệ thống động học dưới dạng hệ phương trình trạng thái Các tập biến trạng thái khác nhau có thể chuyển đổi qua lại với nhau, dù có nhiều phương pháp biểu diễn khác nhau, nhưng những thuộc tính căn bản của hệ thống như độ ổn định, đáp ứng đầu ra… là không đổi Các biến trạng thái là đại lượng đặc trưng cho khả năng tích luỹ năng lượng nội tại của hệ thống và thường được chọn dựa trên các đặc tính tự nhiên của hệ

Khác với phương pháp biểu diễn trong không gian trạng thái, hệ động học chỉ có duy nhất một hàm truyền đạt hoặc ma trận truyền đạt Xét hệ MiMo có dạng truyền đạt tổng quát:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

q q

Cùng với hàm truyền đạt, chúng ta có hệ phương trình trạng thái:

4 Tính ổn định của hệ thống là một thuộc tính rất quan trọng của hệ, mục này sẽ được đề cập tới trong phần phụ lục của luận văn

Xét hệ SiSo với hàm truyền đạt:

Chúng ta có hai phương pháp xác định hệ phương trình trạng thái của

hệ này: hệ phương trình trạng thái theo chuẩn điều khiển, và hệ phương trình trạng thái theo chuẩn quan sát

Dạng chuẩn điều khiển của hệ (1.19):

(1.21)

Cả hai hệ (1.20) và (1.21) đều biểu diễn cùng một đối tượng, có hàm truyền đạt (1.19), nhưng chúng tương ứng với hai tập biến trạng thái khác

nhau Với hệ (1.20), tập biến trạng thái của nó có tính điều khiển được hoàn

toàn Với hệ (1.21), tập biến trạng thái của nó có tính quan sát được hoàn toàn Hai thuộc tính quan sát được và điều khiển được đóng vai trò quyết

định trong quá trình xây dựng bộ điều khiển và bộ quan sát của hệ thống được

mô tả bởi hệ phương trình trạng thái Chúng sẽ được đề cập trong chương tiếp theo của luận văn

Ta có kết luận là: có vô số phương pháp biểu diễn hệ động học dưới dạng hệ phương trình trạng thái, các cách này có thể biến đỗi qua lại với nhau, tuy nhiên bản chất của hệ là không thay đổi Hệ thống chỉ có một ma trận truyền đạt, hoặc hàm truyền đạt, duy nhất Chúng ta có thể chuyển đổi từ phương pháp biểu diễn hệ phương trình trạng thái sang hàm truyền một cách

dễ dàng, nhưng điều ngược lại không đúng Như vậy, hệ thống được biểu diễn trong miền thời gian sử dụng hệ phương trình trạng thái tỏ ra có nhiều ưu

điểm hơn phương pháp biểu diễn bằng hàm truyền đạt Từ hệ phương trình trạng thái, chúng ta có thể dễ dàng chuyển sang biểu diễn ma trận truyền đạt, hoặc hàm truyền đạt, từ đó có thể khảo sát các đặc tính của hệ trong miền tần số; từ một hệ phi tuyến ta có thể dẽ dàng thực hiện tuyến tính hoá quanh điểm làm việc để thu được hệ phương trình trạng thái… Phần tiếp theo sẽ đề cập tới khả năng xác định nghiệm của hệ phương trình trạng thái

I.5 Giải hệ phương trình trạng thái

Ta đã thấy rằng, hệ thống được biểu diễn dưới dạng hệ phương trình trạng thái có đầy đủ mọi tính chất của hệ được biểu diễn bởi ma trận truyền đạt Tức là các phương pháp tổng hợp bộ điều khiển trong trường hợp biểu diễn trong miền tần số, tức là biểu diễn theo hàm truyền đạt, như quỹ đạo nghiệm số hay tổng hợp theo đồ thị logarith, đều có thể sử dụng được với hệ phương trình trạng thái Ngoài ra với hệ phương trình trạng thái và cụ thể là các biến trạng thái, chúng ta còn có thể thực hiện rất nhiều các phương pháp điều khiển cao cấp khác, như điều khiển phản hồi trạng thái, điều khiển phản hồi đầu ra theo nguyên tắc đặt điểm cực, tối ưu…

Tính chất động học của hệ gắn liền với biến trạng thái x t( ) của hệ Điều này đặt ra vấn đề xác định biến trạng thái của hệ phương trình trạng thái Với hệ dừng được mô tả bởi hệ:

x t =e x +∫ e −τ Bu τ τd (1.24)

k At

k

At e

L

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11 12 1

21 22 2

1 2

n n At

được ma trận hàm mũ e At Có nhiều phương pháp có thể sử dụng để tính e At, chi tiết chứng minh các phương pháp này được trình bày trong [1], ở đây chúng ta chỉ liệt kê các phương pháp, và tóm tắt tinh thần chung của chúng

e =diag e Tức là theo các công thức (1.13) và (1.14), nếu như xác định

được ma trận T để có thể chuyển hệ với biến trạng thái x t( ) tương đương với các ma trận hệ thống (A,B,C,D) sang hệ thống với biến trạng thái x t%( ) tương đương với các ma trận hệ thống (A,B,C,D% % % %) Trong đó A% là ma trận có dạng

đường chéo:

1 2

e

λ λ

K

L

,e , ,e

Suy ra: e At =T e T T diag e ,e , ,e−1 At% = −1 ( λ1t λ2t λn t)

Phương pháp modal xoay quanh việc xác định ma trận chuyển đổi T trong hai trường hợp: ma trận A có thể chuyển đổi hoàn toàn sang một ma trận đường chéo và ma trận A chỉ có thể chuyển đổi một phần sang ma trận đường

chéo Tài liệu [1] trình bày khá chi tiết về phương pháp này

Phương pháp Cayley-Hamilton

Nhược điểm của phương pháp modal là chỉ áp dụng được trong trường

hợp ma trận A phải chuyển được về dạng đường chéo Với phương pháp

Cayley-Hamilton ta có thể xác định được ma trận hàm mũ của mọi ma trận vuông A n n×

Nội dung phương pháp Cayley-Hamilton dựa trên tính chất: với mọi

ma trận vuông A n n× bao giờ cũng tồn tại n hàm: h t ,h t , ,h0( ) ( )1 K n−1( )t thoả

[1] trình bày rất rõ về vấn đề này

Tóm lại, chương 1 đã trình bày một cách tóm lược về các phương pháp

mô hình hoá hệ thống tuyến tính Cách chuyển đổi qua lại của các phương pháp mô hình hoá này Qua đó chúng ta thấy được rằng mô tả hệ thống dưới dạng hệ phương trình trạng thái sẽ cho chúng ta nhiều thông tin hơn về đặc điểm của hệ thống, đặc biệt là việc xác định được các biến trạng thái sẽ cho phép chúng ta thực hiện những thuật toán điều khiển nâng cao với chất lượng điều khiển cao, điều mà mô hình hàm truyền đạt khó có được

CHƯƠNG II CÁC BỘ QUAN SÁT TRẠNG THÁI VÀ TÍNH THOẢ MÃN NGUYÊN LÝ TÁCH (SEPARATED PRINCIPLE) II.1 Vai trò và các cơ sở toán học của các bộ quan sát trạng thái

Bộ quan sát trạng thái áp dụng cho hệ thống điều khiển dựa trên mô hình đối tượng được biểu diễn trong không gian trạng thái Tín hiệu đầu ra của bộ quan sát trạng thái có thể được đưa đến các bộ điều khiển dưới dạng thông tin đo đáp ứng đầu ra, hoặc là thông tin về các biến trạng thái Như vậy vai trò chủ đạo của bộ quan sát trạng thái là tính toán giá trị các biến trạng thái dựa trên các đại lượng có thể đo được trực tiếp của hệ thống là tác động đầu vào và đáp ứng đầu ra

Quay lại với mô hình tổng quát của hệ thống điều khiển của hình 1.1, khi đối tượng được mô hình hoá bởi hàm truyền đạt, hoặc ma trận truyền đạt,

bộ điều khiển cũng được mô tả dưới dạng hàm truyền đạt, đó có thể là những khâu bù pha lead, lag hoặc các bộ điều khiển là thành phần của bộ PID, bộ điều khiển được tổng hợp dựa trên đặc tính của đối tượng trong miền tần số; khi đối tượng được mô hình hoá bởi hàm truyền đạt, hay được biểu diễn trong miền thời gian, các bộ điều khiển là các ma trận phản hồi trạng thái được tổng hợp theo các phương pháp khác nhau, như đặt điểm cực hoặc tối ưu dựa trên kết quả giải bài toán LQG Để có thể tổng hợp được bộ điều khiển phản hồi trạng thái ta phải có thông tin chính xác về các biến trạng thái Có thể dùng các thiết bị đo để thực hiện đo các biến trạng thái Tuy nhiên, do có vô số tập biến trạng thái khác nhau cho cùng một đối tượng, nên việc sử dụng cảm biến

có thể thực hiện được đối với tập biến trạng này nhưng lại không có tác dụng với tập biến trạng thái khác Không những vậy, giá thành của các thiết bị đo chiếm tỉ lệ lớn trong giá thành của hệ thống, bộ quan sát trạng thái sẽ giúp làm giảm số thiết bị đo cần sử dụng, nhưng vẫn phải đảm bảo chất lượng đo

như khi sử dụng đầu đo cảm biến Mục này đề cập đến các khái niệm và mô hình toán học có liên quan đến các bộ quan sát trạng thái

Điều khiển được và quan sát được là hai đặc tính liên quan, tương hỗ nhau của đối tượng được mô tả trong miền thời gian, ta có thể xác định tính điều khiển được của đối tượng dựa trên khảo sát tính quan sát được của mô hình đối ngẫu của hệ và ngược lại Ta có mô hình điều khiển phản hồi trạng thái của hệ thống:

Hình II-1 Mô hình điều khiển phản hồi trạng thái

Như vậy thế nào là một hệ điều khiển được Tính điều khiển được của

hệ là sự tồn tại tín hiệu điều khiển u t( ) ,khi tác động đầu vào bằng không

Tính điều khiển được: trạng thái x i của hệ được gọi là điều khiển được nếu tồn tại một khoảng thời gian hữu hạn [0,D] và tín hiệu điều khiển đầu vào {u t ,t( ) ∈[ ]0,D} làm cho x t( )t D= =0 Khi trạng thái x i là toàn bộ

không gian trạng thái , ta nói hệ có tính chất điều khiển được hoàn toàn

Để kiểm tra tính điều khiển được của một hệ thống, người ta sử dụng tính chất đã được chứng minh, trong [1], sau:

Hệ thống với mô hình động học trong miền thời gian:

n là bậc của hệ, là số biến trạng thái của hệ thống Với hệ tuyến tính,

nếu nó điều khiển được thì nó sẽ điều khiển được hoàn toàn

b Tính quan sát được

Một định lý đã được chứng minh là khi hệ đối ngẫu của hệ (2.1), điều khiển được hoàn toàn thì hệ (2.1) là quan sát được hoàn toàn Nghĩa là ta có thể thực hiện “đo” các biến trạng thái của hệ bằng bộ quan sát trạng thái Mô hình đối ngẫu của (2.1):

Hình II-2 Mô hình điều khiển phản hồi trạng với bộ quan sát

Từ mô hình trên, ta thấy rằng hệ thống có thể được điều khiển phản hồi trạng thái chỉ dựa trên cơ sở tín hiệu đo đầu vào và đáp ứng đầu ra của hệ

thống Tuy nhiên bộ quan sát chỉ có thể tổng hợp được khi đối tượng điều khiển thoả mãn tính quan sát được hoàn toàn Định nghĩa:

Tính quan sát được Trạng thái x t( ) của hệ thống được gọi là quan sát được nếu như tồn tại một khoảng thời gian [0,D] chúng ta có thể xác định chính xác x t( ) thông qua các giá trị đo đầu vào u t( ) và đầu ra y t( ) của hệ Cũng tương tính điều khiển được, hệ tuyến tính quan sát được sẽ quan sát được hoàn toàn

Kiểm tra tính quan sát được của hệ thống, như đã đề cập ở trên hệ (2.1)

sẽ thoã mãn điều kiện quan sát được hoàn toàn nếu hệ đối ngẫu (2.2) của nó điều khiển được hoàn toàn Ta có tính chất sau:

Hệ (2.1) sẽ quan sát được hoàn toàn nếu như:

2

1

n

C CA

R

R được tổng hợp theo nhiều phương pháp khác nhau, có thể kể tới: phương pháp đặt điểm cực, phương pháp tối ưu… Bộ quan sát trạng thái cũng được tổng hợp theo những cách tương tự Tuy nhiên, đầu ra của các bộ quan sát trạng thái, các tín hiệu được đưa đến bộ điều khiển, về bản chất không phải là tín hiệu đo trực tiếp của biến trạng thái thực, sai số là điều không thể tránh khỏi Điều này sẽ gây

ra những ảnh hưởng không mong muốn tới chất lượng điều khiển của bộ phản hồi trạng thái , dù bộ điều khiển này được tổng hợp và có đáp ứng tốt khi R

đầu vào của nó là các trạng thái của hệ Điều này khiến người ta nghĩ đến khả năng phải tổng hợp bộ điêu khiển phản hồi trạng thái khác trong trường hợp

hệ thống có sử dụng khâu quan sát trạng thái Nhưng thật may mắn, bộ điều khiển được tổng hợp trên cơ sở hệ phương trình trạng thái của đối tượng vẫn tạo ra được đáp ứng như mong muốn khi hệ thống có sử dụng khâu quan

sát, bởi tính thoả mãn nguyên lý tách, separated principle, của các bộ quan

sát trạng thái Trước khi đi vào các khái niệm và tính chất của nguyên lý tách, chúng ta sẽ đề cập đến một số phương pháp tổng hợp bộ điều khiển phản hồi trạng thái cho đối tượng, bởi các phương pháp này cũng sẽ được áp dụng để tổng hợp bộ quan sát trạng thái, là một nền tảng của bộ quan sát trạng thái với thời gian hữu hạn sẽ được đề cập sau này

L

Các phần tử của ma trận truyền đạt đều có dạng hàm thực- hữu tỷ với

các điểm cực là các giá trị riêng của ma trận A

Các điểm cực của hệ có ảnh hưởng rất lớn đến tính chất động học của

hệ, như:

- Nếu các điểm cực đều nằm bên trái của trục ảo thì hệ thống ổn

định Các điêm cực nằm càng xa trục ảo thì quán tính của hệ càng nhỏ

- Nếu có một điểm cực không nằm trên trục thực thì quá trình tự

do của hệ có dạng dao động Các điểm cực nằm càng xa trục thực thì dao động càng lớn

- Nếu có ít nhất một điểm cực là gốc toạ độ thì hệ sẽ có chứa

thành phần tích phân Những hệ thống có chứa thành phần tích phân sẽ luôn có tín hiệu ra thay đổi khi tín hiệu vào vẫn còn khác 0

Do chất lượng hệ thống phụ thuộc vào vị trí điểm cực, nên để hệ thống

có được chất lượng mong muốn, người ta có thể can thiệp vào hệ thống sao cho với sự can thiệp đó, hệ có được các điểm cực là những giá trị cho trước ứng với chất lượng mong muốn Cũng vì nguyên lý can thiệp để hệ nhận được các điểm cực cho trước, như vậy nên phương pháp thiết kế bộ điều khiển can thiệp này có tên gọi là phương pháp cho trước điểm cực, hay phương pháp gán điểm cực

Có hai khả năng thiết kế bộ điều khiển gán điểm cực R (tĩnh) là:

a) Thiết kế theo nguyên tắc phản hồi trạng thái, được mô tả bởi

hình II-1 Với bộ điều khiển R, hệ kín sẽ có mô hình:

Bởi vậy nhiệm vụ gán điểm cực của là phải thiết kế sao cho

ma trận (

R

A BR− ) nhận n giá trị cho trước s i , i=1,2,…,n (đã

chọn từ yêu cầu chất lượng của hệ thống) làm giá trị riêng b) Thiết kế theo phương pháp phản hồi tín hiệu ra y t( )

HÌNH II-3 Mô hình hệ thống điều khiển đặt điểm cực dựa trên nguyên lý phản hồi đầu ra

Vì tín hiệu phản hồi về bộ điều khiển R là y t( ) nên hệ kín có

Bởi vậy nhiệm vụ gán điểm cực của R là phải thiết kế sao cho

ma trận (A BRC− ) nhận n giá trị cho trước s i , i=1,2,…,n (đã

chọn từ yêu cầu chất lượng của hệ thống) làm giá trị riêng Khác với nguyên lý phản hồi trạng thái, ở nguyên lý phản hồi đầu ra người ta thường chỉ xét đối tượng hợp thức chặt, tức là

có D= Θ

Có nhiều phương pháp tổng hợp bộ điều khiển trên nguyên lý gán điểm cực, trong luận văn này chúng ta chỉ đề cập tới một số phương pháp, đó là: Ackermann, Roppenecker, Modal

b Phương pháp Ackermann

Phương pháp Ackermann là phương pháp thiết kế bộ điều khiển gán

điểm cực R theo nguyên lý phản hồi trạng thái cho đối tượng SiSo

Xét đối tượng SiSo được mô tả bởi mô hình trạng thái dạng chuẩn điều khiển:

Giả sử rằng chất lượng yêu cầu cần có của hệ thống đã được thể hiện

qua n giá trị riêng s i , i=1,2,…,n phải có của ma trận A-BR, tức là:

Vậy thuật toán xác định bộ điều khiển R gán điểm cực s i , i=1,2,…,n

theo nguyên tắc phản hồi trạng thái dạng chuẩn điều khiển gồm các bước:

1 Tính các hệ số a ,i%i =0 1, , ,n−1 của phương trình đặc tính cần phải có của hệ kín từ những giá trị điểm cực s i , i=1,2,…,n đã cho theo (2.6)

2 Tính các phần tử r i =a%i−1−a ,i i−1 =1 2, , ,nK của bộ điều khiển R

Trường hợp hệ thống không được mô tả dưới dạng chuẩn điều khiển, người ta tìm cách chuyển hệ về dạng chuẩn điều khiển Phương pháp chủ yếu được sử dụng là chuyển từ tập biến trạng thái mà tại đó hệ không có dạng chuẩn điều khiển sang tập biến trạng thái có dạng chuẩn điều khiển

Tương ứng với ma trận chuyển đổi

A TAT , B TB, C CT , D D% = − % = % = − % = .

Một cách vắn tắt, ta có thuật toán Ackermann để thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái

R% x theo nguyên tắc đặt điểm cực s i , i=1,2,…,n cho hệ

SiSo, giả thiết là điều khiển được với mô hình trạng thái:

sẽ gồm các bước như sau:

1 Xác định các vectơ t của ma trận T theo công thức:

T n

2 Xác định a ,i%i =1 2, , ,n 1 từ các điểm cực s i , i=1,2,…,n cần phải có

của hệ kín theo công thức:

Hạn chế của bộ điều khiển phản hồi trạng thái theo Ackermann là chỉ

áp dụng được cho đối tượng có một đầu vào, một đầu ra Các phương pháp được đề cập tiếp sau đây có thể áp dụng được cho các đối tượng nhiều đầu vào và nhiều đầu ra (MiMo)

Nhiệm vụ đặt ra là tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái R sao cho hệ

kín với mô hình trạng thái:

Giả sử rằng đã tìm được R Vậy thì do det s I A RB( i − + )=0 với mọi

nên ứng với mỗi i phải có một vectơ riêng bên phải

là những vectơ tham số thì (2.13) được viết thành:

Tóm lại chúng ta có những bước của phương pháp Roppenecker:

1 Chọn n vectơ tham số t , ,t1 n sao cho với nó n vectơ a ,i i =1 2, , ,n xác định theo công thức

d Phương pháp modal phản hồi trạng thái

Phương pháp modal do Rosenbrock xây dựng năm 1962 là phương

pháp thiết kế bộ điều khiển tĩnh R, phản hồi trạng thái cho đối tượng MiMo