Khảo sát khả năng điều khiển tách kênh thích nghi đối tượng mimo tuyến tính bằng phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách

Để ứng dụng tốt bộ điều khiển trạng thái trong việc điều khiển hệ thống MIMO, cần sử dụng kết hợp với bộ quan sát trạng thái để có thể lấy chính xác và đầy đủ nhất các thông tin về chất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn cao học “ Khảo sát khả năng điều khiển tách kênh thích nghi đối tượng MIMO tuyến tính bằng phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách” là công trình nghiên cứu của tôi, có sự hướng dẫn của thày PGS TS Nguyễn Doãn Phước Để hoàn thành luận văn cao học này, tôi chỉ sử dụng những tài liệu đã được ghi trong Danh mục tài liệu tham khảo mà không sử dụng bất cứ một tài liệu nào khác Nếu phát hiện có sự sao chép, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 31 tháng 11 năm 2010

Tác giả

Đỗ Hoài Văn

LỜI NÓI ĐẦU

Điều khiển hệ thống là bài toán can thiệp vào đối tượng điều khiển để hiệu chỉnh, để biến đổi sao cho nó có được chất lượng mong muốn Kết quả của bài toán điều khiển có thể là một tín hiệu điều khiển thích hợp hoặc một bộ điều khiển tạo tín hiệu điều khiển thích hợp cho đối tượng Các bộ điều khiển bao gồm các cấu trúc: Điều khiển hở, điều khiển phản hồi trạng thái và điều khiển phản hồi tín hiệu ra

Có rất nhiều bộ điều khiển được ứng dụng thành công lại chỉ dùng được cho

hệ SISO, bộ điều khiển PID là một ví dụ điển hình Vì mong muốn sử dụng các

bộ điều khiển đó cho hệ MIMO người ta đã nghĩ đến việc can thiệp sơ bộ trước vào hệ MIMO, biến một hệ thống MIMO thành nhiều hệ SISO với mỗi đầu ra chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu vào

Bộ điều khiển trạng thái có khả năng giữ được ổn định chất lượng mong muốn cho đối tượng dù trong quá trình điều khiển luôn có những tác động nhiễu Để ứng dụng tốt bộ điều khiển trạng thái trong việc điều khiển hệ thống MIMO, cần

sử dụng kết hợp với bộ quan sát trạng thái để có thể lấy chính xác và đầy đủ nhất các thông tin về chất lượng động học của đối tượng Xuất phát từ những yêu cầu cấp thiết phải nghiên cứu trên, tác giả muốn đóng góp một phần nhờ vào việc nghiên cứu khả năng mắc nối tiếp bộ quan sát trạng thái và bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh để có được bộ điều khiển phản hồi đầu ra tách kênh thích nghi đối tượng MIMO tuyến tính theo nguyên lý tách

Được sự hướng dẫn của thày PGS TS Nguyễn Doãn Phước-Trưởng bộ môn Điều khiển tự động Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tôi đã tiến hành nghiên cứu đề tài:

Khảo sát khả năng điều khiển tách kênh thích nghi đối tượng MIMO tuyến tính bằng phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách

Với đề tài như vậy, quyển luận văn được chia làm 4 chương như sau:

• Chương 1: Tách kênh hệ MIMO tuyến tính Chương này sẽ đề cập đến bài

toán điều khiển tách kênh hệ MIMO tuyến tính và hai phương pháp thiết kế

bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh hệ MIMO tuyến tính là McMillan và Falb-Wolovich

Smith-• Chương 2: Quan sát trạng thái Chương này sẽ trình bày vai trò bộ quan sát,

tính quan sát được và quan sát được hoàn toàn của hệ thống cùng hai bộ quan sát trạng thái tiêu biểu là Luenberger và Kalman

• Chương 3: Khả năng điều khiển tách kênh thích nghi đối tượng MIMO tuyến tính bằng phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách Chương này sẽ trình

bày về nguyên lý tách, bài toán tách kênh bằng phản hồi đầu ra và khảo sát tính thỏa mãn nguyên lý tách trong điều khiển tách kênh hệ MIMO tuyến tính với bộ điều khiển phản hồi đầu ra được ghép từ bộ điều khiển tách kênh phản hồi trạng thái Falb-Wolovich và bộ quan sát Kalman Đồng thời cũng bàn sâu thêm về bộ quan sát trạng thái có thời gian hữu hạn Engel-Kreisselmeier để ghép nối tiếp với bộ điều khiển Falb-Wolovich thành bộ điều khiển phản hồi đầu ra mới

• Chương 4: Mô phỏng kết quả bằng Matlab&Simulink Chương này sẽ đưa

ra một ví dụ cụ thể, xét một hệ MIMO tuyến tính, thiết kế bộ điều khiển tách kênh phản hồi trạng thái Falb-Wolovich và bộ quan sát Kalman Xây dựng sơ

đồ mô phỏng trong Simulink rồi chạy mô phỏng hệ

Đề tài nghiên cứu thành công sẽ chứng minh khả năng kết hợp giữa bộ quan sát trạng thái với bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh thành bộ điều khiển phản hồi đầu ra tách kênh hệ MIMO tuyến tính Nói cách khác, sẽ chứng minh được nguyên lý tách cũng đúng trong điều khiển tách kênh

Dựa trên lý thuyết được nghiên cứu của đề tài, sẽ thiết kế được bộ điều khiển cho một số đối tượng tuyến tính trong thực tế và hướng ứng dụng kết quả nghiên cứu vào việc thiết kế bộ điều khiển phản hồi đầu ra tách kênh cho đối tượng tuyến tính trong các hệ thống điều khiển quá trình

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Doãn Phước Nhân dịp này tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thày- người

đã đưa ra hướng nghiên cứu và tận tình giúp đỡ, chỉ bảo cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này

Bên cạnh đó, tôi cũng xin gửi lời cám ơn chân thành tới các thày giáo đã dạy dỗ trong suốt hai năm học cùng bạn bè đồng nghiệp và người thân đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình vừa qua

Vì điều kiện về thời gian, công việc và khả năng bản thân có hạn nên bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được ý kiến góp ý sửa đổi, bổ sung từ thày cô, bạn bè để bản luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 31 tháng 11 năm 2010

Tác giả

Đỗ Hoài Văn

Chương 1

TÁCH KÊNH HỆ MIMO TUYẾN TÍNH

1.1 Nội dung bài toán điều khiển tách kênh

Hệ thống điều khiển nhiều chiều là hệ có nhiều đại lượng điều chỉnh, tức

là có nhiều đại lượng đầu vào và nhiều đại lượng đầu ra( hệ MIMO) Trong hầu hết các trường hợp, với ít nhất một đại lượng đầu vào sẽ ảnh hưởng tới hơn một đầu ra Đặc điểm này được gọi là tính ràng buộc hay là tính tương tác

Thông thường chúng ta mong muốn đạt được khả năng điều khiển độc lập với mỗi một biến đầu ra Do đó một vấn đề quan trọng trong điều khiển các hệ nhiều chiều là các phương pháp điều khiển tổng hợp tách kênh hệ thống đó Tính ổn định là một hạn chế cần thiết bởi vì sự không tương tác là

vô nghĩa về mặt hình thức trừ phi hệ thống được tổng hợp đó là ổn định

Sự phát triển của kỹ thuật thiết kế bộ điều khiển cho hệ MIMO có tầm quan trọng rất lớn trong thực tế Một cách thiết kế riêng biệt hướng tới sự bao hàm cách sử dụng phản hồi để đạt được tính ổn định cho hệ kín Cùng với xu hướng này, nó cũng quan tâm tới việc có thể hay không việc có các đầu vào điều khiển các đầu ra một cách độc lập, nghĩa là, một đầu vào chỉ ảnh hưởng tới một đầu ra Đó là vấn đề tách kênh hệ thống

Có rất nhiều bộ điều khiển được ứng dụng thành công lại chỉ dùng được cho hệ SISO, bộ điều khiển PID là một ví dụ điển hình Vì mong muốn sử dụng các bộ điều khiển đó cho hệ MIMO người ta đã nghĩ đến việc can thiệp

thành nhiều hệ SISO với mỗi đầu ra yi(t) chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu vào mới wi(t)

Hình 1.1: Mục đích của điều khiển tách kênh

Với việc can thiệp sơ bộ trước vào hệ MIMO như vậy, ta nói rằng hệ thống đã được phân ly, tín hiệu ra của một kênh chỉ phụ thuộc vào tín hiệu vào của kênh đó và bất biến với tác động điều khiển của các kênh khác Tương ứng với nguyên tắc điều khiển phản hồi, cũng có hai nguyên tắc điều khiển tách kênh một hệ MIMO là tách kênh phản hồi đầu ra và tách kênh phản hồi trạng thái Trong khi hướng nghiên cứu bộ điều khiển tách kênh phản hồi đầu ra khá hạn chế vì kết quả có được thường bị ràng buộc bởi những điều kiện khá chặt thì hướng nghiên cứu bộ điều khiển tách kênh phản hồi trạng thái lại khá được ưa chuộng bởi khả năng áp dụng nguyên lý tách

Có hai phương pháp điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh tiêu biểu là Falb-Wolovich và Elmer G Gilbert

1.2 Thiết kế bộ điều khiển tách kênh nhờ phép biến đổi

Smith-McMillan

Phép biến đổi Smith – McMillan trình bày sau đây cho phép thiết kế các

bộ điều khiển nhằm biến đổi mọi ma trận truyền đạt S(s) của đối tượng, không cần phải vuông, tức là không cần phải có giả thiết đối tượng có số tín hiệu vào bằng số các tín hiệu ra, về được dạng:

L

hoặc

1 ( ) 0 0 0 ( )

Điều đó nói rằng mọi hệ thống MIMO đều có thể tách được kênh

Phép biến đổi Smith – McMillan dựa vào việc thay đổi các dòng hay cột của ma trận bằng những dòng, cột mới tương đương (phép biến đổi tương đương) Chúng bao gồm:

- Hoán đổi vị trí vector hàng thứ i với hàng thứ k của S(s) Việc này tương ứng phép nhân Iik với S(s), trong đó Iik là ma trận không suy biến thu được từ ma trận đơn vị I sau khi đổi chỗ hai hàng thứ i và k (hoặc hai cột) Ví dụ:

- Hoán đổi vị trí vector cột thứ i với cột thứ k của S(s) Việc này tương ứng phép nhân S(s) với Iik, trong đó Iik là ma trận không suy biến thu được từ ma trận đơn vị I sau khi đổi chỗ hai hàng thứ i và thứ k (hoặc hai cột) Ví dụ:

1 2 3 4 5 1 5 3 4 2 25

1 2 3 4 5 1 2 3 4 2 5 24

Phép biến đổi Smith-McMillan được tóm tắt như sau:

1 Viết lại S(s) thành 1 ( )

( )P s

d s , trong đó d(s) là đa thức bội số chung nhỏ nhất của tất cả các đa thức mẫu số có trong các phần tử của S(s) và P(s) là ma trận có các phần tử là đa thức Ví dụ:

b) Chọn d1(s) là ước số chung lớn nhất của tất cả các phần tử của P(s) Ví dụ:

d1(s)=ƯSCLN{1, -1, s2+s-4, 2s2-s-4, s2-4, 2s2-8}=1 c) Chọn dk(s) là ước số chung lớn nhất của tất cả các phần tử là định thức ma trận vuông k×k lấy từ P(s) Ví dụ:

tử Gk(s) là:

1

( )1

( )

( ) ( )

k k

Hình 1.2: Thiết kế bộ điều khiển tách kênh theo Smith-McMillan

Như vậy phép biến đổi Smith – McMillan không cần có giả thiết S(s) phải là ma trận vuông và có E không suy biến Ma trận G(s) được tạo thành là tương đương với S (s) theo nghĩa:

G(s) = ST(s)S(s)SP(s)

trong đó ST(s) và SP(s) là những ma trận không suy biến (với phần lớn các giá trị s), được sinh ra từ những phép biến đổi hàng cột của S (s) Chúng chính là hai bộ điều khiển tách kênh đối tượng S(s) như mô tả ở hình vẽ trên

1.3 Bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh Falb-Wolovich

Trong nội dung của phương pháp tách kênh này có sử dụng một khái niệm là bậc tương đối tối thiểu của hệ MIMO Do đó trước khi đi sâu vào nội dung phương pháp, chúng ta sẽ tìm hiểu qua khái niệm này

Vector bậc tương đối tối thiểu của hệ MIMO

Định lý 1.1: Bậc tương đối r=n-m của hệ SISO có hàm truyền đạt hợp thức

→∞ =

Nhưng vì:

1lim k r 0 khi k>r-1

Đó là điều phải chứng minh

Mở rộng ra, sau đây ta xét bài toán tương tự cho hệ MIMO tuyến tính có m tín hiệu vào ui(t),…, um(t) và m tín hiệu ra y1(t),…, ym(t) với mô hình trạng thái dạng hợp thức chặt:

d x

Ax Bu dt

Hình 1.3: Xem hệ MIMO như các hệ MISO nối song song với nhau

Viết lại mô hình trạng thái hệ MIMO trên thành m hệ MISO con (nhiều đầu vào, một đầu ra) với mô hình trạng thái của từng hệ con là (hình 1.3):

:

i

T i i

d x

Ax Bu dt

Nếu ký hiệu ri1, …, rim là các bậc tương đối của các hàm truyền đạt Gi1(s), …,

Gim(s) của hệ con Hi, xác định theo (1.1) và gọi:

ri = {ri1, …, rim}

là bậc tương đối đối tối thiểu của Hi, ta có thể thấy ngay rằng ri được xác định

từ mô hình trạng thái (1.4) như sau:

mô hình trạng thái (1.2) của nó bằng công thức (1.5), trong đó T

i

c là vector hàng thứ i của ma trận C

Từ khái niệm vector bậc tương đối tối thiểu của hệ MIMO ta đi vào

phương pháp xác định bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh Wolovich

Falb-Xét đối tượng MIMO tuyến tính có m đầu vào u u1, , ,2 u m và cũng có m đầu ra y y1, , ,2 y m mô tả bởi:

Hình 1.4: Mục đích của điều khiển tách kênh Falb-Wolovich

d x

Ax Bu dt

Để tách kênh, ta phải xác định các bộ điều khiển R và M như ở hình 1.4

mô tả, sao cho đầu ra yi(t) chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu đầu vào wi(t) với i=1, 2, …, m Sự phụ thuộc đó được mô tả trong miền thời gian bởi phương trình vi phân bậc ri hệ số hằng:

1

1 0

Để xác định ri cho riêng kênh thứ i ta sử dụng khái niệm bậc tương đối tối thiểu đã được định nghĩa ở trên Ký hiệu ci, i=1,2, …, s là vector hàng thứ

i của ma trận C, tức là

1

T

T s

c C c

M , thì bậc tương đối tối thiểu ri cho kênh thứ i

sẽ được xác định theo định lý 1.2, mà cụ thể là công thức (1.5) như sau:

0 1 1

( )

1

1 0, 0, , 0, 0

i i

1

0 1

1 1

1

0

i

i i

m m

T r

T r m

m E

ma trận không suy biến

Vậy thuật toán tìm các bộ điều khiển R và M cho bài toán tách kênh sẽ như sau:

1) Xác định vector bậc tương đối tối thiểu (r1, …, rm) của đối tượng

2) Chọn tùy ý các tham số bi và aik, i=1, 2, …, m, k=0,1,…, ri-1 Ta cũng có thể chọn chúng theo chất lượng định trước cho từng kênh, chẳng hạn:

a) Chọn aik, i=1,2,…, m, k=0,1, …, ri-1 để có

Phần tử thứ i

Trong một hệ thống điều khiển, các vector tín hiệu vào u(t), ra y(t) bao giờ cũng là những tín hiệu đo được trực tiếp (measurable) Giả sử nhờ các

bộ cảm biến ta đã đo được giá trị u(t), y(t) trong khoảng thời gian hữu hạn

t0≤t<T Khi đó, một cơ cấu có nhiệm vụ xác định giá trị trạng thái x(t0) của

hệ thống tại thời điểm t0 từ những giá trị u(t), y(t) đã đo được trong khoảng thời gian hữu hạn t0≤t<T, sẽ được gọi là bộ quan sát trạng thái (state observer) Nói cách khác, bộ quan sát trạng thái là một cơ cấu có nhiệm vụ thực hiện phép biển đổi:

Tất nhiên rằng không phải ở mọi hệ thống ta đều có thể quan sát được tín hiệu trạng thái mà chỉ với những hệ có đặc điểm quan sát được (sẽ được xét đến ở mục dưới), tức là hệ mà ở đó tồn tại toán tử q( ,gg) và một hằng số

T hữu hạn thỏa mãn (2.1) Nếu hằng số hữu hạn T còn được chọn tùy ý thì

hệ được gọi là quan sát được hoàn toàn

Hình 2.1: Nhiệm vụ của bài toán thiết kế bộ quan sát trạng thái

Xét hệ thống có mô hình trạng thái

( , ) ( )( ) ( )

x y

d x

f x u n t dt

( ) ( )

x y

d x

f x u n t dt

2.2 Quan sát được và quan sát được hoàn toàn

Trong bài toán điều khiển, người ta thường đề cập đến việc thiết kế bộ điều khiển phản hồi các tín hiệu trạng thái hoặc các tín hiệu ra Vấn đề muốn nói ở đây không phải là sự cần thiết của việc phản hồi mà phải làm thế nào

để thực hiện được việc phản hồi những tín hiệu đó Tất nhiên rằng ta phải đo chúng, phải xác định được giá trị của các tín hiệu cần phản hồi

Thông thường, việc xác định giá trị tín hiệu một cách đơn giản nhất là đo trực tiếp nhờ các thiết bị cảm biến (sensor) Song không phải mọi tín hiệu đều có thể đo được một cách trực tiếp Rất nhiều các tín hiệu chỉ có thể được

đo một cách gián tiếp thông qua những tín hiệu đo được khác Chẳng hạn:

- Gia tốc không thể đo được trực tiếp mà phải được suy ra từ việc đo tốc

độ trong một khoảng thời gian

- Giá trị công suất có được nhờ việc đo dòng điện và điện áp

Để thống nhất chung, người ta sử dụng khái niệm quan sát một tín hiệu

để chỉ công việc xác định tín hiệu một cách gián tiếp thông qua các tín hiệu

đo được khác (thường là các tín hiệu vào/ ra)

Định nghĩa 2.1: Một hệ thống có tín hiệu vào u(t) và tín hiệu ra y(t) được

gọi là:

a) Quan sát được tại thời điểm t 0, nếu tồn tại ít nhất một giá trị hữu hạn

T>t0 để điểm trạng thái x(t0)=x0, xác định được một cách chính xác thông qua vector các tín hiệu vào ra u(t), y(t) trong khoảng thời gian [t0,T]

b) Quan sát được hoàn toàn tại thời điểm t 0, nếu với mọi T>t0, điểm

trạng thái x0=x(t0) luôn xác định được một cách chính xác từ vector các tín hiệu vào ra u(t), y(t) trong khoảng thời gian [t0,T]

Chú ý: Yêu cầu phải đo trong khoảng thời gian hữu hạn là rất quan trọng

Khoảng thời gian quan sát càng ngắn sẽ càng tốt cho công việc điều khiển sau này Nếu thời gian quan sát quá lớn, điểm trạng thái x0 vừa xác định được sẽ mất ý nghĩa ứng dụng cho bài toán điều khiển, ví dụ khi có được

x0 thì có thể hệ đã chuyển đến một điểm trạng thái mới cách rất xa điểm trạng thái x0

Một số kết luận chung về tính quan sát được của hệ tuyến tính

Định lý 2.1: Hệ không dừng (2.2) sẽ

a) Quan toàn sát được tại t0 khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một giá trị

T>t0 hữu hạn sao cho các vector cột của ma trận C t( ) (Φ −t t0) độc lập tuyến tính trong khoảng thời gian t0 ≤ <t T

b) Quan sát được hoàn toàn tại t0 khi và chỉ khi với mọi giá trị T>t0, các vector cột của ma trận C t( ) (Φ −t t0) độc lập tuyến tính trong khoảng t0 ≤ <t T

t t

x t = Φ −t t x + Φ −∫ t τ Bτ udτ Thay vào phương trình thứ hai được:

0

0 0

0 0

t t t t

đó chính là điều phải chứng minh

Định lý 2.2: Nếu hệ không dừng (2.2) có C là ma trận hằng (không phụ

thuộc t) quan sát được tại t0 thì nó cũng quan sát được hoàn toàn tại t0 và ngược lại

Chứng minh:

Theo định lý 2.1, hệ (2.2) quan sát được tại thời điểm t0 nều tồn tại T1>t0hữu hạn sao cho các vector cột của CΦ −(t t0)không phụ thuộc tuyến tính trên toàn khoảng [t0, T1] Vì C là ma trận hằng nên Φ −(t t0) là thành phần duy nhất phụ thuộc t trong tích CΦ −(t t0) Do Φ −(t t0) không suy biến với mọi t (định lý Peano-Baker) nên điều này cũng đúng với mọi khoảng [t0,T], trong đó T là số tùy ý lớn hơn t0

Định lý 2.3: Nếu hệ không dừng (2.2) quan sát được tại thời điểm t0 thì nó cũng quan sát được tại mọi thời điểm t≠0

Chứng minh:

Khi hệ (2.2) quan sát được tại t0 thì sẽ tồn tại một giá trị hữu hạn T>t0 để các vector cột của ma trận C t( ) (Φ −t t0)độc lập tuyến tính trong khoảng thời gian t0≤ <t T

Xét tại một thời điểm t1≠0 bất kỳ, từ định lý Peano-Baker về tính chất của Φ( )t , ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

C t Φ −t t =C t Φ − Φ −t t t t

Nhưng do Φ −(t t1) là ma trận hằng không suy biến nên các vector cột của

ma trận hàm C t( ) (Φ −t t1) cũng vì thế mà độc lập tuyến tính trong khoảng thời gian t1≤ <t T Bởi vậy theo định lý 2.1, hệ quan sát được tại thời điểm

t1(đpcm)

Trên cơ sở định lý 2.3 thì riêng đối với hệ tuyến tính, từ nay về sau ta sẽ

nói ngắn gọn là hệ quan sát được thay vì hệ quan sát được tại thời điểm t0

Tính đối ngẫu và các tiêu chuẩn xét tính quan sát được của hệ tham số hằng

Cho hệ tuyến tính, tham số hằng mô tả bởi:

d x

Ax Bu dt

được gọi là hệ đối ngẫu với hệ (2.4) đã cho

Có thể thấy ngay được là từ ma trận truyền đạt của hệ (2.4):

G s( )=C sI A B D( − )− 1 +

ta cũng có ma trận truyền đạt GT(s) cho hệ đối ngẫu (2.5)

Định lý 2.4: Hệ tham số hằng (2.4) quan sát được khi và chỉ khi hệ (2.5) đối

ngẫu với nó điều khiển được

Chứng minh:

Nếu hệ (2.4) quan sát được tại T* thì theo định lý 2.1, các vector cột của

CΦ −(t T*)=Ce A t T(− *)

là độc lập tuyến tính với mọi t Điều này dẫn đến các vector cột của Ce A t T(− *)

cũng độc lập tuyến tính vì e A t T( − *)e A T( * ) −t =I Suy ra các vector hàng của:

( A t T( *))T A t T T( *) T

là độc lập tuyến tính Vậy theo định lý 2.1, hệ (2.5) điều khiển được

Chứng minh tương tự ta sẽ có điều ngược lại là khi hệ (2.4) điều khiển được thì hệ (2.5) quan sát được

Dựa vào nội dung định lý 2.4 và cùng với các tiêu chuẩn xét tính quan sát được của hệ tuyến tính tham số hằng đã biết, ta sẽ có:

Định lý 2.5: Cho hệ tham số hằng (2.4) Các phát biểu sau là tương đương:

Rank sI A C( − T, T)=n với mọi s

a) ⇔c): Để hệ (2.4) quan sát được thì cần và đủ là hệ (2.5) điều khiển được

và theo định lý về tính điều khiển được của Kalman, điều đó tương đương với:

2.3 Bộ quan sát trạng thái Luenberger

Trong nội dung phương pháp xác định bộ quan sát trạng thái Luenberger

có sử dụng cách thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực Do

đó để xác định bộ quan sát, ta cần hiểu qua về bài toán thiết kế bộ điều khiển cho trước điểm cực

Bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực

liên quan giữa ma trận truyền đạt G(s) của hệ và mô hình trạng thái (2.4) thì các điểm cực của hệ chính là giá trị riêng của ma trận A

Mặt khác, chất lượng hệ thống lại phụ thuộc nhiều vào vị trí của các điểm cực (cũng là giá trị riêng của A) trong mặt phẳng phức Do đó, để hệ thống có được chất lượng mong muốn, người ta có thể can thiệp bằng một bộ điều khiển vào hệ thống sao cho với sự can thiệp đó, hệ có được các điểm cực là những giá trị cho trước ứng với chất lượng mong muốn Cũng vì nguyên lý can thiệp để hệ nhận được các điểm cực cho trước như vậy nên

phương pháp thiết kế bộ điều khiển can thiệp này có tên gọi là phương pháp

cho trước điểm cực, hay phương pháp gán điểm cực

Có hai khả năng thiết kế bộ điều khiển gán điểm cực bằng bộ điều khiển

bởi vậy nhiệm vụ “gán điểm cực” là phải thiết kế R sao cho ma trận

A-BR nhận n giá trị si, i=1, 2, …, n đã được chọn trước từ yêu cầu chất

lượng cần có của hệ thống, làm giá trị riêng Nói cách khác, ta phải giải phương trình:

Hình 2.2: Nguyên tắc thiết kế bộ điều khiển gán điểm cực

- Thiết kế theo nguyên tắc phản hồi tín hiệu ra (hình 2.2b) Vì tín hiệu

phản hồi về bộ điều khiển R là y nên hệ kín có mô hình:

lượng cần có của hệ thống, hay nhiệm vụ thiết kế chính là tìm ma trận R thỏa mãn:

det sI A BRC− + = − (s s s s)( − ) ( K s s− n) (2.7) Như sau này ta thấy, để phương trình (2.6) có nghiệm R thì chỉ cần hệ (2.4) cho ban đầu điều khiển được là đủ Ngược lại, đối với phương trình (2.7) thì điều kiện hệ (2.4) điều khiển được là chưa đủ và người ta thường phải mở rộng phạm vi tìm nghiệm sang cả những bộ điều khiển phản hồi đầu ra mang tính động học, chứ không phải chỉ giới hạn trong các bộ điều khiển tĩnh (ma trận hằng) R, tức là phải sử dụng bộ điều khiển có mô hình trạng thái (tuyến tính):

:

d z

E z F y dt

Mục này sẽ giới thiệu các phương pháp khác nhau phục vụ bài toán thiết

kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực R∈R m n× , mà thực chất chính là các phương pháp tính để giải phương trình (2.6)

Phương pháp Ackermann

Phương pháp Ackermann là phương pháp thiết kế bộ điều khiển gán

điểm cực R theo nguyên lý phản hồi trạng thái cho đối tượng chỉ có một tín

hiệu vào

Trước hết, ta xét đối tượng có một đầu vào u mô tả bởi mô hình trạng

thái dạng chuẩn điều khiển:

L L

với nghiệm là các điểm cực của đối tượng

Tương ứng với đối tượng (2.8), bộ điều khiển phản hồi trạng thái R phải là:

d x

A bR x b dt

LL

LL

LL

0w01

- Tính các hệ số a%i, i=0, 1, …, n-1 của phương trình đặc tính cần phải có của hệ kín từ những giá trị điểm cực si, i=1, 2, …, n đã cho theo:

sao cho với nó, đối tượng ban đầu được chuyển về dạng chuẩn điều khiển

Định lý 2.6: Nếu hệ (2.10) là điều khiển được thì phép đổi biến z=Sx với:

1

T T

T n

s

s A S

L L

1 1

T n

T T T

s

s A S

L L

Đương nhiên, khi đã chuyển được (2.10) về dạng chuẩn điều khiển, ta lại áp dụng thuật toán đã biết để thiết kế bộ điều khiển Rz phản hồi trạng thái z cho

Việc thiết kế R gồm các bước như sau:

- Xác định phép đổi biến z = Sx theo định lý 2.6

- Tính các hệ số a%i, i=0, 1, , n-1 của phương trình đặc tính cần phải có của hệ kín từ những giá trị điểm cực si, i=1, 2, …, n đã cho theo:

s s s s− − K s s− =a +a s+ + K a s− − +s

- Bộ điều khiển R cần tìm sẽ là:

%

1 0

n

T i T n i

Giống như phương pháp Ackermann, phương pháp Roppenecker được

sử dụng để thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái theo nguyên lý cho trước điểm cực Khác với Ackermann, phương pháp Roppenecker áp dụng được cho cả hệ MIMO

Để bắt đầu ta hãy xét đối tượng MIMO:

nhận những giá trị si, i=1, 2, …, n cho trước làm điểm cực Chú ý rằng nếu

có sk là một số phức thì cũng phải có một giá trị liên hợp với nó s i =s k, vì chỉ như vậy các phần tử của R mới có thể là những số thực

Giả sử rằng đã tìm được R Vậy thì do det(skI-A+BR)=0 với mọi k=0, 1,

…, n nên ứng với mỗi k phải có một vector (riêng bên phải) a k không đồng nhất bằng 0 thỏa mãn:

(s I A BR a k − + ) k = 0 ⇔ (s I A a k − ) k = −BRa k

Nếu gọi t k = −Ra k là những vector tham số thì:

( ) ( ) 1

- Chọn n vector tham số t1, …, tn sao cho với nó n vector ak, k=1, 2, , n xác định theo (2.13) lập thành hệ độc lập tuyến tính, tức là ma trận (a1,

…, an) không bị suy biến

- Xác định R theo (2.14)

Tuy nhiên, có ba vấn đề cần phải bàn thêm về thuật toán trên Đó là:

- Có thực sự với bộ điều khiển R tổng hợp được, ma trận hệ thống của hệ kín sẽ có các giá trị riêng là sk, k=1, 2, …, n

- Phải có điều kiện gì để tồn tại ak tính theo (2.13)

- Phải làm gì để tất cả n vector a1, …, an lập thành hệ độc lập tuyến tính?

Về câu hỏi thứ nhất Xuất phát từ (2.14) có:

Rak=-tk với mọi k=1, 2, …, n

( )

k k

det s I A BR k − + = 0 với mọi k =1, 2, …, n

hay sk, k= 1, 2, …, n là giá trị riêng của (A-BR)

Về câu hỏi thứ hai Để tính được ak, k=1, 2, …, n theo (2.13) thì rõ ràng phải

có (skI-A)-1 Nói cách khác, khi những điểm cực cho trước sk, k=1, 2, …, n không phải là giá trị riêng của A thì ta tính được ak, k=1, 2, …, n theo (2.13) Trường hợp có một giá trị sk làm cho (skI-A) suy biến thì có nghĩa bộ điều khiển R không cần phải dịch chuyển giá trị riêng sk Bởi vậy ứng với nó sẽ có:

- Khi tồn tại các vector (skI-A)-1 thì chúng ít nhất phải khác nhau từng đôi

một Nói cách khác những giá trị điểm cực cho trước sk, k=1, 2, …, n

mà không phải là giá trị riêng của A thì phải khác nhau từng đôi một

- Nếu có nhiều giá trị sk mà ứng với nó không tồn tại (skI-A)-1, tức là những giá trị này là giá trị riêng của A và bộ điều khiển R không cần dịch chuyển các điểm cực sk đó Gọi ak là vector riêng bên phải của A ứng với sk Các vector riêng này sẽ độc lập tuyến tính với nhau nếu như

những giá trị riêng không cần dịch chuyển đó cũng lại khác nhau đôi

một Trường hợp chúng không khác nhau, chẳng hạn như có q giá trị skgiống nhau thì bắt buộc ứng với nghiệm sk bội q đó phải có đúng q vector riêng bên phải độc lập tuyến tính với nhau

- Nếu a1, …, an vẫn không độc lập tuyến tính mặc dù đã thỏa mãn các yêu cầu trên thì ta có thể thông qua việc lựa chọn t1, …, tn để a1, …, anlập thành hệ độc lập tuyến tính Trường hợp điều đó vẫn không xảy ra thì cuối cùng ta có thể thay đổi nhỏ các giá trị sk, k=1, 2, …, n để có được a1, …, an độc lập tuyến tính Việc sửa đổi sk cũng hợp lý vì thực tế

có rất nhiều bộ giá trị sk, k=1, 2, …, n cùng mang đến một chất lượng như nhau cho hệ kín

Tổng kết lại các trường hợp vừa xét, ta đi đến thuật toán Roppenecker dạng tổng quát với hai bước tính như sau:

1) Tính các vector ak ứng với các giá trị sk đã cho:

a) Nếu sk không phải là giá trị riêng của A thì tính theo (2.13), trong đó tk là tham số tự do

b) Nếu sk là giá trị riêng của A thì chọn tk = 0 và ak là vector riêng bên phải tương ứng của A tính theo (2.15)

2) Chọn các vector tham số còn tự do tk sao cho với nó n vector ak, k=1, 2,

…, n xác định ở bước 1 lập thành hệ độc lập tuyến tính, rồi tính R theo (2.14)

Phương pháp Modal phản hồi trạng thái

Phương pháp modal do Rosenbrock xây dựng năm 1962 là phương pháp thiết kế bộ điều khiển tĩnh R, phản hồi trạng thái cho đối tượng MIMO mô tả bởi:

det s I A BR i − + = 0 với mọi i=1, 2, …, n

Tư tưởng của phương pháp là khá đơn giản Nó bắt đầu từ việc chuyển

mô hình đối tượng, cụ thể là ma trận A, sang dạng đường chéo (dạng modal) hay Jordan để thiết kế bộ điều khiển rồi sau đó mới chuyển ngược lại mô hình ban đầu

Để mô tả nội dung phương pháp modal, ta bắt đầu với trường hợp ma trận A của đối tượng có dạng giống đường chéo

Một ma trận A được gọi là giống đường chéo, nếu:

- hoặc là các giá trị riêng gi, i=1, 2, …, n của nó khác nhau từng đôi một

- hoặc là ứng với một giá trị riêng gk bội q thì phải có đúng q vector riêng bên phải độc lập tuyến tính

Một ma trận A giống đường chéo luôn chuyển được về dạng đường chéo nhờ phép biến đổi tương đương, trong đó ma trận đường chéo thu được có các phần tử trên đường chéo chính là giá trị riêng của nó gi, i=1, 2,…, n:

1 2 1

( ) 0

i n

g g

(g I A a i − ) i = 0 với mọi i=1, 2, …, n

Gọi gi, i=1, 2, …, n là các giá trị riêng và M là ma trận modal của A, khi

đó với phép đổi biến

x= Mz ⇔ =z M x−1

ta sẽ thu được mô hình trạng thái tương ứng cho đối tượng (hình 2.2a):

1 1 1

= G

d z

M AM z M Bu dt

0

( ) 0

i n