Bản chất của phép thế lượng giác nằm ở chỗ các biến số có mặt trong bài toán được xét như giá trị của các hàm lượng giác nào đó.. Trong đó các hàm số lượng giác cần được chọn để biểu t[r]
Trang 1Phép thế lượng giác
R.Alekseev, L.Kurlianchik (Kvant 2/1995)
Ta xét bài toán sau: “Giữa 7 số thực bất kỳ luôn tìm được 2 số x và y sao cho
3
1 1
xy
y
x
” Gọi các số đã cho là a1, a2, …, a7 Với mỗi số thực a, tồn tại số thuộc khoảng (-/2, /2) sao cho a = tg() Giả sử a1 = tg(1), a2 = tg(2), …, a7 = tg(7) Trong 7
số 1, 2, …, 7 tồn tại hai số có hiệu không vượt quá /6 (bạn thử nghĩ xem tại sao?) Giả
sử hai số này là và , trong đó > Khi đó
3
1 6 ) ( ) ( ) ( 1
) ( ) (
tg tg
tg tg
tg tg
Như vậy các số x = tg() và y = tg() là các số cần tìm
Lời giải của bài toán trở nên hiển nhiên sau khi ta chọn được một phép thế lượng giác thích hợp Bản chất của phép thế lượng giác nằm ở chỗ các biến số có mặt trong bài toán được xét như giá trị của các hàm lượng giác nào đó Trong đó các hàm số lượng giác cần được chọn
để biểu thức thu được càng gọn càng tốt Bài viết này nói về các phép thế lượng giác
Nếu như x 2 + y 2 = 1
Nếu như trong bài toán có điều kiện x2 + y2 = 1 thì phép thế x = sin, y = cos trong nhiều trường hợp sẽ tỏ ra hiệu quả
Bài toán 1 Giải hệ phương trình
1 ) 1 2
(
4
1
2
2 2
y xy
y x
Ta đặt x = sin, y = cos với 0 < thì ta được sin4 = 1 Nghĩa là 4 = /2 + k2 với k
= 0, 1, 2, 3 Từ đó có thể dễ dàng tìm ra đáp số cuối cùng
2
2 2 , 2
2 2 , 2
2 2 , 2
2 2 , 2
2 2 , 2
2 2 , 2
2 2
,
2
2
2
Các bạn có thể thấy phép thế này « giải quyết » bài toán nhanh gọn như thế nào, trong khi đó các cách giải bài toán không sử dụng phép thế lượng giác phức tạp hơn nhiều
Bài tập
1 Các số a, b, c, d thoả mãn điều kiện a 2 + b 2 = 1, c 2 + d 2 = 1, ac + bd = 0 Hỏi ad + bc
bằng bao nhiêu?
2 Trong số tất cả các nghiệm của hệ x 2 + y 2 = 4, z 2 + t 2 = 9, xt + yz = 6 hãy tìm nghiệm sao cho tổng x + z đạt giá trị lớn nhất
Trang 2Ta chứng minh rằng nếu như x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1 thì
tồn tại các góc , , sao cho x = tg( /2), y =
tg( /2), z = tg(/2) và + + = Thật vậy, đặt x = tg( /2), y = tg( /2), (- < , <)
Vì
y
x
xy
z
2 2 2
tg g
= - ( + )
Bài toán 2 Giải hệ phương trình
1
1 5
1 4
1 3
zx yz xy
z
z y
y x
x
Vì
) 1 ( 5 ) 1 ( 4 )
1
(
3 2 2 z2
z y
y x
x
nên x, y, z có cùng dấu, ngoài ra, nếu (x, y, z) là nghiệm
của hệ thì (-x, -y, -z) cũng là nghiệm Như vậy ta chỉ cần đi tìm các nghiệm dương Đặt x = tg( /2), y = tg( /2), z = tg(/2) ( 0 < , , <, + + = ), ta được
5
sin 4
sin 3
Từ định lý hàm số sin bây giờ suy ra , , là các góc của tam giác có độ dài các cạnh tương
ứng là 3, 4, 5 Tam giác này là tam giác vuông có = /2, sin = 3/5, sin = 4/5 Vì thế tg( /2) = 1/3, tg( /2) = 1/2, tg( /2) = 1 Như vậy đáp số của bài toán là
1 , 2
1 , 3
1 , 1 ,
2
1
,
3
1
Bài tập
3 Giải hệ phương trình
2 2 2
2 2
1
1 1
2 1
1
1
z
z y
y x
x
zx yz xy
4 Các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1 Chứng minh rằng
1 1
1 ) 1 (
) 1 ( 2 ) 1 (
) 1 ( 2 ) 1
(
) 1
(
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
z
z y
y x
x z
z z y
y y x
x x
Bất đẳng thức
Chúng ta sẽ xem xét các ví dụ sử dụng phép thế lượng giác để chứng minh một số dạng bất đẳng thức
Bài toán 3 a, b, c, d là các số dương Chứng minh bất đẳng thức
) )(
cd
Viết lại bất đẳng thức dưới dạng
1
d c b
c c
b
b d
a
a
Trang 3Đặt 2 2
sin ,
b d
a
a
(0 < , </2) Khi đó bất đẳng thức có thể đưa về dạng
sin sin + cos cos 1, hay là cos( - ) 1
Như các bạn thấy ở đây phép thế lượng giác đã giúp chúng ta phá được các dấu căn thức và đưa về dạng đơn giản hơn Trong ví dụ dưới đây chúng ta cũng sử dụng phép thế lượng giác
để đưa bất đẳng thức về dạng đơn giản hơn
Bài toán 4 Cho a, b, c là các số dương, trong đó c là số nhỏ nhất trong chúng Chứng minh
các bất đẳng thức
ab c
b c a c
b c a ab b
c
a
c
2 ) )(
( ) )(
Viết lại bất đẳng thức dưới dạng
2 1
1 1
b
c a
c b
c a
c b
c
a
c
4 , 0 ( , 2 sin ,
2
b
c a
c
, bất đẳng thức trở thành sin2 + sin2 (sin+cos)(sin+cos) + (cos-sin)(cos-sin) 2
hay
2sin( + )cos( - ) 2cos( - ) 2
Chúng ta cũng lưu ý rằng vế phải của bất đẳng thức này
ab c
b c a c
b c
là một hệ quả đơn giản của bài toán 3
Bài tập 5 Cho a, b, c là các số dương, trong đó c là số nhỏ nhất Chứng minh các bất đẳng
thức
ab c
b c c a c ab b
c
a
c
Phương trình
Phép thế lượng giác còn có thể được dùng để giải phương trình Ta xem xét hai ví dụ
Bài toán 5 Giải phương trình
x x
Đặt x = cos, 0 Ta được sin = cos3, hay cos3 - cos(/2-) = 0 Từ đó 2sin(/4 - 2)sin(+/4) = 0
Từ đó = /8 hoặc 5/8 hoặc 3/4
2
2 4
3 cos , 2
2 2 2
) 4 / 5 cos(
1 8
5 cos , 2
2 2 2
) 4 / cos(
1
8
nên
tập hợp
2
2 , 2
2 2 , 2
2 2
là tập nghiệm của phương trình
Trang 412
35 1
x
x x
Chú ý rằng x > 1 Đặt x = 1/sin, 0 < < /2 Phương trình có thể viết lại thành
12
35 cos
1 sin
1
Đặt sin + cos = t thì 1 + 2sincos = t2, suy ra sincos = (t2-1)/2 Thay vào ta được
7 / 5 5
/ 7 0
35 24 35 12
35 1
t
t
Vì t = sin + cos > 0 nên ta loại nghiệm thứ hai Xét t = 7/5 thì từ đây ta tính được sin.cos = 12/25 Như vậy sin, cos là nghiệm của phương trình
X2 – (7/5)X + 12/25 = 0
Từ đây ta tính được sin = 3/5 hoặc sin = 4/5 Tương ứng ta được nghiệm của phương trình là x = 5/3 và x = 5/4
Bài tập 6 Giải phương trình
1 2 2
|
|
x x
Hệ phương trình
Phép thế lượng giác thường có ích trong phép giải các hệ phương trình hoán vị vòng quanh
Ta xem xét một ví dụ như vậy
Bài toán 7 Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?
3 3 3
4 3
4 3
4 3
x x z
z z y
y y x
Ta viết lại hệ dưới dạng
x x z
z z y
y y x
3 4
3 4
3 4
3 3 3
Ta chứng minh rằng tất cả các số x, y, z theo trị tuyệt đối không vượt quá 1 Thật vậy, giả sử
x là số lớn nhất trong các số này và x > 1 thì ta có z = 4x3 – 3x > x Ta đi đến mâu thuẫn Nếu giả sử x là số nhỏ nhất và x < - 1 thì ta cũng có z = 4x3 – 3x < x, cũng mâu thuẫn Như vậy -1 x, y, z 1 và ta có thể thực hiện phép thế x = cos (0 ) Khi đó z = cos3, y
= cos9, x = cos27 Bây giờ rõ ràng rằng số nghiệm của hệ phương trình ban đầu bằng số nghiệm của phương trình cos = cos27 trên [0, ] Dễ dàng thấy rằng số nghiệm này đúng bằng 27 :
13 , , 2 , 1 , 14
; 13 , , 2 , 1 , 0 ,
Bài tập 7 Giải hệ phương trình
Trang 5
2
, 2
, 2
2 2
x x z z
z z y y
y y x x
Các dãy truy hồi
Cuối cùng ta đi đến phần cuối và cũng là phần có nội dung sâu sắc nhất trong cuộc tham quan của chúng ta đến các phép thế lượng giác Ta xem xét hai bài toán khó mà có thể đưa
về các dãy truy hồi Lời giải các hệ thức truy hồi này thu được nhờ vào các phép thế lượng giác
Bài toán 8 a1, a2, …, an là các số thực sao cho a12 + a22 + … + an2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a1a2 + a2a3 + … + an-1an
Ta xét các số C sao cho bất đẳng thức a1a2 + a2a3 + … + an-1an C(a12 + a22 + … + an2) đúng với mọi số thực a1, a2, …, an Số C nhỏ nhất trong các số như vậy sẽ là đáp số cần tìm Thứ nhất, số C cần tìm không vượt quá 1, vì
a12 + a22 + … + an2 – (a1a2 + a2a3 + … + an-1an) = (1/2)(a12 + (a1-a2)2 + … + (an-1-an)2 +
an2) 0
Ta biến đổi biểu thức C(a12 + a22 + … + an2) – (a1a2 + a2a3 + … + an-1an) bằng cách liên tiếp tách bình phương đúng Ta thu được biểu thức có dạng
2 2
1 1
1 2
3 2 2 2 2 2 1 1
1
2
1
2
1 2
1
n n n
n n
p a
p a
p a p a
p a
Dễ thấy p 1 = C và
k k
p C p
4
1
với mọi k = 1, 2, …, n-1 Biểu thức thu được không âm với mọi a1, a2, …, an khi và chỉ khi tất cả các số p1, p2, …, pn không âm Như vậy bài toán đưa về việc tìm số C sao cho tất cả các số hạng của dãy số p1, p2, …, pn đều không âm
Vì 0 < C 1 nên ta có thể đặt C = cos, trong đó 0 < /2 Khi đó
2 sin 2
3 sin 2
sin 2
sin 2 sin cos 2 cos
4
1 cos 4 cos 4
1 cos
2
p
Tiếp theo
3 sin 2
4 sin 3
sin 2
2 sin 3 sin cos 2 3 sin 2
2 sin cos
Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được rằng
k
k
p k
sin 2
) 1 sin(
k = 1, 2, …, n
Như vậy p1, p2, …, pn không âm khi và chỉ khi sin, sin2, …, sin(n+1) không âm Như vậy
1
0
n
và giá trị C cần tìm bằng
1
cos
n
Bài toán 9 x1, x2, …, xn là các số dương Gọi A là số nhỏ nhất trong các số
Trang 61 ,
1 , ,
1 ,
1
,
1 2
3
1
2
1
n n n
x x
x x
x
x
x
x
còn B là số lớn nhất trong các số này Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của A bằng giá trị nhỏ nhất của B và hãy tìm giá trị này
Đầu tiên ta xét tình huống
1 1
1 1
1 2
3 1 2 1
n n n
x x
x x
x x x
Khi đó các số x1, x2, …, xn thoả mãn hệ thức truy hồi
k k
x x
x 1 1 1 , k = 1, 2, …, n-1 Hệ thức tương tự ta đã gặp ở ví dụ trước Hệ thức này cũng có thể giải bằng phép thế lượng giác
Đầu tiên ta chứng minh rằng x1 < 2 Thật vậy, nếu x1 ≥ 2 thì ta lần lượt có x2 ≥ 1, x3 ≥ 1, …,
xn ≥ 1 và lúc đó đẳng thức x1 = 1/xn không thể xảy ra
Bây giờ ta có thể đặt x1 = 2cos ( 0 < < /2) Tương tự như ở bài toán trước, bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được rằng
k
k
x k
sin
) 1 sin(
Vì x1 = 1/xn nên từ đây ta có
) 1 sin(
sin cos
2
n n
Từ đây sin(n+2) = 0, tức là .
2
n
Bây giờ ta chứng minh rằng giá trị lớn nhất của A và giá trị nhỏ nhất của B bằng
2 cos 2
n
Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức .
2 cos
n
Giả sử tất cả các số
n n n
x x
x x
x x x
x , 1 , 1 , , 1 , 1
1 2
3 1 2 1
2 cos 2
n
Trong trường hợp này ta lần lượt có các bất đẳng thức sau
2 sin
2
) 1 ( sin , ,
2
3 sin
2
4 sin ,
2
2 sin
2
3 sin
3 2
n n n
n x
n
n x
n
n
Nhưng khi đó
2 cos 2 1
n
x n
Mâu thuẫn
Như vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức
2 cos 2
n
n 2 cos
chứng minh hoàn toàn tương tự
Bài tập 8 Giả sử a1, a2, …, an là các số thực sao cho a1 = 0, a12 + a22 + … + an2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (a1-a2)2 + (a2-a3)2 + … + (an-1-an)2
Và như thế, câu chuyện của chúng ta về phép thế lượng giác đã đi đến hồi kết Trong trường hợp nào thì phép thế lượng giác đạt hiệu quả, trong trường hợp nào không? Câu trả lời cho
Trang 7trường câu hỏi này chỉ có thể là kinh nghiệm cá nhân của bạn, được làm giàu bằng cách giải các bài toán Để kết thúc bài viết này chúng tôi đề xuất một số bài tập, có thể coi là “vốn ban đầu” của các bạn
Bài tập
9 Cho a > b > 0 Chứng minh bất đẳng thức
a b ab b
10 Cho a, b, c, d là các số thực dương, trong đó d là số lớn nhất Chứng minh rằng
)
)(
( ) )(
( ) )(
11 Các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 1 Chứng minh rằng
) 1 )(
1 )(
1 (
4 1
1
z y
x
xyz z
z y
y x
x
12 Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [0 ; 1]
8x(1-x2)(1-y2)(1-z2) = 1 ?
13 Giải phương trình
2 2
1 2 1 2
14 Dãy số hn được cho bởi
2
1
1
h và
2
1
1
n n
h
h với mỗi n Chứng minh rằng h1 +
h2 + … + hn < 1,03 với mọi n
15 Tồn tại hay không tập hợp A gồm 100 số thực thỏa mãn điều kiện : Nếu x thuộc A thì 2x2 – 1 cũng thuộc A
16 Giả sử
1 1
|
| )
,
(
2 2
y x
y x y
x
Chứng minh rằng với mọi a, b, c thực ta có (a, c) ≤ (a, b) + (b, c)
2 1
2 ,
x
x x
x
n
n
a) xn ≠ 0 n ;
b) Dãy số này không tuần hoàn