Hàm số lượng giác, phương trình lượng giác và bài tập vận dụng - Giáo viên Việt Nam

Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho :.. 1..[r]

Hàm số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác

A Hàm số lượng giác:

I Lý thuyết:

1 Hàm số: y c osx;ysinx;yt anx;ycot x

2 Tính chất:

- Tập xác định, tập gí trị, tính chẵn – lẻ, tuấn hoàn, sự biến thiên và đồ thị.

3 Hàm tuần hoàn:

- Hàm số yf x 

xác định trên D được gọi là hàm tuần hoàn nếu có số T 0 sao cho  x Dta có:

x T  x T  và f x T   f x 

- Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chu kì của hàm f.

II Bài tập:

1 Tìm tập xác định của các hàm số:

1 ycos x 2

1 cosx

y

x





3

1 sin 1

x y

x





 4

2 cos

1 sin

x y

x







5

1 2cos

sin

x y

x





6

cot cos 1

x y

x



 7

cot 2

4

y  x  

  8

tan 2

5

y  x 

9

sin 2 cos 1

x y

x





 10

2 cos

1

x y

x





 11 2

2 sin

1

x y

x







12

tan 2

3

y  x 

5 sin cos

x y





 14 y = tanx + cotx

2 Tìm tập xác định của các hàm số:

1

1 s

1 sin

inx y

x





 2

1 s

1 sin

inx y

x





 3 y = tan( x + 2) 4

1 sin

3

y

x 





5.y sinx 1 cos5x 6

1 tan sin 1

x

 7

cos 1 cos 2 sin 4

x y





8

1 sin

y

x



9

tan 2

6

y  x  

  10

cot 2

6

y  x 

3 Xét tính chẵn lẻ của hàm số.

1 y = xcos3x 2

1 cos

1 cos

x y

x





 3 y = x3sin2x 4

cos 2

y

x





5

cos 2x y

x



6 y = x – sinx 7 y 1 cos x 8

3

2

y  x    x

9 y = cosx + sin2x 10 y = sin2x + cos2x 11 y = cot2x + 5sinx 12

tan

3

y x  

4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

1

3

y x  

  2.y 1 sin x 3 3 y = 2sinx + 1 4 y = 3cosx – 1

5 y = 4cos2x – 4cosx + 2 6 y = sinx + cosx + 2 7.

2

4sin sin cos 2

x

8 y 1 cos x 2 9

6

y  x 

  10 y2 1 cos x 3 11 y = 2 + 3cosx

12 y = 3 – 4sin2xcos2x 13

2

1 4cos 3

x

y 

14 y = 2sin2x – cos2x 15.y 3 2 sinx

16

cos cos

3

y x x  

  17 ycos2 x2cos 2x 18 y 5 2cos 2 xsin2x

19

1

3 sin cos

4

20 y = sin6x + cos6x

B Phương trình lượng giác:

I Lý thuyết:

1 Dạng cơ bản:

1.1 Phương trình: sinx 

Cách giải: SGK

1.2 Phương trình: cosx

Cách giải: SGK

1.3 Phương trình: t anx  đk: cosx 0 x 2 k k;





Cách giải: SGK

1.4 Phương trình: cot x  đk: sinx 0  x k k ;  

Cách giải: SGK

1.5 Chú ý:

1

2 sin sin

2

u v k



 



2 cos cos

2

u v k





 



3 tanutanv u v k  ,k   4 cotucotv u v k  ;k  

2 Dạng thường gặp:

2.1 Phương trình bậc hai đối với một HSLG:

1 a sin2x b sinx c 0 2 acos2x bc osx c 0

3 a tan2x b t anx c 0 4 acot2x b cot x c 0

Cách giải:

đặt tsinx / osx -1 t 1c    

hoặc tt anx / cot xt 

ta được phương trình bậc hai theo t

2.2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: a sinxbcosx = c a2b20

Cách giải:

 Chia hai vế của phương trình cho a2+b2 , ta được: 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

(1)

Đặt 2 2

cos

a

 Pt(1) thành :

Pt(2) là pt lượng giác dạng cơ bản nên giải dễ dàng

Nhận xét :

 Phương trình asinx b+ cosx=c có nghiệm khi và chỉ khi a2+ ³b2 c2.

 Các phương trình asinx b- cosx=c, acosx b± sinx=c cũng được giải tương tự.

2.3 Phương trình dẳng cấp bậc hai: asin2x b+ sin cosx x c+ cos2 x=0 (a2b2c2 0)

Cách giải:

 Xét xem x 2 k

p p

= +

có là nghiệm của phương trình không

 Với x 2 k

(cosx¹ 0), chia hai vế của phương trình cho 2

cos x ( hoặc sin x2 ) ta được phương

trình bậc 2 theo tan x(hoặc cot x)

Chú ý:

 Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi ta có thể đưa phương trình về dạng bậc nhất theo

sin 2x và cos 2x.

 Phương trình asin2x b+ sin cosx x c+ cos2 x=d cũng được xem là phương trình đẳng cấp bậc hai vì

 2 2 

dd sin x c os x

 Làm tương tự cho phương trình đẳng cấp bậc n

2.4 Phương trình đối xứng: asinxcosxbsin x osxc  c 0

(a2b20)

Cách giải:

t

Chú ý:

 Phương trình asinx- osxc bsin x osxc  c 0

được giải tương tự.

 Phương trình atan2xcot2xbt anx cot x  c 0

(*)sinx, osx 0c   đặt t t anx cot x  t 2 tan2xcot2x t 2 2

 Phương trình atan2xcot2xbt anx-cot x c 0

giải tương tự

II Bài tập:

1 Các bài toán cơ bản:

1.1 Giải phương trình :

1 sinx sin 6





2 2sinx  2 0 3 sin 2 2

3

x  

4 sinx 20o sin 60o

5 cosx cos4





6 2cos 2x  1 0

7 cos 2 15  2

2

o

x  

8

1

t an3

3

x 

9 tan 4 x 2 3

10 tan 2 x 10o tan 60o

11 cot 4x  3 12 cotx 2 1

1.2.Giải phương trình :

1

    2 cos 2 x1 cos 2 x1

3

x 

4 sin 3xcos 2x

1.3 Giải các phương trình sau :

1

cos 2

4

x 

2 4cos 22 x  3 0

3

4

1.4 Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho :

1 2sin 2x  1 0 với 0 x  2 cotx  5  3

với  x

1.5 Giải các phương trình sau :

1 sinxcosx1 2 sin4x cos4x1

3 sin4 xcos4x1 4 sin3xcosx cos3xsinx 2 / 8

1.6 Giải các phương trình sau :

1 cos2x 3 sin cosx x0 2 3 cosxsin 2x0

3

8sin cos cos 2 cos8

16

x x x    x

2

1.7 Giải phương trình :

1 cos 7 cosx xcos5 cos3x x 2 cos 4xsin 3 cosx xsin cos3x x

3 1 cos xcos 2xcos 3x0 4 sin2xsin 22 xsin 32 xsin 42 x2

1.8 Giải các phương trình sau :

1 sin 2 sin 5x xsin 3 sin 4x x ; 2 sinxsin 2xsin 3xsin 4x0 ;

3 sin2xsin 32 x2sin 22 x ; 4 sinxsin 3xsin 5xcosxcos3xcos 5x

1.8 Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :

1 ytanx 2 ycot 2x

3

2cos 1

2cos 1

x y

x





 4

sin 2 cos 2 cos

x y







5

tan

1 tan

x y

x



 6

1

3 cot 2 1

y

x





1.9 Giải phương trình :

1

2cos 2

0

1 sin 2

x

x 

0 2cos 1

x x







3 sin 3 cotx x 0 4 tan 3xtanx

1.10 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; ) của phương trình 4cos3 cos 2x x2cos3x 1 0

2 Phương trình bậc hai đối với một HSLG:

2.1 Giải phương trình :

1 2cos2 x 3cosx 1 0 2 cos2xsinx 1 0

3 2sin2x5sinx 3 0 4 cot 32 x cot 3x 2 0

2.2 Giải phương trình :

1 2cos2 x 2 cosx 2 0 2 cos 2xcosx 1 0

3 cos 2x 5sinx 3 0 4 5 tanx 2cotx 3 0

2.3 Giải các phương trình lượng giác sau :

1

2

2 cos 5sin2 3 0

x

3 cos 4x- sin 2x- =1 0 4 cos 6x 3cos3x1 0

2.4 Giải các phương trình :

1 tan2x 3 1 tan  x 3 0

2 3 tan2 x 1 3 tan x1 0

3 2cos 2x 2 3 1 cos  x 2 3 0

4 12 2 3 tan 1 2 3 0

2.5 Giải các phương trình sau :

1 cos5 cosx xcos 4 cos 2x x3cos2x1 2 2cos6xsin4xcos 2x0

3

4sin 2 6sin 9 3cos 2

0 cos

x



4

x

x     x  x

2.6 Giải các phương trình :

1

cos

x

x

2

2

2

3 5sin 2xsinxcosx 6 0 4 tan2xcot2 x2 tan xcotx 6

2.7 Giải phương trình: 2 tan x sinx3 cot x cosx 5 0

3 Phương trình bậc nhất đối với sinx,cosx:

3.1 Giải phương trình :

1 3 sinx cosx1 2 3 cos3x sin 3x2

3 3cosx4sinx5 4 sinx 7 cosx7

5 2sin 2x 2 cos 2x 2 6 sin 2x 3 3 cos 2x

3.2 Giải phương trình :

1 2sin2x 3 sin 2x3 2 2cos2x 3 sin 2x 2

3 2sin 2 cos 2x x 3 cos 4x 2 0 4 4sin2 x3 3 sin 2x 2cos2 x4

3.3 Giải các phương trình sau :

1 sin 3x 3 cos3x2cos 4x 2 cosx 3 sinx 2cos 3 x



3 3 sin 2xcos 2x 2 cosx 2 sinx 4 sin 8x cos 6x 3 sin 6 xcos8x

3.4 Giải các phương trình sau :

1

2

3 5

3.5 Giải các phương trình sau :

1 3sinx 3 cos3x 1 4sin3x 2 3 cos5x 2sin 3 cos 2x x sinx0

3

2

x

8cos 2

sin cos

x

3.6 Tìm

,

x    

  thỏa phương trình cos 7x 3 sin 7x2

3.7 Cho phương trình 2sin2x sin cosx x cos2x m

1 Tìm m để phương trình có nghiệm

2 Giải phương trình với m 1

3.8 Cho phương trình sin 2x 2 cosm xsinx m Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc

đoạn

3

0;

4



3.9 Giải các phương trình:

1

8sin

cos sin

x

3 tan

2 sin 1

x x

x

4 Phương trình đẳng cấp:

4.1 Giải các phương trình sau:

1 sin2

x −2 sin x cos x −3 cos2x=0 2 6 sin2

x+sin x cos x − cos2x=2

3 sin 2 x −2 sin2x =2cos 2 x 4 2 sin22 x − 2sin 2 x cos 2 x +cos22 x=2

5 4 sin x cos(x − π

2)+4 sin(π +x)cos x +2 sin(3 π2 − x)cos (π +x)=1

6 3 sin2x − 4 sin x cos x +2 cos2x=1

2

4.2 Giải các phương trình sau:

1 2 sin3x +4 cos3x=3 sin x

2 3 sin2x

2cos(3 π2 +

x

2)+3 sin2x

2cos

x

2=sin

x

2cos

2x

2+sin

2

(x2+

π

2)

3 4sin3x3sin2xcosx sinx  cos3x0.

4 sin4x 3sin2xcos2x 4sin x osc 3x 3 osc 4x0

5 Phương trình đối xứng:

Giải phương trình sau:

1 cot x − tan x=sin x+cos x 2 2 sin x +cot x=2 sin 2 x +1

3 cos3

x − sin3x=−1 4 ¿sin x − cos x∨+4 sin 2 x=1

5 1+sin32 x +cos32 x=3

2sin 4 x 6 (1+cos x)(1+sin x )=2

7 1 t anx 2 2 sinx  8

c

c

9 sinx sin 2xsin3xsin4x c osxcos2x c os3x c os4x

10 t anx 7 t anx+ cot x+7 cot x 14 0     

11 3 tan 2xcot2x2 3 1 t anx cot x     4 2 3 0 

12 t anx tan 2xcot x cot 2x6

6 Các bài toán không mẫu mực :

Giải các phương trình sau:

1 sin (1 cos ) 1 cosx  x   xcos2x 2

3

8sin

cos sin

x

4

1 sin

x

tg x

x







5 cotgx – tgx = sinx + cosx 6 5sinx 2 3(1 sin )  x tg x2

7

2(cos sin ) sin cos

0

2 2sin

x



 8 sin3x 3 cos3xsin cosx 2x 3 sin cos2x x

9 cot sin 1 2 4

x

gx x tgxtg 

2

2

cos cos

x x

11 tgx tg x tg x 2  3 cotgx+cotg2x + cotg3x = 012 tgx + cotgx = 2(sinx + cosx)

13 sinx – 4sin3x + cosx = 0 14 cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0

15 cos3x – 4sin3x – 3cosxsin2x + 3sinx = 0 16.(2cosx – 1)(sinx + cosx) = 1

17

2

x

19 4cos2x +

1

2sin2x + 3sin2x – 3 = 0 20 5sin2x – 12 (sinx – cosx) + 12 = 0

21 sinx + cosx – 2 sin2x – 1 = 0 22 – 3cosx + cos2x = 4cos22

x

23 sin2x + tgx – 2 = 0 24 3sinx + cosx – 4 tg2

x

+ 1 = 0

25 cos4x + 2sin6x = cos2x 26 2cos3x + cos2x + sinx = 0

27 2tgx + cotgx = 3 +

2

29 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 30 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4

31 cotgx – tgx + 4sin2x =

2

33

cos 2

2 cos sin

x





cosxs in2x s in4x

35 Tìm tổng các nghiệm x  (1;70) của phương trình : cos2x – tg2x =

2

cos

x

36 cotgx + sinx ( 1 + tgxtg2

x

2

1 cos 2 cos

2(sin cos ) 3 cos

x



38

2

x

tgx

2

s in2x

40 (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx 41 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0

42 ( 1+ sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x 43 2sinx ( 1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx

44 cosx + cos2x + cos3x = 0 45 sin2x – sin22x + sin23x = ½

46 sin8x + cos8x =

2

17 cos 2

16 x 47 cos7x - sin5x = 3 ( cos5x – sin7x)

48 2cosx cos2x = 1 + cos2x + cos3x 49 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinxsin2x

50 cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos33x

51 5 sin sin3 cos3 cos2 3, 0;2 

1 2sin 2



1 sin sin 2 sin 3 sin 4

4

53 4cosx cos2x cos3x = cos6x 54 sinx + sin2x + sin3x – cosx – cos2x -1 = 0

55 cos3xcos3x + sin3xsin3x = cos34x 56

cos cos 3 sin sin 3

4

2

4 cos cos 3

x

x



59 3sin5x = 5 sin3x 60 sin23x – cos24x = sin25x – cos26x

61 Tìm x 0;14 thoả phương trình: cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0

62 cos23x.cos2x – cos2x = 0 63 cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0

64 2sin22x + sin7x – 1 = sinx3tg3x + cotg2x = 2tgx +

2

sin 4x

65



67





 

3

4

69

8

tg x  tg x 





tg x



71

x x x   x   

2006

73

3

2

x







75

12

3

4

7 Các bài toán trong đề thi ĐH – CĐ:

1 A_12. 3 sin2x+cos2x=2cosx-1

2.B_12. 2(cosx 3 sin ) cosx xcosx 3 sinx1

3.D_12 sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2cos2x

1 sin 2 cos 2

2 sin sin 2

1 cot

x



5.B_11 sin 2 cosx xsin cosx xcos 2xsinxcosx.

6.D_11

sin 2 cos sin 1

0

x





7.A_10

1 sin cos 2 sin

1

x x



8.B_10 sin 2xcos 2 cosx x2 cos 2x sinx0

9.D_10 sin 2x cos 2x3sinx cosx1 0 .

10.A_09

(1 2sin ) cos

3 (1 2sin )(1 sin )





11.B_09 sinxcos sin 2x x 3 cos 3x2(cos 4xsin )3x

12 D_09 3 cos5x 2sin 3 cos 2x x sinx0

13 CĐ_08 sin 3x 3 cos3x2sin 2x

14 A_08

4sin 3

2

x







15.B_08 sin3x 3 cos3xsin cosx 2 x 3 sin2 xcosx

16.D_08 2sin (1 cos 2 ) sin 2x  x  x 1 2cosx

17 A_07 (1 sin 2 x) cosx(1 cos )sin 2x x 1 sin 2x

18.B_07 2sin 22 xsin 7x1 sin x

19.D_07

2

x

20.A_06

2(cos sin ) sin cos

0

2 2sin

x





21.B_06

cot sin 1 tan tan 4

2

x

x x  x 

22.D_06 cos 3xcos 2x cosx1 0

23.A_05 cos 3 cos 22 x x cos2 x0

24.B_05 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

25.D_05

x x x   x  

26.A_04 Tính ba góc của ABC không tù, thoả mãn điều kiện cos 2A2 2 cosB2 2 cosC3

27.B_04 5sinx 2 3(1 sin ) tan  x 2x

28.D_04 (2cosx1)(2sinxcos ) sin 2x  x sinx

29.A_03

2

x

x



30.B_03

2 cot tan 4sin 2

sin 2

x

31.D_03

x



32.A_02 Tìm nghiệm x (0;2 ) của phương trình:

cos3 sin 3

1 2sin 2

x





33.B_02 sin 32 x cos 42 xsin 52 x cos 62 x

34.D_02 Tìm x 0;14

nghiệm đúng phương trình: cos3x 4cos 2x3cosx 4 0

CÁC ĐỀ DỰ BỊ 1.A_08 tanxcotx4 cos 22 x

2.A_08

2

1.B_08

1

2.B_08

2

3sin cos 2 sin 2 4sin cos

2

x

1.D_08 4(sin4 xcos ) cos 44x  xsin 2x0

1.A_07

2sin sin 2

2.A_07.2cos2 x2 3sin cosx x 1 3(sinx 3cos )x

1.B_07

2.B_07

sin 2 cos 2

tan cot

1.D_07.

12

2.D_07 (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan x  x   x

1.A_06

cos3 cos sin 3 sin

8

2.A_06

6

1.B_06 (2sin2 x1) tan 22 x3(2cos2 x1) 0

2.B_06 cos 2x1 2 cos x sinx cosx 0

1.D_06 cos3xsin3x2sin2x1

2.D_06 4sin3x4sin2 x3sin 2x6cosx0

1.A_05 Tìm nghiệm trên khoảng (0; ) của phương trình:

4sin 3 cos 2 1 2cos

x



2.A_05

3

4



1.B_05 sin cos 2x xcos2 x(tan2x1) 2sin 3x0

2.B_05

2

2

cos 2 1

x

x





1.D_05

x x

x





2.D_05 sin 2xcos 2x3sinx cosx 2 0

1.A _04 4(sin3xcos ) cos3x  x3sinx

2.A _04 1 sin x 1 cos x 1

1.B _04.

2 2 cos

x



2.B _04 sin 4 sin 7x xcos3 cos 6x x

1.D _04 2sin cos 2x xsin 2 cosx xsin 4 cosx x

2.D _04 sinxsin 2x 3 cos xcos 2x

cos 2xcosx 2 tan x1 2

2.A _03 3 tan xtanx2sinx6 cosx0

1.B _03 3cos 4x 8cos6x2cos2x 3 0

2.B _03

2 3 cos 2sin2

2cos 1

x x

x





1.D _03

2

2 1 sin sin cos

x





2.D _03

2cos 4 cot tan

sin 2

x

x

Công Thức Lượng Giác

I Cung liên kết:

1 Cung đối: (cos đối)

1.1 cos( ) cos    1.2.sin( )   sin 

1.3.tan( )   tan 1.4  cot( )  cot

2 Cung bù: (sin bù)

1.1 cos( )  cos 1.2  sin( ) sin 

1.3 tan()  tan 1.4 cot() cot

3 Cung phụ: (phụ chéo)

1.1



cos( ) sin



sin( ) cos 2

1.3



tan( )



cot( ) tan 2

4 Cung hơn kém :

1.1 cos( )  cos 1.2 sin( )  sin

1.3 tan() tan  1.4 cot() cot 

II Công thức lượng giác:

1 Hằng đẳng thức lượng giác:

2

2

1

1 tg =

cos

1.3





1 cotg =

sin 1.4 tg cotg = 1 

2.Công thức cộng:

1.1 cos() cos cos   sin sin 

1.2 cos(  ) cos cos  sin sin 

1.3 sin( ) sin cos  sin cos 

1.4 sin(  ) sin cos   sin cos 

1.5

 



tg +tg tg( + ) =

1 tg tg

1.6







tg tg tg( ) =

1 tg tg

3 Công thức nhân đôi:

1.1 cos2  cos2 sin2  2 cos2 1 1 2sin   2

1.2 sin 2 2sin cos 

1.3









2 tan tan2

1 tan

4 Công thức nhân ba:

1.1 cos3 4cos3  3cos 1.2 sin 3 3sin  4sin3

5 Công thức hạ bậc:

1.1

2 1 cos 2

cos

2



  

1.2

2 1 cos 2 sin

2



  

1.3

2 1 cos 2

1 cos 2







